Lexique mathématique
B
Banach et Tarski
[ Théorème ]
\(\bullet\)Il existe un ensemble \(F\) inclus dans la sphère unité \(S^2\) de \(\mathbb{R}^3\) tel que pour tout \(k\geq 3\) (éventuellement \(k=\infty\)), \(S^2\) est la réunion disjointe de \(k\) images de \(F\) par des rotations. Façon amusante de constater qu’on ne peut pas mesurer n’importe quoi... Ce théorème montre surtout qu’il n’existe pas sur \(\mathbb{R}^3\) de mesure invariante par isométrie pour laquelle toutes les parties soient mesurables. La démonstration nécessite l’axiome du choix.
\(\bullet\)On peut même aller plus loin et étant donné \(A\) et \(B\) d’intérieurs non vides de \(\mathbb{R}^3\), on peut décomposer \(A\) en une réunion finie de parties \(A_i\), et \(B\) en une réunion de parties \(B_i\), chaque \(B_i\) étant l’image de \(A_i\) par une isométrie affine.
En savoir plus
Base
[ Definition ]
Un couple de vecteur \((\overrightarrow{\imath}, \overrightarrow{\jmath})\) de \(\mathscr V\)est une base de \(\mathscr V\)si et seulement si ces deux vecteurs sont non colinéaires.
Une base est dite orthogonale si les deux vecteurs la composant sont orthogonaux.
Elle est dite orthonormale si elle est orthogonale et si les deux vecteurs la composant sont de plus unitaires.
Base
[ Definition ]
Une base d’un espace vectoriel \(E\) est une famille libre et génératrice.
En savoir plus
Base associée à \((e_1,...,e_n)\)
[ Definition ]
La base donnée par le théorème précédent est appelée base associée à \((e_1,...,e_n)\).
En savoir plus
Base canonique de \(\mathfrak{M}_{q,p}\left(\mathbb{K}\right)\)
[ Théorème ]
La famille formée par les matrices élémentaires \(\left(E_{i,j}\right)_{
\left(i,j\right)\in\llbracket 1,q\rrbracket\times\llbracket 1,p\rrbracket}\) est une base de \(\mathfrak{M}_{q,p}\left(\mathbb{K}\right)\) appelée base canonique de \(\mathfrak{M}_{q,p}\left(\mathbb{K}\right)\). On en déduit que : \[\boxed{\dim \mathfrak{M}_{q,p}\left(\mathbb{K}\right)=qp}\]
En savoir plus
Base de l’espace
[ Definition ]
Un triplet de vecteurs de \(\mathscr V\): \((\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v},\overrightarrow{w})\) est une base de \(\mathscr V\) si il est formé de trois vecteurs non coplanaires.
En savoir plus
Base dénombrable d’ouverts
[ Definition ]
\(X\) est à base dénombrable d’ouverts si on peut trouver une base d’ouverts qui soit dénombrable.
En savoir plus
Base de voisinages
[ Definition ]
Soit \(x \in X\), une famille \({\cal B}(x)\) de voisinages de \(x\) est une base de voisinages de \(x\) si pour tout \(V \in {\cal V}(x)\) il existe \(V' \in {\cal B}(x)\) avec \(V' \subset V\).
En savoir plus
Base d’ouverts
[ Definition ]
Soit \(X\) un espace topologique. Une famille \({\cal B}\) d’ouverts de \(X\) est une base d’ouverts si tout ouvert est une réunion d’éléments de \({\cal B}\).
En savoir plus
Base hilbertienne
[ Definition ]
On appelle base hilbertienne d’un espace de Hilbert \(H\) une famille \((x_i)_{i\in I}\) telle que:
\(\bullet\)la famille des \(x_i\) est orthonormale
Base orthogonale
[ Definition ]
Soit \(\mathscr B(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v},\overrightarrow{w})\) une base de \(\mathscr V\). Si les vecteurs \(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\) sont deux à deux orthogonaux, on dit que la base \(\mathscr B\) est orthogonale. Si ils sont de plus unitaires, on dit que \(\mathscr B\) est orthonormale.
En savoir plus
Bases de même sens
[ Definition ]
Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension \(2\) ou \(3\). Soient \(e\) et \(e'\) deux bases de \(E\). On dit que :
En savoir plus
\(e\) et \(e'\) sont de même sens (ou ont même orientation) si et seulement si \(\mathop{\rm det}_e\left(e'\right)>0\).
Sinon, on dit que \(e\) et \(e'\) sont de sens contraires (ou n’ont pas la même orientation).
Bases orthogonales
[ Definition ]
Soit \(e=(e_1,\dots,e_n)\) une base de
\(E\). On dit que \(e\) est une base
En savoir plus
orthogonale si et seulement si ses vecteurs sont deux à deux orthogonaux, c’est-à-dire si et seulement si : \[\forall (i,j)\in [\kern-0.127em[ 1, n ]\kern-0.127em]^2,\quad i\neq j \Rightarrow \left( e_i \mid e_j \right)=0.\]
orthonormale si et seulement si ses vecteurs sont deux à deux orthogonaux et unitaires, c’est-à-dire si et seulement si : \[\forall(i,j)\in [\kern-0.127em[ 1, n ]\kern-0.127em]^2, \quad \left( e_i \mid e_j \right)=\delta_{ij}.\]
Bézout
[ Corollaire ]
Soient \(a,b\in{ \mathbb Z}\). Alors \[a\,{ \mathbb Z}+ b\,{ \mathbb Z}=
\mbox{PGCD}(a,b) \,{ \mathbb Z}.\] En particulier, on a
équivalence entre
En savoir plus
Les entiers \(a\) et \(b\) sont premiers entre eux.
On a \(a{ \mathbb Z}+ b{ \mathbb Z}= { \mathbb Z}\).
L’équation \(ax + by =1\) admet une solution \((x,y)\in{ \mathbb Z}^2\).
Bidual
[ Théorème ]
L’application \[x\mapsto \left(\phi \mapsto \phi(x)\right)\] c’est-à-dire \(x\mapsto x^{**}\) avec \(x^{**}=\phi\mapsto \phi(x)\), de \(E\) dans \(E^{**}\) qui à \(x\) associe la fonction qui à \(\phi\) dans \(E^*\) associe \(\phi(x)\) est un isomorphisme; on l’appelle isomorphisme canonique de \(E\) dans \(E^{**}\). On peut donc identifier, via cet isomorphisme, \(E\) et \(E^{**}\).
En savoir plus
Bidual
[ Théorème ]
L’application \[x\mapsto \left(\phi \mapsto \phi(x)\right)\] c’est-à-dire \(x\mapsto x^{**}\) avec \(x^{**}=\phi\mapsto \phi(x)\), de \(E\) dans \(E^{**}\) qui à \(x\) associe la fonction qui à \(\phi\) dans \(E^*\) associe \(\phi(x)\) est un isomorphisme; on l’appelle isomorphisme canonique de \(E\) dans \(E^{**}\). On peut donc identifier, via cet isomorphisme, \(E\) et \(E^{**}\).
En savoir plus
Bilinéarité du déterminant
[ Proposition ]
Le déterminant est bilinéaire: pour tous \(\overrightarrow{u}\), \(\overrightarrow{u_1}\), \(\overrightarrow{u_2}\), \(\overrightarrow{v}\), \(\overrightarrow{v_1}\), \(\overrightarrow{v_2}\) de \(\mathscr V\) et pour tous réels \(\lambda_1\), \(\lambda_2\), on a \[\boxed{\mathop{\rm det}(\overrightarrow{u}, \lambda_1 \overrightarrow{v_1}+\lambda_2 \overrightarrow{v_2})=\lambda_1\mathop{\rm det}(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v_1})+\lambda_2\mathop{\rm det}(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v_2})} \quad \textrm{ et} \quad\boxed{\mathop{\rm det}(\lambda_1 \overrightarrow{u_1}+\lambda_2 \overrightarrow{u_2},\overrightarrow{v})=\lambda_1\mathop{\rm det}(\overrightarrow{u_1} ,\overrightarrow{v})+\lambda_2\mathop{\rm det}(\overrightarrow{u_2} ,\overrightarrow{v}).}\]
En savoir plus
Bilinéarité du produit scalaire
[ Proposition ]
Le produit scalaire est bilinéaire: pour tous vecteurs \(\overrightarrow{u}\), \(\overrightarrow{u_1}\), \(\overrightarrow{u_2}\), \(\overrightarrow{v}\), \(\overrightarrow{v_1}\), \(\overrightarrow{v_2}\) de \(\mathscr V\) et pour tous réels \(\lambda_1\), \(\lambda_2\) \[\boxed{\overrightarrow{u} .(\lambda_1 \overrightarrow{v_1}+\lambda_2 \overrightarrow{v_2})=\lambda_1\overrightarrow{u} .\overrightarrow{v_1}+\lambda_2\overrightarrow{u} .\overrightarrow{v_2}} \quad \textrm{ et} \quad
\boxed{(\lambda_1 \overrightarrow{u_1}+\lambda_2 \overrightarrow{u_2}).\overrightarrow{v}=\lambda_1\overrightarrow{u_1} .\overrightarrow{v}+\lambda_2\overrightarrow{u_2} .\overrightarrow{v}}\]
En savoir plus
Bilinéarité du produit scalaire
[ Proposition ]
[] Le produit scalaire est bilinéaire. Ce qui signifie que pour tous vecteurs \(\overrightarrow{u}\), \(\overrightarrow{u_1}\), \(\overrightarrow{u_2}\), \(\overrightarrow{v}\), \(\overrightarrow{v_1}\), \(\overrightarrow{v_2}\) de \(\mathscr V\) et pour tous réels \(\lambda_1\), \(\lambda_2\) \[\boxed{\overrightarrow{u} .(\lambda_1 \overrightarrow{v_1}+\lambda_2 \overrightarrow{v_2})=\lambda_1\overrightarrow{u} .\overrightarrow{v_1}+\lambda_2\overrightarrow{u} .\overrightarrow{v_2}} \quad \textrm{ et} \quad
\boxed{(\lambda_1 \overrightarrow{u_1}+\lambda_2 \overrightarrow{u_2}).\overrightarrow{v}=\lambda_1\overrightarrow{u_1} .\overrightarrow{v}+\lambda_2\overrightarrow{u_2} .\overrightarrow{v}}\]
En savoir plus
Borné
[ Definition ]
Soit \(E\) un espace normé. Un sous-ensemble \(A \subset E\) est dit borné si \(sup \{ \parallel x \parallel | x \in A \} < + \infty\).
Bornée
[ Definition ]
Soit \(f \in \mathscr F \left(I,\mathbb{R}\right)\). On dit que \(f\) est:
En savoir plus
Majorée si et seulement si \(\exists M \in \mathbb{R}, \quad \forall x \in I, \quad f(x) \leqslant M\).
Minorée si et seulement si \(\exists m \in \mathbb{R}, \quad \forall x \in I, \quad f(x) \geqslant m\).
Bornée si elle est majorée et minorée.
Bornée
[ Definition ]
On dit qu’une suite réelle \(\left(u_n\right)\) est :
En savoir plus
majorée lorsque le sous-ensemble \(\left\{u_n ~|~ n\in \mathbb{N}\right\}\) est majoré dans \(\mathbb{R}\), c’est-à-dire lorsque : \[\exists M\in\mathbb{R}: \quad \forall n\in\mathbb{N}, \quad u_n \leqslant M\]
minorée lorsque le sous-ensemble \(\left\{u_n ~|~ n\in \mathbb{N} \right\}\) est minoré dans \(\mathbb{R}\), c’est-à-dire lorsque : \[\exists m\in\mathbb{R}: \quad \forall n\in\mathbb{N}, \quad u_n \geqslant m\]
bornée si et seulement si elle est à la fois majorée et minorée.
Bornée
[ Definition ]
On dit d’une partie \({\cal F}\) de \(H(\Omega)\) qu’elle est bornée si pour tout compact \(K\) de \(\Omega\) il existe une certaine constante \(C_K\) telle que pour toute \(f\) dans \({\cal F}\) et tout \(k\) dans \(K\), \(|f(k)|\leq C_K\).
En savoir plus
Borne supérieure
[ Definition ]
Soit \(A\) une partie de \(\mathbb{R}\) (ou de \(\mathbb{Q}\))
En savoir plus
La borne supérieure de \(A\) est, si elle existe, le plus petit élément de l’ensemble des majorants de \(A\). On la note \(\sup\left(A\right)\).
La borne inférieure de \(A\) est, si elle existe, le plus grand élément de l’ensemble des minorants de \(A\). On la note \(\inf\left(A\right)\).
Borne supérieure d’une fonction
[ Definition ]
Soit une fonction définie sur un partie \(A \subset \mathbb{R}\) : \(f : A \mapsto \mathbb{R}\). On note lorsque ces bornes existent, \[\displaystyle{\sup_{x \in A} f(x)} = \sup f(A) = \sup \{f(a) ~|~a \in A\} \quad
\displaystyle{\inf_{x\in A} f(x)} = \inf f(A) = \inf \{f(a)~|~a \in A\}.\]
En savoir plus
Boule ouverte
[ Definition ]
On appelle boule ouverte de centre \(M_0\in\mathbb{R}^2\) et de rayon \(r>0\) le sous-ensemble de \(\mathbb{R}^2\) noté \(B\left(M_0,r\right)\) défini par : \[B\left(M_0,r\right)=\left\{M\in\mathbb{R}^2 ~|~ \left\|M-M_0\right\|<r \right\}.\]
En savoir plus
Boules
[ Definition ]
Si \(x\) est un point de l’espace métrique \(X\) et \(r \in [0,+\infty[\), on appelle boule ouverte (resp. fermée) de centre \(x\) et de rayon \(r\), l’ensemble des \(y\) tels que \(d(x,y)<r\) (resp. \(d(x,y) \leq r\)).
Branche infinie
[ Definition ]
On dit que l’arc \((I,\overrightarrow{F})\) possède une branche infinie en \(t_0\) lorsque \(\lVert \overrightarrow{F}(t) \rVert_{ } \xrightarrow[t \rightarrow t_0]{} +\infty\).
En savoir plus
Brouwer
[ None ]
Toute application continue d’une boule unité fermée de \(\mathbb{R}^n\) dans elle-même comporte un point fixe.
En savoir plus
Brouwer
[ None ]
Toute application continue d’une boule unité fermée de \(\mathbb{R}^n\) dans elle-même comporte un point fixe.
En savoir plus