Lexique mathématique

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A
Accroissements finis
[ Théorème ]
Soit \(f : [a, b] \mapsto \mathbb{R}\) une fonction vérifiant les hypothèses :
  1. \(f\) est continue sur le segment \([a,b]\),

  2. \(f\) est dérivable sur \(]a, b[\),

Alors il existe \(c \in ]a, b[\) tel que \(f(b) - f(a) = (b-a) f'(c)\).
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action à gauche
[ Definition ]
Avec \(G\) un groupe et \(X\) un ensemble, on appelle action à gauche de \(G\) sur \(X\) une application \(\alpha\) de \(G \times X\) dans \(X\) telle que:

\(\bullet\)\(\forall x \,\ \alpha(1,x)=x\)

\(\bullet\)\(\forall g, h, x \,\ \alpha(g,\alpha(h,x))=\alpha(g.h,x)\)

On dit aussi que \(G\) opère à gauche sur \(X\) où que \(G\) est une opération à gauche sur \(X\). Usuellement on note plus simplement \(g.x\) au lieu de \(\alpha(g,x)\). Les deux conditions deviennent alors:

\(\bullet\)\(1.x=x\)

\(\bullet\)\(g.(h.x)=(g.h).x\)

On définit de manière symétrique une action à droite. Une action sans plus de précision désigne une action à gauche. On dit que \(X\) est un \(G\)-ensemble.
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Addition sur \({ \mathbb Z}_{ax}\)
[ Corollaire ]
Il existe une application \[{ \mathbb Z}_{ax} \times { \mathbb Z}_{ax} \rightarrow{ \mathbb Z}_{ax}\] et une seule telle que \[\overline{(a,b)} + \overline{(c,d)} = \overline{(a+c, b+d)}.\]
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Affinité orthogonale
[ Definition ]
Soient \((O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})\) un repère orthonormal. L’affinité orthogonale de base \((O,\overrightarrow{i})\) et de rapport \(k\in \mathbb{R}\) est l’application du plan dans lui-même qui au point \(M\) de coordonnées \((x,y)\) associe le point \(M'\) de coordonnées \((x,ky)\).
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affixe d’un point
[ Definition ]
Soit \({\mathcal R}=(O,\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath})\) un repère orthonormal du plan.
  • L’image du nombre complexe \(z=x+i\,y\) est le point du plan de coordonnées \((x,y)\) dans le repère \({\mathcal R}\).

  • L’affixe du point \(M\) de coordonnées \((x,y)\) dans le repère \({\mathcal R}\) est le nombre complexe \(z=x+i\,y\) que l’on notera \(\textrm{ Aff}(M)\).

  • L’ affixe du vecteur \(\overrightarrow{v}=\alpha\,\overrightarrow{\imath}+\beta\,\overrightarrow{\jmath}\) est le complexe \(\alpha+i\,\beta\) que l’on notera \(\textrm{ Aff}(\overrightarrow{u})\).

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aire
[ Definition ]
Soit une variété paramétrée \(S=\{f(x,y); (x,y)\in \Omega \subset \mathbb{R}^2\}\) avec \(\frac{\partial f}{\partial x}\) et \(\frac{\partial f}{\partial y}\) linéairement indépendants. Alors, on définit l’aire comme suit \[Aire(S)=\int_{\Omega} \sqrt{ det fff(x,y) }\] avec \(fff\) la forme fondamentale par rapport aux vecteurs \(\frac{\partial f}{\partial x}\) et \(\frac{\partial f}{\partial y}\).
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Algèbre
[ Definition ]
\({\cal A}\) est une algèbre (on dit aussi parfois clan) si elle vérifie:

\(\bullet\)\(X \in {\cal A}\);

\(\bullet\)Stabilité par union finie;

\(\bullet\)Stabilité par passage au complémentaire.
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algèbre engendrée par \({\cal M}\)
[ Definition ]
\(X\) un ensemble, \({\cal M}\subset {\cal P}(X)\) famille de parties de \(X\), l’algèbre engendrée par \({\cal M}\) (resp. la \(\sigma\)-algèbre engendrée par \({\cal M}\)) est l’intersection de toutes les algèbres (resp. \(\sigma\)-algèbres ) contenant \({\cal M}\). \(X\) un ensemble, la \(\sigma\)-algèbre engendrée par une famille de fonctions de \(X\) vers des espaces mesurables est la \(\sigma\)-algèbre engendrée par les images réciproques d’ensembles mesurables par ces fonctions.
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alias classe monotone
[ Definition ]
\(D\) est un d-système (on dit aussi une classe monotone si

\(\bullet\)\(S \in D\)

\(\bullet\)\(D\) est stable par soustraction (\(A\in D\), \(B\in D\), alors \(A \cap B^c \in D\)).

\(\bullet\)\(D\) est stable par réunion dénombrable croissante
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Alternée = Antisymétrique
[ Théorème ]
Une forme \(n\)-linéaire est antisymétrique si et seulement si elle est alternée.
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Analyticité des séries entières
[ Théorème ]
La somme d’une série entière est analytique à l’intérieur de son disque de convergence.
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Analytique
[ Definition ]
Soit \(U \subset \mathbf{C}\) un ouvert et soit \(f: U \rightarrow \mathbf{C}\) une application. Soit \(z_{0} \in U\). On dit que \(f\) est analytique en \(z_{0}\) s’il existe
  • un nombre \(r>0\) tel que le disque \(\left|z-z_{0}\right|<r\) soit contenu dans \(U\)

  • et une série entière \(\sum_{n \geq 0} a_{n} w^{n}\) de rayon de convergence \(\rho \geq r\)

tels que, pour \(\left|z-z_{0}\right|<r\), on ait \[f(z)=\sum_{n=0}^{+\infty} a_{n}\left(z-z_{0}\right)^{n}\] On dit que \(f\) est analytique sur \(U\) si elle est analytique en tout point1 de \(U\).
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Angle
[ Definition ]

L’angle orienté entre deux vecteurs unitaires \(u\) et \(v\) de \(\mathbb{R}^2\) (pris dans cet ordre) est par définition l’unique rotation de \(\mathbb{R}^2\) par laquelle l’image de \(u\) est \(v\).

L’angle orienté entre deux vecteurs non nuls quelconques \(u\) et \(v\) de \(\mathbb{R}^2\) (pris dans cet ordre) est par définition l’angle orienté entre \(\frac{1}{{\parallel}u {\parallel}} u\) et \(\frac{1}{{\parallel}v {\parallel}} v\).

On appelle angle nul l’angle entre \(u\) et \(u\) pour \(u\) vecteur non nul quelconque (la notion ne dépend pas de \(u\)).

On appelle angle plat l’angle entre \(u\) et \(-u\) pour \(u\) vecteur non nul quelconque.

On appelle angle orienté de deux demi-droites \(\mathbb{R}^+ u\) et \(\mathbb{R}^+ v\) l’angle orienté entre \(u\) et \(v\).

Pour tous ces angles, l’angle non orienté correspondant est la paire \(\{r,r^{-1}\}\) avec \(r\) l’angle orienté correspondant.

L’angle orienté de deux droites \(\mathbb{R}u\) et \(\mathbb{R}v\) est la paire des angles entre \(\mathbb{R}^+ u\) et \(\mathbb{R}^+ v\) et entre \(\mathbb{R}^+ u\) et \(\mathbb{R}^- v\).

L’angle non-orienté correspondant est l’ensemble à \(4\) éléments (au plus) constitué des angles orientés entre \(\mathbb{R}^+ u\) et \(\mathbb{R}^+ v\), entre \(\mathbb{R}^+ u\) et \(\mathbb{R}^- v\), et leurs inverses.

Étant donnée une base orthonormée directe de \(\mathbb{R}^2\) et un angle orienté \(r\) entre demi-droites ou entre vecteurs, on appelle mesure de cet angle l’unique \(\theta\in \mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}\) tel que la matrice de \(r\) dans cette base soit \[\left( \begin{array}{cc} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) \newline \end{array} \right)\]

Notons que la valeur de \(\theta\) est indépendante du choix de la base orthonormée directe.

On appelle mesure principale d’un angle la mesure de cet angle comprise dans \(]-\pi,\pi]\). On notera \(\widehat{X,Y}\) l’angle orienté entre \(X\) et \(Y\), quelle que soit la nature de \(X\) et \(Y\).
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Angle
[ Definition ]

L’angle orienté entre deux vecteurs unitaires \(u\) et \(v\) de \(\mathbb{R}^2\) (pris dans cet ordre) est par définition l’unique rotation de \(\mathbb{R}^2\) par laquelle l’image de \(u\) est \(v\).

L’angle orienté entre deux vecteurs non nuls quelconques \(u\) et \(v\) de \(\mathbb{R}^2\) (pris dans cet ordre) est par définition l’angle orienté entre \(\frac{1}{{\parallel}u {\parallel}} u\) et \(\frac{1}{{\parallel}v {\parallel}} v\).

On appelle angle nul l’angle entre \(u\) et \(u\) pour \(u\) vecteur non nul quelconque (la notion ne dépend pas de \(u\)).

On appelle angle plat l’angle entre \(u\) et \(-u\) pour \(u\) vecteur non nul quelconque.

On appelle angle orienté de deux demi-droites \(\mathbb{R}^+ u\) et \(\mathbb{R}^+ v\) l’angle orienté entre \(u\) et \(v\).

Pour tous ces angles, l’angle non orienté correspondant est la paire \(\{r,r^{-1}\}\) avec \(r\) l’angle orienté correspondant.

L’angle orienté de deux droites \(\mathbb{R}u\) et \(\mathbb{R}v\) est la paire des angles entre \(\mathbb{R}^+ u\) et \(\mathbb{R}^+ v\) et entre \(\mathbb{R}^+ u\) et \(\mathbb{R}^- v\).

L’angle non-orienté correspondant est l’ensemble à \(4\) éléments (au plus) constitué des angles orientés entre \(\mathbb{R}^+ u\) et \(\mathbb{R}^+ v\), entre \(\mathbb{R}^+ u\) et \(\mathbb{R}^- v\), et leurs inverses.

Etant donnée une base orthonormée directe de \(\mathbb{R}^2\) et un angle orienté \(r\) entre demi-droites ou entre vecteurs, on appelle mesure de cet angle l’unique \(\theta\in \mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}\) tel que la matrice de \(r\) dans cette base soit \[\left( \begin{array}{cc} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) \newline \end{array} \right)\]

Notons que la valeur de \(\theta\) est indépendante du choix de la base orthonormée directe.

On appelle mesure principale d’un angle la mesure de cet angle comprise dans \(]-\pi,\pi]\). On notera \(\widehat{X,Y}\) l’angle orienté entre \(X\) et \(Y\), quelle que soit la nature de \(X\) et \(Y\).
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Angle de deux vecteurs
[ Théorème ]
Soit \(E\) un espace euclidien orienté de dimension \(2\) et \((U,V)\in E^2\) deux vecteurs non-nuls. On définit \[u=\dfrac{U}{\lVert U \rVert_{ }}, \quad v=\dfrac{V}{\lVert V \rVert_{ }}.\] Alors il existe une unique rotation \(r\in {O}_{2}^{+}(\mathbb{R} )\) telle que \(v=r(u)\). Si \(\theta\) est l’angle de la rotation \(\theta \in [0,2\pi[\), on note \[\widehat{(U,V)}=\theta\] l’angle orienté des vecteurs \((U,V)\). On a alors : \[\boxed{\mathop{\mathrm{Det}}(U,V)=\lVert U \rVert_{ }\lVert V \rVert_{ }\sin\theta } \quad \textrm{ et} \quad \boxed{\left( U \mid V \right)=\lVert U \rVert_{ }\lVert V \rVert_{ }\cos\theta}.\]
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angles
[ Definition ]
Il y a plusieurs notions d’angles à définir:

On définit l’angle entre deux vecteurs non nuls \(x\) et \(y\) comme étant le réel \(\theta\) de \([0,\pi]\) tel que \(\cos(\theta)=\frac{<x|y>}{{\parallel} x {\parallel}.{\parallel}y {\parallel}}\).

On définit ainsi l’angle entre deux droites : on considère un vecteur \(x\neq 0\) de l’une et un vecteur \(y\neq 0\) de l’autre ; l’angle est alors l’unique \(\theta\in[0,\frac{\pi}{2}]\) tel que \(\cos(\theta)=\frac{|<x|y>|}{{\parallel}x {\parallel}.{\parallel}y {\parallel}}\). Notons que cette mesure est indépendante du choix des vecteurs \(x\) et \(y\).

On définit l’angle entre deux hyperplans comme l’angle entre les droites qui leurs sont orthogonales.

On définit l’angle entre une droite et un hyperplan comme le complémentaire de l’angle entre la droite et la droite orthogonale à l’hyperplan (rappelons que le complémentaire de \(\theta\) est \(\frac{\pi}{2}-\theta\)).

On dit que deux sous-espaces vectoriels de \(E\) sont perpendiculaires s’ils sont orthogonaux.
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anneau
[ Definition ]
Un anneau est un triplet \((A,+,\;\cdot)\) formé d’un ensemble \(A\) et deux deux applications \[+\;: A\times A \rightarrow A \: , \;(a,b) \mapsto a+b \\ \quad\mbox{ et } \quad \cdot\; : A \times A \rightarrow A \: , \;(a,b) \mapsto ab\] appelées l’addition et la multiplication de \(A\) et qui vérifient les axiomes suivants
  • Le couple \((A,+)\) est un groupe commutatif. On note \(0_A\) ou \(0\) son élément neutre.

  • La multiplication \(\cdot\) est associative et admet un élément neutre noté \(1_A\) ou \(1\).

  • L’addition et la multiplication vérifient les règles de distributivité \[\begin{aligned} a(b+c) & = & ab + ac \\ (a+b) c & = & ac + bc\end{aligned}\] quels que soient \(a,b,c\) éléments de \(A\).

Un anneau est commutatif si sa multiplication est commutative.
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Anneau
[ Definition ]
Un anneau est un triplet \((A,+,\times)\) tel que

\(\bullet\)\(A\) est un ensemble non vide.

\(\bullet\)\(+\) est une loi de composition interne (c’est-à-dire une application de \(A\times A\) dans \(A\)), telle que \((A,+)\) est un groupe commutatif.

\(\bullet\)\(\times\) est une loi de composition interne associative, ayant un élément neutre, distributive par rapport à \(+\).

On appelle unité de \((A,+,\times)\) tout élément inversible pour \(\times\).

Si en outre \(\times\) est commutative, l’anneau est dit commutatif.

On note \(0\) l’élément neutre pour l’addition, \(1\) l’élément neutre pour la multiplication, le symétrique de \(a \in A\) pour \(+\) est noté \(-a\), et le symétrique, lorsque \(a\) est une unité, de \(a\) pour \(\times\) est noté \(a^{-1}\).

\(a\times b\) sera souvent abrégé \(a.b\) ou même \(ab\).

\(a\) et \(b\) appartenant à \(A\) sont dits associés si \(a=b.x\) pour un certain \(x\) unité. La relation d’association est une relation d’équivalence.

On dit que \(a\) divise \(b\), ou que \(a\) est un diviseur de \(b\), ou que \(b\) est un multiple de \(a\), pour \(a\) et \(b\) dans \(A\), s’il existe \(x\) tel que \(b=a.x\).

On dit que \(a\) est un plus grand commun diviseur ou pgcd des éléments \(a_1,...,a_n\), si pour tout \(i\), \(d|a_i\) et si pour tout \(d'\) \(\forall i\ d'|a_i\) implique \(d'|d\). On dit que \(a\) est un plus petit commun multiple ou ppcm des éléments \(a_1,...,a_n\), si pour tout \(i\), \(a_i|d\) et si pour tout \(d'\), \(\forall i\ a_i|d'\) implique \(d|d'\). \(a\in A\) est dit irréductible si \(a\) n’est pas une unité et si \(b|a\) implique que \(b\) est une unité ou que \(b\) est associé à \(a\).
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Anneau
[ Definition ]
Soit \(A\) un ensemble muni de deux loi de composition interne notées \(+\) et \(\times\). On dit que \((A,+,\times)\) est un anneau si et seulement si :
  1. Le couple \((A,+)\) est un groupe commutatif ;

  2. la loi \(\times\) est associative ;

  3. la loi \(\times\) est distributive par rapport à la loi \(+\) : \[\begin{aligned} \forall (x,y,z) \in A^3, \quad& x\times (y+z)= x\times y + x\times z \newline & (x+y)\times z = x\times z + y\times z; \end{aligned}\]

  4. il existe un élément neutre pour \(\times\), noté \(1\).

Si en plus la loi \(\times\) est commutative, on dit que \((A, +, \times)\) est un anneau commutatif.
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Anneau factoriel
[ Definition ]
Un anneau \(A\) est dit factoriel si:

\(\bullet\)il est intègre

\(\bullet\)tout \(a\) dans \(A\) s’écrit de manière unique à association près et à permutation près \(a=a'.p_1.p_2.....p_n\) avec \(a'\) unité et \(p_i\) irréductible pour tout \(i\).
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Anneau intègre
[ Definition ]
Soit un anneau \((A, +, \times)\). On dit que cet anneau est intègre si et seulement si :
  1. \(A \neq \{0\}\) ;

  2. la loi \(\times\) est commutative ;

  3. \(\forall (x, y) \in A^2\), \(x\times y = 0 \Rightarrow x = 0\) ou \(y = 0\).

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Anneau noethérien
[ Definition ]
Un anneau commutatif dont tout idéal est de type fini est dit noethérien.
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anneau quotient
[ Definition ]
Étant donné \(I\) un idéal de \(A\), on définit une relation d’équivalence \({\cal R}_I\) par \[a {\cal R}_I b \iff a-b \in I\] Alors l’ensemble quotient pour cette relation, muni des opérations induites par les opérations sur \(I\), est un anneau; on l’appelle anneau quotient de \(A\) par l’idéal \(I\), et on le note \(A/I\).
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anneaux intègres
[ Definition ]
  1. Un élément \(a\) est dit diviseur à gauche de \(0\) s’il existe \(b \neq 0\) tel que \(b.a=0\).

    Un élément \(a\) est dit diviseur à droite de \(0\) s’il existe \(b \neq 0\) tel que \(a.b=0\).

    Un élément est dit diviseur de \(0\) s’il est à la fois diviseur à gauche de \(0\) et diviseur à droite de \(0\).

    Un anneau est dit sans diviseur de \(0\) s’il n’admet pas de diviseur à gauche de \(0\) ou de diviseur à droite de \(0\) autre que \(0\) lui-même.

  2. Un anneau est dit intègre si:

    \(\bullet\)il est de cardinal \(>1\)

    \(\bullet\)il est commutatif

    \(\bullet\)il est sans diviseur de \(0\)

  3. Un élément \(a\) est dit nilpotent s’il existe \(n\in \mathbb{N}\) tel que \(a^n=0\). On appelle alors indice de nilpotence de \(a\) le plus petit \(n\) convenable non nul.

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Antisymétrie du déterminant
[ Proposition ]
Le déterminant est antisymétrique: si \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont deux vecteurs de \(\mathscr V\) alors \(\boxed{\mathop{\rm det}(\overrightarrow{u} , \overrightarrow{v}) =- \mathop{\rm det}( \overrightarrow{v} , \overrightarrow{u})}\).
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antisymétriques
[ Definition ]
Soit \(A\in\mathfrak{M}_{n}\left(\mathbb{K}\right)\).
  • On dit que \(A\) est symétrique si et seulement si \({A}^{\mathrm{T}}=A\) c’est-à-dire si et seulement si : \[\forall i,j\in\llbracket 1,n\rrbracket \quad a_{j,i}=a_{i,j}\] L’ensemble des matrices symétriques de taille \(n\) est noté \(\mathcal{S}_n\left(\mathbb{K}\right)\).

  • On dit que \(A\) est antisymétrique si et seulement si \({A}^{\mathrm{T}}=-A\) c’est-à-dire si et seulement si : \[\forall i,j\in\llbracket 1,n\rrbracket \quad a_{j,i}=-a_{i,j}\] L’ensemble des matrices antisymétriques de taille \(n\) est noté \(\mathcal{A}_n\left(\mathbb{K}\right)\) à \(n\) lignes et \(n\) colonnes.

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Application bilinéaire
[ Definition ]
Une application \(f:\mathscr V\times \mathscr V\longrightarrow \mathscr V\) est dite bilinéaire si elle est linéaire en chacune de ses variables, ce qui signifie que pour tout vecteurs \(\overrightarrow{u}, ~ \overrightarrow{v}\) de \(\mathscr V\) :
  • si on fixe \(\overrightarrow{u}\): \(f(\overrightarrow{u},.): \left\{ \begin{array}{ccl} \mathscr V & \longrightarrow & \mathscr V \\ \overrightarrow{v} & \longmapsto & f(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}) \end{array} \right.\) est linéaire.

  • si on fixe \(\overrightarrow{v}\): \(f(.,\overrightarrow{v}): \left\{ \begin{array}{ccl} \mathscr V & \longrightarrow & \mathscr V \newline \overrightarrow{u} & \longmapsto & f(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}) \end{array} \right.\) est linéaire.

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application contractante
[ Definition ]
On appelle application contractante ou contraction une application lipschitzienne ayant un coefficient de Lipschitz \(<1\).
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Application linéaire
[ Definition ]
Une application \(f\) d’un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel vers un autre est une application linéaire si \(\forall ({\lambda},x,y)\in\mathbb{K}\times E^2\) :

\(\bullet\)\(f(x+y)=f(x)+f(y)\)

\(\bullet\)\(f({\lambda}.x)={\lambda}.f(x)\)

Une application linéaire est aussi appelée morphisme d’espaces vectoriels, ou morphisme algébrique. C’est en particulier un morphisme de groupes. Une application linéaire bijective est appelée isomorphisme, une application linéaire de \(E\) dans \(E\) est appelée endomorphisme. Un endomorphisme qui est aussi un isomorphisme est appelé automorphisme. L’inverse d’un isomorphisme est un isomorphisme, appelé isomorphisme réciproque.

On note \({\cal L}(E,F)\) l’ensemble des morphismes de \(E\) dans \(F\); c’est un sous-espace vectoriel de \(F^E\). On note \({\cal L}(E)\) l’ensemble des endomorphismes de \(E\). On note \(Isom(E,F)\) l’ensemble des isomorphismes de \(E\) dans \(F\). On note \(Aut(E)\) l’ensemble des automorphismes de \(E\); il est noté \(GL(E)\) une fois qu’on l’a muni de la composition. \(GL(E)\) est un groupe, appelé groupe linéaire.

La notation \(E \simeq F\) signifie qu’il existe un isomorphisme de \(E\) dans \(F\).

L’image réciproque d’un sous-espace vectoriel par une application linéaire est un sous-espace vectoriel. On note \(Ker\ f\) et on appelle noyau de \(f\) l’image réciproque de \(\{ 0 \}\), c’est un sous-espace vectoriel. Une application linéaire est injective si et seulement si son noyau est \(\{ 0 \}\). On notera que le noyau d’une application linéaire est le noyau du morphisme de groupes correspondant.

L’image directe d’un sous-espace vectoriel par une application linéaire est un sous-espace vectoriel. On note \(Im\ f\) et on appelle image de \(f\) l’ensemble \(f(E)=\{f(x); x\in E\}\). Évidemment, \(f\) est surjective si et seulement si \(Im\ f=F\).

On note \(Id\) la fonction identité de \(E\); c’est une application linéaire et un isomorphisme. On note \(Inv\ f\) l’ ensembles des invariants de \(f\); \(Inv\ f = Ker (f-Id)\). On note \(Opp\ f\) l’ensemble des vecteurs changés en leur opposé; \(Opp\ f = Ker (f+Id)\).

Si \({\lambda}\neq 0\), on appelle homothétie de rapport \({\lambda}\) d’un espace vectoriel \(E\) l’application \(x \mapsto {\lambda}.x\).

Enfin, on appelle forme linéaire sur un espace vectoriel \(E\) une application linéaire définie sur \(E\) et à valeurs dans \(\mathbb{K}\).
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Application linéaire
[ Definition ]
Soient \(\left(E,+,\cdot\right)\) et \(\left(F,+,\cdot\right)\) deux \(\mathbb{K}\)-espaces vectoriels et \(f:E \rightarrow F\). On dit que \(f\) est linéaire si et seulement si :
  1. \(\forall \left(x,y\right)\in E^2,\quad f\left(x+y\right)=f\left(x\right)+f\left(y\right)\).

  2. \(\forall \left(\lambda,x\right)\in\mathbb{K}\times E,\quad f\left(\lambda\cdot x\right)=\lambda \cdot f\left(x\right)\).

(On dit aussi que \(f\) est un morphisme d’espaces vectoriels).
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Application linéaire dans l’espace
[ Definition ]
Soit \(f:\mathscr V\longrightarrow \mathscr V\). On dit que \(f\) est linéaire si pour tout couple \((\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})\) de \(\mathscr V^2\) et tout réel \(\lambda\), \[f(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})=f(\overrightarrow{u})+ f ( \overrightarrow{v} ) \quad \textrm{ et} \quad f(\lambda \overrightarrow{u})=\lambda f(\overrightarrow{u}).\]
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Application multilinéaire
[ Definition ]
Soient \(E_1\), ..., \(E_n\) et \(F\) des \(\mathbb{K}\)-espaces vectoriels, alors \(f:\Pi_{i \in [[1,n]]} E_i \to F\) est \(n\)-linéaire si pour tout \((x_i)\) dans \(\Pi E_i\) et tout \(j\) l’application \[x \to f(x_1,...,x_{j-1},x,x_{j+1},...,x_n)\] est linéaire. Leur ensemble est noté \(\mathcal L(E_1,...,E_n;F)\).

Si \(E_1=E_2=...=E_n=E\) on dit que \(f\) est une application \(n\)-linéaire sur \(E\).

Si \(F\) est le corps \(\mathbb{K}\), alors \(f\) est dite forme \(n\)-linéaire.

On note \(L_n(E,F)\) l’ensemble des applications \(n\)-linéaires de \(E\) dans \(F\).

On note \(L_n(E)\) l’ensemble des formes \(n\)-linéaires sur \(E\), c’est-à-dire \(L_n(E,\mathbb{K})\).

Étant donné \(f\in L_n(E,F)\) et \(\sigma\in \sigma_n\) on note \(f_\sigma\) l’application \(n\)-linéaire \((x_1,...,x_n) \mapsto f(x_{\sigma(1)},x_{\sigma(2)},...,x_{\sigma(n)})\).

Une application \(n\)-linéaire est dite symétrique si pour tout \(\sigma\) \(f_\sigma=f\).

Une application \(n\)-linéaire est dite antisymétrique si pour tout \(\sigma\) \(f_\sigma=\epsilon(\sigma).f\), avec \(\epsilon()\) la signature (cf section [symet]).

Une application \(n\)-linéaire est dite alternée si \(i\neq j\) et \(x_i=x_j\) implique \(f(x_1,...,x_n)=0\).

On note \(S_n(E,F)\) l’ensemble des applications \(n\)-linéaires symétriques de \(E\) dans \(F\) et \(A_n(E,F)\) l’ensemble des applications \(n\)-linéaires alternées de \(E\) dans \(F\).

On note \(S_n(E)\) l’ensemble des formes \(n\)-linéaires symétriques sur \(E\) et \(A_n(E)\) l’ensemble des formes \(n\)-linéaires alternées sur \(E\).
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Application ouverte
[ Definition ]
Une application est dite ouverte si l’image de tout ouvert est un ouvert.
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application polynômiale associée à \(A\)
[ Definition ]
Étant donnée \(B\) une \(A\)-algèbre associative commutative et unitaire, on peut identifier \(P\) à une application de \(A\) dans \(A\), dite application polynômiale associée à \(A\), noté \(\tilde P\), et définie par \[\tilde P(x)=\sum_{n\in\mathbb{N}} P_n\ x^n .\] Cela est notamment valable pour \(B=A\); implicitement \(\tilde P\) désignera généralement une fonction de \(A\) dans \(A\).
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Application réglée
[ Definition ]
Une application de \(\mathbb{R}\) dans un espace topologique est dite réglée si et seulement si elle admet une limite à droite et une limite à gauche en tout point.
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Application réglée
[ Definition ]
Une application de \(\mathbb{R}\) dans un espace topologique est dite réglée si et seulement si elle admet une limite à droite et une limite à gauche en tout point.
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Applications lipschitzienne
[ Definition ]

Une application \(h\) est dite lipschitzienne s’il existe \(K \in [0, + \infty[\) tel que \[d(h(x),h(x')) \leq K.d(x,x')\]

On dit aussi qu’elle est \(K\)-lipschitzienne.

On définit la constante de Lipschitz par \[Lip(h)=sup \{ \frac{d(h(x),h(x'))}{d(x,x')} | x,x' \in X, x \neq x'\}\]
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Application trilinéaire
[ Definition ]
Une application \(\varphi:\mathscr V^3 \rightarrow 13 sqrt\) est dite trilinéaire si et seulement si :
  • pour tout \(\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)\) fixé dans \(\mathscr V \times \mathscr V\), l’application : \(\overrightarrow{w} \mapsto \varphi\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right)\) est linéaire.

  • pour tout \(\left(\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right)\) fixé dans \(\mathscr V \times \mathscr V\), l’application : \(\overrightarrow{u} \mapsto \varphi\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right)\) est linéaire.

  • pour tout \(\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{w}\right)\) fixé dans \(\mathscr V \times \mathscr V\), l’application : \(\overrightarrow{v} \mapsto \varphi\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right)\) est linéaire.

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Approximation d’ouverts du plan par des compacts
[ Corollaire ]

Soit \(\Omega\) un ouvert de \(\mathbb{C}\) (on pourrait dire \(\mathbb{R}^2\)). Alors il existe une suite de compacts \(K_n\) inclus dans \(\Omega\) tels que:

\(\bullet\)\(K_n \subset Int(K_{n+1})\)

\(\bullet\)Tout compact de \(\Omega\) est inclus dans un certain \(K_n\)

\(\bullet\)Toute composante connexe de \((\mathbb{C}\cup \{\infty\}) \setminus K_n\) contient une composante connexe de \((\mathbb{C}\cup \{ \infty\}) \setminus \Omega\)

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Approximation d’une fonction continue par une fonction en escalier
[ Théorème ]
Soit \(f\) une fonction continue sur le segment \(\left[a,b\right]\) et \(\varepsilon>0\). Alors, il existe une fonction en escalier \(\varphi\) telle que \[\lVert f-\varphi \rVert_{\infty} = \displaystyle{\sup_{x \in [a,b]} \lvert f(x)-\varphi(x) \rvert } \leqslant\varepsilon.\]
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Approximation uniforme d’une fonction continue par morceaux par une fonction en escalier
[ None ]
Soit \(f\) une fonction continue par morceaux sur le segment \([a,b]\) et \(\varepsilon> 0\). Il existe une fonction \(\varphi\) en escalier sur \([a,b]\) telle que \(\lVert f-\varphi \rVert_{\infty} \leqslant \varepsilon\).
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Arc ou chemin
[ Definition ]

Un arc ou chemin est une application continue de \([0,1]\) dans \(X\). L’image de \(0\) et l’image de \(1\) sont les extrémités de l’arc.

On appelle longueur d’un arc \(C^1\) l’intégrale de la norme de sa dérivée, lorsque cette intégrale est bien définie.
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Arc paramétré
[ Definition ]
On appelle arc paramétré ou courbe paramétrée un couple \(\gamma = (I, \overrightarrow{F})\)\(I \subset \mathbb{R}\) est un intervalle et \(\overrightarrow{F} : I \mapsto \mathbb{R} [2]\) une application de classe \({\mathcal{C}}^[(k) ]{I, \mathbb{R} [2]}\).
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Argument d’un nombre complexe
[ Proposition ]
Soit \(z\) un nombre complexe non nul. Il existe au moins un nombre réel \(\theta\) tel que \(\boxed{z=\rho e^{i\theta}}\)\(\rho = \lvert z \rvert \in\mathbb{R}_+^*\) est le module de \(z\).
  • \(\rho e^{i\theta}\) est une forme trigonométrique de \(z\).

  • Le réel \(\theta\) est appelé un argument de \(z\).

Un tel nombre n’est pas unique : si \(\theta_0\) est un argument de \(z\), l’ensemble de tous les arguments de \(z\) est donné par \(\left\{\theta_0+2k\pi ~|~ k\in\mathbb{Z}\right\}\). On notera \(\arg\left(z\right)= \theta_0 \left[2\pi\right]\). Enfin, il existe un unique argument de \(z\) appartenant à l’intervalle \(]-\pi,\pi]\). On l’appellera l’argument principal de \(z\).
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Argument principal d’un nombre complexe
[ Proposition ]
Soit \(z\) un nombre complexe non nul. Il existe au moins un nombre réel \(\theta\) tel que \(\boxed{z=\rho e^{i\theta}}\)\(\rho = \lvert z \rvert \in\mathbb{R}_+^*\) est le module de \(z\).
  • \(\rho e^{i\theta}\) est une forme trigonométrique de \(z\).

  • Le réel \(\theta\) est appelé un argument de \(z\).

Un tel nombre n’est pas unique : si \(\theta_0\) est un argument de \(z\), l’ensemble de tous les arguments de \(z\) est donné par \(\left\{\theta_0+2k\pi ~|~ k\in\mathbb{Z}\right\}\). On notera \(\arg\left(z\right)= \theta_0 \left[2\pi\right]\). Enfin, il existe un unique argument de \(z\) appartenant à l’intervalle \(]-\pi,\pi]\). On l’appellera l’argument principal de \(z\).
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associés
[ Definition ]
Le projecteur évoqué dans les deux derniers points de la proposition ci-dessus est unique; la symétrie et le projecteur en question sont dits associés.
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associés
[ Definition ]
Une symétrie \(s\) et un projecteur \(p\) sont dits associés lorsque \(s=2.p-Id\).
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Asymptotes
[ Definition ]
Soit \(f:[c,+\infty]\mapsto \mathbb{R}\) une fonction. On dit qu’une courbe \(y=g(x)\) est asymptote à la courbe \(y=f(x)\) en \(+\infty\) si et seulement si : \[g(x)-f(x) \xrightarrow[ x\rightarrow +\infty]{ } 0\] En particulier, une droite d’équation \(y=ax+b\) est asymptote à la courbe représentative de f si et seulement si : \[f(x)-[ax+b] \xrightarrow[ x\rightarrow +\infty ]{ } 0\]
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Asymptotes à l’hyperbole
[ Proposition ]
Soit \(\mathscr H\) l’hyperbole d’équation \({\scriptstyle X^2\over\scriptstyle a^2}-{\scriptstyle Y^2\over\scriptstyle b^2}=1\) avec \(a>0, ~ b>0\) dans un repère orthonormal \((O,\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})\). \(\mathscr H\) admet deux asymptotes: \(\boxed{\delta : ~ b~X - a ~ Y=0}\) et \(\boxed{\delta' : ~ b~X + a ~ Y=0}\).
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automorphisme
[ Definition ]
Soit \(f:E\rightarrow F\) une application linéaire.
  • Si \(F=\mathbb{K}\), on dit que \(f\) est une forme linéaire. On note \(E^*\) l’ensemble des formes linéaires sur \(E\).

  • Si \(E=F\), on dit que \(f\) est un endomorphisme de \(E\).

  • Si \(f:E\rightarrow F\) est bijective, on dit que \(f\) est un isomorphisme de \(E\) sur \(F\).

  • Si \(f\) est à la fois un endomorphisme de \(E\) et un isomorphisme, on dit que \(f\) est un automorphisme de \(E\).

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Autre caractérisation de la signature
[ None ]
Si une permutation \(\sigma\) s’écrit comme produit de \(p\) transpositions, \[\sigma = \tau_1\circ \dots \circ \tau_p\] alors \(\varepsilon(\sigma) = (-1)^p\).
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Autre façon de voir la topologie sur \(C^k(\Omega)\)
[ None ]
La même topologie serait définie en définissant les fermés comme étant les sous-ensembles contenant les limites de toute suite convergente pour la topologie de la convergence uniforme de toutes les dérivées d’ordre total \(\leq k\) sur tout compact.
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Autres propriétés du PGCD
[ Proposition ]
Soient trois entiers non nuls \((a, b, c) \in {\mathbb{Z}^*}^3\).
  1. Soient trois entiers \((\delta, a', b') \in \mathbb{N}^* \times \mathbb{Z}^{2}\) tels que \(a = \delta a'\), \(b = \delta b'\), alors \[\bigl(\delta = a \wedge b\bigr) \Longleftrightarrow \bigl(a' \wedge b' = 1\bigr);\]

  2. \(\begin{cases} a \wedge b = 1 \\ a \wedge c = 1 \end{cases} \Longleftrightarrow a \wedge (bc) = 1\) ;

  3. \(\begin{cases} a \mid c \\ b \mid c \newline a \wedge b = 1 \end{cases} \Rightarrow ab \mid c\) ;

  4. pour tout couple \((p, q) \in {\mathbb{N}^*}^2\), si \(a \wedge b = 1\), alors \(a^p \wedge b^q = 1\) ;

  5. pour tout entier \(k \in \mathbb{N}^*\), \(a^k \wedge b^k = (a \wedge b)^k\).

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axe polaire
[ Proposition ]
Soit \(\mathscr R\)\((O,\overrightarrow{\imath },\overrightarrow{\jmath })\)un repère orthonormal direct. Soit \(\theta\) un réel. Soit \(\mathscr R(\theta)\) le repère \(\left(O,\overrightarrow{u}\left(\theta\right),\overrightarrow{v}\left(\theta\right)\right)\) image de \(\mathscr R\) par une rotation de centre \(O\) et d’angle \(\theta\). Ce repère, qui est encore orthonormal direct, est le repère polaire attaché au réel \(\theta\). De plus \[\boxed{\left\{\begin{array}{c} \overrightarrow{ u}(\theta)=\cos \theta \overrightarrow{\imath}+\sin \theta \overrightarrow{\jmath }\newline \overrightarrow{v}(\theta)=-\sin \theta \overrightarrow{\imath}+\cos \theta \overrightarrow{\jmath }\end{array}\right.}.\] Le point \(O\) est appelé le pôle et la droite orientée \((O,\overrightarrow{\imath})\) est appelée l’axe polaire de ce repère.
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Axiome de fondation
[ Definition ]
On appelle axiome de fondation l’axiome selon lequel pour tout ensemble \(E\) non vide il existe \(F\) tel que \(F \in E\) et \(F \cap E= \emptyset\).
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Axiome du choix
[ Definition ]
Un produit d’ensembles non vides est non vide.
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Axiome du choix
[ Definition ]
Étant donné un ensemble \(E\), il existe une fonction \(f\) qui à une partie non vide de \(E\) associe un élément de cette partie.
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