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Formule de Wald

14 mai 2024 13:00 — Par

Michel Quercia

Soient $(X_n)_{n\geq 1}$ et $N$ des variables aléatoires sur un même espace probabilisé, mutuellement indépendantes, à valeurs dans $\mathbb{N}$, les $X_i$ ayant toutes même loi. On considère $S = X_{1}+\dots+X_N$ (somme d’un nombre aléatoire de variables aléatoires, avec la convention $S=0$ si $N=0$).

Montrer que $S$ est une variable aléatoire et déterminer sa fonction génératrice en fonction des fonctions génératrices de $N$ et $X_{1}$.
En déduire $\mathbb E (S)=\mathbb E (N)\mathbb E (X_{1})$ avec la convention $0\times \infty =\infty \times 0=0$.

Exercice

Borel-Cantelli, Centrale 2015

14 mai 2024 13:00 — Par

Michel Quercia

Soit $(\Omega ,\mathcal A ,\mathbb P )$ un espace probabilisé et $(E_n)_{n\in \mathbb{N}}$ une suite d’évènements telle que $\sum_{n\in \mathbb{N}}\mathbb P (E_n)<+\infty$.

Soit $Z=\sum_{n\in \mathbb{N}}\mathbb 1 _{E_n}$. Montrer que $Z$ est une variable aléatoire discrète.
Soit $F=\{ \omega \in \Omega \text{ tq }\omega$ appartient à un nombre fini de $E_n\}$. Montrer que $F$ est un évènement et que $\mathbb P (F)=1$.
Montrer que $Z$ admet une espérance.

Exercice

Beppo Levi

14 mai 2024 13:00 — Par

Michel Quercia

Soit $X$ une variable aléatoire discrète à valeurs réelles positives. En considérant $Y=\lceil X\rceil$, montrer que $0\leq \mathbb E (X)\leq \sum_{k=0}^\infty \mathbb P (X>k)$.
Soit $(X_n)$ une suite de variables aléatoires discrètes réelles positives sur un même espace probabilisé $(\Omega ,\mathcal T ,\mathbb P )$. On suppose : $\forall \omega \in \Omega$, la suite $(X_n(\omega ))$ tend vers $0$ en décroissant et $\mathbb E (X_{0} )<+\infty$. Montrer que $\mathbb E (X_n)\to _{n\to +\infty }0$.
Soit $(X_n)$ une suite de variables aléatoires discrètes réelles positives sur un même espace probabilisé $(\Omega ,\mathcal T ,\mathbb P )$ telle que pour tout $\omega \in \Omega$ la série $\sum_{n=0}^\infty X_n(\omega )$ converge vers un réel noté $X(\omega )$. On suppose aussi que $X$ est une variable aléatoire discrète (réelle positive). Montrer que $\mathbb E (X)=\sum_{n=0}^\infty \mathbb E (X_n)$. Attention, ce résultat (bien utile dans certains exercices d’oral) est hors programme !

Articles

Article

Marches aléatoires

26 juin 2022 15:30 — Par

CultureMath
Emmanuel Vieillard-Baron
Victor Rabiet

Article

Avancement des corrections

10 novembre 2021 18:35 — Par

Emmanuel Vieillard-Baron

Article

Guide pour les auteures et auteurs

24 novembre 2020 23:03 — Par

Emmanuel Vieillard-Baron

Article

Partenariat avec Culturemath

24 novembre 2020 22:26 — Par

Emmanuel Vieillard-Baron

Forum

Points de Steiner dans un carré

7 décembre 2024 20:38 — Par Ludwig

Bonsoir,

$ABCD$ est un carré de centre $O$ et $M$ un point du plan. $I_1$, $I_2$, $I_3$, $I_4$ sont les points de Steiner respectifs des triangles $ABM$, $ADM$, $BCM$ et $CDM$ (le point de Steiner est le point $X_{99}$ de l'ETC) :

Image: https://les-mathematiques.net/vanilla/uploads/editor/hg/vhvul36vxydg.png

Démontrer que les $I_k$ sont cocycliques avec $M$ et que le centre $\Omega$ du cercle de cocyclicité est sur la droite $(OM)$.

Calculer le rayon de ce cercle en fonction de $d=OM$.

Problème du canapé (Moving sofa problem) résolu

7 décembre 2024 20:27 — Par SandwichFromage

Bonjour,

Si vous ne connaissiez pas le problème du sofa (Moving sofa problem, en anglais), c'est un problème de géométrie plane plutôt très connu qui demande la forme d'aire maximale pouvant passer dans un couloir à angle droit d'un mètre de large (en clair, le plus gros canapé qui puisse passer dans un couloir avec un angle de 90°).

Le 29 novembre dernier, ce problème est (prétendûment ?) résolu par un post-doctorant coréen du nom de Jineon Baek, ayant réalisé sa thèse sur le sujet.

Ci-joint, l'article de Gerver construisant un sofa à partir de dix-huit courbes analytiques et …

Timss résultats édition 2023

7 décembre 2024 20:05 — Par xax

https://timssandpirls.bc.edu/timss2023/index.html

aujourd'hui c'est ravioli - publication à 10h

Inégalité des pentes

7 décembre 2024 19:48 — Par OShine

Bonjour,

Je bloque sur le deuxième point de la remarque.
J'ai réussi à démontrer que la première inégalité est équivalente mais pas la seconde.

Origine du mot "isotrope"

7 décembre 2024 19:24 — Par Heuristique

Bonjour,

Mes élèves m'ayant posé récemment la question (et n'ayant pas la réponse...), pourquoi parle-t-on de vecteur isotrope ? D'un point de vue étymologique, ce mot signifie "même direction" et les définitions que l'on trouve de l'isotropie en physique semblent en accord avec cette vision.

Mais, dans le cas de l'étude des formes quadratiques, quelle est l'origine de ce mot ?

Image d’une probabilité, variables aléatoires

Définition des variables aléatoires et de leur loi.

Le 15 février 2022 21:52

par

Gérard Letac

L’espérance mathématique d’une variable aléatoire

Espérance d’une variable et théorème de transport.

Le 15 février 2022 21:54

par

Gérard Letac

Moments, fonctions génératrices, transformées de Laplace

Moments d’une variable aléatoire et série génératrice associée.

Le 15 février 2022 21:55

par

Gérard Letac

Appendice 1: Grandes déviations

Théorème des grandes déviations

Le 15 février 2022 21:57

par

Gérard Letac

Appendice 2: Convergence des lois binomiales vers la loi de Poisson

Convergence faible et en norme de mesures d’une suite de lois binomiales vers la loi de Poisson.

Le 15 février 2022 22:01

par

Gérard Letac

Lexique

Groupe affine d’un espace affine $X$

[Définition] :

On appelle groupe affine d’un espace affine $X$ l’ensemble des applications affines bijectives de $X$ dans lui-même muni de la composition; c’est un groupe. On le note $GA(X)$.

On appelle groupe spécial affine d’un espace affine $X$ l’ensemble des applications affines bijectives $f$ de $X$ dans lui-même telles que $det\ \overrightarrow f=1$, muni de la composition; c’est un groupe. On le note $SA(X)$.

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