Lexique mathématique
A
Accroissements finis
[ Théorème ]
Soit \(f : [a, b] \mapsto \mathbb{R}\) une fonction vérifiant les hypothèses :
Alors il existe \(c \in ]a, b[\) tel que \(f(b) - f(a) = (b-a) f'(c)\).
En savoir plus
\(f\) est continue sur le segment \([a,b]\),
\(f\) est dérivable sur \(]a, b[\),
Action à gauche
[ Definition ]
Avec \(G\) un groupe et \(X\) un ensemble, on appelle action à gauche de \(G\) sur \(X\) une application \(\alpha\) de \(G \times X\) dans \(X\) telle que:
On définit de manière symétrique une action à droite. Une action sans plus de précision désigne une action à gauche. On dit que \(X\) est un \(G\)-ensemble.
En savoir plus
\(\bullet\)\(\forall x \,\ \alpha(1,x)=x\)
\(\bullet\)\(\forall g, h, x \,\ \alpha(g,\alpha(h,x))=\alpha(g.h,x)\)
On dit aussi que \(G\) opère à gauche sur \(X\) où que \(G\) est une opération à gauche sur \(X\). Usuellement on note plus simplement \(g.x\) au lieu de \(\alpha(g,x)\). Les deux conditions deviennent alors:
\(\bullet\)\(1.x=x\)
\(\bullet\)\(g.(h.x)=(g.h).x\)
Addition sur \({
\mathbb Z}_{ax}\)
[ Corollaire ]
Il existe une application \[{ \mathbb Z}_{ax} \times { \mathbb Z}_{ax}
\rightarrow{ \mathbb Z}_{ax}\] et une seule telle que \[\overline{(a,b)} + \overline{(c,d)} =
\overline{(a+c, b+d)}.\]
En savoir plus
Affinité orthogonale
[ Definition ]
Soient \((O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})\) un repère orthonormal. L’affinité orthogonale de base \((O,\overrightarrow{i})\) et de rapport \(k\in \mathbb{R}\) est l’application du plan dans lui-même qui au point \(M\) de coordonnées \((x,y)\) associe le point \(M'\) de coordonnées \((x,ky)\).
En savoir plus
Affixe d’un point
[ Definition ]
Soit \({\mathcal R}=(O,\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath})\) un repère orthonormal du plan.
En savoir plus
L’image du nombre complexe \(z=x+i\,y\) est le point du plan de coordonnées \((x,y)\) dans le repère \({\mathcal R}\).
L’affixe du point \(M\) de coordonnées \((x,y)\) dans le repère \({\mathcal R}\) est le nombre complexe \(z=x+i\,y\) que l’on notera \(\textrm{ Aff}(M)\).
L’ affixe du vecteur \(\overrightarrow{v}=\alpha\,\overrightarrow{\imath}+\beta\,\overrightarrow{\jmath}\) est le complexe \(\alpha+i\,\beta\) que l’on notera \(\textrm{ Aff}(\overrightarrow{u})\).
Aire
[ Definition ]
Soit une variété paramétrée \(S=\{f(x,y); (x,y)\in \Omega \subset \mathbb{R}^2\}\) avec \(\frac{\partial f}{\partial x}\) et \(\frac{\partial f}{\partial y}\) linéairement indépendants.
Alors, on définit l’aire comme suit \[Aire(S)=\int_{\Omega} \sqrt{ det fff(x,y) }\] avec \(fff\) la forme fondamentale par rapport aux vecteurs \(\frac{\partial f}{\partial x}\) et \(\frac{\partial f}{\partial y}\).
En savoir plus
Algèbre
[ Definition ]
\({\cal A}\) est une algèbre (on dit aussi parfois clan) si elle vérifie:
\(\bullet\)Stabilité par passage au complémentaire.
En savoir plus
\(\bullet\)\(X \in {\cal A}\);
\(\bullet\)Stabilité par union finie;
Algèbre engendrée par \({\cal M}\)
[ Definition ]
\(X\) un ensemble, \({\cal M}\subset {\cal P}(X)\) famille de parties de \(X\), l’algèbre engendrée par \({\cal M}\) (resp. la \(\sigma\)-algèbre engendrée par \({\cal M}\)) est l’intersection de toutes les algèbres (resp. \(\sigma\)-algèbres ) contenant \({\cal M}\).
\(X\) un ensemble, la \(\sigma\)-algèbre engendrée par une famille de fonctions de \(X\) vers des espaces mesurables est la \(\sigma\)-algèbre engendrée par les images réciproques d’ensembles mesurables par ces fonctions.
En savoir plus
Alias classe monotone
[ Definition ]
\(D\) est un d-système (on dit aussi une classe monotone si
\(\bullet\)\(D\) est stable par réunion dénombrable croissante
En savoir plus
\(\bullet\)\(S \in D\)
\(\bullet\)\(D\) est stable par soustraction (\(A\in D\), \(B\in D\), alors \(A \cap B^c \in D\)).
Alternée = Antisymétrique
[ Théorème ]
Une forme \(n\)-linéaire est antisymétrique si et seulement si elle est alternée.
En savoir plus
Analyticité des séries entières
[ Théorème ]
La somme d’une série entière est analytique à
l’intérieur de son disque de convergence.
En savoir plus
Analytique
[ Definition ]
Soit \(U \subset \mathbf{C}\) un ouvert
et soit \(f: U \rightarrow \mathbf{C}\)
une application. Soit \(z_{0} \in U\).
On dit que \(f\) est analytique en
\(z_{0}\) s’il existe
En savoir plus
un nombre \(r>0\) tel que le disque \(\left|z-z_{0}\right|<r\) soit contenu dans \(U\)
et une série entière \(\sum_{n \geq 0} a_{n} w^{n}\) de rayon de convergence \(\rho \geq r\)
Angle
[ Definition ]
L’angle orienté entre deux vecteurs unitaires \(u\) et \(v\) de \(\mathbb{R}^2\) (pris dans cet ordre) est par définition l’unique rotation de \(\mathbb{R}^2\) par laquelle l’image de \(u\) est \(v\).
L’angle orienté entre deux vecteurs non nuls quelconques \(u\) et \(v\) de \(\mathbb{R}^2\) (pris dans cet ordre) est par définition l’angle orienté entre \(\frac{1}{{\parallel}u {\parallel}} u\) et \(\frac{1}{{\parallel}v {\parallel}} v\).
On appelle angle nul l’angle entre \(u\) et \(u\) pour \(u\) vecteur non nul quelconque (la notion ne dépend pas de \(u\)).
On appelle angle plat l’angle entre \(u\) et \(-u\) pour \(u\) vecteur non nul quelconque.
On appelle angle orienté de deux demi-droites \(\mathbb{R}^+ u\) et \(\mathbb{R}^+ v\) l’angle orienté entre \(u\) et \(v\).
Pour tous ces angles, l’angle non orienté correspondant est la paire \(\{r,r^{-1}\}\) avec \(r\) l’angle orienté correspondant.
L’angle orienté de deux droites \(\mathbb{R}u\) et \(\mathbb{R}v\) est la paire des angles entre \(\mathbb{R}^+ u\) et \(\mathbb{R}^+ v\) et entre \(\mathbb{R}^+ u\) et \(\mathbb{R}^- v\).
L’angle non-orienté correspondant est l’ensemble à \(4\) éléments (au plus) constitué des angles orientés entre \(\mathbb{R}^+ u\) et \(\mathbb{R}^+ v\), entre \(\mathbb{R}^+ u\) et \(\mathbb{R}^- v\), et leurs inverses.
Etant donnée une base orthonormée directe de \(\mathbb{R}^2\) et un angle orienté \(r\) entre demi-droites ou entre vecteurs, on appelle mesure de cet angle l’unique \(\theta\in \mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}\) tel que la matrice de \(r\) dans cette base soit \[\left( \begin{array}{cc} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) \newline \end{array} \right)\]
Notons que la valeur de \(\theta\) est indépendante du choix de la base orthonormée directe.
Angle
[ Definition ]
L’angle orienté entre deux vecteurs unitaires \(u\) et \(v\) de \(\mathbb{R}^2\) (pris dans cet ordre) est par définition l’unique rotation de \(\mathbb{R}^2\) par laquelle l’image de \(u\) est \(v\).
L’angle orienté entre deux vecteurs non nuls quelconques \(u\) et \(v\) de \(\mathbb{R}^2\) (pris dans cet ordre) est par définition l’angle orienté entre \(\frac{1}{{\parallel}u {\parallel}} u\) et \(\frac{1}{{\parallel}v {\parallel}} v\).
On appelle angle nul l’angle entre \(u\) et \(u\) pour \(u\) vecteur non nul quelconque (la notion ne dépend pas de \(u\)).
On appelle angle plat l’angle entre \(u\) et \(-u\) pour \(u\) vecteur non nul quelconque.
On appelle angle orienté de deux demi-droites \(\mathbb{R}^+ u\) et \(\mathbb{R}^+ v\) l’angle orienté entre \(u\) et \(v\).
Pour tous ces angles, l’angle non orienté correspondant est la paire \(\{r,r^{-1}\}\) avec \(r\) l’angle orienté correspondant.
L’angle orienté de deux droites \(\mathbb{R}u\) et \(\mathbb{R}v\) est la paire des angles entre \(\mathbb{R}^+ u\) et \(\mathbb{R}^+ v\) et entre \(\mathbb{R}^+ u\) et \(\mathbb{R}^- v\).
L’angle non-orienté correspondant est l’ensemble à \(4\) éléments (au plus) constitué des angles orientés entre \(\mathbb{R}^+ u\) et \(\mathbb{R}^+ v\), entre \(\mathbb{R}^+ u\) et \(\mathbb{R}^- v\), et leurs inverses.
Étant donnée une base orthonormée directe de \(\mathbb{R}^2\) et un angle orienté \(r\) entre demi-droites ou entre vecteurs, on appelle mesure de cet angle l’unique \(\theta\in \mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}\) tel que la matrice de \(r\) dans cette base soit \[\left( \begin{array}{cc} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) \newline \end{array} \right)\]
Notons que la valeur de \(\theta\) est indépendante du choix de la base orthonormée directe.
Angle de deux vecteurs
[ Théorème ]
Soit \(E\) un espace euclidien orienté de
dimension \(2\) et \((U,V)\in
E^2\) deux vecteurs non-nuls. On définit \[u=\dfrac{U}{\lVert U \rVert_{ }}, \quad
v=\dfrac{V}{\lVert V \rVert_{ }}.\] Alors il existe une unique
rotation \(r\in {O}_{2}^{+}(\mathbb{R}
)\) telle que \(v=r(u)\). Si
\(\theta\) est l’angle de la rotation
\(\theta \in [0,2\pi[\), on note \[\widehat{(U,V)}=\theta\] l’angle orienté
des vecteurs \((U,V)\). On a alors :
\[\boxed{\mathop{\mathrm{Det}}(U,V)=\lVert U
\rVert_{ }\lVert V \rVert_{ }\sin\theta } \quad \textrm{ et} \quad
\boxed{\left( U \mid V \right)=\lVert U \rVert_{ }\lVert V \rVert_{
}\cos\theta}.\]
En savoir plus
Angles
[ Definition ]
Il y a plusieurs notions d’angles à définir:
On dit que deux sous-espaces vectoriels de \(E\) sont perpendiculaires s’ils sont orthogonaux.
En savoir plus
On définit l’angle entre deux vecteurs non nuls \(x\) et \(y\) comme étant le réel \(\theta\) de \([0,\pi]\) tel que \(\cos(\theta)=\frac{<x|y>}{{\parallel} x {\parallel}.{\parallel}y {\parallel}}\).
On définit ainsi l’angle entre deux droites : on considère un vecteur \(x\neq 0\) de l’une et un vecteur \(y\neq 0\) de l’autre ; l’angle est alors l’unique \(\theta\in[0,\frac{\pi}{2}]\) tel que \(\cos(\theta)=\frac{|<x|y>|}{{\parallel}x {\parallel}.{\parallel}y {\parallel}}\). Notons que cette mesure est indépendante du choix des vecteurs \(x\) et \(y\).
On définit l’angle entre deux hyperplans comme l’angle entre les droites qui leurs sont orthogonales.
On définit l’angle entre une droite et un hyperplan comme le complémentaire de l’angle entre la droite et la droite orthogonale à l’hyperplan (rappelons que le complémentaire de \(\theta\) est \(\frac{\pi}{2}-\theta\)).
Anneau
[ Definition ]
Un anneau est un
triplet \((A,+,\;\cdot)\) formé d’un
ensemble \(A\) et deux deux
applications \[+\;: A\times A \rightarrow A
\: , \;(a,b) \mapsto a+b \\
\quad\mbox{ et } \quad
\cdot\; : A \times A \rightarrow A \: , \;(a,b) \mapsto ab\]
appelées l’addition et la
multiplication de \(A\) et qui vérifient les axiomes
suivants
En savoir plus
Le couple \((A,+)\) est un groupe commutatif. On note \(0_A\) ou \(0\) son élément neutre.
La multiplication \(\cdot\) est associative et admet un élément neutre noté \(1_A\) ou \(1\).
L’addition et la multiplication vérifient les règles de distributivité \[\begin{aligned} a(b+c) & = & ab + ac \\ (a+b) c & = & ac + bc\end{aligned}\] quels que soient \(a,b,c\) éléments de \(A\).
Anneau
[ Definition ]
Soit \(A\) un ensemble muni de deux loi de composition interne notées \(+\) et \(\times\). On dit que \((A,+,\times)\) est un anneau si et seulement si :
En savoir plus
Le couple \((A,+)\) est un groupe commutatif ;
la loi \(\times\) est associative ;
la loi \(\times\) est distributive par rapport à la loi \(+\) : \[\begin{aligned} \forall (x,y,z) \in A^3, \quad& x\times (y+z)= x\times y + x\times z \newline & (x+y)\times z = x\times z + y\times z; \end{aligned}\]
il existe un élément neutre pour \(\times\), noté \(1\).
Anneau
[ Definition ]
Un anneau est un triplet \((A,+,\times)\) tel que
On dit que \(a\) est un plus grand commun diviseur ou pgcd des éléments \(a_1,...,a_n\), si pour tout \(i\), \(d|a_i\) et si pour tout \(d'\) \(\forall i\ d'|a_i\) implique \(d'|d\). On dit que \(a\) est un plus petit commun multiple ou ppcm des éléments \(a_1,...,a_n\), si pour tout \(i\), \(a_i|d\) et si pour tout \(d'\), \(\forall i\ a_i|d'\) implique \(d|d'\). \(a\in A\) est dit irréductible si \(a\) n’est pas une unité et si \(b|a\) implique que \(b\) est une unité ou que \(b\) est associé à \(a\).
En savoir plus
\(\bullet\)\(A\) est un ensemble non vide.
\(\bullet\)\(+\) est une loi de composition interne (c’est-à-dire une application de \(A\times A\) dans \(A\)), telle que \((A,+)\) est un groupe commutatif.
\(\bullet\)\(\times\) est une loi de composition interne associative, ayant un élément neutre, distributive par rapport à \(+\).
On appelle unité de \((A,+,\times)\) tout élément inversible pour \(\times\).
Si en outre \(\times\) est commutative, l’anneau est dit commutatif.
On note \(0\) l’élément neutre pour l’addition, \(1\) l’élément neutre pour la multiplication, le symétrique de \(a \in A\) pour \(+\) est noté \(-a\), et le symétrique, lorsque \(a\) est une unité, de \(a\) pour \(\times\) est noté \(a^{-1}\).
\(a\times b\) sera souvent abrégé \(a.b\) ou même \(ab\).
\(a\) et \(b\) appartenant à \(A\) sont dits associés si \(a=b.x\) pour un certain \(x\) unité. La relation d’association est une relation d’équivalence.
On dit que \(a\) divise \(b\), ou que \(a\) est un diviseur de \(b\), ou que \(b\) est un multiple de \(a\), pour \(a\) et \(b\) dans \(A\), s’il existe \(x\) tel que \(b=a.x\).
Anneau factoriel
[ Definition ]
Un anneau \(A\) est dit factoriel si:
\(\bullet\)tout \(a\) dans \(A\) s’écrit de manière unique à association près et à permutation près \(a=a'.p_1.p_2.....p_n\) avec \(a'\) unité et \(p_i\) irréductible pour tout \(i\).
En savoir plus
\(\bullet\)il est intègre
Anneau intègre
[ Definition ]
Soit un anneau \((A, +, \times)\). On dit que cet anneau est intègre si et seulement si :
En savoir plus
\(A \neq \{0\}\) ;
la loi \(\times\) est commutative ;
\(\forall (x, y) \in A^2\), \(x\times y = 0 \Rightarrow x = 0\) ou \(y = 0\).
Anneau noethérien
[ Definition ]
Un anneau commutatif dont tout idéal est de type fini est dit noethérien.
En savoir plus
Anneau quotient
[ Definition ]
Étant donné \(I\) un idéal de \(A\), on définit une relation d’équivalence \({\cal R}_I\) par \[a {\cal R}_I b \iff a-b \in I\] Alors l’ensemble quotient pour cette relation, muni des opérations induites par les opérations sur \(I\), est un anneau; on l’appelle anneau quotient de \(A\) par l’idéal \(I\), et on le note \(A/I\).
En savoir plus
Anneaux intègres
[ Definition ]
Un élément \(a\) est dit diviseur à gauche de \(0\) s’il existe \(b \neq 0\) tel que \(b.a=0\).
Un élément \(a\) est dit diviseur à droite de \(0\) s’il existe \(b \neq 0\) tel que \(a.b=0\).
Un élément est dit diviseur de \(0\) s’il est à la fois diviseur à gauche de \(0\) et diviseur à droite de \(0\).
Un anneau est dit sans diviseur de \(0\) s’il n’admet pas de diviseur à gauche de \(0\) ou de diviseur à droite de \(0\) autre que \(0\) lui-même.
Un anneau est dit intègre si:
\(\bullet\)il est de cardinal \(>1\)
\(\bullet\)il est commutatif
\(\bullet\)il est sans diviseur de \(0\)
Un élément \(a\) est dit nilpotent s’il existe \(n\in \mathbb{N}\) tel que \(a^n=0\). On appelle alors indice de nilpotence de \(a\) le plus petit \(n\) convenable non nul.
Antisymétrie du déterminant
[ Proposition ]
Le déterminant est antisymétrique: si \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont deux vecteurs de \(\mathscr V\) alors \(\boxed{\mathop{\rm det}(\overrightarrow{u} , \overrightarrow{v}) =- \mathop{\rm det}( \overrightarrow{v} , \overrightarrow{u})}\).
En savoir plus
Antisymétriques
[ Definition ]
Soit \(A\in\mathfrak{M}_{n}\left(\mathbb{K}\right)\).
En savoir plus
On dit que \(A\) est symétrique si et seulement si \({A}^{\mathrm{T}}=A\) c’est-à-dire si et seulement si : \[\forall i,j\in\llbracket 1,n\rrbracket \quad a_{j,i}=a_{i,j}\] L’ensemble des matrices symétriques de taille \(n\) est noté \(\mathcal{S}_n\left(\mathbb{K}\right)\).
On dit que \(A\) est antisymétrique si et seulement si \({A}^{\mathrm{T}}=-A\) c’est-à-dire si et seulement si : \[\forall i,j\in\llbracket 1,n\rrbracket \quad a_{j,i}=-a_{i,j}\] L’ensemble des matrices antisymétriques de taille \(n\) est noté \(\mathcal{A}_n\left(\mathbb{K}\right)\) à \(n\) lignes et \(n\) colonnes.
Application bilinéaire
[ Definition ]
Une application \(f:\mathscr V\times \mathscr V\longrightarrow \mathscr V\) est dite bilinéaire si elle est linéaire en chacune de ses variables, ce qui signifie que pour tout vecteurs \(\overrightarrow{u}, ~ \overrightarrow{v}\) de \(\mathscr V\) :
En savoir plus
si on fixe \(\overrightarrow{u}\): \(f(\overrightarrow{u},.): \left\{ \begin{array}{ccl} \mathscr V & \longrightarrow & \mathscr V \\ \overrightarrow{v} & \longmapsto & f(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}) \end{array} \right.\) est linéaire.
si on fixe \(\overrightarrow{v}\): \(f(.,\overrightarrow{v}): \left\{ \begin{array}{ccl} \mathscr V & \longrightarrow & \mathscr V \newline \overrightarrow{u} & \longmapsto & f(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}) \end{array} \right.\) est linéaire.
Application contractante
[ Definition ]
On appelle application contractante ou contraction une application lipschitzienne ayant un coefficient de Lipschitz \(<1\).
En savoir plus
Application linéaire
[ Definition ]
Une application \(f\) d’un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel vers un autre est une application linéaire si \(\forall ({\lambda},x,y)\in\mathbb{K}\times E^2\) :
Enfin, on appelle forme linéaire sur un espace vectoriel \(E\) une application linéaire définie sur \(E\) et à valeurs dans \(\mathbb{K}\).
En savoir plus
\(\bullet\)\(f(x+y)=f(x)+f(y)\)
\(\bullet\)\(f({\lambda}.x)={\lambda}.f(x)\)
Une application linéaire est aussi appelée morphisme d’espaces vectoriels, ou morphisme algébrique. C’est en particulier un morphisme de groupes. Une application linéaire bijective est appelée isomorphisme, une application linéaire de \(E\) dans \(E\) est appelée endomorphisme. Un endomorphisme qui est aussi un isomorphisme est appelé automorphisme. L’inverse d’un isomorphisme est un isomorphisme, appelé isomorphisme réciproque.
On note \({\cal L}(E,F)\) l’ensemble des morphismes de \(E\) dans \(F\); c’est un sous-espace vectoriel de \(F^E\). On note \({\cal L}(E)\) l’ensemble des endomorphismes de \(E\). On note \(Isom(E,F)\) l’ensemble des isomorphismes de \(E\) dans \(F\). On note \(Aut(E)\) l’ensemble des automorphismes de \(E\); il est noté \(GL(E)\) une fois qu’on l’a muni de la composition. \(GL(E)\) est un groupe, appelé groupe linéaire.
La notation \(E \simeq F\) signifie qu’il existe un isomorphisme de \(E\) dans \(F\).
L’image réciproque d’un sous-espace vectoriel par une application linéaire est un sous-espace vectoriel. On note \(Ker\ f\) et on appelle noyau de \(f\) l’image réciproque de \(\{ 0 \}\), c’est un sous-espace vectoriel. Une application linéaire est injective si et seulement si son noyau est \(\{ 0 \}\). On notera que le noyau d’une application linéaire est le noyau du morphisme de groupes correspondant.
L’image directe d’un sous-espace vectoriel par une application linéaire est un sous-espace vectoriel. On note \(Im\ f\) et on appelle image de \(f\) l’ensemble \(f(E)=\{f(x); x\in E\}\). Évidemment, \(f\) est surjective si et seulement si \(Im\ f=F\).
On note \(Id\) la fonction identité de \(E\); c’est une application linéaire et un isomorphisme. On note \(Inv\ f\) l’ ensembles des invariants de \(f\); \(Inv\ f = Ker (f-Id)\). On note \(Opp\ f\) l’ensemble des vecteurs changés en leur opposé; \(Opp\ f = Ker (f+Id)\).
Si \({\lambda}\neq 0\), on appelle homothétie de rapport \({\lambda}\) d’un espace vectoriel \(E\) l’application \(x \mapsto {\lambda}.x\).
Application linéaire
[ Definition ]
Soient \(\left(E,+,\cdot\right)\) et \(\left(F,+,\cdot\right)\) deux \(\mathbb{K}\)-espaces vectoriels et \(f:E
\rightarrow F\). On dit que \(f\) est linéaire si et seulement si :
(On dit aussi que \(f\) est un morphisme d’espaces vectoriels).
En savoir plus
\(\forall \left(x,y\right)\in E^2,\quad f\left(x+y\right)=f\left(x\right)+f\left(y\right)\).
\(\forall \left(\lambda,x\right)\in\mathbb{K}\times E,\quad f\left(\lambda\cdot x\right)=\lambda \cdot f\left(x\right)\).
Application linéaire dans l’espace
[ Definition ]
Soit \(f:\mathscr V\longrightarrow \mathscr V\). On dit que \(f\) est linéaire si pour tout couple \((\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})\) de \(\mathscr V^2\) et tout réel \(\lambda\), \[f(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})=f(\overrightarrow{u})+ f ( \overrightarrow{v} ) \quad \textrm{ et} \quad f(\lambda \overrightarrow{u})=\lambda f(\overrightarrow{u}).\]
En savoir plus
Application multilinéaire
[ Definition ]
Soient \(E_1\), ..., \(E_n\) et \(F\) des \(\mathbb{K}\)-espaces vectoriels, alors \(f:\Pi_{i \in [[1,n]]} E_i \to F\) est \(n\)-linéaire si pour tout \((x_i)\) dans \(\Pi E_i\) et tout \(j\) l’application \[x \to f(x_1,...,x_{j-1},x,x_{j+1},...,x_n)\] est linéaire. Leur ensemble est noté \(\mathcal L(E_1,...,E_n;F)\).
On note \(S_n(E)\) l’ensemble des formes \(n\)-linéaires symétriques sur \(E\) et \(A_n(E)\) l’ensemble des formes \(n\)-linéaires alternées sur \(E\).
En savoir plus
Si \(E_1=E_2=...=E_n=E\) on dit que \(f\) est une application \(n\)-linéaire sur \(E\).
Si \(F\) est le corps \(\mathbb{K}\), alors \(f\) est dite forme \(n\)-linéaire.
On note \(L_n(E,F)\) l’ensemble des applications \(n\)-linéaires de \(E\) dans \(F\).
On note \(L_n(E)\) l’ensemble des formes \(n\)-linéaires sur \(E\), c’est-à-dire \(L_n(E,\mathbb{K})\).
Étant donné \(f\in L_n(E,F)\) et \(\sigma\in \sigma_n\) on note \(f_\sigma\) l’application \(n\)-linéaire \((x_1,...,x_n) \mapsto f(x_{\sigma(1)},x_{\sigma(2)},...,x_{\sigma(n)})\).
Une application \(n\)-linéaire est dite symétrique si pour tout \(\sigma\) \(f_\sigma=f\).
Une application \(n\)-linéaire est dite antisymétrique si pour tout \(\sigma\) \(f_\sigma=\epsilon(\sigma).f\), avec \(\epsilon()\) la signature (cf section [symet]).
Une application \(n\)-linéaire est dite alternée si \(i\neq j\) et \(x_i=x_j\) implique \(f(x_1,...,x_n)=0\).
On note \(S_n(E,F)\) l’ensemble des applications \(n\)-linéaires symétriques de \(E\) dans \(F\) et \(A_n(E,F)\) l’ensemble des applications \(n\)-linéaires alternées de \(E\) dans \(F\).
Application ouverte
[ Definition ]
Une application est dite ouverte si l’image de tout ouvert est un ouvert.
En savoir plus
Application polynômiale associée à \(A\)
[ Definition ]
Étant donnée \(B\) une \(A\)-algèbre associative commutative et unitaire, on peut identifier \(P\) à une application de \(A\) dans \(A\), dite application polynômiale associée à \(A\), noté \(\tilde P\), et définie par \[\tilde P(x)=\sum_{n\in\mathbb{N}} P_n\ x^n .\]
Cela est notamment valable pour \(B=A\); implicitement \(\tilde P\) désignera généralement une fonction de \(A\) dans \(A\).
En savoir plus
Application réglée
[ Definition ]
Une application de \(\mathbb{R}\) dans un espace topologique est dite réglée si et seulement si elle admet une limite à droite et une limite à gauche en tout point.
En savoir plus
Application réglée
[ Definition ]
Une application de \(\mathbb{R}\) dans un espace topologique est dite réglée si et seulement si elle admet une limite à droite et une limite à gauche en tout point.
En savoir plus
Applications lipschitzienne
[ Definition ]
Une application \(h\) est dite lipschitzienne s’il existe \(K \in [0, + \infty[\) tel que \[d(h(x),h(x')) \leq K.d(x,x')\]
On dit aussi qu’elle est \(K\)-lipschitzienne.
Application trilinéaire
[ Definition ]
Une application \(\varphi:\mathscr V^3 \rightarrow 13 sqrt\) est dite trilinéaire si et seulement si :
En savoir plus
pour tout \(\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)\) fixé dans \(\mathscr V \times \mathscr V\), l’application : \(\overrightarrow{w} \mapsto \varphi\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right)\) est linéaire.
pour tout \(\left(\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right)\) fixé dans \(\mathscr V \times \mathscr V\), l’application : \(\overrightarrow{u} \mapsto \varphi\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right)\) est linéaire.
pour tout \(\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{w}\right)\) fixé dans \(\mathscr V \times \mathscr V\), l’application : \(\overrightarrow{v} \mapsto \varphi\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right)\) est linéaire.
Approximation d’ouverts du plan par des compacts
[ Corollaire ]
Soit \(\Omega\) un ouvert de \(\mathbb{C}\) (on pourrait dire \(\mathbb{R}^2\)). Alors il existe une suite de compacts \(K_n\) inclus dans \(\Omega\) tels que:
\(\bullet\)\(K_n \subset Int(K_{n+1})\)
\(\bullet\)Tout compact de \(\Omega\) est inclus dans un certain \(K_n\)
\(\bullet\)Toute composante connexe de \((\mathbb{C}\cup \{\infty\}) \setminus K_n\) contient une composante connexe de \((\mathbb{C}\cup \{ \infty\}) \setminus \Omega\)
Approximation d’une fonction continue par une fonction en escalier
[ Théorème ]
Soit \(f\) une fonction continue sur le segment \(\left[a,b\right]\) et \(\varepsilon>0\). Alors, il existe une fonction en escalier \(\varphi\) telle que \[\lVert f-\varphi \rVert_{\infty} = \displaystyle{\sup_{x \in [a,b]} \lvert f(x)-\varphi(x) \rvert } \leqslant\varepsilon.\]
En savoir plus
Approximation uniforme d’une fonction continue par morceaux par une fonction en escalier
[ None ]
Soit \(f\) une fonction continue par morceaux sur le segment \([a,b]\) et \(\varepsilon> 0\). Il existe une fonction \(\varphi\) en escalier sur \([a,b]\) telle que \(\lVert f-\varphi \rVert_{\infty} \leqslant
\varepsilon\).
En savoir plus
Arc ou chemin
[ Definition ]
Un arc ou chemin est une application continue de \([0,1]\) dans \(X\). L’image de \(0\) et l’image de \(1\) sont les extrémités de l’arc.
Arc paramétré
[ Definition ]
On appelle arc paramétré ou courbe paramétrée un couple \(\gamma = (I, \overrightarrow{F})\) où \(I \subset \mathbb{R}\) est un intervalle et \(\overrightarrow{F} : I \mapsto \mathbb{R} [2]\) une application de classe \({\mathcal{C}}^[(k) ]{I, \mathbb{R} [2]}\).
En savoir plus
Argument d’un nombre complexe
[ Proposition ]
Soit \(z\) un nombre complexe non nul. Il existe au moins un nombre réel \(\theta\) tel que \(\boxed{z=\rho e^{i\theta}}\) où \(\rho = \lvert z \rvert \in\mathbb{R}_+^*\) est le module de \(z\).
En savoir plus
\(\rho e^{i\theta}\) est une forme trigonométrique de \(z\).
Le réel \(\theta\) est appelé un argument de \(z\).
Argument principal d’un nombre complexe
[ Proposition ]
Soit \(z\) un nombre complexe non nul. Il existe au moins un nombre réel \(\theta\) tel que \(\boxed{z=\rho e^{i\theta}}\) où \(\rho = \lvert z \rvert \in\mathbb{R}_+^*\) est le module de \(z\).
En savoir plus
\(\rho e^{i\theta}\) est une forme trigonométrique de \(z\).
Le réel \(\theta\) est appelé un argument de \(z\).
Associés
[ Definition ]
Le projecteur évoqué dans les deux derniers points de la proposition ci-dessus est unique; la symétrie et le projecteur en question sont dits associés.
En savoir plus
Asymptotes
[ Definition ]
Soit \(f:[c,+\infty]\mapsto \mathbb{R}\) une fonction. On dit qu’une courbe \(y=g(x)\) est asymptote à la courbe \(y=f(x)\) en \(+\infty\) si et seulement si : \[g(x)-f(x) \xrightarrow[ x\rightarrow +\infty]{ } 0\] En particulier, une droite d’équation \(y=ax+b\) est asymptote à la courbe représentative de f si et seulement si : \[f(x)-[ax+b] \xrightarrow[ x\rightarrow +\infty ]{ } 0\]
En savoir plus
Asymptotes à l’hyperbole
[ Proposition ]
Soit \(\mathscr H\) l’hyperbole d’équation \({\scriptstyle X^2\over\scriptstyle a^2}-{\scriptstyle Y^2\over\scriptstyle b^2}=1\) avec \(a>0, ~ b>0\) dans un repère orthonormal \((O,\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})\). \(\mathscr H\) admet deux asymptotes: \(\boxed{\delta : ~ b~X - a ~ Y=0}\) et \(\boxed{\delta' : ~ b~X + a ~ Y=0}\).
En savoir plus
Automorphisme
[ Definition ]
Soit \(f:E\rightarrow F\) une application linéaire.
En savoir plus
Si \(F=\mathbb{K}\), on dit que \(f\) est une forme linéaire. On note \(E^*\) l’ensemble des formes linéaires sur \(E\).
Si \(E=F\), on dit que \(f\) est un endomorphisme de \(E\).
Si \(f:E\rightarrow F\) est bijective, on dit que \(f\) est un isomorphisme de \(E\) sur \(F\).
Si \(f\) est à la fois un endomorphisme de \(E\) et un isomorphisme, on dit que \(f\) est un automorphisme de \(E\).
Autre caractérisation de la signature
[ None ]
Si une permutation \(\sigma\) s’écrit comme produit de \(p\) transpositions, \[\sigma = \tau_1\circ \dots \circ \tau_p\] alors \(\varepsilon(\sigma) = (-1)^p\).
En savoir plus
Autre façon de voir la topologie sur \(C^k(\Omega)\)
[ None ]
La même topologie serait définie en définissant les fermés comme étant les sous-ensembles contenant les limites de toute suite convergente pour la topologie de la convergence uniforme de toutes les dérivées d’ordre total \(\leq k\) sur tout compact.
En savoir plus
Autres propriétés du PGCD
[ Proposition ]
Soient trois entiers non nuls \((a, b, c) \in {\mathbb{Z}^*}^3\).
En savoir plus
Soient trois entiers \((\delta, a', b') \in \mathbb{N}^* \times \mathbb{Z}^{2}\) tels que \(a = \delta a'\), \(b = \delta b'\), alors \[\bigl(\delta = a \wedge b\bigr) \Longleftrightarrow \bigl(a' \wedge b' = 1\bigr);\]
\(\begin{cases} a \wedge b = 1 \\ a \wedge c = 1 \end{cases} \Longleftrightarrow a \wedge (bc) = 1\) ;
\(\begin{cases} a \mid c \\ b \mid c \newline a \wedge b = 1 \end{cases} \Rightarrow ab \mid c\) ;
pour tout couple \((p, q) \in {\mathbb{N}^*}^2\), si \(a \wedge b = 1\), alors \(a^p \wedge b^q = 1\) ;
pour tout entier \(k \in \mathbb{N}^*\), \(a^k \wedge b^k = (a \wedge b)^k\).
Axe polaire
[ Proposition ]
Soit \(\mathscr R\)\((O,\overrightarrow{\imath },\overrightarrow{\jmath })\)un repère orthonormal direct. Soit \(\theta\) un réel. Soit \(\mathscr R(\theta)\) le repère \(\left(O,\overrightarrow{u}\left(\theta\right),\overrightarrow{v}\left(\theta\right)\right)\) image de \(\mathscr R\) par une rotation de centre \(O\) et d’angle \(\theta\). Ce repère, qui est encore orthonormal direct, est le repère polaire attaché au réel \(\theta\). De plus \[\boxed{\left\{\begin{array}{c} \overrightarrow{ u}(\theta)=\cos \theta \overrightarrow{\imath}+\sin
\theta \overrightarrow{\jmath }\newline \overrightarrow{v}(\theta)=-\sin \theta \overrightarrow{\imath}+\cos \theta \overrightarrow{\jmath }\end{array}\right.}.\] Le point \(O\) est appelé le pôle et la droite orientée \((O,\overrightarrow{\imath})\) est appelée l’axe polaire de ce repère.
En savoir plus
Axiome de fondation
[ Definition ]
On appelle axiome de fondation l’axiome selon lequel pour tout ensemble \(E\) non vide il existe \(F\) tel que \(F \in E\) et \(F \cap E= \emptyset\).
En savoir plus
Axiome du choix
[ Definition ]
Étant donné un ensemble \(E\), il existe une fonction \(f\) qui à une partie non vide de \(E\) associe un élément de cette partie.
En savoir plus