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Anneau \(\mathbb{Z}\left[\sqrt 7\right]\)
- Emmanuel Vieillard-Baron
- Alain Soyeur
- François Capaces
Démontrer que
On admet que l’équation \(N(x) = -1\) n’admet pas de solution dans \(\mathcal A\). Voir à ce sujet l’exercice [residu_quadratique] p. [residu_quadratique].
(On pourra, faute de mieux, démontrer que \(\forall n\in\mathbb N^*\), \(\alpha_{n}\geqslant3^{2^n}\) et \(\beta_{n}\geqslant3^{2^n}\).)
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Signature d'une permutation
Bonsoir
J'ai des difficultés à chaque fois dans les changements d'indice dans les sommes produits qui font intervenir une bijection.

Aide pour la technique d'un point fixe
Bonjour
pappus et à tous
Je recherche
la technique du point fixe qui peut exister entre deux points M et M’ liés
homographiquement…Je formule certainement mal ma question… comment se détaille l’approche ? Référence ?
Un
début de réponse serait la bienvenue…
Sincèrement
Jean-Louis.
La A-droite de van Lamoen
Bonjour,
pour commencer...
1. ABC un triangle
2. H l'orthocentre de ABC
3. L, M deux droites perpendiculaires issues de H,
4. B', C' les points d'intersection de L resp. avec (CA), (AB),
5. B'', C'' les points d'intersection de M resp. avec (CA), (AB)
6. I, J, K les milieux de [BC], [B'C'], [B"C"].
Question : I, J et K sont alignés.
On notera La cette droite.
Merci pour votre aide pour la figure.
Sincèrement
Jean-Louis
Exercice sur les groupes
Rang d'un endomorphisme cyclique
Bonjour,
Soit $u$ un endomorphisme cyclique d'un $\mathbb K$-espace vectoriel $E$ de dimension finie $n$.
En notant $P:=X^n+\sum\limits_{k=0}^{n-1}a_k X^k\in\mathbb K[X]$ le polynôme de la matrice compagnon $\mathrm{Comp}(P)$ associée, comment montrer simplement que $\mathrm{rg}(u)\in\{n-1,n\}$ et plus précisément que :
- $\mathrm{rg}(u)=n\iff a_0\neq 0$ ;
- $\mathrm{rg}(u)=n-1\iff a_0=0$.
Si possible en utilisant la définition/propriétés de base de $u$ cyclique, à savoir l'une de ces assertions équivalentes :
- Il existe $x\in E$ tel que $(u^{k}(x))_{0\leqslant k\leqslant n-1}$ est une base de $E$ ;
- Il existe $x\in E$ tel que $E_{u,x}:=\mathrm{Vect}\left((u^{k}(x))_{k\in\mathbb N}\right)=E$ ;
- Il existe une base $\mathcal B$ de $E$ et une famille $(a_i)_{0\leqslant i\leqslant …