Sous-espace vectoriel de dimension finie

Exercices du dossier Sous-espace vectoriel de dimension finie

Exercice 315 *

15 février 2021 13:34 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(F=\left\{\left(x,y,z\right)\in\mathbb{R}^3 ~|~ x-y+2z=0\right\}\). Prouver que \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^3\), en déterminer une base et calculer sa dimension.



[ID: 1364] [Date de publication: 15 février 2021 13:34] [Catégorie(s): Sous-espace vectoriel de dimension finie ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 315
Par emmanuel le 15 février 2021 13:34

Comme \(F=\left\{\left(y-2z,y,z\right) ~|~ y,z \in\mathbb{R}\right\}=Vect\left(\left(1,1,0\right),\left(-2,0,1\right)\right)\), \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^3\). La famille \(\left(\left(1,1,0\right),\left(-2,0,1\right)\right)\) engendre \(F\) et les deux vecteurs la constituant n’étant pas colinéaire, elle est libre. Cette famille forme donc une base de \(F\) et \(\dim F=2\).


Exercice 40 *

15 février 2021 13:34 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(F=\left\{\left(x,y,z\right)\in \mathbb{R}^3 ~|~ x-y+z=0 \quad \textrm{ et} \quad-x-y+z=0\right\}\).

  1. Montrer que \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^3\).

  2. Trouver une base de \(F\). En déduire \(\dim F\).



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Exercice 40
Par emmanuel le 15 février 2021 13:34

On a : \(\left\{ \begin{aligned} x-y+z&=0\cr -x-y+z&=0 \end{aligned}\right. \Longleftrightarrow\left\{ \begin{aligned} x-y+z&=0\cr -y+z&=0 \end{aligned}\right.\) donc \(F=\left\{\left(x,y,z\right)\in \mathbb{R}^3 ~|~ x-y+z=0 \quad \textrm{ et} \quad-x-y+z=0\right\} = \left\{\left(0,y,y\right) ~|~ y\in\mathbb{R}\right\}=Vect\left(0,1,1\right)\). \(F\) est donc un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^3\) et la famille constituée du vecteur \(\left(0,1,1\right)\) en forme une base. On en déduit que \(\dim F=1\). Le sous-espace \(F\) est la droite vectorielle de \(\mathbb{R}^3\) dirigée par \(\left(0,1,1\right)\).


Exercice 313 *

15 février 2021 13:34 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Montrer que le sous-ensemble \[F=\left\{\left(\alpha+\beta,\beta,2\alpha-\beta,-\alpha\right)~|~ \alpha,\beta \in \mathbb{R}\right\}\] est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^4\) dont on déterminera la dimension et une base.



[ID: 1368] [Date de publication: 15 février 2021 13:34] [Catégorie(s): Sous-espace vectoriel de dimension finie ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 313
Par emmanuel le 15 février 2021 13:34

Comme \(F=\left\{\left(\alpha+\beta,\beta,2\alpha-\beta,-\alpha\right)~|~ \alpha\in\mathbb{R},\beta \in \mathbb{R}\right\}= \left\{\alpha \left(1,0,2,-1\right)+\beta \left(1,1,-1,0\right) ~|~ \alpha,\beta\in\mathbb{R}\right\}=Vect\left(e_1,e_2\right)\)\(e_1=\left(1,0,2,-1\right)\) et \(e_2=\left(1,1,-1,0\right)\). On en déduit que \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^4\). De plus, les vecteurs \(e_1\) et \(e_2\) ne sont pas colinéaires et ils engendrent \(F\). Ils forment donc une base de \(F\) et \(\dim F=2\).


Exercice 368 *

15 février 2021 13:34 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Dans \(\mathbb{R}^{4}\), on considère le sous-ensemble \[F=\{ (x,y,z,t)\in \mathbb{R}^{4}~|~ 2x-y+3z+t=0 \} .\] Montrer que \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^4\) et en déterminer une base.



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Exercice 368
Par emmanuel le 15 février 2021 13:34

Comme \(F=\{ (x,y,z,t)\in \mathbb{R}^{4};~|~ 2x-y+3z+t=0 \} = \left\{\left(x,2x+3z+t,z,t\right) ~|~ x, z,t\in\mathbb{R}\right\}=Vect\left(\left(1,2,0,0\right),\left(0,3,1,0\right),\left(0,1,0,1\right)\right)\). Donc \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^4\). La famille \(\left(e_1,e_2,e_3\right)\)\(e_1=\left(1,2,0,0\right)\), \(e_2=\left(0,3,1,0\right)\) et \(e_3=\left(0,1,0,1\right)\) engendre \(F\). Montrons qu’elle est libre. Soient \(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\in\mathbb{R}\) tels que \(\alpha_1 e_1 + \alpha_2 e_2+\alpha_3 e_3=0\). Le triplet \(\left(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\right)\) vérifie \(\left\{ \begin{aligned} \alpha_1&&&=0\cr 2\alpha_1&+3\alpha_2&+\alpha_3&=0 \cr &\alpha_2&&=0 \cr &&\alpha_3&=0 \end{aligned}\right.\) et donc \(\alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=0\). La famille est bien libre. Alors \(\left(e_1,e_2,e_3\right)\) est une base de \(F\) et \(\dim F=3\).


Exercice 936 *

15 février 2021 13:34 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(F=\left\{\left(x,y,z,t\right)\in\mathbb{R}^4 ~|~ 2x-y+z-t=0\right\}\)

  1. Montrer que \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^4\).

  2. Trouver une famille génératrice de \(F\).

  3. En déduire une base de \(F\) puis la dimension de \(F\).



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Exercice 936
Par emmanuel le 15 février 2021 13:34
  1. On a : \(F=\left\{\left(x,y,z,t\right)\in\mathbb{R}^4 ~|~ 2x-y+z-t=0\right\} = \left\{\left(x,y,z,2x-y+z\right) ~|~ x,y,z\in\mathbb{R}\right\} = \left\{x\left(1,0,0,2\right)+y\left(0,1,0,-1\right)+z\left(0,0,1,1\right)~|~ x,y,z\in\mathbb{R}\right\}=Vect\left(e_1,e_2,e_3\right)\)\(e_1=\left(1,0,0,2\right)\), \(e_2=\left(0,1,0,-1\right)\) et \(e_3=\left(0,0,1,1\right)\). On en déduit à la fois que \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^4\) ainsi qu’une famille génératrice de \(F\).

  2. On vérifie facilement que la famille \(\left({e_1,e_2,e_3}\right)\) est libre. On en déduit que cette famille forme une base de \(F\) et donc que \(\dim F=3\).


Exercice 1027 *

15 février 2021 13:34 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Dans l’espace \(\mathbb{R}^{4}\), on considère le sous-espace vectoriel \(F=Vect\left\{ v_1,v_2,v_3,v_4\right\}\)\(v_1=(1,2,3,1)\), \(v_2=(0,1,1,1)\), \(v_3= (0,0,1,2)\), \(v_4=(2,5,6,1)\) Trouver une base du sous-espace vectoriel \(F\).



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Exercice 1027
Par emmanuel le 15 février 2021 13:34

On remarque que \(v_4=2v_1+v_2-v_3\). Donc la famille est liée et d’après le lemme de réduction d’une famille liée, \(F=Vect\left(v_1,v_2,v_3\right)\). On montre facilement que la famille \(\left(v_1,v_2,v_3\right)\) est libre et forme donc une base de \(F\). Il s’ensuit que \(\dim F=3\).


Exercice 789 *

15 février 2021 13:34 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On note \(E\) l’espace vectoriel des fonctions indéfiniment dérivables de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\). Soit un réel \(a\in \mathbb{R}\). On note \(F\) l’ensemble des fonctions \(f\) vérifiant : \[\forall x \in \mathbb{R} , \quad f'(x) = a f(x)\] Montrer que \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(E\) et déterminer une base de \(F\).



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Exercice 789
Par emmanuel le 15 février 2021 13:34

On applique le théorème de résolution des équations différentielles homogène du premier degré sans second membre et les fonctions \(f\) solutions de \(y'-ay=0\) sont celles de la forme \(f:x\mapsto \alpha e^{ax}\)\(\alpha \in\mathbb{R}\). On en déduit que \(F=Vect\left(x\mapsto \exp\left(ax\right)\right)\) et que c’est un sous-espace vectoriel de \(E\). Il est alors clair que la famille \(\left( x\mapsto \exp\left(ax\right)\right)\) forme une base de \(F\) et que \(\dim F=1\).


Exercice 248 *

15 février 2021 13:34 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Montrer que \(F= \left\{ f\in\mathcal{C}^{2}\left(\mathbb{R}\right)~|~ f''-2f'+2f=0\right\}\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathcal{C}^{^2}\left(\mathbb{R}\right)\) et en déterminer une base. En déduire la dimension de \(F\).



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Exercice 248
Par emmanuel le 15 février 2021 13:34

En appliquant le théorème de résolution des équations différentielles du second ordre à coefficients constants, on trouve que \(F=\left\{x\mapsto \left(\alpha \cos x+\beta \sin x\right) e^{-x} ~|~ \alpha,\beta\in\mathbb{R}\right\}\). Autrement dit : \(F=Vect\left(f_1,f_2\right)\)\(f_1:x\mapsto \cos x e^{-x}\) et \(f_2: x\mapsto \sin x e^{-x}\). La famille \(\left(f_1,f_2\right)\) engendre \(F\). On vérifie facilement qu’elle est libre. Elle forme donc une base de \(F\) et \(\dim F=2\).


Exercice 171 *

15 février 2021 13:34 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Montrer \(F=\left\{ P\in\mathbb{R}_4\left[X\right]~|~P\left(1\right)=P\left(2\right)=0\right\}\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}_4\left[X\right]\) et en déterminer une base ainsi que la dimension.



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Exercice 171
Par emmanuel le 15 février 2021 13:34

Les polynômes de \(F\) sont de degré \(\leqslant 4\) et s’annulent en \(1\) et \(2\). Par conséquent, ils sont de la forme \(\left(aX^2+bX+c\right)\left(X-1\right)\left(X-2\right)\). Il s’ensuit que \(F=Vect\left(P_1,P_2,P_3\right)\)\(P_1=X^2\left(X-1\right)\left(X-2\right), P_2=X\left(X-1\right)\left(X-2\right), P_3=\left(X-1\right)\left(X-2\right)\). On en déduit que \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}_4\left[X\right]\). On vérifie facilement que la famille \(\left(P_1,P_2,P_3\right)\) est libre. Si \(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\) sont trois réels tels que \(\alpha_1 P_1 +\alpha_2 P_2+\alpha_3 P_3=0\) alors par intégrité de l’anneau des polynômes, \(\alpha_1 X^2 + \alpha_2 X+\alpha_3=0\) ce qui n’est possible que si \(\alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=0\). La famille \(\left(P_1,P_2,P_3\right)\) forme donc une base de \(F\).


Exercice 758 *

15 février 2021 13:34 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(F\) l’ensemble des fonctions \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) telles qu’il existe \(a,b,c\in \mathbb{R}\) pour lesquels :

\[\forall x\in \mathbb{R}, \quad f\left(x\right)=\left(ax^2+bx+c\right)\sin x\]

  1. Montrer que \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathscr F\left(\mathbb{R},\mathbb{R}\right)\).

  2. Déterminer une base de \(F\) ainsi que sa dimension.



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Exercice 758
Par emmanuel le 15 février 2021 13:34
  1. \(F\) est engendré par la famille \(\left(x\mapsto x^2\sin x, x\mapsto x \sin x, x\mapsto \sin x \right)\). C’est donc un sous-espace vectoriel de \(\mathscr F\left(\mathbb{R},\mathbb{R}\right)\).

  2. Une base de \(E\) est donnée par la famille précédente : Soient \(\alpha, \beta,\gamma \in \mathbb{R}\) tels que : \(\forall x\in \mathbb{R}, \alpha x^2 \sin x + \beta x \sin x + \gamma \sin x = 0\), alors \(\forall x \not \equiv 0 \left[ \pi \right], \quad \alpha x^2+\beta x+\gamma=0\). Un polynôme du second degré est soit identiquement nul, soit ne s’annule au plus que deux fois. Donc \(\alpha=\beta=\gamma=0\). La famille est donc libre. Elle est, par définition génératrice et forme donc une base de \(F\) qui est alors un sous-espace vectoriel de dimension \(3\) de \(E\).


Exercice 87 *

15 février 2021 13:34 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Déterminer une base du sous-espace vectoriel \(F\) de \(\mathscr F\left(\mathbb{R},\mathbb{R}\right)\) donné par : \(F=Vect\left(f_1,f_2,f_3,f_4\right)\)\[f_1:x\mapsto e^x,\quad f_2:x\mapsto e^{-x} ,\quad f_3:x\mapsto \mathop{\mathrm{ch}}x,\quad f_4:x\mapsto \mathop{\mathrm{sh}}x.\]



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Exercice 87
Par emmanuel le 15 février 2021 13:34

On vérifie facilement que la famille \(\left(f_1,f_2\right)\) est libre. De plus : \(f_3=\dfrac{1}{2}\left(f_1+f_2\right)\) et \(f_4=\dfrac{1}{2}\left(f_1-f_2\right)\). Donc par application du lemme de réduction d’une famille liée : \(F=Vect\left(f_1,f_2,f_3,f_4\right)=Vect\left(f_1,f_2\right)\). On en déduit qu’une base de \(F\) est \(\left(f_1,f_2\right)\).


Exercice 537 *

15 février 2021 13:34 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On pose : \[f_1:x \mapsto x,\quad f_2:x \mapsto x^2,\quad f_3:x \mapsto x\ln x,\quad f_4:x \mapsto x^2 \ln x\] On pose aussi : \(F=Vect\left(f_1,f_2,f_3,f_4\right)\). Prouver que \(F\) est un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel et déterminer sa dimension.



[ID: 1386] [Date de publication: 15 février 2021 13:34] [Catégorie(s): Sous-espace vectoriel de dimension finie ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 537
Par emmanuel le 15 février 2021 13:34

L’ensemble \(F\) s’écrit comme un \(Vect\), c’est donc un sous-espace de \(\mathscr F\left(\mathbb{R}_+^*, \mathbb{R}\right)\) et donc un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel. Soient \(\alpha_i\in\mathbb{R}\), \(i\in\llbracket 1,4\rrbracket\) tels que \(f=\alpha_1 f_1+\alpha_2 f_2+\alpha_3 f_3+\alpha_4 f_4=0\). La fonction \(f\) ainsi que toutes ses dérivées sont identiquement nulles sur \(\mathbb{R}_+^*\). L’égalité \(f\left(1\right)=0\) amène \(\alpha_1+\alpha_2=0\). L’égalité \(f'\left(1\right)=0\) amène \(\alpha_1+2\alpha_2+\alpha_3+\alpha_4=0\) et \(f''\left(1\right)=0\) amène \(2\alpha_2+\alpha_3+3\alpha_4=0\). Enfin, \(f'''\left(1\right)=0\) amène \(-\alpha_3+2\alpha_4=0\). Le quadruplet \(\left(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\right)\) est donc solution du système formé par ces \(4\) équations. On vérifie en le résolvant que sa seule solution est \(\left(0,0,0,0\right)\). Il vient donc que \(\alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=\alpha_4=0\). La famille \(\left(f_1,f_2,f_3,f_4\right)\) est libre et \(\dim F=4\).


Exercice 602 *

15 février 2021 13:34 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Posons \(F=Vect\left(f_1,f_2,f_3\right)\)\[f_1:x\mapsto e^x,\quad f_2:x\mapsto e^{2x} \quad \textrm{ et} \quad f_3:x\mapsto e^{x^2}.\] Montrer que \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathscr F\left(\mathbb{R},\mathbb{R}\right)\) et en donner la dimension et une base.



[ID: 1388] [Date de publication: 15 février 2021 13:34] [Catégorie(s): Sous-espace vectoriel de dimension finie ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 602
Par emmanuel le 15 février 2021 13:34

L’ensemble \(F\) étant donné comme un \(Vect\), c’est un sous-espace vectoriel de \(\mathscr F\left(\mathbb{R},\mathbb{R}\right)\). Soient \(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\in\mathbb{R}\) tels que \(\alpha_1 f_1+\alpha_2 f_2+\alpha_3 f_3=0\). On a donc : \(\forall x\in\mathbb{R},\quad \alpha_1 e^x + \alpha_2 e^{2x}+\alpha_3 e^{x^2}=0\). En particulier, pour tout \(x\in \mathbb{R}\), en divisant par \(e^{x^2}\) : \[0 = \left( \alpha_1e^{x-x^2} +\alpha_2 e^{2x-x^2} + \alpha_3 \right) \xrightarrow[x\rightarrow \infty]{} \alpha_3\] donc \(\alpha_3=0\). On a donc en revenant à la première égalité : \(\forall x\in\mathbb{R},\quad \alpha_1 e^{x} + \alpha_2 e^{2x}=0\). De même, on divise cette égalité par \(e^{x}\) et on trouve \[0=\left(\alpha_1 +\alpha_2 e^{x}\right) \xrightarrow[x\rightarrow -\infty]{} \alpha_1\] et nécessairement \(\alpha_1=0\) ce qui amène aussi \(\alpha_2=0\) car la fonction exponentielle est strictement positive. La famille \(\left(f_1,f_2,f_3\right)\) est bien libre et \(\dim F=3\).


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Exercice 193
Par emmanuel le 15 février 2021 13:34

\(\mathscr S_p\left(\mathbb{R}\right)\) est stable par combinaison linéaire. C’est donc un sous-espace vectoriel de \(\mathscr S\left(\mathbb{R}\right)\). Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), notons \(n \textrm{ mod } p\) le reste de la division euclidienne de \(n\) par \(p\). Introduisons la famille \(\left(\left(u_n^i\right)\right)_{i\in\llbracket 1,p\rrbracket}\) de suites données par \[\forall n \in \mathbb{N}, \quad u_n^i=\begin{cases} 1 \textrm{ si } n \textrm{ mod } p =i \\ 0 \textrm{ sinon}\end{cases}.\] Cette famille forme une base de \(\mathscr S_p\left(\mathbb{R}\right)\). Si \(\alpha_1,\dots,\alpha_p\in\mathbb{R}\) sont tels que \(\sum_{i=1}^p \alpha_i\left(u_n^i\right)=0\) alors il vient que la suite \(\left(\alpha_1,\dots,\alpha_p,\alpha_1,\dots,\alpha_p,\alpha_1,\dots\right)\) est nulle et donc que \(\alpha_1=\dots=\alpha_p=0\). Donc la famille est libre. Considérons une suite \(p\)-périodique \(a=\left(a_1,\dots,a_p,a_1,\dots,a_p,a_1,\dots\right)\in \mathscr S_p\left(\mathbb{R}\right)\). On peut écrire que \(a=a_1 \left(u_n^1\right)+\dots+a_p \left(u_n^p\right)\) et donc la famille engendre \(\mathscr S\left(\mathbb{R}\right)\). En conclusion, c’est bien une base de \(\mathscr S_p\left(\mathbb{R}\right)\) et \(\dim \mathscr S_p\left(\mathbb{R}\right)=p\). On aurait aussi facilement pu résoudre cet exercice en montrant que \[\theta: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathscr S_p\left(\mathbb{R}\right) & \longrightarrow & \mathbb{R}^p \\ \left(u_n\right) & \longmapsto & \left(u_0,\dots,u_{p-1}\right) \end{array} \right.\] est un isomorphisme d’espaces vectoriels.


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