Hyperplan

Exercices du dossier Hyperplan

Exercice 186 **

15 février 2021 13:55 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\), \(H\) un hyperplan de \(E\), et \(H'\) un sous-espace vectoriel de \(E\). Montrer que \[H \subset H' \Rightarrow H' = H \textrm{ ou } H' = E\]



[ID: 1392] [Date de publication: 15 février 2021 13:55] [Catégorie(s): Hyperplan ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 186
Par emmanuel le 15 février 2021 13:55

Supposons que \(H' \neq H\). Alors il existe \(a \in H' \setminus H\). On sait alors, puisque \(H\) est un hyperplan que \(H \oplus \mathop{\mathrm{Vect}}(a) = E\). Montrons que \(H' = E\). Soit \(x \in E\), il existe \((x_H, \lambda) \in H \times \mathbb{K}\) tels que \(x = x_H + \lambda a \in H'\) car \(H'\) est un sous-espace vectoriel de \(E\).


Exercice 723 **

15 février 2021 13:55 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension finie et \(H\) un hyperplan de \(E\). Montrer qu’il existe une forme linéaire \(\varphi\) tel que \(H=\operatorname{Ker}\varphi\).



[ID: 1394] [Date de publication: 15 février 2021 13:55] [Catégorie(s): Hyperplan ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 723
Par emmanuel le 15 février 2021 13:55

Comme \(H\) est un hyperplan et que \(E\) est de dimension finie, \(H\) admet un supplémentaire \(D\) dans \(E\) et \(\dim D=1\). Soit \(v\) un vecteur formant une base de \(D\). Tout vecteur \(x\in E\) se décompose de manière unique sous la forme \(x=x_0+\alpha v\)\(x_0\in H\) et \(\alpha\in R\). On considère alors la forme linéaire donnée par \(\varphi\left(x\right)=0\) si \(x\in H\) et \(\varphi\left(v\right)=1\). L’application \(\varphi\) est bien définie sur \(E\) et vérifie par construction \(\operatorname{Ker}\varphi=H\).


Exercice 147 **

15 février 2021 13:55 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(D\) une droite vectorielle et \(H\) un hyperplan d’un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel  \(E\) de dimension \(n\in\mathbb{N}^*\). Montrer que si \(D\not \subset H\) alors \(D\) et \(H\) sont supplémentaires dans \(E\).



[ID: 1396] [Date de publication: 15 février 2021 13:55] [Catégorie(s): Hyperplan ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 147
Par emmanuel le 15 février 2021 13:55

Le sous-espace vectoriel \(D+H\) contient \(H\) et \(D\) et est contenu dans \(E\) donc \(\dim (D+H) = n\) ou \(\dim (D+H) = n-1\). Si \(\dim \left(D+H\right) = n-1\) alors comme \(\dim H= \dim \left(D+H\right)\), il vient que \(D+H=H\) et donc que \(D\subset (D+H)=H\) ce qui contredit l’hypothèse formulée au sujet de \(D\). Donc \(\dim (D+H)=n\), ce qui prouve que \(D+H=E\). De plus \(\dim \left(D\cap H\right)= \dim (D+H) - \dim H - \dim D =0\), donc \(F\cap H=\left\{0\right\}\) d’où le résultat.


Exercice 976 **

15 février 2021 13:55 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension finie \(n\), \(H_1\) et \(H_2\) deux hyperplans de \(E\) avec \(H_1\neq H_2\). Calculer \(\dim (H_1\cap H_2)\).



[ID: 1398] [Date de publication: 15 février 2021 13:55] [Catégorie(s): Hyperplan ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 976
Par emmanuel le 15 février 2021 13:55

Calculons tout d’abord \(\dim \left(H_1+H_2\right)\). Remarquons que \(H_1+H_2\) est un sous-espace vectoriel de \(E\) qui contient \(H_1\). On a donc \(\dim \left(H_1+H_2\right)=n\) ou \(\dim \left(H_1+H_2\right)=n-1\). Si \(\dim \left(H_1+H_2\right)=n-1\) alors, comme \(\dim H_1=\dim H_2=n-1\) et que \(H_1 \subset H_1+H_2\), \(H_2\subset H_1+H_2\) alors \(H_1=H_1+H_2=H_2\) ce qui contredit le fait que \(H_1\) et \(H_2\) sont distincts. Donc \(\dim \left(H_1+H_2\right)=\dim E=n\). La formule de Grassmann amène \(\dim H_1 + \dim H_2 = \dim \left(H_1+H_2\right) + \dim \left(H_1\cap H_2\right)\) et donc \(\dim \left(H_1\cap H_2\right)= 2n -2 -n = n-2\). On peut aussi raisonner avec des formes linéaires. Comme \(H_2\) est un hyperplan de \(E\), il existe une forme linéaire sur \(E\), \(\varphi\in E^{\star}\) non-nulle telle que \(H_2 = \operatorname{Ker}\varphi\). Considérons la restriction \(\widetilde{\varphi}\) de la forme linéaire \(\varphi\) au sous-espace \(H_1\). Il est clair que \(\widetilde{\varphi}\) est une forme linéaire de \(H_1\) : \(\widetilde{\varphi} \in H_1^{\star}\).

  1. \(\widetilde{\varphi} \neq 0_{H_1^{\star}}\) : par l’absurde, si \(\widetilde{\varphi} = 0\), on aurait \(\forall x \in H_1\), \(\widetilde{\varphi}(x) = \varphi(x) = 0_K\) et donc on aurait \(H_1 \subset H_2\). Mais puisque \(\dim H_1 = \dim H_2 = n - 1\), on aurait \(H_1 = H_2\) ce qui est faux d’après l’énoncé ;

  2. \(H_1 \cap H_2 = \operatorname{Ker}\widetilde{\varphi}\) :

    • Soit \(x \in H_1 \cap H_2\), \(\widetilde{\varphi}(x) = \varphi(x) = 0_K\),

    • Soit \(x \in \operatorname{Ker}\widetilde{\varphi}\), \(x \in H_1\) et \(\widetilde{\varphi}(x) = \varphi(x) = 0_K\) et donc \(x \in H_1 \cap H_2\);

Nous avons donc montré que \(H_1\cap H_2\) est un hyperplan de l’espace \(H_1\) et puisque \(\dim H_1 = n - 1\), en utilisant le résultat du cours, il vient que \(\dim (H_1 \cap H_2) = n - 2\).


Exercice 1009 **

15 février 2021 13:55 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel  de dimension finie. Soient \(H\) un hyperplan et \(F\) un sous-espace vectoriel de \(E\) non inclus dans \(H\). Montrer que \(\dim F\cap H = \dim F - 1\).



[ID: 1400] [Date de publication: 15 février 2021 13:55] [Catégorie(s): Hyperplan ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 1009
Par emmanuel le 15 février 2021 13:55

Comme \(\dim H=n-1\), le sous-espace vectoriel \(F+H\) de \(E\) est de dimension égal à \(n\) ou \(n-1\). Mais \(F\) n’est pas inclus dans \(H\), donc \(\dim \left(F+H\right)=n\). Par ailleurs, d’après la formule de Grassmann \(\dim F + \dim H = \dim \left(H+F\right) + \dim \left(F\cap H\right)\) donc  : \(\dim F + n-1 = n + \dim \left(F\cap H\right)\) ce qui prouve le résultat.


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