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Des applications de Cesàro et/ou Abel et/ou Silverman–Toeplitz

27 janvier 2022 12:03 — Par gebrane

Bonjour à tous et à toutes.

Ce fil a pour objectif de présenter un recueil d'exercices sous formes d'énigmes autour de "Cesàro, Cesàro généralisé, Stolz-Cesàro, Sommations d'Abel et Silverman–Toeplitz". Certaines énigmes sont originales qui viennent de mes discussions sur le forum, d'autres sont classiques ou trouvées sur le net. Vous pouvez aussi enrichir ce forum en ajoutant des énigmes que vous jugez intéressantes sur le thème ( en respectant le numéro alloué à l'énigme), je donnerai avec plaisir un lien dans cette première page ciblant l'énigme. Vos propositions de solutions originales vont être gravées dans la mémoire de ceux qui …

Série numérique résultat surprenant

27 janvier 2022 11:51 — Par etanche

Bonjour 
Montrer $$\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{(-1)^n H_{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor } }{n} = \ln^2 (2)$$ Merci.

Deux relations métriques

27 janvier 2022 11:50 — Par yan2

Bonjour,

dans la figure ci-jointe, on souhaite montrer deux relations métriques :
$$\dfrac{KP}{PA}+\dfrac{KQ}{QB}=1\qquad\qquad\hbox{et}\qquad\qquad \dfrac{SK}{SM}+\dfrac{RK}{RM}=2.$$
Je suis arrivé à le faire grâce à une utilisation du théorème de Ménélaus. Avez-vous d'autres approches ?
Merci.

Que vaut $E^0$ ?

27 janvier 2022 11:05 — Par PierreCap

Bonjour.

Si $E$ est un ensemble quelconque, que vaut le produit cartésien $E^0$ ?
J'hésite entre $\emptyset$ et $\{\emptyset\}$. Mais les deux me posent un problème métaphysique ...

Pierre

Lexique

Équation polaire d’une droite ne passant pas par le pôle

[Proposition] :
Une droite \(D\) ne passant pas par le pôle \(O\) du repère polaire \(\mathscr R_\theta\) admet une équation polaire du type \[\boxed{r=\dfrac{p}{\cos\left(\theta-\theta_0\right)}}\]\(p=d\left(O,D\right)\) et où \(\theta_0=\left(\widehat{\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{OH}}\right)~\left[2\pi\right]\), \(H\) étant le projeté orthogonal de \(O\) sur \(D\). Réciproquement, une telle équation est celle d’une droite ne passant pas par le pôle \(O\) de \(\mathscr R_\theta\).

Guide pour les auteures et auteurs de
Les-Mathematiques.net

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