Les derniers exercices
Anneau \(\mathbb{Z}\left[\sqrt 7\right]\)
- Emmanuel Vieillard-Baron
- Alain Soyeur
- François Capaces
On rappelle (exercice [sous_groupe_de_R] p. [sous_groupe_de_R]) que tout sous-groupe de \(\left(\mathbb{R},+\right)\) non réduit à \(\left\{0\right\}\) est soit de la forme \(a\mathbb{Z}\) où \(a\in\mathbb{R}_+^*\), soit dense dans \(\mathbb{R}\).
Soit \(H\) un sous-groupe de \((\mathbb R^*, \times)\).
Démontrer que
soit : \(\exists a\geqslant1:\, H = \left\lbrace a^n, n\in\mathbb Z\right\rbrace\),
soit : \(\forall (\alpha,\beta)\in\mathbb R_+^2\), \((\alpha<\beta) \Longrightarrow (]\alpha,\beta[\cap H \neq \varnothing)\).
(On pourra utiliser le logarithme.)
Dans toute cette partie, \(\mathcal A=\left\{ a+b\sqrt 7~|~ (a,b)\in \mathbb{Z}^2\right\}\). On admet que \(\sqrt7\notin\mathbb Q\). (voir l’exercice [racine7_irrationnel] p. [racine7_irrationnel].)
Démontrer que pour tout \(x\in\mathcal A\), il existe un unique couple \((a,b)\in \mathbb Z^2\) tel que \(x = a+b\sqrt7\).
Démontrer que \(\mathcal A\) est un sous-anneau de \((\mathbb R, +,\times)\).
Démontrer que l’ensemble \(U(\mathcal A)\) des éléments inversibles de \(\mathcal A\) est un sous-groupe de \((\mathbb R^*, \times)\).
Pour \(x = a+b\sqrt7\in \mathcal A\), on note \(\overline x\) le réel \(a-b\sqrt7\) et on note \(N(x) = x\overline x = a^2 - 7b^2\).
Expliquer rapidement pourquoi \(\overline x\) et \(N(x)\) sont bien définis.
Démontrer que \(\forall(x,y)\in\mathcal A^2\), \(N(xy) = N(x)N(y)\).
On admet que l’équation \(N(x) = -1\) n’admet pas de solution dans \(\mathcal A\). Voir à ce sujet l’exercice [residu_quadratique] p. [residu_quadratique].
Démontrer que \(\forall x\in\mathcal A\), \(\left(x\in U(\mathcal A) \Longleftrightarrow (N(x) = 1)\right)\). Le cas échéant, que vaut l’inverse de \(x\) ?
Soit \(a+b\sqrt7\in U(\mathcal A)\). Démontrer que (\(a\geqslant 0\) et \(b\geqslant 0\))\(\Longleftrightarrow (a+b\sqrt7\geqslant1)\).
Démontrer que \(U(\mathcal A)\) n’est pas réduit à \(\{-1,1\}\).
Démontrer que l’intervalle \(\left] 1,3\sqrt7\right[\) ne contient pas d’éléments de \(U(\mathcal A)\).
Démontrer qu’il existe un élément de \(u\) de \(U(\mathcal A)\cap]1,+\infty[\) tel que \[U(\mathcal A) = \left\lbrace \varepsilon u^n ; \varepsilon = \pm1 \textrm{ et } n\in\mathbb Z \right\rbrace .\] Le nombre \(u\) évidemment (?) unique est appelé unité principale de \(\mathcal A\).
On pose pour tout \(n\in\mathbb N\), \(u^n = a_n + b_n\sqrt7\).
Démontrer que les suites \((a_n)_{n\in\mathbb N}\) et \((b_n)_{n\in\mathbb N}\) sont positives et strictement croissantes.
En déduire la valeur de \(u\).
Donner dans l’ordre croissant des valeurs de \(x\), les quatre plus petites solutions dans \(\mathbb N^*\times\mathbb N^*\) de l’équation dite de Pell-Fermat : \[x^2 - 7y^2 = 1.\]
On pose \(\alpha_n = a_{2^n}\) et \(\beta_n = b_{2^n}\).
Établir des relations de récurrence entre les \(\alpha_{n+1}\) et \(\beta_{n+1}\) d’une part et les \(\alpha_{n}\) et \(\beta_{n}\) d’autre part.
Démontrer que \(\dfrac{a_n}{b_n}\) converge vers une limite finie \(\lambda\) que l’on déterminera.
Démontrer que \(\forall n\in\mathbb N\), \[\varepsilon_n = \left\vert \dfrac{\alpha_n}{\beta_n} - \lambda \right\vert \leqslant \dfrac{1}{2\sqrt7\,\beta_n^2}.\]
Donner une majoration explicite de l’erreur \(\varepsilon_n\) en fonction de \(n\).
(On pourra, faute de mieux, démontrer que \(\forall n\in\mathbb N^*\), \(\alpha_{n}\geqslant3^{2^n}\) et \(\beta_{n}\geqslant3^{2^n}\).)
En déduire une approximation rationnelle de \(\sqrt7\) à \(10^{-20}\) près.
Articles
Forum
Concours général de maths
Bonjour
Comment pour un élève de terminale se préparer dans ces quelques mois qui restent au concours général des mathématiques ?
En plus, y a-t-il un élève qui me partage le même objectif ?
Enseigner la géométrie en 2023 : quelle place pour l'algèbre linéaire ?
Bonjour
Un sujet m'intéresse depuis des décennies maintenant : comment enseigner la géométrie disons à partir de 9/10 ans jusqu'aux classes terminales des lycées ?
J'ai un avis qui peut paraître peu nuancé, toujours le même depuis des décennies : faire table rase du passé: "Mort à Euclide", pour reprendre une injonction célèbre (colloque de Royaumont sur l'enseignement des maths , 1959 ).
Voici quelques arguments :
1. Il me semble déraisonnable de demander à des enseignants de suivre une voie, en substance la voie d' Euclide , alors que la seule chose qu'ils en connaissent est ce qu'ils …
Cycles
Que cache cette animation ?
Amicalement
pappus
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Utiliser les multiplicateurs de Lagrange pour le Basis pursuit
Bonjour,
un sujet qui m’intéresse beaucoup en ce moment est le “compressed sensing”. C’est un problème d’optimisation que ce base notamment sur solutionner le problème suivant nommé “basis pursuit” : $\min_{\alpha} \parallel \alpha\parallel s.t\ y=X\alpha$.
Plusieurs méthodes existent pour résoudre ce problème, mais je me suis demandé si il n’était pas possible de le résoudre en utilisant le multiplicateur de Lagrange? C’est un problème qui s’y porte bien. Pourtant, je ne trouve aucune documentation sur cette piste…
Quelqu’un aurait une idée ou une source à partager svp ? L’objectif serait d’obtenir une solution générique (dépendante de X et y) et …
Un ami en commun
Bonjour.
Mon message concerne l'exercice suivant.
On se donne deux entiers naturels $n$ et $m$ tels que : $n > m$.
On considère une assemblée de $n$ personnes dans laquelle chacun a exactement $m$ amis (au sein de cette assemblée).
On choisit deux personnes.
Quelle est la probabilité que ces deux personnes aient au moins un ami en commun ?
Mon idée a été celle-ci.
On assimile l'ensemble des $n$ personnes à $E= \llbracket 1 , n \rrbracket$.
À toute personne de l'assemblée, on associe une partie à exactement $m$ éléments de $E$.
Dénombrer les personnes n'ayant pas d'amis en …