Lexique mathématique

Lexique mathématique

B
Banach et Tarski
[ Théorème ]
\(\bullet\)Il existe un ensemble \(F\) inclus dans la sphère unité \(S^2\) de \(\mathbb{R}^3\) tel que pour tout \(k\geq 3\) (éventuellement \(k=\infty\)), \(S^2\) est la réunion disjointe de \(k\) images de \(F\) par des rotations. Façon amusante de constater qu’on ne peut pas mesurer n’importe quoi... Ce théorème montre surtout qu’il n’existe pas sur \(\mathbb{R}^3\) de mesure invariante par isométrie pour laquelle toutes les parties soient mesurables. La démonstration nécessite l’axiome du choix. \(\bullet\)On peut même aller plus loin et étant donné \(A\) et \(B\) d’intérieurs non vides de \(\mathbb{R}^3\), on peut décomposer \(A\) en une réunion finie de parties \(A_i\), et \(B\) en une réunion de parties \(B_i\), chaque \(B_i\) étant l’image de \(A_i\) par une isométrie affine.
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Base
[ Definition ]
Une base d’un espace vectoriel \(E\) est une famille libre et génératrice.
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Base
[ Definition ]
  • Un couple de vecteur \((\overrightarrow{\imath}, \overrightarrow{\jmath})\) de \(\mathscr V\)est une base de \(\mathscr V\)si et seulement si ces deux vecteurs sont non colinéaires.

  • Une base est dite orthogonale si les deux vecteurs la composant sont orthogonaux.

  • Elle est dite orthonormale si elle est orthogonale et si les deux vecteurs la composant sont de plus unitaires.

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base associée à \((e_1,...,e_n)\)
[ Definition ]
La base donnée par le théorème précédent est appelée base associée à \((e_1,...,e_n)\).
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Base de l’espace
[ Definition ]
Un triplet de vecteurs de \(\mathscr V\): \((\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v},\overrightarrow{w})\) est une base de \(\mathscr V\) si il est formé de trois vecteurs non coplanaires.
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Base dénombrable d’ouverts
[ Definition ]
\(X\) est à base dénombrable d’ouverts si on peut trouver une base d’ouverts qui soit dénombrable.
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Base de voisinages
[ Definition ]
Soit \(x \in X\), une famille \({\cal B}(x)\) de voisinages de \(x\) est une base de voisinages de \(x\) si pour tout \(V \in {\cal V}(x)\) il existe \(V' \in {\cal B}(x)\) avec \(V' \subset V\).
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Base d’ouverts
[ Definition ]
Soit \(X\) un espace topologique. Une famille \({\cal B}\) d’ouverts de \(X\) est une base d’ouverts si tout ouvert est une réunion d’éléments de \({\cal B}\).
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Base hilbertienne
[ Definition ]

On appelle base hilbertienne d’un espace de Hilbert \(H\) une famille \((x_i)_{i\in I}\) telle que:

\(\bullet\)la famille des \(x_i\) est orthonormale

\(\bullet\)pour tout \(x\) dans \(H\), \(x=\sum_{i\in I} <x_i|x> x_i\)
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Base orthogonale
[ Definition ]
Soit \(\mathscr B(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v},\overrightarrow{w})\) une base de \(\mathscr V\). Si les vecteurs \(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\) sont deux à deux orthogonaux, on dit que la base \(\mathscr B\) est orthogonale. Si ils sont de plus unitaires, on dit que \(\mathscr B\) est orthonormale.
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Bézout
[ Corollaire ]
Soient \(a,b\in{ \mathbb Z}\). Alors \[a\,{ \mathbb Z}+ b\,{ \mathbb Z}= \mbox{PGCD}(a,b) \,{ \mathbb Z}.\] En particulier, on a équivalence entre
  • Les entiers \(a\) et \(b\) sont premiers entre eux.

  • On a \(a{ \mathbb Z}+ b{ \mathbb Z}= { \mathbb Z}\).

  • L’équation \(ax + by =1\) admet une solution \((x,y)\in{ \mathbb Z}^2\).

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Bidual
[ Théorème ]
L’application \[x\mapsto \left(\phi \mapsto \phi(x)\right)\] c’est-à-dire \(x\mapsto x^{**}\) avec \(x^{**}=\phi\mapsto \phi(x)\), de \(E\) dans \(E^{**}\) qui à \(x\) associe la fonction qui à \(\phi\) dans \(E^*\) associe \(\phi(x)\) est un isomorphisme; on l’appelle isomorphisme canonique de \(E\) dans \(E^{**}\). On peut donc identifier, via cet isomorphisme, \(E\) et \(E^{**}\).
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Bidual
[ Théorème ]
L’application \[x\mapsto \left(\phi \mapsto \phi(x)\right)\] c’est-à-dire \(x\mapsto x^{**}\) avec \(x^{**}=\phi\mapsto \phi(x)\), de \(E\) dans \(E^{**}\) qui à \(x\) associe la fonction qui à \(\phi\) dans \(E^*\) associe \(\phi(x)\) est un isomorphisme; on l’appelle isomorphisme canonique de \(E\) dans \(E^{**}\). On peut donc identifier, via cet isomorphisme, \(E\) et \(E^{**}\).
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Bilinéarité du déterminant
[ Proposition ]
Le déterminant est bilinéaire: pour tous \(\overrightarrow{u}\), \(\overrightarrow{u_1}\), \(\overrightarrow{u_2}\), \(\overrightarrow{v}\), \(\overrightarrow{v_1}\), \(\overrightarrow{v_2}\) de \(\mathscr V\) et pour tous réels \(\lambda_1\), \(\lambda_2\), on a \[\boxed{\mathop{\rm det}(\overrightarrow{u}, \lambda_1 \overrightarrow{v_1}+\lambda_2 \overrightarrow{v_2})=\lambda_1\mathop{\rm det}(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v_1})+\lambda_2\mathop{\rm det}(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v_2})} \quad \textrm{ et} \quad\boxed{\mathop{\rm det}(\lambda_1 \overrightarrow{u_1}+\lambda_2 \overrightarrow{u_2},\overrightarrow{v})=\lambda_1\mathop{\rm det}(\overrightarrow{u_1} ,\overrightarrow{v})+\lambda_2\mathop{\rm det}(\overrightarrow{u_2} ,\overrightarrow{v}).}\]
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Bilinéarité du produit scalaire
[ Proposition ]
[] Le produit scalaire est bilinéaire. Ce qui signifie que pour tous vecteurs \(\overrightarrow{u}\), \(\overrightarrow{u_1}\), \(\overrightarrow{u_2}\), \(\overrightarrow{v}\), \(\overrightarrow{v_1}\), \(\overrightarrow{v_2}\) de \(\mathscr V\) et pour tous réels \(\lambda_1\), \(\lambda_2\) \[\boxed{\overrightarrow{u} .(\lambda_1 \overrightarrow{v_1}+\lambda_2 \overrightarrow{v_2})=\lambda_1\overrightarrow{u} .\overrightarrow{v_1}+\lambda_2\overrightarrow{u} .\overrightarrow{v_2}} \quad \textrm{ et} \quad \boxed{(\lambda_1 \overrightarrow{u_1}+\lambda_2 \overrightarrow{u_2}).\overrightarrow{v}=\lambda_1\overrightarrow{u_1} .\overrightarrow{v}+\lambda_2\overrightarrow{u_2} .\overrightarrow{v}}\]
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Bilinéarité du produit scalaire
[ Proposition ]
Le produit scalaire est bilinéaire: pour tous vecteurs \(\overrightarrow{u}\), \(\overrightarrow{u_1}\), \(\overrightarrow{u_2}\), \(\overrightarrow{v}\), \(\overrightarrow{v_1}\), \(\overrightarrow{v_2}\) de \(\mathscr V\) et pour tous réels \(\lambda_1\), \(\lambda_2\) \[\boxed{\overrightarrow{u} .(\lambda_1 \overrightarrow{v_1}+\lambda_2 \overrightarrow{v_2})=\lambda_1\overrightarrow{u} .\overrightarrow{v_1}+\lambda_2\overrightarrow{u} .\overrightarrow{v_2}} \quad \textrm{ et} \quad \boxed{(\lambda_1 \overrightarrow{u_1}+\lambda_2 \overrightarrow{u_2}).\overrightarrow{v}=\lambda_1\overrightarrow{u_1} .\overrightarrow{v}+\lambda_2\overrightarrow{u_2} .\overrightarrow{v}}\]
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Borné
[ Definition ]

Soit \(E\) un espace normé. Un sous-ensemble \(A \subset E\) est dit borné si \(sup \{ \parallel x \parallel | x \in A \} < + \infty\).

On dit que l’application \(f\) est bornée sur \(B\) si et seulement si \(f(B)\) est borné.
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bornée
[ Definition ]
On dit d’une partie \({\cal F}\) de \(H(\Omega)\) qu’elle est bornée si pour tout compact \(K\) de \(\Omega\) il existe une certaine constante \(C_K\) telle que pour toute \(f\) dans \({\cal F}\) et tout \(k\) dans \(K\), \(|f(k)|\leq C_K\).
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Boules
[ Definition ]

Si \(x\) est un point de l’espace métrique \(X\) et \(r \in [0,+\infty[\), on appelle boule ouverte (resp. fermée) de centre \(x\) et de rayon \(r\), l’ensemble des \(y\) tels que \(d(x,y)<r\) (resp. \(d(x,y) \leq r\)).

On appelle sphère de l’espace métrique \(X\) de centre \(x\) et de rayon \(r\) l’ensemble des \(y\) tels que \(d(x,y)=r\).
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Branche infinie
[ Definition ]
On dit que l’arc \((I,\overrightarrow{F})\) possède une branche infinie en \(t_0\) lorsque \(\lVert \overrightarrow{F}(t) \rVert_{ } \xrightarrow[t \rightarrow t_0]{} +\infty\).
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Brouwer
[ None ]
Toute application continue d’une boule unité fermée de \(\mathbb{R}^n\) dans elle-même comporte un point fixe.
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Brouwer
[ None ]
Toute application continue d’une boule unité fermée de \(\mathbb{R}^n\) dans elle-même comporte un point fixe.
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