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Exercice
Anneau \(\mathbb{Z}\left[\sqrt 7\right]\)
18 novembre 2022 16:00 — Par
- Emmanuel Vieillard-Baron
- Alain Soyeur
- François Capaces
On rappelle (exercice [sous_groupe_de_R] p. [sous_groupe_de_R]) que tout sous-groupe de \(\left(\mathbb{R},+\right)\) non réduit à \(\left\{0\right\}\) est soit de la forme \(a\mathbb{Z}\) où \(a\in\mathbb{R}_+^*\), soit dense dans \(\mathbb{R}\).
Soit \(H\) un sous-groupe de \((\mathbb R^*, \times)\).
Démontrer que
soit : \(\exists a\geqslant1:\, H = \left\lbrace a^n, n\in\mathbb Z\right\rbrace\),
soit : \(\forall (\alpha,\beta)\in\mathbb R_+^2\), \((\alpha<\beta) \Longrightarrow (]\alpha,\beta[\cap H \neq \varnothing)\).
(On pourra utiliser le logarithme.)
Dans toute cette partie, \(\mathcal A=\left\{ a+b\sqrt 7~|~ (a,b)\in \mathbb{Z}^2\right\}\). On admet que \(\sqrt7\notin\mathbb Q\). (voir l’exercice [racine7_irrationnel] p. [racine7_irrationnel].)
Démontrer que pour tout \(x\in\mathcal A\), il existe un unique couple \((a,b)\in \mathbb Z^2\) tel que \(x = a+b\sqrt7\).
Démontrer que \(\mathcal A\) est un sous-anneau de \((\mathbb R, +,\times)\).
Démontrer que l’ensemble \(U(\mathcal A)\) des éléments inversibles de \(\mathcal A\) est un sous-groupe de \((\mathbb R^*, \times)\).
Pour \(x = a+b\sqrt7\in \mathcal A\), on note \(\overline x\) le réel \(a-b\sqrt7\) et on note \(N(x) = x\overline x = a^2 - 7b^2\).
Expliquer rapidement pourquoi \(\overline x\) et \(N(x)\) sont bien définis.
Démontrer que \(\forall(x,y)\in\mathcal A^2\), \(N(xy) = N(x)N(y)\).
On admet que l’équation \(N(x) = -1\) n’admet pas de solution dans \(\mathcal A\). Voir à ce sujet l’exercice [residu_quadratique] p. [residu_quadratique].
Démontrer que \(\forall x\in\mathcal A\), \(\left(x\in U(\mathcal A) \Longleftrightarrow (N(x) = 1)\right)\). Le cas échéant, que vaut l’inverse de \(x\) ?
Soit \(a+b\sqrt7\in U(\mathcal A)\). Démontrer que (\(a\geqslant 0\) et \(b\geqslant 0\))\(\Longleftrightarrow (a+b\sqrt7\geqslant1)\).
Démontrer que \(U(\mathcal A)\) n’est pas réduit à \(\{-1,1\}\).
Démontrer que l’intervalle \(\left] 1,3\sqrt7\right[\) ne contient pas d’éléments de \(U(\mathcal A)\).
Démontrer qu’il existe un élément de \(u\) de \(U(\mathcal A)\cap]1,+\infty[\) tel que \[U(\mathcal A) = \left\lbrace \varepsilon u^n ; \varepsilon = \pm1 \textrm{ et } n\in\mathbb Z \right\rbrace .\] Le nombre \(u\) évidemment (?) unique est appelé unité principale de \(\mathcal A\).
On pose pour tout \(n\in\mathbb N\), \(u^n = a_n + b_n\sqrt7\).
Démontrer que les suites \((a_n)_{n\in\mathbb N}\) et \((b_n)_{n\in\mathbb N}\) sont positives et strictement croissantes.
En déduire la valeur de \(u\).
Donner dans l’ordre croissant des valeurs de \(x\), les quatre plus petites solutions dans \(\mathbb N^*\times\mathbb N^*\) de l’équation dite de Pell-Fermat : \[x^2 - 7y^2 = 1.\]
On pose \(\alpha_n = a_{2^n}\) et \(\beta_n = b_{2^n}\).
Établir des relations de récurrence entre les \(\alpha_{n+1}\) et \(\beta_{n+1}\) d’une part et les \(\alpha_{n}\) et \(\beta_{n}\) d’autre part.
Démontrer que \(\dfrac{a_n}{b_n}\) converge vers une limite finie \(\lambda\) que l’on déterminera.
Démontrer que \(\forall n\in\mathbb N\), \[\varepsilon_n = \left\vert \dfrac{\alpha_n}{\beta_n} - \lambda \right\vert \leqslant \dfrac{1}{2\sqrt7\,\beta_n^2}.\]
Donner une majoration explicite de l’erreur \(\varepsilon_n\) en fonction de \(n\).
(On pourra, faute de mieux, démontrer que \(\forall n\in\mathbb N^*\), \(\alpha_{n}\geqslant3^{2^n}\) et \(\beta_{n}\geqslant3^{2^n}\).)
En déduire une approximation rationnelle de \(\sqrt7\) à \(10^{-20}\) près.
Articles
Forum
Transformations à l'école et au collège
9 décembre 2023 12:46 — Par Magnéthorax
Bonjour,
Je soumets une petite réflexion qui m'est venue l'autre jour en 5e : les enfants font des frises depuis tout petits sur leur cahier du jour, il voient et font tourner des roues de vélo, des compas, des aiguilles, des manèges, etc. En maths, les chefs pédagogiques demandent d'étudier dans cet ordre : symétrie axiale (6e et avant), symétrie centrale (5e), translation (4e), rotation (3e). Je concède que nous sommes constamment exposés à des symétries axiales, mais, à ceci près, tout cela me semble monté à l'envers. Je débute depuis 3 ans au collège. Voyez vous quelques éléments qui …
Plusieurs droites concourantes
9 décembre 2023 12:41 — Par S0_
-$ABOCED$ un quadrilatère complet de diagonales $[AO],[BE]$ et $[DC]$
-$(DC )$et $(BE)$ se coupent en $F$
-les parallèles de même direction passant par les points $C,E,F,B$ et $D$ Coupent $(AO)$ en $H_1,H_2,H_3,H_4$ et $H_5$ respectivement
Démontré que les droites $(CH_5), (DH_1), (EH_4),(BH_2)$ et $(FH_3)$ sont concourantes au milieu de $[FH_3]$
Démontré que les droites $(CH_5), (DH_1), (EH_4),(BH_2)$ et $(FH_3)$ sont concourantes au milieu de $[FH_3]$
$et $(BE)$ se coupent en $F$<br><div>-les parallèles de même direction passant par les points $C,E,F,B$ et $D$ Coupent $(AO)$ en $H_1,H_2,H_3,H_4$ et $H_5$ respectivement<br>Démontré que les droites $(CH_5), (DH_1), (EH_4),(BH_2)$ et $(FH_3)$ sont concourantes au milieu de $[FH_3]$<br><br><img src="https://les-mathematiques.net/vanilla/uploads/editor/88/i95l0iygukgm.png" alt=""><br></div></div>#latest)
Ghys sur l'enseignement des maths
9 décembre 2023 12:37 — Par Georges Abitbol
https://www.lesechos.fr/politique-societe/societe/etienne-ghys-la-racine-de-nos-problemes-en-mathematiques-se-situe-a-lecole-primaire-2038795?utm_source=pocket-newtab-fr-fr
J'ai parcouru l'article. Il me semble plein de platitudes, de constats étranges, tels que
J'ai parcouru l'article. Il me semble plein de platitudes, de constats étranges, tels que
L'une des explications relève, selon moi, des mathématiques modernes des
années 1970. Il reste des échos lointains de ce qui a été une erreur
pédagogique. Beaucoup de nos concitoyens et certains professeurs ont
encore cette vision des mathématiques comme celle d'une discipline
complètement abstraite.
Je ne sais absolument pas de qui il parle...
L'approche des mathématiques est trop conceptuelle. Si on veut apprendre les fractions, il faut commencer par les tartes !
Je le trouve un peu gonflé de dire ça. …
![Lieu de foyers9 décembre 2023 12:34 — Par pappus Bonjour à tousOn se donne dans le plan euclidien un point $O$, un point $M$ et une droite $\delta$ passant par $M$.Lieu des foyers des coniques de centre $O$ tangentes en $M$ à la droite $\delta$.Je retourne un peu le couteau dans la plaie en parlant de foyers mais comme dirait Gaston, m'enfin ce n'est qu'un minusculissime exercice de la tristounette géométrie euclidienne plane.Oh combien de marins, combien de capitaines, combien de professeurs seraient capables de me rédiger en bon français et en une ligne, une solution synthétique de ce misérable exercice?AmicalementpappusPSJe …](/vanilla/index.php?p=/discussion/2336242/<div>Bonjour à tous</div><div>On se donne dans le plan euclidien un point $O$, un point $M$ et une droite $\delta$ passant par $M$.<br></div><div>Lieu des foyers des coniques de centre $O$ tangentes en $M$ à la droite $\delta$.</div><div>Je retourne un peu le couteau dans la plaie en parlant de foyers mais comme dirait Gaston, m'enfin ce n'est qu'un minusculissime exercice de la tristounette géométrie euclidienne plane.</div><div>Oh combien de marins, combien de capitaines, combien de professeurs seraient capables de me rédiger en bon français et en une ligne, une solution synthétique de ce misérable exercice?<br></div><div>Amicalement</div><div>pappus</div><div>PS</div><div>Je crois bien l'avoir donné sous une autre forme il n'y a pas si longtemps, probablement dans l'indifférence la plus générale puisqu'il n'y a pas le moindre point à aligner!</div><div>Prière de lire attentivement son Lebossé-Hémery de la classe de Mathématiques car celui de Seconde ne suffit pas!<br></div><div><img alt="" src="https://les-mathematiques.net/vanilla/uploads/editor/1k/krayqk8ovqnp.gif" title="Image: https://les-mathematiques.net/vanilla/uploads/editor/1k/krayqk8ovqnp.gif"><br></div>#latest){kind=link}
Lieu de foyers
9 décembre 2023 12:34 — Par pappus
Bonjour à tous
On se donne dans le plan euclidien un point $O$, un point $M$ et une droite $\delta$ passant par $M$.
Lieu des foyers des coniques de centre $O$ tangentes en $M$ à la droite $\delta$.
Je retourne un peu le couteau dans la plaie en parlant de foyers mais comme dirait Gaston, m'enfin ce n'est qu'un minusculissime exercice de la tristounette géométrie euclidienne plane.
Oh combien de marins, combien de capitaines, combien de professeurs seraient capables de me rédiger en bon français et en une ligne, une solution synthétique de ce misérable exercice?
Amicalement
pappus
PS
Je …
Pérennisation des sites Internet de mathématiques
9 décembre 2023 12:20 — Par jelobreuil
Bonsoir à tous
Le problème du site de @"Jean-Louis Ayme", (voir la discussion https://les-mathematiques.net/vanilla/discussion/2335567/geometry-geometrie-geometria#latest) reste à l'heure actuelle sans solution.
Il m'est venu à l'idée que la SMF pourrait sans doute, pour pérenniser ce site et d'autres, tels que ceux de Bernard Gibert et Robert Ferréol, se doter d'une structure d'hébergement ad hoc, dans le cadre de ses missions de diffusion des connaissances.
Qu'en pensez-vous ?
Bien cordialement, JLB
Lexique
Théorème de Schwarz
[Théorème] :
Soit \(f : U \mapsto \mathbb{R}\) une fonction de classe \({\mathcal{C}}^[(2) ]{U, \mathbb{R} }\). Alors en tout point \(a \in U\), \[\boxed{\dfrac{\partial^{2}f}{\partial x \partial y}(a) = \dfrac{\partial^{2}f}{\partial y \partial x}(a)}\]