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Exercice
Anneau \(\mathbb{Z}\left[\sqrt 7\right]\)
18 novembre 2022 16:00 — Par
- Emmanuel Vieillard-Baron
- Alain Soyeur
- François Capaces
On rappelle (exercice [sous_groupe_de_R] p. [sous_groupe_de_R]) que tout sous-groupe de \(\left(\mathbb{R},+\right)\) non réduit à \(\left\{0\right\}\) est soit de la forme \(a\mathbb{Z}\) où \(a\in\mathbb{R}_+^*\), soit dense dans \(\mathbb{R}\).
Soit \(H\) un sous-groupe de \((\mathbb R^*, \times)\).
Démontrer que
soit : \(\exists a\geqslant1:\, H = \left\lbrace a^n, n\in\mathbb Z\right\rbrace\),
soit : \(\forall (\alpha,\beta)\in\mathbb R_+^2\), \((\alpha<\beta) \Longrightarrow (]\alpha,\beta[\cap H \neq \varnothing)\).
(On pourra utiliser le logarithme.)
Dans toute cette partie, \(\mathcal A=\left\{ a+b\sqrt 7~|~ (a,b)\in \mathbb{Z}^2\right\}\). On admet que \(\sqrt7\notin\mathbb Q\). (voir l’exercice [racine7_irrationnel] p. [racine7_irrationnel].)
Démontrer que pour tout \(x\in\mathcal A\), il existe un unique couple \((a,b)\in \mathbb Z^2\) tel que \(x = a+b\sqrt7\).
Démontrer que \(\mathcal A\) est un sous-anneau de \((\mathbb R, +,\times)\).
Démontrer que l’ensemble \(U(\mathcal A)\) des éléments inversibles de \(\mathcal A\) est un sous-groupe de \((\mathbb R^*, \times)\).
Pour \(x = a+b\sqrt7\in \mathcal A\), on note \(\overline x\) le réel \(a-b\sqrt7\) et on note \(N(x) = x\overline x = a^2 - 7b^2\).
Expliquer rapidement pourquoi \(\overline x\) et \(N(x)\) sont bien définis.
Démontrer que \(\forall(x,y)\in\mathcal A^2\), \(N(xy) = N(x)N(y)\).
On admet que l’équation \(N(x) = -1\) n’admet pas de solution dans \(\mathcal A\). Voir à ce sujet l’exercice [residu_quadratique] p. [residu_quadratique].
Démontrer que \(\forall x\in\mathcal A\), \(\left(x\in U(\mathcal A) \Longleftrightarrow (N(x) = 1)\right)\). Le cas échéant, que vaut l’inverse de \(x\) ?
Soit \(a+b\sqrt7\in U(\mathcal A)\). Démontrer que (\(a\geqslant 0\) et \(b\geqslant 0\))\(\Longleftrightarrow (a+b\sqrt7\geqslant1)\).
Démontrer que \(U(\mathcal A)\) n’est pas réduit à \(\{-1,1\}\).
Démontrer que l’intervalle \(\left] 1,3\sqrt7\right[\) ne contient pas d’éléments de \(U(\mathcal A)\).
Démontrer qu’il existe un élément de \(u\) de \(U(\mathcal A)\cap]1,+\infty[\) tel que \[U(\mathcal A) = \left\lbrace \varepsilon u^n ; \varepsilon = \pm1 \textrm{ et } n\in\mathbb Z \right\rbrace .\] Le nombre \(u\) évidemment (?) unique est appelé unité principale de \(\mathcal A\).
On pose pour tout \(n\in\mathbb N\), \(u^n = a_n + b_n\sqrt7\).
Démontrer que les suites \((a_n)_{n\in\mathbb N}\) et \((b_n)_{n\in\mathbb N}\) sont positives et strictement croissantes.
En déduire la valeur de \(u\).
Donner dans l’ordre croissant des valeurs de \(x\), les quatre plus petites solutions dans \(\mathbb N^*\times\mathbb N^*\) de l’équation dite de Pell-Fermat : \[x^2 - 7y^2 = 1.\]
On pose \(\alpha_n = a_{2^n}\) et \(\beta_n = b_{2^n}\).
Établir des relations de récurrence entre les \(\alpha_{n+1}\) et \(\beta_{n+1}\) d’une part et les \(\alpha_{n}\) et \(\beta_{n}\) d’autre part.
Démontrer que \(\dfrac{a_n}{b_n}\) converge vers une limite finie \(\lambda\) que l’on déterminera.
Démontrer que \(\forall n\in\mathbb N\), \[\varepsilon_n = \left\vert \dfrac{\alpha_n}{\beta_n} - \lambda \right\vert \leqslant \dfrac{1}{2\sqrt7\,\beta_n^2}.\]
Donner une majoration explicite de l’erreur \(\varepsilon_n\) en fonction de \(n\).
(On pourra, faute de mieux, démontrer que \(\forall n\in\mathbb N^*\), \(\alpha_{n}\geqslant3^{2^n}\) et \(\beta_{n}\geqslant3^{2^n}\).)
En déduire une approximation rationnelle de \(\sqrt7\) à \(10^{-20}\) près.
Articles
Forum
Signature d'une permutation
2 juin 2023 09:31 — Par OShine
Bonsoir
J'ai des difficultés à chaque fois dans les changements d'indice dans les sommes produits qui font intervenir une bijection.
Ici je bloque sur les deux lignes encadrées.
Je sais que si $ f : A \longrightarrow B$ est une application bijective alors $\displaystyle\prod_{y \in B} y = \displaystyle\prod_{x \in A} f(x)$ mais je n'arrive pas à appliquer cette formule ici.
$ mais je n'arrive pas à appliquer cette formule ici.</div><img alt="" src="https://les-mathematiques.net/vanilla/uploads/editor/tu/mwduqto514mk.png" title="Image: https://les-mathematiques.net/vanilla/uploads/editor/tu/mwduqto514mk.png"><br>#latest "Image: https://les-mathematiques.net/vanilla/uploads/editor/tu/mwduqto514mk.png")
Aide pour la technique d'un point fixe
2 juin 2023 09:31 — Par Jean-Louis Ayme
Bonjour
pappus et à tous
Je recherche
la technique du point fixe qui peut exister entre deux points M et M’ liés
homographiquement…Je formule certainement mal ma question… comment se détaille l’approche ? Référence ?
Un
début de réponse serait la bienvenue…
Sincèrement
Jean-Louis.
La A-droite de van Lamoen
2 juin 2023 09:27 — Par Jean-Louis Ayme
Bonjour,
pour commencer...
1. ABC un triangle
2. H l'orthocentre de ABC
3. L, M deux droites perpendiculaires issues de H,
4. B', C' les points d'intersection de L resp. avec (CA), (AB),
5. B'', C'' les points d'intersection de M resp. avec (CA), (AB)
6. I, J, K les milieux de [BC], [B'C'], [B"C"].
Question : I, J et K sont alignés.
On notera La cette droite.
Merci pour votre aide pour la figure.
Sincèrement
Jean-Louis
Exercice sur les groupes
2 juin 2023 09:21 — Par canasson29
Bonsoir,
étant donnés un groupe $G$ d'ordre impair et $x \neq 1$ un élément quelconque de $G$.
Montrer que $x$ et $x^{-1}$ ne sont pas conjugués
Rang d'un endomorphisme cyclique
2 juin 2023 09:17 — Par topopot
Bonjour,
Soit $u$ un endomorphisme cyclique d'un $\mathbb K$-espace vectoriel $E$ de dimension finie $n$.
En notant $P:=X^n+\sum\limits_{k=0}^{n-1}a_k X^k\in\mathbb K[X]$ le polynôme de la matrice compagnon $\mathrm{Comp}(P)$ associée, comment montrer simplement que $\mathrm{rg}(u)\in\{n-1,n\}$ et plus précisément que :
- $\mathrm{rg}(u)=n\iff a_0\neq 0$ ;
- $\mathrm{rg}(u)=n-1\iff a_0=0$.
Si possible en utilisant la définition/propriétés de base de $u$ cyclique, à savoir l'une de ces assertions équivalentes :
- Il existe $x\in E$ tel que $(u^{k}(x))_{0\leqslant k\leqslant n-1}$ est une base de $E$ ;
- Il existe $x\in E$ tel que $E_{u,x}:=\mathrm{Vect}\left((u^{k}(x))_{k\in\mathbb N}\right)=E$ ;
- Il existe une base $\mathcal B$ de $E$ et une famille $(a_i)_{0\leqslant i\leqslant …
Lexique
Opérations sur les relations de comparaison
[Proposition] :
\(\quad\) Soient \(f\), \(f_1\), \(f_2\), \(g\), \(g_1\) et \(g_2\) des fonctions définies au voisinage de \(a\in\overline{\mathbb{R}}\) :
\(f_1 =\underset{x \rightarrow a}{o}\left(g\left(x\right)\right) \quad \textrm{ et} \quad f_2 =\underset{x \rightarrow a}{o}\left(g\left(x\right)\right) \Rightarrow f_1 + f_2 = \underset{x \rightarrow a}{o}\left(g\left(x\right)\right)\)
\(f_1 =\underset{x \rightarrow a}{O}\left(g\left(x\right)\right) \quad \textrm{ et} \quad f_2 =\underset{x \rightarrow a}{O}\left(g\left(x\right)\right) \Rightarrow f_1 + f_2 = \underset{x \rightarrow a}{O}\left(g\left(x\right)\right)\)
\(f_1 =\underset{x \rightarrow a}{o}\left(g_1\left(x\right)\right) \quad \textrm{ et} \quad f_2 =\underset{x \rightarrow a}{o}\left(g_2\left(x\right)\right) \Rightarrow f_1 f_2 = \underset{x \rightarrow a}{o}\left(g_1 g_2\left(x\right)\right)\)
\(f_1 =\underset{x \rightarrow a}{O}\left(g_1\left(x\right)\right) \quad \textrm{ et} \quad f_2 =\underset{x \rightarrow a}{O}\left(g_2\left(x\right)\right) \Rightarrow f_1 f_2 = \underset{x \rightarrow a}{O}\left(g_1 g_2\left(x\right)\right)\)