Lexique mathématique

Lexique mathématique

C
Calcul de la dérivée seconde d’une fonction
[ None ]
Soit \(f\) une fonction \(2\) fois dérivable en \(a\). Alors \[f''(a)=\lim_{h\to 0} \frac{f(a+h)+f(a-h)-2.f(a)}{h^2}\]
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Calcul de la dérivée \(n\)-ième d’une fonction
[ None ]
Si \(f\) est \(n\) fois dérivable en \(0\), alors \[f^{(n)}(0)=\lim_{h\to 0} \sum_{k=0}^n C_n^k(-1)^{n-k}f(kh)\]
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Calcul de la distance entre deux droites non parallèles
[ Théorème ]
Soient \(\mathscr D\) et \(\mathscr D'\) deux droites non parallèles de vecteurs directeurs respectifs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{u}'\), passant respectivement par les points \(M\) et \(M'\). On a : \[\boxed{d\left(\mathscr D,\mathscr D'\right) = \dfrac{ \left| \mathop{\rm det}\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{u}',\overrightarrow{MM'}\right) \right| }{ \left\| \overrightarrow{u} \wedge \overrightarrow{u}' \right\| }}\]
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Calcul de la vitesse et de l’accélération dans le repère polaire
[ Proposition ]
\[\boxed{\overrightarrow{F'}(t) = \rho'(t) \overrightarrow{u}\bigl(\theta(t)\bigr) + \rho(t) \theta'(t) \overrightarrow{v}\bigl(\theta(t)\bigr)} \quad \textrm{ et} \quad \boxed{ \overrightarrow{F''}(t) = \bigl[\rho''(t) - \rho(t)\theta'^2(t)\bigr] \overrightarrow{u}\bigl(\theta(t)\bigr) + \bigl[2\rho'(t)\theta'(t) + \rho(t)\theta''(t)\bigr] \overrightarrow{v}\bigl(\theta(t)\bigr)}\]
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Calcul d’intégrale
[ None ]
Soit \(f:I \rightarrow \mathbb{R}\) une application continue sur le segment \(\left[a,b\right]\subset I\). Soit \(G\) une primitive de \(f\) sur \(\left[a,b\right]\) alors l’intégrale de \(f\) sur \(\left[a,b\right]\) est donnée par \[\boxed{\int_{a}^{b} f(t)\,\textrm{d}t=G(b)-G(a)}\]
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Calcul d’un déterminant par des oel et des oec
[ Théorème ]
  1. Un déterminant qui a deux colonnes identiques est nul.

  2. Un déterminant qui a une colonne combinaison linéaire des autres colonnes est nul.

  3. Un déterminant dont une colonne est formée de \(0\) est nul.

  4. On ne change pas la valeur d’un déterminant en ajoutant à une colonne une combinaison linéaire des autres colonnes.

  5. Si on multiplie par \(\lambda\) une colonne d’un déterminant, on multiplie par \(\lambda\) la valeur de ce déterminant.

  6. Quand on permute deux colonnes d’un déterminant, on change son signe.

  7. Comme le déterminant d’une matrice est égale à celui de sa transposée, les \(6\) phrases précédentes restent vraies si on remplace le mot "colonne" par le mot "ligne".

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Calcul d’une progression géométrique
[ Théorème ]
Soit un anneau \((A, +, \times)\) et un élément \(a\in A\). On considère un entier \(n\in \mathbb N\), \(n\geqslant 1\). De la formule de factorisation, on tire : \[\boxed{ 1-a^{n} = (1-a)(1+a+a^2+\dots + a^{n-1}) }\] En particulier, si l’élément \(a\) est nilpotent d’indice \(n\) : \(a^n=0\), alors l’élément \((1-a)\) est inversible pour la loi \(\times\) et on sait calculer son inverse : \[(1-a)^{-1}=1+a+a^2+\dots +a^{n-1}\]
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Calcul d’une somme géométrique dans un corps
[ Théorème ]
Soit un élément \(k\in K\) du corps \((K, +, \times)\). Alors la formule suivante permet de calculer une progression géométrique de raison \(k\) : \[\sum_{i=0}^n k^i = 1+k+k^2+\dots +k^n = \begin{cases} (1-k)^{-1}\bigl(1-k^{n+1}\bigr) & \textrm{ si } k\neq 1 \newline (n+1)1_K & \textrm{ si } k=1 \end{cases}\]
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Calcul du projeté orthogonal
[ Théorème ]
Soit \(F\) un sous-espace vectoriel de \(E\) et soit \(x \in E\). On suppose que
  1. \((\varepsilon_1,\dots, \varepsilon_p)\) est une base orthonormale de \(F\)

alors le projeté orthogonal \(p(x)\) du vecteur \(x\) sur le sous-espace \(F\) vaut : \[\boxed{p(x) = \sum_{i=1}^p \left( x \mid \varepsilon_i \right).\varepsilon_i}.\]
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Calcul pratique d’une somme de \(Vect\)
[ Proposition ]
Soient \(A\) et \(B\) deux parties d’un \(K\)-espace vectoriel \(E\) alors \[\boxed{Vect\left(A\right)+Vect\left(B\right)=Vect\left(A\cup B\right)}\]
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Calculs avec les coordonnées
[ Proposition ]
Soit \(\mathscr R\left(O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k}\right)\) un repère cartésien de l’espace. Soient \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{u'}\) des vecteurs de coordonnées, dans \(\mathscr R\) : \[\overrightarrow{u} \left|\begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right.{z} \quad \textrm{ et} \quad\overrightarrow{u'} \left|\begin{matrix} x' \\ y' \end{matrix} \right.{z'}\] Soient \(\alpha,\alpha'\in\mathbb{R}\). Les coordonnées du vecteur \(\alpha \overrightarrow{u} + \beta \overrightarrow{u'}\) sont : \[\boxed{\alpha \overrightarrow{u} + \beta \overrightarrow{u'} \left|\begin{matrix} \alpha x + \beta x' \newline \alpha y + \alpha' y' \end{matrix} \right.{\alpha z + \alpha' z'}}\]
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Cantor \(K_3\)
[ Definition ]

On note \(C_0\) l’ensemble \([0,1]\).

On note \(C_1\) l’ensemble \([0,\frac13]\cup[\frac23,1]\).

On note \(C_2\) l’ensemble \([0,\frac19]\cup[\frac29,\frac39]\ \cup \ [\frac69,\frac79]\cup[\frac89,\frac99]\)

...

On note \(C_n\) l’ensemble \(\frac13.C_{n-1} \cup (C_{n-1}+2).\frac13\).

On note \(K_3\) l’intersection des \(C_n\), pour \(n \in \mathbb{N}\). On appelle cet ensemble ensemble triadique de Cantor.

On le munit d’une topologie en considérant la restriction de la distance usuelle à \(K_3\).
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Caractérisation de la borne supérieure
[ Théorème ]
Soient \(X\) une partie de \(\mathbb{R}\) et \(a\) un nombre réel. Il y a équivalence entre :
  1. \(a\) est la borne supérieure de \(X\).

  2. \(\boxed{\forall x\in X,~x\leqslant a}\) et \(\boxed{\forall \varepsilon>0,~\exists x\in X,\quad x\in\left]a-\varepsilon,a\right]}\)

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Caractérisation de la colinéarité de deux vecteurs via le produit vectoriel
[ None ]
Deux vecteurs de \(\mathscr V\) sont colinéaires si et seulement si leur produit vectoriel est nul.
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Caractérisation de la convergence par les fonctions coordonnées
[ Proposition ]
Soit \(\overrightarrow{F}\) une fonction vectorielle donnée par le couple \((x,y)\) sur \(I\). Soit \(\overrightarrow{l}=(l_1,l_2)\) un vecteur de \(\mathbb{R}^2\). On a : \[\boxed{\overrightarrow{F} (t) \xrightarrow[t\rightarrow t_0]{} \overrightarrow{l} \Longleftrightarrow\left\{\begin{array}{l} x(t) \xrightarrow[t\rightarrow t_0]{} l_1\newline y(t) \xrightarrow[t\rightarrow t_0]{} l_2 \end{array}\right.}\]
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Caractérisation de la fonction exponentielle l’équation différentielle \(f'=af\)
[ Proposition ]
Soit \(f\) une fonction dérivable de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{C}\) et pour laquelle il existe \(a \in \mathbb{C}^*\) tel que \(f'=af\). Alors il existe \(\lambda \in \mathbb{C}\) tel que : \(\forall t \in \mathbb{R},\quad f(t)=\lambda e^{at}\). Autrement dit, \(f\) vérifie : \(f=\lambda f_a\). Si, de plus, \(f(0)=1\) alors \(f=f_a\).
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Caractérisation de la fonction exponentielle par l’équation fonctionnelle \(f(s+t)=f(s)f(t)\)
[ Proposition ]
Soit \(f\) une fonction dérivable de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{C}\) vérifiant l’équation \(\forall (s,t) \in \mathbb{R}^2, ~~ f(s+t)=f(s)f(t)\). Si il existe \(c \in \mathbb{R}\) tel que \(f(c)=0\) alors \(f\) est la fonction nulle sur \(\mathbb{R}\). Sinon \(f(0)=1\) et il existe \(a\in \mathbb{C}\) tel que \(f'=a f\), c’est-à-dire tel que \(f=f_a\).
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Caractérisation de l’alignement de trois points du plan
[ Proposition ]
Soit \(\mathscr R \left(O,e_1,e_2\right)\) un repère du plan. \(e=\left(e_1,e_2\right)\) forme donc une base du plan. Soient \(M_0\left(x_0,y_0\right)\), \(M_1\left(x_1,y_1\right)\), \(M_2\left(x_2,y_2\right)\) trois points distincts du plan. Alors, \(M_0\), \(M_1\), \(M_2\) sont alignés si et seulement si \[\boxed{\left| \begin{array}{ccc} 1&1 &1 \\ x_0&x_1&x_2 \newline y_0&y_1&y_2 \end{array} \right|=0}\]
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Caractérisation de la perpendicularité ou du parallélisme de deux plans à partir de leurs équations cartésiennes respectives
[ Proposition ]

Soient \(\mathscr P\) et \(\mathscr P'\) deux plans d’équations cartésiennes respectives \[ax+by+cz=d \quad \textrm{ et} \quad a'x+b'y+c'z=d'.\] Les vecteurs \(\overrightarrow{n}\left(a,b,c\right)\) et \(\overrightarrow{n}'\left(a',b',c'\right)\) sont donc, respectivement, des vecteurs normaux à \(\mathscr P\) et à \(\mathscr P'\).

  1. Les plans \(\mathscr P\) et \(\mathscr P'\) sont parallèles si et seulement si il existe un réel \(\lambda\neq 0\) tel que \[a'=\lambda a, \quad b'=\lambda b \quad \textrm{ et} \quad c'=\lambda c\]

  2. Les plans \(\mathscr P\) et \(\mathscr P'\) sont confondues si et seulement si il existe un réel \(\lambda\neq 0\) tel que \[a'=\lambda a, \quad b'=\lambda b ,\quad c'=\lambda c \quad \textrm{ et} \quad d'=\lambda d\]

  3. Les plans \(\mathscr P\) et \(\mathscr P'\) sont perpendiculaires si et seulement si \[aa'+bb'+cc'=0\]

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Caractérisation de la somme directe
[ Théorème ]
Soient \(F\) et \(G\) deux sous-espaces vectoriels du \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(\left(E,+,\cdot\right)\). On a équivalence entre :
  1. \(F\) et \(G\) sont en somme directe.

  2. \(\forall x\in F+G,\quad \exists~ ! \left(x_1,x_2\right)\in F\times G:\quad x=x_1+x_2\) (c’est-à-dire, vecteur de \(F+G\) se décompose de manière comme somme d’un vecteur de \(F\) et d’un vecteur de \(G\).)

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Caractérisation de l’ordre d’une racine
[ Proposition ]
Soient \(\alpha\in\mathbb{K}\) un scalaire et \(P\in \mathbb{K}\left[X\right]\) un polynôme. On a équivalence entre :
  1. \(\alpha\) est une racine multiple de \(P\) d’ordre \(p\).

  2. Il existe \(Q\in\mathbb{K}\left[X\right]\) tel que \(P=\left(X-\alpha\right)^p Q\) et \(Q\left(\alpha\right)\neq 0\).

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Caractérisation des applications linéaires
[ Proposition ]
Soit \(f:\mathscr V\longrightarrow \mathscr V\). \(f\) est linéaire si et seulement si, pour tout couple \((\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})\) de \(\mathscr V^2\) et pour tout couple de réels \((\alpha,\beta)\) \[\boxed{ f(\alpha\overrightarrow{u} + \beta\overrightarrow{v})=\alpha f(\overrightarrow{u})+\beta f(\overrightarrow{v}) }.\]
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Caractérisation des applications linéaires
[ Théorème ]
Soit \(f:E \rightarrow F\). \(f\) est linéaire si et seulement si  : \[\forall \left(x,y\right)\in E^2, \quad \forall \left(\alpha,\beta\right)\in\mathbb{K}^2, \quad \boxed{ f\left(\alpha \cdot x + \beta \cdot y\right)=\alpha \cdot f\left(x\right)+\beta\cdot f\left(y\right)}\]
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Caractérisation des applications linéaires injectives
[ Théorème ]
Soit \(f:E\rightarrow F\) une application linéaire. Alors : \[\boxed{\textrm{ $f$ est injective si et seulement si }\operatorname{Ker}f=\left\{0_E\right\}}\]
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Caractérisation des bases du plan
[ Proposition ]
Soit \(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\in \mathscr V\). Le couple \(\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)\) forme une base du plan si et seulement si : \[\boxed{\forall \alpha,\beta \in\mathbb{R},\quad \alpha \overrightarrow{u} + \beta \overrightarrow{v} =0 \Rightarrow \alpha=\beta=0}\]
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Caractérisation des diviseurs et des multiples
[ Proposition ]
Soient deux entiers \((a, b) \in \mathbb{Z}^{2}\).
  1. Soit un entier \(d \in \mathbb{Z}\). \(\begin{cases} d \mid a \\ d \mid b \end{cases} \Longleftrightarrow d \mid(a \wedge b);\)

  2. soit un entier \(m \in \mathbb{Z}\). \(\begin{cases} a \mid m \newline b \mid m \end{cases} \Longleftrightarrow (a \vee b) \mid m\).

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Caractérisation des familles libres via le déterminant
[ None ]

Soient :

  • \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel  de dimension \(n\).

  • \(e=\left(e_1,\dots,e_n\right)\) une base de \(E\).

  • \(\mathscr S=\left(x_1,\dots,x_n\right)\) une famille de \(n\) vecteurs de \(E\).

Alors \(\mathscr S\) est libre si et seulement si \(\mathop{\rm det}_e\left(x_1,\dots,x_n\right)\neq 0\).

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Caractérisation des familles liées via le déterminant
[ Proposition ]

Soient :

  • \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel  de dimension \(n\).

  • \(e=\left(e_1,\dots,e_n\right)\) une base de \(E\).

  • \(\mathscr S=\left(x_1,\dots,x_n\right)\) une famille de \(n\) vecteurs de \(E\).

Alors \(\mathscr S\) est liée si et seulement si \(\mathop{\rm det}_e\left(x_1,\dots,x_n\right)=0\).

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Caractérisation des fonctions constantes
[ Proposition ]
Soit une fonction \(f : I \mapsto \mathbb{R}\). On suppose que
  1. \(f\) est dérivable sur \(I\).

Alors on a les résultats suivants :

  1. \(\left[\forall x\in I, \quad f'(x) \geqslant 0 \right]\Longleftrightarrow f\) est croissante sur \(I\).

  2. \(\left[\forall x\in I, \quad f'(x) > 0\right]\) \(\Rightarrow\) \(f\) est strictement croissante sur \(I\).

  3. \(\left[\forall x\in I, \quad f'(x) \leqslant 0 \right]\Longleftrightarrow f\) est décroissante sur \(I\).

  4. \(\left[\forall x\in I, \quad f'(x) < 0 \right]\) \(\Rightarrow\) \(f\) est strictement décroissante sur \(I\).

  5. \(\left[\forall x\in I, \quad f'(x) = 0\right] \Longleftrightarrow f\) est constante sur \(I\).

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Caractérisation des fonctions convexes dérivables
[ Théorème ]
  1. Si \(f:I\mapsto \mathbb{R}\) est dérivable, \[(f\textrm{ convexe }) \Longleftrightarrow (f' \textrm{ croissante })\]

  2. Si \(f:I\mapsto \mathbb{R}\) est deux fois dérivable, \[(f \textrm{ convexe }) \Longleftrightarrow (f'' \geqslant 0 \textrm{ sur } I )\]

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Caractérisation des fonctions de répartition
[ Proposition ]

\(F:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) est une fonction de répartition d’une certaine variable aléatoire si et seulement si les quatre propriétés suivantes sont vérifiées:

\(\bullet\)\(F\) est croissante de \(\mathbb{R}\) dans \([0,1]\)

\(\bullet\)\(F(x) \to 1\) quand \(x \to +\infty\)

\(\bullet\)\(F(x) \to 0\) quand \(x \to -\infty\)

\(\bullet\)\(F\) est continue à droite en tout point.
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Caractérisation des intervalles de \(\mathbb{R}\)
[ Proposition ]
Soit \(I\) une partie de \(\mathbb{R}\). Il y a équivalence entre :
  1. \(I\) est un intervalle de \(\mathbb{R}\).

  2. \(\forall x,y\in I,\quad \forall t\in\left[0,1\right],\quad \left(1-t\right)x + ty\in I\)

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Caractérisation des matrices de passage entre bases orthonormales
[ Théorème ]
Soit \(e\) une base orthonormale de \(E\) et \(f\) une base de \(E\). Soit \(P=P_{e\rightarrow f}\) la matrice de passage entre ces deux bases. On a équivalence entre :
  1. \(f\) est une base orthonormale.

  2. P est une matrice orthogonale.

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Caractérisation des morphismes injectifs
[ Théorème ]
Un morphisme \(f\) de \(\left(G_1,\star\right)\) dans \(\left(G_2,\bullet\right)\) est injectif si et seulement si \(\boxed{\operatorname{Ker}f=\left\{e_1\right\}}\).
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Caractérisation des morphismes surjectifs
[ Théorème ]
Un morphisme \(f\) de \(\left(G_1,\star\right)\) dans \(\left(G_2,\bullet\right)\) est surjectif si et seulement si \(\boxed{\mathop{\mathrm{Im}}f = G_2 }.\)
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Caractérisation des polynômes premiers entre eux
[ Proposition ]
Soient \(P\) et \(Q\) deux polynômes de \(\mathbb{K}\left[X\right]\). Deux polynômes \(P\) et \(Q\) de \(\mathbb{K}\left[X\right]\) sont premiers entre eux si et seulement s’il existe deux polynômes \(U\) et \(V\) de \(\mathbb{K}\left[X\right]\) tels que \[PU+QV = 1.\]
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Caractérisation des projecteurs
[ Proposition ]
Soit \(p\in\mathfrak{L}\left(E\right)\). Alors \(p\) est un projecteur si et seulement si \(\boxed{p\circ p=p}\) (c’est-à-dire si et seulement si \(p\) est idempotente). Dans ce cas, \(p\) est le projecteur sur \(\operatorname{Ker}p\) parallèlement à \(\mathop{\mathrm{Im}}p\).
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Caractérisation des racines multiples
[ Théorème ]
Soient un polynôme \(P\in \mathbb{K}\left[X\right]\), un scalaire \(a\in\mathbb{K}\) et un entier \(r>0\). On a équivalence entre :
  1. \(a\) est une racine d’ordre \(r\) de \(P\).

  2. \(\boxed{P\left(a\right)=P'\left(a\right)=\dots=P^{\left(r-1\right)}\left(a\right)=0}\) et \(\boxed{P^{\left(r\right)}\left(a\right)\neq 0}\).

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Caractérisation des sous-espaces supplémentaires
[ Théorème ]
Soient \(F\) et \(G\) deux sous-espaces vectoriels d’un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(\left(E,+,\cdot\right)\). On a équivalence entre :
  1. \(E=F\oplus G\) (c’est-à-dire \(F\) et \(G\) sont supplémentaires).

  2. \(\forall x\in E,\quad \exists~ ! \left(x_1,x_2\right)\in F\times G:\quad x=x_1+x_2\) (c’est-à-dire, vecteur de \(E\) se décompose de manière comme somme d’un vecteur de \(F\) et d’un vecteur de \(G\).)

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Caractérisation des sous-groupes
[ Proposition ]
Soient \(\left(G,\star\right)\) un groupe et \(H\) une partie non vide de \(G\). \(H\) est un sous-groupe de \(G\) si et seulement si
  1. \(e \in H\) ;

  2. \(\forall (x,y) \in H^2\), \(\boxed{x\star y^{-1} \in H}\).

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Caractérisation des symétries
[ Proposition ]
Soit \(s\in\mathfrak{L}\left(E\right)\). Si \(s\) est involutive, c’est-à-dire si \(\boxed{s\circ s=Id_E}\), alors \(s\) est la symétrie par rapport à \(E_1=\operatorname{Ker}\left(s-Id_E\right)\) et parallèlement à \(E_2=\operatorname{Ker}{\left(s+Id_E\right)}\)).
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Caractérisation d’un cercle par l’équation \(\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=0\)
[ Proposition ]
Soit \(\mathscr R (O,\overrightarrow{\imath },\overrightarrow{\jmath})\) un repère orthonormal. Soient \(A(x_A,y_A)\) et \(B(x_B,y_B)\) deux points du plan. Soit \(\mathscr C\) l’ensemble des points \(M\) du plan vérifiant \[\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=0.\] Alors \(\mathscr C\) est le cercle de diamètre \(AB\). Une équation de \(\mathscr C\) est donnée par \[\boxed{(x-x_A)(x-x_B)+(y-y_A)(y-y_B)=0}\]
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Caractérisation matricielle de la liberté d’une famille de vecteurs
[ None ]
Soient \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension \(n\), \(e\) une base de \(E\) et \(x\) une famille de \(n\) vecteurs de \(E\). Alors, la famille \(x\) est libre si et seulement si la matrice des \(n\) vecteurs de la famille \(x\) dans la base \(e\), \(\textrm{ Mat}_{e}\left(x_1,\dots,x_n\right)\) est inversible.
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Caractérisation par les fonctions coordonnées
[ Proposition ]
Une fonction vectorielle \(\overrightarrow{F} : I \rightarrow \mathbb{R}^2, t \mapsto (x(t),y(t))\) est dérivable en \(t_0\in I\) si et seulement si les deux fonctions réelles qui la composent: \(x\) et \(y\) sont dérivables en \(t_0\). On a alors : \[\boxed{F'(t_0)=(x'(t_0),y'(t_0))}\]
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Caractérisation pratique de \(f(x) = \grando{g(x)}\)
[ Proposition ]
Soit \(f\) et \(g\) deux fonctions définies sur un voisinage \(V\) de \(a\in\overline{\mathbb{R}}\). On suppose que \(g\) ne s’annule pas sur \(V\setminus\left\{a\right\}\). Alors \[\boxed{f\left(x\right)=\underset{x \rightarrow a}{O}\left(g\left(x\right)\right) \quad\Longleftrightarrow\quad \textrm{ la fonction } \dfrac{f}{g} \textrm{ est bornée au voisinage de $a$}}\]
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Caractérisation pratique de \(f(x) = \petito{g(x)}\)
[ Proposition ]
Soit \(f\) et \(g\) deux fonctions définies au voisinage sur un voisinage \(V\) de \(a\in\overline{\mathbb{R}}\). On suppose que la fonction \(g\) ne s’annule pas sur \(V\setminus\left\{a\right\}\). Alors \[\boxed{f\left(x\right)=\underset{x \rightarrow a}{o}\left(g\left(x\right)\right) \quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\xrightarrow[x\rightarrow a]{} 0}\]
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Caractérisation pratique de \(f(x) \underset{x \rightarrow a}{\sim} g(x)\)
[ Théorème ]
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions définies au voisinage de \(a\in\overline{\mathbb{R}}\). On suppose que \(g\) ne s’annule pas sur \(V\setminus\left\{a\right\}\). Alors \[\boxed{f\left(x\right)\underset{x\rightarrow a}{\sim} g\left(x\right) \quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\xrightarrow[x\rightarrow a]{} 1}\]
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Caractérisation pratique d’une droite asymptote
[ Proposition ]
Soit \((I,\overrightarrow{F})\) un arc paramétré possédant une branche infinie en \(t_0\in I\). La droite \(\mathscr D\) d’équation \(a~x+ b~y +c=0\) est asymptote à l’arc \((I,\overrightarrow{F})\) en \(t_0\) si et seulement si \[\boxed{ a~x(t)+ b~y(t) +c \xrightarrow[t \rightarrow t_0]{} 0}\].
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Caractérisations de supplémentaires
[ Théorème ]
\(F\) et \(G\) sont supplémentaires dans \(E\) si et seulement si leur intersection est nulle et si la somme de leurs dimensions est la dimension de \(E\).

\(F\) et \(G\) sont supplémentaires dans \(E\) si et seulement si leur intersection est nulle et si leur somme est égale à \(E\).

\(F\) et \(G\) sont supplémentaires dans \(E\) si et seulement si leur somme est égale à \(E\) et si la somme de leurs dimensions est égale à la dimension de \(E\).
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Caractérisations de supplémentaires
[ Théorème ]
\(F\) et \(G\) sont supplémentaires dans \(E\) si et seulement si leur intersection est nulle et si la somme de leurs dimensions est la dimension de \(E\).

\(F\) et \(G\) sont supplémentaires dans \(E\) si et seulement si leur intersection est nulle et si leur somme est égale à \(E\).

\(F\) et \(G\) sont supplémentaires dans \(E\) si et seulement si leur somme est égale à \(E\) et si la somme de leurs dimensions est égale à la dimension de \(E\).
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Caractérisation séquentielle de la borne supérieure
[ Théorème ]
On considère une partie \(X\) non vide et majorée de \(\mathbb{R}\). Elle possède une borne supérieure \(\sup X\). Soit un réel \(l \in \mathbb{R}\). Les deux propriétés suivantes sont équivalentes.
  1. \(l = \sup X\).

  2. \(l\) est un majorant de \(X\) et il existe une suite \((x_n)\) d’éléments de \(X\) qui converge vers \(l\).

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Caractérisation séquentielle de la continuité en un point
[ Théorème ]
Soit une fonction \(f : I \mapsto \mathbb{R}\) et un point \(a \in I\). La fonction \(f\) est continue au point \(a\) si et seulement si pour toute suite \((x_n)\) de points de \(I\) convergeant vers \(a\), la suite \(\left(f(x_n)\right)\) converge vers \(f(a)\).
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Caractérisation séquentielle de la limite
[ Proposition ]
Si \(f(M) \xrightarrow[M \rightarrow M_0]{} l\), alors pour toute suite \(M_n=(x_n, y_n)\) vérifiant \(\lVert M_n-M_0 \rVert_{ } \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}0\) (on note \(M_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}M_0\)), on a \(f(M_n) \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}l\).
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Caractéristiques de la topologie de la convergence simple
[ None ]

On considère la topologie de la convergence simple sur \(Y^X\).

\(\bullet\)si \(Y\) est séparé la topologie de la convergence simple est séparée

\(\bullet\)si \(Y\) est compact, alors la topologie de la convergence simple est compacte

\(\bullet\)si \(Y\) est connexe (resp. par arcs), alors la topologie de la convergence simple est connexe (resp. par arcs).

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cardinal
[ Definition ]
Étant donné un ensemble, on sait qu’il existe au moins un ordinal auquel cet ensemble est équipotent. Éventuellement il peut y en avoir plusieurs; le plus petit élément de ces ordinaux (au sens défini plus haut sur les ordinaux, c’est-à-dire la relation \(\in\)) est appelé le cardinal de l’ensemble. On note usuellement \(\overline {\overline E}\) le cardinal de \(E\), ou \(\# E\), ou encore \(|E|\). On note \(Card\) la classe des cardinaux.
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Cardinal accessible et inaccessible
[ Definition ]
Un cardinal \(E\) est dit inaccessible s’il est plus grand que \({\omega}\), si pour tout \(F\) cardinal \(<E\) on a \(2^F < E\), et si toute famille de cardinaux \(<E\), indexée par une famille de cardinal \(<E\), a un \(sup\) plus petit que \(E\).

Un cardinal est dit accessible s’il n’est pas inaccessible.

L’axiome d’accessibilité affirme que tout cardinal est accessible.
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Cas d’une fonction décroissante sur un intervalle stable
[ Proposition ]
On suppose que la fonction \(f\) est continue et décroissante sur un intervalle \(I\) stable et que \(u_0 \in I\). Alors les deux suites extraites \((u_{2n})\) et \((u_{2n+1})\) sont monotones de sens contraire.
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Cas où \(d=Pe^{mt}\)
[ Proposition ]
On suppose que \(d\) est de la forme \(d:t\mapsto P\left(t\right)e^{mt}\)\(P\) est une fonction polynomiale et où \(m\in\mathbb{C}\). Alors \(\left(E\right)\) possède une solution particulière de la forme :
  • \(Qe^{mt}\) si \(m\) n’est pas une racine de \(aX^2+bX+c=0\)

  • \(tQe^{mt}\) si \(m\) est une racine simple de \(aX^2+bX+c=0\)

  • \(t^2Qe^{mt}\) si \(m\) est une racine double de \(aX^2+bX+c=0\)

\(Q\) est une fonction polynomiale de même degré que \(P\).
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Cas où \(d\) est une combinaison linéaire de fonctions \(\sin\) et \(\cos\)
[ Proposition ]
Soient \(\eta_1,\eta_2,a,b,c, \omega\in\mathbb{R}\) avec \(\omega\neq 0\). L’équation \[\forall t\in I, ay''\left(t\right)+ by'\left(t\right)+cy\left(t\right)=\boxed{\eta_1 \cos\left(\omega t\right) + \eta_2 \sin \left(\omega t\right)} \quad (E)\] admet une solution particulière sur \(I\) de la forme \(t\mapsto \mu_1 \cos\left(\omega t\right) + \mu_2 \sin \left(\omega t\right)\)\(\mu_1,\mu_2 \in\mathbb{R}\).
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Cas où \(d\) est une fonction polynomiale
[ Proposition ]
On suppose que \(d\) est une fonction polynomiale. Alors \(\left(E\right)\) possède une solution particulière de la forme :
  • \(Q\) si \(c\neq 0\).

  • \(tQ\) si \(c=0\) et \(b\neq 0\)

  • \(t^2Q\) si \(b=c=0\).

\(Q\) est une fonction polynomiale de même degré que \(P\).
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Cas où \(f\) est croissante sur un intervalle stable
[ Proposition ]
On suppose que la fonction \(f\) est continue et croissante sur un intervalle \(I\) stable et que \(u_0 \in I\).
  1. Si \(u_0 \leqslant f(u_0)\), la suite \((u_n)\) est croissante.

  2. Si \(u_0 \geqslant f(u_0)\), la suite \((u_n)\) est décroissante.

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Cas \(\mathbb{K}=\mathbb{C}\)
[ None ]
Pour tout forme quadratique \(q\) sur un \(\mathbb{C}\)-espace vectoriel \(E\) de dimension \(n\), il existe \(p \in [\![1,n]\!]\) et \(f_1\),...,\(f_p\) dans \(E^*\) tel que

\(\bullet\)les \(f_i\) forment une famille libre

\(\bullet\)\(q(x)=\sum_{i=1}^p f_i(x)^2\)

En outre, \(p\) est unique et est égal au rang de \(q\).
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Cas \(\mathbb{K}=\mathbb{R}\)
[ None ]
Pour tout forme quadratique \(q\) sur un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel \(E\) de dimension \(n\), il existe \(r \in [[1,n]]\) et \(p\) dans \([[1,r]]\) et \(f_1\),...,\(f_p\) dans \(E^*\) tel que

\(\bullet\)les \(f_i\) forment une famille libre

\(\bullet\)\(q(x)=\sum_{i=1}^p f_i(x)^2-\sum_{i=p+1}^r f_i(x)^2\)

En outre, \(r\) est unique et est égal au rang de \(q\), et \(p\) est unique.

Le couple \((p,r-p)\) correspond à la signature de \(q\), voir la définition [signature-forme-quadra] plus loin.
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Cas \(\mathbb{K}=\mathbb{R}\) et \(q\) définie positive
[ None ]
Pour tout forme quadratique \(q\) définie positive sur un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel \(E\) de dimension \(n\), il existe \(f_1\),...,\(f_n\) dans \(E^*\) tels que

\(\bullet\)les \(f_i\) forment une famille libre

\(\bullet\)\(q(x)=\sum_{i=1}^n f_i(x)^2\)

On en déduit aussi l’existence d’une base orthonormale.
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Cauchy-Mertens
[ Théorème ]
On se donne deux séries de termes généraux \((u_n)\) et \((v_n)\), la série de terme général \((u_n)\) étant supposé absolument convergente, et la série de terme général \(v_n\) étant convergente. Alors le produit de convolution de ces deux séries est convergent, et la somme du produit de convolution est égale au produit des sommes de ces deux séries.
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Cayley-Hamilton
[ Théorème ]
Soit \(f\) un endomorphisme d’un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension finie. Alors .
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centralisateur
[ Definition ]
Les \(H_i\), uniques, sont appelés les composantes primaires du groupe commutatif \(G\).
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Cercle
[ Definition ]
Le cercle de centre \(\Omega\) et de rayon \(R\geqslant 0\) est l’ensemble des points du plan situés à une distance \(R\) de \(\Omega\): \[\left\{M\in \mathscr P:~~\left\|\overrightarrow{\Omega M}\right\|=R \right\}\] Ce cercle sera noté \(\mathscr C(\Omega,R)\).
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Cercle principal d’une ellipse
[ Proposition ]
L’ellipse \(\mathscr E\) d’équation \({\scriptstyle X^2\over\scriptstyle a^2}+{\scriptstyle Y^2\over\scriptstyle b^2}=1\) avec \(0<b<a\) dans un repère orthonormal \((O,\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})\) est l’image du cercle \(\mathscr C\) d’équation cartésienne \(X^2+Y^2=a^2\) par l’affinité orthogonale de base \((O,\overrightarrow{i})\) et de rapport \(k={\scriptstyle b\over\scriptstyle a}\). Le cercle \(\mathscr C\) est appelé cercle principal de l’ellipse \(\mathscr E\).
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chaîne entre les sous-espaces vectoriels \(F\) et \(G\)
[ Definition ]

On appelle chaîne entre les sous-espaces vectoriels \(F\) et \(G\) une suite finie de sous-espaces vectoriels , le premier étant \(F\), le dernier étant \(G\), et chaque élément de la chaîne étant un hyperplan du sous-espace vectoriel suivant, ou au contraire le sous-espace vectoriel suivant étant un hyperplan de ce sous-espace vectoriel ; formellement cela signifie qu’il existe \(F_1,...,F_p\) tels que \(F=F_1\), \(G=F_p\), et pour tout \(i\in [1,p-1]\), \(F_i\) est un hyperplan de \(F_{i+1}\) ou \(F_{i+1}\) est un hyperplan de \(F_i\).

\(p\) est appelé longueur de la chaîne.

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Champ rentrant dans la sphère
[ None ]
Soit \(V\) un champ de vecteur continu de la boule unité fermée de \(\mathbb{R}^n\) dans \(\mathbb{R}^n\). Si pour tout \(x\) \(<V(x),x>\) est négatif strictement 1, alors \(V\) s’annule au moins en un point de la boule unité.
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Champ rentrant dans la sphère
[ None ]
Soit \(V\) un champ de vecteur continu de la boule unité fermée de \(\mathbb{R}^n\) dans \(\mathbb{R}^n\). Si pour tout \(x\), \(\tilde V(x)= <V(x),x>\) est négatif strictement 16, alors \(V\) s’annule au moins en un point de la boule unité.
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Changement de repère
[ Proposition ]
Soit \(M\) un point de \(\mathscr P\) de coordonnées \((x',y')\) dans un premier repère \(\mathscr R'\) et de coordonnées \((x,y)\) dans un second repère \(\mathscr R\). Soient \((x_{O'},y_{O'})\) les coordonnées de \(O'\) dans \(\mathscr R\), \((\alpha,\beta)\), \((\gamma,\delta)\) les coordonnées respectives de \(\overrightarrow{\imath}'\) et \(\overrightarrow{\jmath}'\) dans \(\mathscr R\). Les nouvelles coordonnées \((x,y)\) de \(M\) en fonction des anciennes \((x',y')\) sont données par les relations \[\boxed{\begin{cases} x-x_{O'}&=\alpha x'+\gamma y'\newline y-y_{O'}&=\beta x'+\delta y' \end{cases}}\]
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Changement de repère entre deux repères orthonormaux directs
[ Proposition ]
Soient \(\mathscr R\left(O,\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath}\right)\) et \(\mathscr R\left(O',\overrightarrow{\imath}',\overrightarrow{\jmath}'\right)\) deux repères orthonormaux directs. Notons \(\theta=\left(\widehat{\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\imath}'}\right)\). Les nouvelles coordonnées \(\left(x,y\right)\) d’un point \(M\) du plan \(\mathscr P\) dans le repère \(\mathscr R\) s’expriment en fonction des anciennes \(\left(x',y'\right)\) dans le repère \(\mathscr R'\) par

\[\boxed{\begin{cases} x-x_{O'}&=\cos \theta x'-\sin \theta y'\newline y-y_{O'}&=\sin \theta x'+\cos \theta y' \end{cases}}\]

\(\left(x_{O'},y_{O'}\right)\) représente les coordonnées de \(O'\) dans le repère \(\mathscr R\).
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Changement de variable
[ Théorème ]
Si \(f\) est continue sur \([c,d]\) et si \(\theta\) est \(C^1\) de \([a,b]\) dans \([c,d]\), alors on a \[\int_{\theta(a)}^{\theta(b)}f= \int_a^b (f \circ \theta)\theta'\]
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Changement de variable
[ Proposition ]
Soient \(I\) un intervalle de \(\mathbb{R}\) et \(f:I\rightarrow \mathbb{R}\) une application continue sur \(I\). Soient \(\left(\alpha,\beta\right) \in \mathbb{R}^2\) tel que \(\alpha <\beta\) et \(\varphi:\left[\alpha,\beta\right] \rightarrow I\) de classe \(\mathcal{C}^{1}\) sur le segment \(\left[\alpha,\beta\right]\) alors \[\boxed{\int_{\varphi\left(\alpha\right)}^{\varphi\left(\beta\right)} f\left(t\right)\,\textrm{d}t = \int_{\alpha}^{\beta} f\left(\varphi\left(u\right)\right)\varphi'\left(u\right)\,\textrm{d}u}\]
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Changement de variable
[ Théorème ]
Si \(K\) est un compact inclus dans \(U\) ouvert de \(\mathbb{R}^n\), si \(\phi\) est un \(C^1\)-difféomorphisme de \(U\) sur \(U'\) ouvert de \(\mathbb{R}^n\), si \(f\) est continue, alors \[\int_{\phi(K)} f=\int_K (f\circ \phi) J\phi\] avec \(J\phi\) le jacobien de \(\phi\).
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classe d’équivalence de \(x\) par rapport à \(R\)
[ Definition ]
Soit \(X\) un ensemble et \(R\) une relation d’équivalence sur \(X\). Pour \(x\in X\), on pose \[\mbox{ }^R\overline{x} = \{ x'\in X \;| \; x R x' \; \} \subset X\] et on appelle classe d’équivalence de \(x\) par rapport à \(R\) cette partie de \(X\). Par définition, l’ensemble \(X/R\) est formé des classes \(\mbox{ }^R\overline{x}\) d’éléments \(x\in X\). On appelle \(X/R\) le quotient de \(X\) par la relation d’équivalence \(R\). On définit l’application quotient (=la projection canonique) \(q : X \rightarrow X/R\) par \(q(x)=\mbox{ }^R\overline{x}\). Une partie de \(X\) est un système de représentants pour \(R\) si elle contient un élément de chaque classe d’équivalence et un seul.
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classes à gauche de \(G\) suivant \(H\)
[ Definition ]
Étant donné \(H\) un sous-groupe de \(G\), on définit les classes à gauche de \(G\) suivant \(H\) comme les \(xH\), \(x \in G\), et les classes à droite suivant \(H\) comme les \(Hx\).

On note \(G/H\) l’ensemble des classes à gauche, \(H \setminus G\) l’ensemble des classes à droite.

On note \((G:H)\) le cardinal de \(G/H\) quand celui-ci est fini.
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Classification des courbes du second degré
[ Théorème ]
On considère une courbe du second degré d’équation : \[\mathscr C:\quad ax^2+2 b xy +c y^2 + dx+ey+f=0\] dans un repère orthonormal. On note \(\Delta=ac-b^2\) son discriminant.
  • Si \(\Delta>0\), la courbe \(\mathscr C\) est une ellipse, un point ou l’ensemble vide.

  • Si \(\Delta<0\), la courbe \(\mathscr C\) est une hyperbole ou la réunion de deux droites sécantes.

  • Si \(\Delta=0\), la courbe \(\mathscr C\) est une parabole, une droite, la réunion de deux droites parallèles ou l’ensemble vide.

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Classification des isométries en dimension \(3\)
[ Théorème ]
Soit un endomorphisme orthogonal \(u \in \mathrm{O}_{ }(E)\). On note \(E(1) = \operatorname{Ker}(u - \mathop{\mathrm{id}}\nolimits)\) le sous-espace formé des vecteurs invariants. Selon la dimension de \(E(1)\), on a la classification suivante :
\(\dim E(1)\) \(\mathop{\rm det}(u)\) \(u \in\) Nature de \(u\)
\(3\) \(1\) \({O}_{ }^{+}(E)\) \(\mathop{\mathrm{id}}\nolimits\)
\(2\) \(-1\) \(\mathrm{O}_{ }^{-}(E)\) Réflexion \(s_H\)
\(1\) \(1\) \({O}_{ }^{+}(E)\) Rotation autour d’un axe \(r\) (dont les demi-tours)
\(0\) \(-1\) \(\mathrm{O}_{ }^{-}(E)\) Composée d’une rotation et d’une réflexion
Dans le dernier cas, \(u = r \circ s_{H}\), où le plan \(H\) invariant par la réflexion est orthogonal à l’axe de la rotation \(r\).
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Coefficients de Bézout
[ Théorème ]
Soient deux entiers non nuls \((a, b) \in \left(\mathbb{Z}^*\right)^2\). Il existe \((u,v) \in {\mathbb{Z}}^2\) tels que \[au+bv=a\wedge b.\] Un tel couple \((u,v)\) est appelé couple de coefficients de Bézout de \(a\) et \(b\).
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coefficients de Fourier de \(f\)
[ Definition ]
Soit \(f\) dans \({\mathfrak L}^1\). On définit les coefficients de Fourier de \(f\) pour \(n\in \mathbb{Z}\) par \[\hat f(n) = \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} e^{-int}f(t).dt\]

On appelle noyau de Dirichlet d’ordre \(n\) et on note \(D_n\) l’application \(x \mapsto \sum_{i=-n}^n u_i(x)\).

On appelle noyau de Féjer d’ordre \(n\) et on note \(K_n\) l’application \[x \mapsto \frac{\sum_{i=0}^{n-1} D_i}n\]

On note \(s_n(f)\) et on appelle somme de Fourier d’ordre \(n\) la somme \(\sum_{i=-n}^n \hat f(i) u_i\).

On note \(\sigma_n(f)\) et on appelle somme de Féjer d’ordre \(n\) la somme \((\sum_{i=0}^{n-1} s_i)/n\).

On appelle série de Fourier associée à \(f\) la série \[\sum_{n=-\infty}^{+\infty} \hat f(n) e^{int}\]

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cofacteurs
[ Definition ]
Soit un déterminant d’une matrice \(n\times n\). \[\Delta= \begin{vmatrix} a_{1,1} & \dots & a_{1,n} \\ \vdots & & \vdots \newline a_{n,1} & \dots & a_{n,n} \end{vmatrix}.\]
  1. On note \(m_{i,j}\) le déterminant \((n-1)\times (n-1)\) obtenu en barrant la \(i\)-ème ligne et la \(j\)-ème colonne de \(\Delta\). Le scalaire \(m_{i,j}\) s’appelle le mineur relatif à \(a_{ij}\)

  2. On appelle cofacteur de \(\Delta\) relatif à \(a_{i,j}\), le scalaire \(\Delta_{ij}=(-1)^{i+j}m_{i,j}.\)

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Comatrice
[ Definition ]
Soit \(A=\left(a_{ij}\right)\in\mathfrak{M}_{n}\left(\mathbb{K}\right)\). On appelle comatrice de \(A\) et on note \(\mathop{\rm Com}\left(A\right)\) la matrice des cofacteurs de \(A\) : \[\forall i,j\in\llbracket 1,n\rrbracket, \quad \left[\mathop{\rm Com}\left(A\right)\right]_{i,j}=A_{i,j} =\left(-1\right)^{i+j}\Delta_{i,j}\]
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Comatrice
[ Definition ]
Soit \(A \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K} })\) une matrice carrée. On définit sa comatrice comme étant la matrice des cofacteurs : \[\mathop{\mathrm{com}}(A) = (( \Delta_{i,j}))_{1\leqslant i,j \leqslant n} \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K} }) .\]
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combinaison linéaire
[ Definition ]
Un élément \(x\) de l’espace vectoriel \(E\) est dit combinaison linéaire d’une famille \((x_i)_{i \in I}\) d’éléments de \(E\) si il existe un entier \(n\), un \(n\)-uplet \(({\lambda}_1,...,{\lambda}_n)\) d’éléments de \(\mathbb{K}\), et un \(n\)-uplet \((i_1,...,i_n)\) d’éléments de \(I\) tels que \(x=\sum_{1 \leq j \leq n} {\lambda}_j x_{i_j}\).

Un élément \(x\) est dit combinaison linéaire d’un sous-ensemble \(A\) de \(E\) si \(x\) est combinaison linéaire d’une famille d’éléments de \(A\).

Une famille d’éléments d’un sous-espace vectoriel \(F\) est dite famille génératrice de \(F\) si l’espace vectoriel engendré par cette famille est \(F\).

Une famille \((x_1,\dots,x_n)\) d’éléments de \(E\) est dite famille libre si \[\forall {\lambda}\in \mathbb{K}^n, \sum_{j \in [[1,n]]} {\lambda}_j x_{j}=0\Rightarrow (\forall j, {\lambda}_j=0).\] Une famille infinie est libre si toute sous-famille finie est libre.

Une famille est dite famille liée quand elle n’est pas libre.
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Combinaison linéaire
[ Definition ]
  • Soient \(x_1,\dots,x_n\) \(n\) vecteurs d’un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(\left(E,+,.\right)\). On appelle combinaison linéaire de ces \(n\) vecteurs tout vecteur \(x\in E\) de la forme \[\displaystyle{x=\lambda_1\cdot x_1+ \dots+ \lambda_n \cdot x_n = \sum_{k=0}^{n} \lambda_k \cdot x_k}\]\(\left(\lambda_1,\dots,\lambda_n\right)\in\mathbb{K}^n\).

  • Si \(A\) est une partie de \(E\), on appelle combinaison linéaire d’éléments de \(A\) toute combinaison linéaire d’un nombre fini d’éléments de \(A\).

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Combinaison linéaire de deux vecteurs
[ Definition ]
Soient \(\overrightarrow{u}\), \(\overrightarrow{v}\) et \(\overrightarrow{w}\) trois vecteurs de l’espace. On dit que \(\overrightarrow{w}\) est combinaison linéaire des vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) si et seulement si il existe deux réels \(\alpha,\beta\in\mathbb{R}\) tels que \(\overrightarrow{w} = \alpha \overrightarrow{u}+\beta \overrightarrow{w}\).
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Combinaison linéaire de suites convergentes
[ Théorème ]
Soient deux suites \((u_n)\) et \((v_n)\) convergentes : \(u_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}l\) et \(v_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}l'\). Alors pour tous réels \(\alpha, \beta \in \mathbb{R}\), \[\alpha u_n + \beta v_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}\alpha l + \beta l'\]
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Combinaison linéaire et produit de DLs
[ Proposition ]
Soient deux fonctions \(f\) et \(g\) réelles définies sur \(I\) admettant en \(0\) des DL d’ordre \(n\) \[\forall x\in I,\quad f\left(x\right) = P\left(x\right) + \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^n\right) \quad \textrm{ et} \quad g\left(x\right) = Q\left(x\right) + \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^n\right)\]\(P\) et \(Q\) sont des polynômes réels de degré \(n\). Soient \((\alpha, \beta) \in \mathbb{R} [2]\). Les fonctions \(\alpha f+ \beta g\) et \(f\times g\) admettent des Dl d’ordre \(n\) en \(0\) et ces DLs sont donnés par, pour tout \(x\in I\) \[\begin{aligned} \left(\alpha f + \beta g\right)\left(x\right) &=& \left(\alpha P + \beta Q\right) \left(x\right) + \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^n\right)\\ \left(f\times g\right)\left(x\right) &=& R \left(x\right) + \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^n\right)\newline \end{aligned}\]\(R\left(x\right)\) est égal au produit \(P\left(x\right)Q\left(x\right)\) auquel on a retiré tous les termes de degré \(>n\).
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commutateur
[ Definition ]
On appelle commutateur de \(x\) et \(y\) l’élément \(x.y.x^{-1}.y^{-1}\). On appelle groupe dérivé d’un groupe le sous-groupe engendré (Voir paragraphe [engend] pour la définition de sous-groupe engendré par une partie) par les commutateurs. On note \(D(G)\) le groupe dérivé de \(G\).
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commutative
[ Definition ]
Soit \(\star\) une loi de composition interne sur un ensemble \(E\). On dit que \(\star\) est :
  • commutative si et seulement si \(\forall (a,b)\in E^2\), \(a\star b= b\star a,\)

  • associative si et seulement si \(\forall (a,b,c) \in E^3\), \(a\star (b\star c)= (a\star b)\star c.\)

On dit que plus que \(\star\) admet \(e\in E\) comme élément neutre si et seulement si \(\forall x \in E\), \(e\star x = x\star e = x\)
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Commutativité
[ Proposition ]
\[f* g=g* f\]
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Compacité des espaces projectifs
[ Théorème ]

Soit \(E\) un espace vectoriel réel de dimension finie, muni de sa topologie usuelle, héritée de n’importe quelle norme (toutes les normes étant de toute façon équivalentes en dimension finie); alors l’espace projectif \(P(E)\) est compact pour la topologie quotient.

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Compacité des espaces projectifs
[ Théorème ]
Soit \(E\) un espace vectoriel réel de dimension finie, muni de sa topologie usuelle, héritée de n’importe quelle norme (toutes les normes étant de toute façon équivalentes en dimension finie); alors l’espace projectif \(P(E)\) est compact pour la topologie quotient.
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Compact
[ Definition ]

\(X\) est compact s’il est séparé et si de tout recouvrement ouvert on peut extraire un sous-recouvrement fini.

Un sous-ensemble \(K\) de l’espace \(X\) est dit compact s’il est compact pour la topologie induite.

Une partie \(A\) de \(X\) est dite relativement compacte si sa fermeture \(\overline A\) est compacte.
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Comparaison des fonctions usuelles
[ Proposition ]
Soient \(\alpha\), \(\beta\) et \(\gamma\) des réels strictement positifs.
  • En \(+\infty\) : \[\boxed{\left(\ln x \right)^\gamma = \underset{x \rightarrow +\infty}{o}\left(x^\alpha\right)} \quad \textrm{ et} \quad\boxed{x^\alpha = \underset{x \rightarrow +\infty}{o}\left(e^{\beta x}\right)}\]

  • En \(0\) et en \(-\infty\) : \[\boxed{\left|\ln x \right|^\gamma = \underset{x \rightarrow 0}{o}\left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle x^\alpha}\right)} \quad \textrm{ et} \quad\boxed{e^{\beta x} = \underset{x \rightarrow -\infty}{o}\left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle x^\alpha}\right)}\]

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Comparaison des suites de référence
[ Théorème ]
Soient \(a>1\), \(\alpha>0\) et \(\beta>0\). \[\boxed{\left(\ln n\right)^\beta = \underset{n \rightarrow +\infty}{o}\left(n^\alpha\right)} \quad \quad \quad \boxed{n^\alpha = \underset{n \rightarrow +\infty}{o}\left(a^n\right)} \quad \quad \quad \boxed{a^n = \underset{n \rightarrow +\infty}{o}\left(n!\right)} \quad \quad \quad \boxed{n! = \underset{n \rightarrow +\infty}{o}\left(n^n\right)}\]
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Comparaison logarithmique
[ Proposition ]
  1. Si \(\left(u_n\right)\) et \(\left(v_n\right)\) sont deux suites à termes et si, à partir d’un certain rang, \[\boxed{\dfrac{u_{n+1}}{u_n} \leqslant \dfrac{v_{n+1}}{v_n}}\] alors \(\boxed{u_n= \underset{n \rightarrow +\infty}{O}\left(v_n\right)}\).

  2. Soit \(\left(u_n\right)\) est une suite à termes . On a :

    1. \(\boxed{\dfrac{u_{n+1}}{u_n} \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} l < 1 \Rightarrow u_n \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} 0}\).

    2. \(\boxed{\dfrac{u_{n+1}}{u_n} \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} l > 1 \Rightarrow u_n \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} +\infty}\).

En savoir plus
Compatibilité des lois avec les congruences
[ Proposition ]
Soient quatre entiers \((a, b, c, d) \in \mathbb{Z}^{4}\) et un entier \(n \in \mathbb{N}^*\). On suppose que
  1. \(a \equiv b \; [n]\) ;

  2. \(c \equiv d \; [n]\).

Alors

  1. \(a+c \equiv b+d \; [n]\) ;

  2. \(a\times c \equiv b\times d \; [n]\) ;

  3. \(\forall k \in \mathbb{N}\), \(a^k \equiv b^k \; [n]\).

En savoir plus
complété
[ Definition ]
Un tel espace métrique complet est appelé complété de \(X\).
En savoir plus
complété projectif de \(H\)
[ Definition ]

Un hyperplan affine \(H\) de \(E\) ne passant pas par \(0\), identifié à l’ensemble des éléments de \(P(E)\) qui ne sont pas inclus dans \(\overrightarrow H\), comme précédemment, et complété par les points à l’infini correspondant à ses droites, est appelé complété projectif de \(H\).

Étant donné \(H\) un hyperplan affine de \(E\) ne passant pas par \(0\), \(\overrightarrow H\) est appelé l’hyperplan à l’infini du complété projectif de \(E\).
En savoir plus
complété projectif de \(H\)
[ Definition ]

Un hyperplan affine \(H\) de \(E\) ne passant pas par \(0\), identifié à l’ensemble des éléments de \(P(E)\) qui ne sont pas inclus dans \(\overrightarrow H\), comme précédemment, et complété par les points à l’infini correspondant à ses droites, est appelé complété projectif de \(H\).

Étant donné \(H\) un hyperplan affine de \(E\) ne passant pas par \(0\), \(\overrightarrow H\) est appelé l’hyperplan à l’infini du complété projectif de \(E\).
En savoir plus
Composante connexe
[ Definition ]
Avec \(x \in X\), la composante connexe de \(x\), notée \(C(x)\), est la réunion de tous les connexes contenant \(x\).
En savoir plus
Composante connexe par arcs
[ Definition ]
La composante connexe par arcs de \(x\) est la réunion de tous les connexes par arcs passant par \(x\); on la note \(C_a(x)\).
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composée
[ Proposition ]

Soient \(f\) et \(g\) admettant des développements limités en \(0\) à l’ordre \(n\).

Alors \(f+g\) et \(fg\) admettent des développements limités en \(0\) à l’ordre \(n\), et \(f/g\) aussi si \(g(0)\neq 0\).

\(\bullet\)Le développement limité de \(f+g\) est la somme des développements limités de \(f\) et \(g\).

\(\bullet\)Le développement limité de \(fg\) est le produit des développements limités de \(f\) et \(g\) (on peut tronquer les termes de degré \(>n\)).

\(\bullet\)Le développement limité du composé \(g\circ f\), si \(f(0)=0\), si \(f \equiv^n P\) et si \(g \equiv^n Q\), est \(Q\circ P\), valable à l’ordre \(n\) (les termes de degré \(>n\) passent dans \(o(x^n)\)).

\(\bullet\)Le développement limité de \(f/g\) est égal au développement limité du quotient des développements limités de \(f\) et \(g\).

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Composée de DLs
[ Proposition ]
Soient deux fonctions \(f\) et \(g\) définies au voisinage de \(0\). On suppose que
  1. La fonction \(f\) admet un DL d’ordre \(n\) en \(0\), \(f\left(x\right) = F\left(x\right) + \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^n\right)\)\(F\) est un polynôme de degré \(n\).

  2. La fonction \(g\) admet un DL d’ordre \(n\) en \(0\), \(g\left(x\right) = G\left(x\right) + \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^n\right)\)\(G\) est un polynôme de degré \(n\).

  3. \(\boxed{f(x)\xrightarrow[x \rightarrow 0]{} 0}\).

Alors la fonction composée \(g \circ f\) admet un DL d’ordre \(n\) en \(0\) de partie régulière obtenue en ne gardant que les termes de degré \(\leqslant n\) dans le polynôme \(G\circ F\).
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Composée de fonctions continues
[ Théorème ]
On considère une fonction \[f : \left\{ \begin{array}{ccl} U & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ (x,y) & \longmapsto & f(x,y) \end{array} \right.\] continue au point \((x_0, y_0) \in U\) et une fonction \[\varphi: \left\{ \begin{array}{ccl} V\subset \mathbb{R} [2] & \longrightarrow & U \\ (u,v) & \longmapsto & (x(u,v), y(u,v)) \end{array} \right.\] On suppose que les deux fonctions \(x : V \mapsto \mathbb{R}\) et \(y : V \mapsto \mathbb{R}\) sont continues au point \((u_0, v_0)\). Alors la composée : \[F : \left\{ \begin{array}{ccl} V & \longrightarrow & \mathbb{R} \newline (u,v) & \longmapsto & f(x(u,v), y(u,v)) \end{array} \right.\] est continue au point \((u_0, v_0)\).
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Composition de deux polynômes
[ Definition ]
Soient deux polynômes \(P\), \(Q\in\mathbb{K}\left[X\right]\). On suppose que \(P=a_0+a_1X+\dots+a_nX^n\). On définit le polynôme composé de \(Q\) par \(P\), noté \(P\circ Q\), par : \[P\circ Q = \sum_{k=0}^n a_k Q^k.\]
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Composition de limites
[ Théorème ]
Soient deux intervalles \(I \subset \mathbb{R}\), \(J \subset \mathbb{R}\) et deux fonctions \(f: I \rightarrow \mathbb{R}\) et \(g:J \rightarrow \mathbb{R}\) telles que \(f(I) \subset J\). Soient \(a\in \bar{I}\) et \(b\in\bar{J}\). On suppose que
  1. \(f\left(x\right) \xrightarrow[x\rightarrow a]{} b\)

  2. \(g\left(y\right) \xrightarrow[y\rightarrow b]{} l \in \overline{\mathbb{R}}\)

Alors \(\boxed{\left(g \circ f\right) (x) \xrightarrow[x\rightarrow a]{} l}\).
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Composition de morphismes de groupes
[ Proposition ]
  • La composée de deux morphismes de groupes est un morphisme de groupes.

  • La bijection réciproque d’un isomorphisme de groupes est un isomorphisme de groupes.

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Concavité du logarithme
[ Proposition ]
  1. Comparaison entre moyenne géométrique et arithmétique. Pour tous réels \(x_1,\dots, x_n > 0\) : \[(x_1\dots x_n)^{1/n} \leqslant\dfrac{x_1+\dots + x_n}{n}\]

  2. Inégalité de Young : pour deux réels \(a, b >0\) et deux réels \(p, q > 0\) vérifiant \(\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = 1\), \[ab \leqslant\dfrac{a^p}{p} + \dfrac{b^q}{q}\]

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Condition d’alignement de trois points dans le plan
[ Proposition ]
On se place dans le plan rapporté à un repère \(\mathcal{R}\) et on considère trois points \(M_1 \underset{}{\left|\begin{matrix} x_1 \\ y_1 \end{matrix}\right.}\), \(M_2 \underset{}{\left|\begin{matrix} x_2 \\ y_2 \end{matrix}\right.}\), \(M_3 \underset{}{\left|\begin{matrix} x_3 \\ y_3 \end{matrix}\right.}\). Ces trois points sont alignés si et seulement si \[\boxed{ \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ x_1 & x_2 & x_3 \newline y_1 & y_2 & y_3 \end{vmatrix} = 0 }\]
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condition de Hölder d’ordre \(\alpha\)
[ Definition ]
On dit qu’une application d’un métrique \(E\) dans \(\mathbb{C}\) vérifie la condition de Hölder d’ordre \(\alpha\) s’il existe \(C\) dans \(\mathbb{R}^+\) tel que pour tous \(x\) et \(y\) dans \(E\), \(| f(x)-f(y) | \leq C d(x,y)^\alpha\).

Étant donné \(\Omega\) un ouvert de \(\mathbb{R}^n\) et \(\alpha\) un réel appartenant à \(]0,1]\), on note \(Lip_\alpha(\Omega)\) l’ensemble des applications bornées de \(\Omega\) dans \(\mathbb{C}\) vérifiant la condition de Hölder d’ordre \(\alpha\) sur \(\Omega\).

Étant donné \(f\) dans \(Lip_\alpha(\Omega)\), on note \({\parallel}f {\parallel}_\alpha\) le réel \({\parallel}f {\parallel}_\infty + \sup_{x\neq y} \frac{|f(x)-f(y)|}{{\parallel}x-y {\parallel}^\alpha}\). Il s’agit d’une norme.

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Condition initiale
[ Definition ]
Soit \((t_0,y_0,y_1) \in I\times \mathbb{K}\times \mathbb{K}\). On dit que la solution \(\varphi\) de \((E)\) vérifie la condition initiale \((t_0,y_0,y_1)\) si à la fois \(\varphi(t_0)=y_0\) et \(\varphi'(t_0)=y_1\).
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Condition initiale
[ Definition ]
Soit \((t_0,y_0) \in I\times \mathbb{K}\). On dit que la solution \(\varphi\) de \((E)\) vérifie la condition initiale \((t_0,y_0)\) si et seulement si \(\boxed{\varphi(t_0)=y_0}\).
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Condition nécessaire d’un extremum relatif
[ Proposition ]
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\) de \(\mathbb{R}\) et soit \(a\) un point de \(I\) tel que
  1. Le point \(a\) est intérieur à l’intervalle, c’est-à-dire qu’il existe \(\alpha >0\) tel que \(]a-\alpha, a+\alpha[ \subset I\).

  2. Le point \(a\) est un extremum local de la fonction \(f\) sur \(I\).

  3. La fonction \(f\) est dérivable au point \(a\).

alors \(\boxed{f'(a)=0}\).
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Condition nécessaire du premier ordre
[ Théorème ]
Si \(x\) est un minimum relatif de \(f\) et si \(f\) est différentiable en \(x\), alors la différentielle de \(f\) en \(x\) est nulle.
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Condition nécessaire du premier ordre
[ Théorème ]
Si \(x\) est un minimum relatif de \(f\) et si \(f\) est différentiable en \(x\), alors la différentielle de \(f\) en \(x\) est nulle.
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Condition nécessaire du second ordre
[ Théorème ]

Soit \(f\) deux fois différentiable en \(x\).

Alors si \(f\) admet un minimum local en \(x\), \(f''(x)\) est positive.
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Condition nécessaire du second ordre
[ Théorème ]

Soit \(f\) deux fois différentiable en \(x\).

Alors si \(f\) admet un minimum local en \(x\), \(f''(x)\) est positive.
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Condition suffisante du second ordre
[ Théorème ]
Supposons \(E\) de dimension finie. Soit \(f\) deux fois différentiables en \(x\), \(f'(x)=0\), et \(f''(x)\) définie positive. Alors \(f\) admet un minimum relatif strict en \(x\).
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Condition suffisante du second ordre
[ Théorème ]
Supposons \(E\) de dimension finie. Soit \(f\) deux fois différentiables en \(x\), \(f'(x)=0\), et \(f''(x)\) définie positive. Alors \(f\) admet un minimum relatif strict en \(x\).
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Congruence
[ Definition ]
Considérons un entier strictement positif \(n \in \mathbb{N}^*\) et deux entiers \((a, b) \in \mathbb{Z}^{2}\). On dit que l’entier \(a\) est congru à l’entier \(b\) modulo \(n\), et l’on note \(a \equiv b \; [n]\) lorsque l’entier \(n\) divise l’entier \((b-a)\) : \[a \equiv b \; [n] \Longleftrightarrow n | (b - a).\]
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Conique
[ Definition ]
Soient \(\mathscr D\) une droite du plan, \(F\) un point du plan n’appartenant pas à \(\mathscr D\) et \(e\) un réel strictement positif. On appelle conique de foyer \(F\), de directrice \(\mathscr D\) et d’excentricité \(e\) la courbe \(\mathscr C\) formée des points \(M\) du plan vérifiant: \[\boxed{d(M,F)=e~d(M,\mathscr D)}\]
  • Si \(0<e<1\), on dit que \(\mathscr C\) est une ellipse.

  • Si \(e=1\), on dit que \(\mathscr C\) est une parabole.

  • Si \(e>1\), on dit que \(\mathscr C\) est une hyperbole.

La droite \(\Delta\) passant par \(F\) et orthogonale à \(\mathscr D\) est appelée l’axe focal.
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Conjecture d’Euler
[ Théorème ]
Soit \(a\) un entier non nul et \(p\) un nombre premier impair. Le fait que \(a\) soit résidu quadratique modulo \(p\) ou non ne dépend que de la classe de \(p\) modulo \(4a\).
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Conjecture d’Euler
[ Théorème ]
Soit \(a\) un entier non nul et \(p\) un nombre premier impair. Le fait que \(a\) soit résidu quadratique modulo \(p\) ou non ne dépend que de la classe de \(p\) modulo \(4a\).
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Conjugué d’un nombre complexe
[ Definition ]
Soit \(z=a+ib \in \mathbb{C}\), un nombre complexe. On appelle complexe conjugué de \(z\) que l’on note \(\bar z\) le nombre complexe défini par \(\boxed{\bar z=a-i\,b}\).
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connexe
[ Definition ]
Un espace topologique est dit connexe si les seuls sous-ensembles de \(X\) à la fois ouverts et fermés sont \(\emptyset\) et \(X\). Une partie d’un espace topologique est connexe si elle est connexe pour la topologie induite.
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Connexe par arcs
[ Definition ]

Un espace topologique est dit connexe par arcs si il existe un arc entre toute paire de points.

Une partie d’un espace topologique est dite connexe par arcs si elle est connexe par arcs pour la topologie induite.
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Connexité dans un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel normé
[ Proposition ]
Une partie ouverte d’un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel normé est connexe si et seulement si elle est connexe par arcs si et seulement si entre tout \(x\) et tout \(y\) de cette partie il existe une ligne brisée.
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Connexité par arcs des espaces projectifs de dimension \(\geq 1\)
[ Théorème ]
Un espace projectif de dimension \(\geq 1\) est connexe par arcs.
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Connexité par arcs des espaces projectifs de dimension \(\geq 1\)
[ Théorème ]
Un espace projectif de dimension \(\geq 1\) est connexe par arcs.
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Conséquence du lemme d’Abel
[ Théorème ]

Si la série \(\sum a_n.z^n\) est de rayon de convergence \(R\), alors :

\(\bullet\)pour tout \(z\) de module \(<R\) la série de terme général \(\sum a_n.z^n\) est absolument convergente.

\(\bullet\)pour tout \(z\) de module \(>R\) la série de terme général \(\sum a_n.z^n\) diverge, et en fait la suite \(a_n.z^n\) n’est même pas bornée.
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Consistance relative de \(AC\) et de \(\neg AC\)
[ Théorème ]
(\(AC\) désigne l’axiome du choix)

Si la théorie axiomatique de Zermelo-Fraenkel avec axiome de fondation est consistante, alors la théorie de Zermelo-Fraenkel avec axiome de fondation et axiome du choix est consistante.

Si la théorie axiomatique de Zermelo-Fraenkel est consistante, alors la théorie de Zermelo-Fraenkel avec axiome du choix est consistante.

D’autre part si la théorie de Zermelo-Fraenkel est consistante, alors la théorie de Zermelo-Fraenkel avec la négation de l’axiome du choix (i.e. en supposant qu’il existe un ensemble sur lequel on ne peut pas construire une relation de bon ordre) est consistante.

Enfin, si la théorie de Zermelo-Fraenkel avec axiome de fondation est consistante, alors la théorie de Zermelo-Fraenkel avec axiome de fondation et avec la négation de l’axiome du choix est consistante.
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Continuité à gauche
[ Definition ]
Soient \(f: I \rightarrow \mathbb{R}\) et \(a\in I\). On dit que \(f\) est continue à droite en \(a\) (respectivement à gauche en \(a\)) si et seulement si \(f(x) \xrightarrow[x \rightarrow a^+]{} f(a)\) (respectivement \(f(x) \xrightarrow[x \rightarrow a^-]{}f(a)\).
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Continuité de la composée de deux applications
[ None ]

Soient deux intervalles \(I \subset \mathbb{R}\), \(J \subset \mathbb{R}\) et deux fonctions \(f: I \rightarrow J\) et \(g:J \rightarrow \mathbb{R}\) telles que \(f(I) \subset J\). On suppose que

  1. \(f\) est continue en \(a\).

  2. \(g\) est continue en \(b=f(a)\).

alors \(g\circ f\) est continue en \(a\).
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Continuité des applications partielles
[ Proposition ]
Si \(f\) est continue au point \(M_0=(x_0,y_0)\), alors les deux applications partielles au point \(M_0\), \(f_1\) et \(f_2\) sont continues respectivement en \(x_0\) et \(y_0\).
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Continuité en un point
[ Definition ]
Soit \(f\) une fonction définie sur \(I\) et \(a\in I\). On dit que la fonction \(f\) est continue au point \(a\) si et seulement si \(f(x) \xrightarrow[x\rightarrow a]{} f(a)\) ce qui se traduit avec des quantificateurs par : \[\forall \varepsilon>0,~\exists \eta>0,~\forall x\in I,~\left|x-a\right|\leqslant\eta \Rightarrow \left|f\left(x\right)-f\left(a\right)\right|\leqslant\varepsilon\]
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Continuité en un point
[ Definition ]
Soit \(U \subset \mathbb{R} [2]\) un ouvert, \(M_0\in U\) et \(f : U \mapsto \mathbb{R}\). On dit que \(f\) est continue en \(M_0\) si et seulement si \[f\left(M\right)\xrightarrow[M\rightarrow M_0]{} f\left(M_0\right)\]
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Continuité jusqu’au bord du disque de convergence
[ Théorème ]
Soit \(f\) la somme d’une série entière \(\sum a_n.z^n\) de rayon de convergence \(R\in]0,\infty[\). On suppose que cette série converge en un point \(z_0\) de module \(R\). Alors la fonction \(f\) est continue sur le segment \([0,z_0]\) (= un rayon).
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Continuité ponctuelle
[ Definition ]

Soit \(f\) une application entre espaces topologiques. \(f\) est continue en \(x\) si et seulement si quel que soit \(V \in {\cal V}(f(x))\), l’image réciproque \(f^{-1}(V)\) est un voisinage de \(x\) (i.e. si \(\exists U \in {\cal V}(x) \mbox{ tel que } f(U) \subset V\)).

\(f\) est continue si \(f\) est continue en tout point.
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Continuité séquentielle
[ Definition ]
\(f\) est séquentiellement continue en \(x\) si et seulement si pour toute suite \(x_n\) convergeant vers \(x\) les \(f(x_n)\) convergent vers \(f(x)\).
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Continuité uniforme
[ Definition ]
Une application \(f\) d’un espace métrique dans un autre espace métrique est dite uniformément continue si, pour tout \(\epsilon >0\) il existe \(\alpha >0\) tel que, pour tout \((x,y) \in X^2\), \(d(x,y)<\alpha \rightarrow d(f(x),f(y))<\epsilon\).
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converge
[ Definition ]

Pour la définition de la limite d’une suite, on pourra consulter [topo], et notamment la topologie de \(\mathbb{N}\cup \{+\infty\}\).

Une suite converge vers un réel \(x\) si sa limite en \(+\infty\) est \(x\). Une suite diverge si et seulement si elle ne converge pas. \(\mathbb{R}\) étant séparé, la limite d’une suite est unique.

Une suite tend vers \(+\infty\) (resp. \(-\infty\)) si sa limite en \(+\infty\) est \(+\infty\) (resp. \(-\infty\)) dans \(\overline{\mathbb{R}}\).
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Convergence dominée de Lebesgue dans \(L^p\)
[ Théorème ]
On suppose ici \(p \neq +\infty\). Soit une suite \((f_n)\) de fonctions mesurables, telle que \[f_n(x) \to f(x) \mbox{ pour presque tout }x\] \[\exists g \in L^p / \forall (x,n) |f_n(x)| \leq g(x)\] alors la classe de \(f\) appartient à \(L^p\) et \(f_n\) tend vers \(f\) pour \(N^p\).
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Convergence d’une série géométrique
[ Théorème ]
  • On sait calculer une somme géométrique : \[\boxed{S_n=1+k+k^2+...+k^n= \begin{cases} \dfrac{1-k^{n+1}}{1-k} & \textrm{ si } k \neq 1 \newline n+1 & \textrm{ si } k = 1 \end{cases} }\]

  • Si \(\left|k\right|<1\), la suite \((S_n)\) converge vers le réel \(\dfrac{1}{1-k}\) et si \(\left|k\right|\geqslant 1\), la suite \((S_n)\) diverge.

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Convergence d’une suite géométrique
[ Théorème ]
Considérons la suite géométrique \(\left(k^n\right)\) de raison \(k\in \mathbb{R}\) et de premier terme \(1\).
  • Si \(k >1\), la suite \((k^n)\) diverge vers \(+\infty\).

  • Si \(k=1\), la suite \((k^n)\) est constante et tend vers \(1\).

  • Si \(\left|k\right| <1\), la suite \((k^n)\) converge vers \(0\).

  • Si \(k \leqslant-1\), la suite \((k^n)\) diverge.

En résumé la suite géométrique \((k^n)\) converge si et seulement si \(\lvert k \rvert < 1\) ou bien \(k = 1\).

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Convergence en loi
[ Definition ]
La convergence en loi ou en distribution de \(X_n\) (suite de variables aléatoires) vers \(X\) (variable aléatoire) est la convergence, pour toute fonction \(f\) continue bornée, de \(Ef(X_n)\) vers \(Ef(X)\).
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convergence simple
[ Definition ]
On dit qu’une suite \(f_n\) d’applications de \(X\) dans \(Y\) avec \(Y\) un espace topologique converge simplement vers \(f\) si pour tout \(x\) dans \(X\), \(f_n(x)\) tend vers \(f(x)\) pour \(n\) tendant vers \(+\infty\).
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Convergence uniforme
[ Definition ]
Une suite d’applications \(f_n\) de \(X\) dans \(Y\) avec \(X\) et \(Y\) espaces métriques converge uniformément vers \(f\) application de \(X\) dans \(Y\) si \[lim_{n \rightarrow + \infty} sup_{x \in X} d(f_n(x),f(x)) = 0\]
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converge presque partout
[ Definition ]
Soit \(f_n\) une suite de fonctions de \(X\) dans \(Y\), avec \(X\) un espace mesuré, et \(Y\) un espace topologique.

On dit que \(f_n\) converge presque partout vers \(f\) s’il existe \(N\) négligeable inclus dans \(X\) tel que \(f_n\) converge simplement vers \(f\) sur le complémentaire de \(N\).

Soit \(f_n\) une suite de fonctions de \(X\) dans \(\mathbb{C}\) avec \(X\) un espace mesuré.

On dit que \(f_n\) converge en mesure vers \(f\) si pour tout \(\epsilon\) la limite pour \(n\to\infty\) de la mesure de \(\{x ; |f_n(x)-f(x)|>\epsilon\}\) est nulle.

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converge uniformément
[ Definition ]

On dit qu’une suite \((f_n)\) d’applications de \(X\) dans \(Y\) avec \(Y\) un espace métrique converge uniformément vers \(f\) si pour tout \(\epsilon\) positif il existe \(N\) tel que pour tout \(n\geq N\) et tout \(x\) dans \(X\), \(d(f(x),f_n(x)) < \epsilon\).

Étant donnée \({\cal S}\) une partie de \(P(X)\), on dit que la suite \((f_n)\) de fonctions de \(X\) dans \(Y\) (avec \(Y\) un espace métrique) est uniformément convergente sur les éléments de \({\cal S}\) si pour tout \(L\in {\cal S}\) la suite \(({f_n}_{|L})\) est uniformément convergente sur \(L\).
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converge uniformément
[ Definition ]
On dit qu’une suite \(f_n\) d’applications de \(X\) dans \(Y\) avec \(Y\) un espace métrique converge uniformément vers \(f\) si pour tout \(\epsilon\) positif il existe \(N\) tel que pour tout \(n\geq N\) et tout \(x\) dans \(X\) \(d(f(x),f_n(x)) < \epsilon\).
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converge vers \(x\in E\)
[ Definition ]
On se place dans un espace vectoriel normé \(E\). On note \(x_n \rightharpoonup x\) le fait que la suite \(x_n\) d’élément de \(E\) converge vers \(x\in E\) pour la topologie faible. On note \(x_n \to x\) la convergence de \(x_n\) vers \(x\) pour la topologie de la norme, et \(f_n \to f\) dans \(E'\) pour la convergence de \(f_n\) vers \(f\) pour la topologie forte. On pourra aussi qualifier de convergence forte la convergence dans \(E\) pour la norme.
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convexe
[ Definition ]
Une fonction \(f\) définie sur un convexe \(U\) d’un espace vectoriel à valeurs dans \(\mathbb{R}\) est dite convexe (resp. strictement convexe) si \[\forall (u,v,t)\in U^2\times[0,1] f(tu+(1-t)v)\leq tf(u)+(1-t)f(v)\] \[\mbox{(resp.)} \forall (u,v,t)\in U^2\times]0,1[ u\neq v \Rightarrow f(tu+(1-t)v) < tf(u)+(1-t)f(v)\]
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Convexité dans un espace vectoriel
[ Definition ]
On appelle segment d’extrémités \(x\) et \(y\) dans un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel l’ensemble des \(t.x+(1-t).y\) pour \(t \in [0,1]\). (la définition s’étend au cas d’un \(\mathbb{C}\)-espace vectoriel en utilisant \(t\) réel dans \([0,1]\)).

Une partie \(A\) d’un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel (avec \(\mathbb{K}=\mathbb{R}\) ou \(\mathbb{K}=\mathbb{C}\)) est dite convexe si tout segment d’extrémités dans \(A\) est inclus dans \(A\).

Étant donnée \(A\) une partie convexe d’un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel une application \(f\) de \(A\) dans \(\mathbb{R}\) est dite convexe si étant donnés \(x\) et \(y\) dans \(A\) et \(t\) dans \([0,1]\) on a \(f(t.x+(1-t).y)\leq t.f(x).(1-t).f(y)\). L’application \(-f\) est alors dite concave.
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coordonnées
[ Definition ]
Étant donnée une base \((e_i)\) d’un espace vectoriel \(F\) et un élément \(x\) de \(F\), il existe une unique famille \(({\lambda}_i)\) de support fini telle que \(x=\sum {\lambda}_i e_i\). Les \({\lambda}_i\) sont appelés coordonnées du vecteur \(x\).
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Coordonnées cartésiennes d’un vecteur
[ Proposition ]
Soit \((O,\overrightarrow{\imath },\overrightarrow{\jmath })\)un repère du plan \(\mathscr P\).
  • Soit \(\overrightarrow{u}\) un vecteur de \(\mathscr V\)et \((\overrightarrow{\imath}, \overrightarrow{\jmath})\) une base de \(\mathscr V\). Il existe un unique couple de réels \((x,y)\) tel que \[\overrightarrow{u}=x\overrightarrow{\imath}+y\overrightarrow{\jmath}.\] Ce couple \((x,y)\) représente les coordonnées ( ou les composantes) du vecteur \(\overrightarrow{u}\) dans la base \((\overrightarrow{\imath}, \overrightarrow{\jmath})\). On notera cela sous une des formes suivantes: \[\overrightarrow{u} (x,y), \quad \overrightarrow{u} \left|\begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right. \quad \textrm{ ou} \quad \overrightarrow{u} \left(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right).\]

  • Soit \(M\) un point du plan \(\mathscr P\) et \((O,\overrightarrow{\imath },\overrightarrow{\jmath })\)un repère \(\mathscr R\) de \(\mathscr P\). Il existe un unique couple de réels \((x,y)\) tel que \[\overrightarrow{OM}=x\overrightarrow{\imath}+y\overrightarrow{\jmath}.\] Ce couple \((x,y)\) représente les coordonnées du point \(M\) dans le repère \(\mathscr R\). De même que précédemment, on écrira: \[M (x;y), \quad M \left|\begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right. \quad \textrm{ ou} \quad M \left(\begin{matrix} x \newline y \end{matrix} \right).\]

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Coordonnées d’un point dans un repère cartésien
[ Proposition ]
Soit \(\mathscr R\left(O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k}\right)\) un repère cartésien de l’espace. Soit \(M\in\mathscr E\) un point de l’espace. Il existe un unique triplet \(\left(\alpha,\beta,\gamma\right)\in\mathbb{R}^3\) tel que \(\overrightarrow{OM}=\alpha \overrightarrow{i} + \beta \overrightarrow{j} + \gamma \overrightarrow{k}\). Ce triplet s’appelle les coordonnées de \(M\) dans le repère \(\mathscr R\). On le note : \[M \left|\begin{matrix} \alpha \\ \beta \end{matrix} \right.{\gamma} \textrm{ ou } M \left(\begin{matrix} \alpha \newline \beta \end{matrix} \right){\gamma} \textrm{ ou aussi } M(\alpha,\beta,\gamma)\]
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Coordonnées d’un vecteur dans une base de l’espace
[ Proposition ]
Soit \((\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v},\overrightarrow{w})\) une base de \(\mathscr V\). Tout vecteur \(\overrightarrow{x}\) de \(\mathscr V\) s’exprime comme une combinaison linéaire unique des \(3\) vecteurs \(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}\) et \(\overrightarrow{w}\) c’est-à-dire : \[\forall x\in\mathscr V,\quad \exists ! (\alpha,\beta,\gamma)\in\mathbb{R}^3:\quad \overrightarrow{x}=\alpha\overrightarrow{u}+\beta \overrightarrow{v}+\gamma \overrightarrow{w}\] Le triplet \((\alpha,\beta,\gamma)\) est appelé coordonnées de \(\overrightarrow{x}\) dans la base \(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w})\). On notera : \[\overrightarrow{x} \left|\begin{matrix} \alpha \\ \beta \end{matrix} \right.{\gamma} \textrm{ ou } \overrightarrow{x} \left(\begin{matrix} \alpha \newline \beta \end{matrix} \right){\gamma} \textrm{ ou aussi } \overrightarrow{x}(\alpha,\beta,\gamma)\]
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Coordonnées homogènes
[ Proposition ]
Les coordonnées homogènes dans un repère donné sont uniques à multiplication par un scalaire non nul près.
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Coordonnées homogènes
[ Proposition ]
Les coordonnées homogènes dans un repère donné sont uniques à multiplication par un scalaire non nul près.
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Coordonnées polaires d’un point
[ Definition ]
On rapporte le plan \(\mathscr P\) à un repère orthonormal direct \(\mathscr R\)\((O,\overrightarrow{\imath },\overrightarrow{\jmath})\). On dit que \(\left(r,\theta\right)\in\mathbb{R}^2\) est un couple de coordonnées polaires pour le point \(M\left(x,y\right) \in \mathscr P\) si et seulement si \(\boxed{\left\{\begin{array}{c} x=r\,\cos \theta \newline y=r\,\sin \theta \end{array}\right.}\)
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Corollaire des deux théorèmes précédents
[ None ]
Tout espace de Hilbert est isomorphe à \(l^2(I)\) pour un certain \(I\).
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corps
[ Definition ]
Un anneau \((K,+,.)\) est un corps si et seulement si le groupe des unités est \(K-\{0\}\).

Un corps est dit commutatif si l’anneau sous-jacent est commutatif, c’est-à-dire si la multiplication est commutative.

On appelle caractéristique d’un corps \(k\) le plus petit \(n\in \mathbb{N}\), s’il existe, tel que \(0=1+1+1+\dots+1\) (\(n\) fois). On dit que la caractéristique est nulle en cas contraire.
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corps
[ Definition ]
Un anneau \((K,+,.)\) est un corps si et seulement si le groupe des unités est \(K-\{0\}\).
Un corps est dit commutatif si l’anneau sous-jacent est commutatif, c’est-à-dire si la multiplication est commutative.
On appelle caractéristique d’un corps \(k\) le plus petit \(n\in \mathbb{N}\), s’il existe, tel que \(0=1+1+1+\dots+1\) (\(n\) fois). On dit que la caractéristique est nulle en cas contraire.
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Corps
[ Definition ]
On considère un ensemble \(K\) muni de deux lois de composition interne, notées \(+\) et \(\times\). On dit que \((K,+,\times)\) est un corps si et seulement si :
  1. \((K,+,\times)\) est un anneau intègre ;

  2. \((K\setminus\{0\},\times)\) est un groupe commutatif.

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Corps de Galois
[ Théorème ]
Quel que soit \(p\) premier, quel que soit \(n\) dans \(\mathbb{N}\) non nul, il existe un unique corps, à isomorphisme près, de cardinal \(p^n\). Tout corps fini est de cette forme.
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Corps de Galois
[ Théorème ]
Quel que soit \(p\) premier, quel que soit \(n\) dans \(\mathbb{N}\) non nul, il existe un unique corps, à isomorphisme près, de cardinal \(p^n\). Tout corps fini est de cette forme.
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corps des fractions rationnelles
[ Definition ]
On appelle corps des fractions rationnelles pour un corps \(\mathbb{K}\) le corps des fractions de \(\mathbb{K}[X]\). Intuitivement, il s’agit des quotients de polynômes formels.
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Corps des nombres complexes
[ Definition ]
Nous appellerons corps des nombres complexes que nous noterons \(\mathbb{C}\), l’ensemble \(\mathbb{R}^2\) muni des deux lois internes \(\oplus\) et \(\otimes\) définies de la façon suivante. Pour tous couples \(\left(a,b\right),~ \left(a',b'\right)\in \mathbb{R}^2\), on pose \[(a,b)\oplus(a',b')=(a+a',b+b')\] \[(a,b)\otimes(a',b')=(aa'-bb', ab'+a'b)\]
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cosinus
[ Definition ]
 

\(\bullet\)On appelle cosinus et l’on note \(z\mapsto \cos z\)l’application qui à \(z\in\mathbb{C}\) associe \(\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}=\sum_{n\in \mathbb{N}} (-1)^n\frac{z^{2n}}{(2n)!}\).

\(\bullet\)On appelle sinus et l’on note \(z\mapsto \sin z\) l’application qui à \(z\in\mathbb{C}\) associe \(\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}=\sum_{n\in \mathbb{N}} (-1)^n\frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}\).
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courbe
[ Definition ]

On appelle courbe une application continue d’un intervalle \([a,b]\) de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{C}\).

On appelle chemin une application continue \(C^1\) par morceaux d’un intervalle \([a,b]\) de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{C}\).

Une courbe ou un chemin \(\gamma\) est dit fermé si \(\gamma(a)=\gamma(b)\).

Étant donné \(\gamma\) une courbe, on note \(\gamma^*\) l’image de \([a,b]\) par \(\gamma\).

Étant donné \(\gamma\) un chemin et \(f\) une fonction continue sur \(\gamma^*\), on note \(\int_\gamma f(z).dz\) l’intégrale \(\int_{[a,b]} f(t).\gamma'(t).dt\), on appelle cette intégrale l’intégrale de \(f\) le long de \(\gamma\).

Deux chemins \(\gamma\) et \(\tilde{\gamma}\) sont dits équivalents, si pour toute fonction \(f\) continue sur \(\gamma^*\) et \(\tilde{\gamma}^*\) l’intégrale de \(f\) le long de \(\gamma\) est égale à l’intégrale de \(f\) le long de \(\tilde{\gamma}\).

La longueur d’un chemin \(\gamma\) est \(\displaystyle\int_a^b|\gamma'(t)|\,dt\).

On appelle indice de \(z\) pour \(z\in \Omega\) par rapport à \(\gamma\), avec \(\Omega\) le complémentaire de \(\gamma^*\), le complexe \[Ind_\gamma(z)=\frac{1}{2i\pi}\int_\gamma\frac{dt}{t-z}\]
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courbe
[ Definition ]

On appelle courbe une application continue d’un intervalle \([a,b]\) de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{C}\).

On appelle chemin une application continue \(C^1\) par morceaux d’un intervalle \([a,b]\) de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{C}\).

Une courbe ou un chemin \(\gamma\) est dit fermé si \(\gamma(a)=\gamma(b)\).

Etant donné \(\gamma\) une courbe, on note \(\gamma^*\) l’image de \([a,b]\) par \(\gamma\).

Etant donné \(\gamma\) un chemin et \(f\) une fonction continue sur \(\gamma^*\), on note \(\int_\gamma f(z).dz\) l’intégrale \(\int_{[a,b]} f(t).\gamma'(t).dt\), on appelle cette intégrale l’intégrale de \(f\) le long de \(\gamma\).

Deux chemins \(\gamma\) et \(\tilde{\gamma}\) sont dits équivalents, si pour toute fonction \(f\) continue sur \(\gamma^*\) et \(\tilde{\gamma}^*\) l’intégrale de \(f\) le long de \(\gamma\) est égale à l’intégrale de \(f\) le long de \(\tilde{\gamma}\).

La longueur d’un chemin \(\gamma\) est \(\displaystyle\int_a^b|\gamma'(t)|\,dt\).

On appelle indice de \(z\) pour \(z\in \Omega\) par rapport à \(\gamma\), avec \(\Omega\) le complémentaire de \(\gamma^*\), le complexe \[Ind_\gamma(z)=\frac{1}{2i\pi}\int_\gamma\frac{dt}{t-z}\]

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Covariance et variance
[ Definition ]

Étant donnée \(X\) une variable aléatoire , on définit la déviation de \(X\) par \[\tilde X=X-E(X).\]

Étant données \(X\) et \(Y\) des variables aléatoires dans \(L^2\), on définit la covariance de \(X\) et \(Y\) par \[Cov(X,Y)=E( \tilde X.\tilde Y).\] Étant donnée \(X\) une variable aléatoire dans \(L^2\), on définit la variance de \(X\) par \[Var(X)=Cov(X,X).\] Le produit scalaire de deux variables aléatoires \(X\) et \(Y\) de \(L^2\) est l’espérance de \(X.Y\) (comme dans le cadre d’un espace \(L^2\) quelconque), noté parfois \(\).

On appelle corrélation entre deux variables aléatoires \(X\) et \(Y\) de normes \(N_2\) non nulles le réel de \([-1,1]\) \(cor(X,Y) = \frac{<\tilde X|\tilde Y>}{N_2(\tilde X).N_2(\tilde Y)}\). On dit que deux variables sont décorrélées ou non-corrélées lorsque leur corrélation est nulle. On appelle angle entre deux variables aléatoires \(X\) et \(Y\) de normes \(N_2\) non nulles le réel \(\theta\) appartenant à \([0,\pi]\) tel que \(cos(\theta)=\frac{<X|Y>}{N_2(X).N_2(Y)}\).

Plus généralement, deux variables aléatoires sont dites non corrélées si leur covariance est nulle (sans forcément que leur corrélation soit bien définie donc).

On appelle matrice de covariance d’un suite finie de variables aléatoires \((X_1,...,X_d)\) la matrice symétrique \(M\) définie par \(M_{i,j}=cov(X_i,X_j)\).
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Critère de convergence d’une suite
[ Proposition ]
Soit \(\left(u_n\right)\) une suite et \(l\in\overline{\mathbb{R}}\). On suppose que :
  1. \(u_{2n}\xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} l\)

  2. \(u_{2n+1}\xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} l\)

alors \(u_n \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} l\).
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Critère de D’Alembert
[ None ]
Si \((u_n)\) est une série à termes positifs telle que \(u_{n+1}/u_n\) tend vers \(k\), alors si \(k<1\) la série converge, et si \(k>1\), alors la série diverge.
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Critère de divergence d’une suite
[ None ]
Soit \((u_n)\) une suite réelle. On suppose qu’il existe deux suites extraites \(u_{\varphi(n)}\) et \(u_{\widetilde \varphi(n)}\) telles que:
  1. \(u_{\varphi(n)} \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} l_1 \in \mathbb{R}\),

  2. \(u_{\widetilde\varphi(n)} \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} l_2 \in \mathbb{R}\),

  3. \(l_1 \neq l_2\).

Alors la suite \((u_n)\) est divergente.
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Critère pour reconnaître les matrices de \({O}_{n}^{+}(\mathbb{R} )\)
[ Proposition ]
Soit une matrice orthogonale \(A \in \mathrm{O}_{n}(\mathbb{R} )\). Soit un coefficient \(a_{ij} \neq 0\) de la matrice \(A\) et \(A_{ij}\) le cofacteur associé.
  1. Si \(A \in {O}_{n}^{+}(\mathbb{R} )\), alors \(a_{ij} = A_{ij}\) ;

  2. si \(A \in \mathrm{O}_{n}^{-}(\mathbb{R} )\), alors \(a_{ij} = - A_{ij}\).

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cube de Hilbert
[ Definition ]
On appelle cube de Hilbert l’espace produit \([0,1]^\mathbb{N}\), muni de la topologie produit (\([0,1]\) étant muni de la topologie usuelle sur les segments de réels).
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Cycle
[ Definition ]
Soit une permutation \(\sigma \in \mathfrak{S}\left(E\right)\). On dit que \(\sigma\) est un cycle s’il y a au plus une orbite qui n’est pas réduite à un élément. Cette orbite s’appelle le support du cycle, et le cardinal de cette orbite s’appelle la longueur du cycle.
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cyclique
[ Definition ]
Un groupe est cyclique s’il contient un élément qui l’engendre : un générateur.
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