Famille libre, Famille liée, Famille génératrice

Exercices du dossier Famille libre, Famille liée, Famille génératrice

Exercice 454 *

13 février 2021 09:15 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Montrer que les vecteurs suivants de \(\mathbb{R}^3\) sont linéairement dépendants :

  1. \(u=\left(1,0,1\right), v=\left(1,-2,3\right), w=\left(1,2,-1\right)\).

  2. \(u=\left(1,2,-2\right), v=\left(2,0,-1\right), w=\left(1,-2,1\right)\).



[ID: 1299] [Date de publication: 13 février 2021 09:15] [Catégorie(s): Famille libre, Famille liée, Famille génératrice ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Accordéon
Titre
Solution
Texte

Exercice 454
Par emmanuel le 13 février 2021 09:15
  1. \(w=2u-v\).

  2. \(v=u+w\)


Exercice 139 *

13 février 2021 09:15 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Dans \(E=\mathscr F\left(\mathbb{R},\mathbb{R}\right)\), montrer que la famille \(\left(f, g, h\right)\) est liée où \(f:x\mapsto 1\), \(g:x \mapsto \cos^2 x\), \(h:x \mapsto \cos 2x\).



[ID: 1301] [Date de publication: 13 février 2021 09:15] [Catégorie(s): Famille libre, Famille liée, Famille génératrice ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Accordéon
Titre
Solution
Texte

Exercice 139
Par emmanuel le 13 février 2021 09:15

D’après la trigonométrie, on a \(h=2g-f\).


Exercice 719 *

13 février 2021 09:15 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Préciser si les familles constituées des vecteurs suivants sont liées ou libres :

  1. \(u=\left(1,2\right), v=\left(3,1\right), w=\left(5,1\right)\).

  2. \(u=\left(-1,0,2\right), v=\left(1,2,1\right), w=\left(0,1,1\right)\).

  3. \(u=\left(10,-1,-4,10\right), v=\left(1,0,1,-2\right)\).



[ID: 1303] [Date de publication: 13 février 2021 09:15] [Catégorie(s): Famille libre, Famille liée, Famille génératrice ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Accordéon
Titre
Solution
Texte

Exercice 719
Par emmanuel le 13 février 2021 09:15
  1. \(u\) et \(v\) ne sont pas colinéaires donc ils forment une famille libre. \(\mathbb{R}^2\) étant de dimension \(2\), cette famille est une base de \(\mathbb{R}^2\) et nécessairement la famille \(\left(u,v,w\right)\) est liée.

  2. On vérifie facilement que la famille \(\left(u,v,w\right)\) est libre.

  3. Les vecteurs \(u\) et \(v\) ne sont pas colinéaires, ils forment donc une famille libre.


Exercice 617 *

13 février 2021 09:15 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soient \((a,b,c) \in \mathbb{R}^{3}\). A quelle condition les trois vecteurs \((1,a,b), (0,1,c), (0,0,1)\) forment-ils une famille libre dans \(\mathbb{R}^{3}\)?



[ID: 1305] [Date de publication: 13 février 2021 09:15] [Catégorie(s): Famille libre, Famille liée, Famille génératrice ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Accordéon
Titre
Solution
Texte

Exercice 617
Par emmanuel le 13 février 2021 09:15

Soit \((\lambda,\mu,\delta)\in \mathbb{R}^{3}\) tels que \[\lambda(1,a,b) + \mu(0,1,c) + \delta(0,0,1) = (0,0,0)\] On en tire \(\lambda=0\), \(a\lambda + \mu =0\) et \(b\lambda+c\mu + \delta=0\), ce qui donne \(\lambda=\mu =\delta=0\). Par conséquent, \(\forall (a,b,c)\in \mathbb{R}^{3}\), la famille est libre.


Exercice None *

13 février 2021 09:16 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel  et soient \(e_1\), \(e_2\), \(e_3\) des vecteurs de \(E\) tels que la famille \(\left(e_1,e_2,e_3\right)\) est libre. Posons : \(f_1=e_1-e_2\), \(f_2=e_2+e_3\), \(f_3=e_1-e_3\). Montrer que la famille \(\left(f_1,f_2,f_3\right)\) est libre.



[ID: 1307] [Date de publication: 13 février 2021 09:16] [Catégorie(s): Famille libre, Famille liée, Famille génératrice ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Accordéon
Titre
Solution
Texte

Exercice None
Par emmanuel le 13 février 2021 09:16

Soient \(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\in\mathbb{K}\) tel que \(\sum_{i=1}^3 \alpha_i f_i=0\). On a alors : \(\alpha_1\left(e_1-e_2\right)+\alpha_2\left(e_2+e_3\right)+\alpha_3\left(e_1-e_3\right)=0\) ce qui s’écrit aussi : \(\left(\alpha_1+\alpha_3\right)e_1+\left(-\alpha_1+\alpha_2\right)e_2+\left(\alpha_2-\alpha_3\right)e_3=0\). La famille \(\left(e_1,e_2,e_3\right)\) étant libre, cette égalité n’est possible que si \[\left\{ \vcenter{\ialign{&$\hfil{}##{}$\crcr \alpha_1&+&\alpha_3 &= 0 \cr -\alpha_1&+\alpha_2& &= 0 \cr &\alpha_2&-\alpha_3 &=0\crcr}} \right.\]

L’unique solution de ce système est le triplet \(\left(0,0,0\right)\). La famille \(\left(f_1,f_2,f_3\right)\) est donc libre.


Exercice 416 *

13 février 2021 09:16 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Prouver que la famille \(\left(\sin,\cos\right)\) est libre dans le \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel \(\mathscr F\left(\mathbb{R},\mathbb{R}\right)\).



[ID: 1309] [Date de publication: 13 février 2021 09:16] [Catégorie(s): Famille libre, Famille liée, Famille génératrice ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Accordéon
Titre
Solution
Texte

Exercice 416
Par emmanuel le 13 février 2021 09:16

Soient \(\alpha,\beta \in\mathbb{R}\) tels que \(\alpha \sin + \beta \cos =0\). On a donc : \(\forall x\in \mathbb{R},\quad \alpha \sin x+ \beta \cos x=0\). En particulier, si \(x=0\), on obtient : \(\beta=0\) et si \(x={\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}\), on obtient \(\alpha=0\). Il vient alors que \(\alpha=\beta=0\). La famille \(\left(\sin,\cos\right)\) est donc libre et elle engendre un sous-espace vectoriel de dimension \(2\) dans \(\mathscr F\left(\mathbb{R},\mathbb{R}\right)\), c’est-à-dire un plan vectoriel.


Accordéon
Titre
Solution
Texte

Exercice 967
Par emmanuel le 13 février 2021 09:16

Soit \(\left(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\right)\in\mathbb{R}^4\) tel que \(\alpha_1 \cdot f_1 + \alpha_2 \cdot f_2 + \alpha_3 \cdot f_3 + \alpha_4 \cdot f_4=0\). On a donc : \[\forall x\in \left[0,2\pi\right],\quad \alpha_1 \cdot f_1\left(x\right) + \alpha_2 \cdot f_2\left(x\right) + \alpha_3 \cdot f_3\left(x\right) + \alpha_4 \cdot f_4\left(x\right)=0,\] en particulier, remplaçant \(x\) par \(x=0\) puis \(x=\pi\), on obtient le système \(\begin{cases}\alpha_1=0\\\alpha_1+\alpha_2\pi=0\end{cases}\) puis remplaçant \(x\) par \(x={\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}\) puis \(x={\scriptstyle 3\pi\over\scriptstyle 2}\), on obtient le système \(\begin{cases}\alpha_3+{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}\alpha_4=0\\\alpha_3+{\scriptstyle 3\pi\over\scriptstyle 2} \alpha_4=0\end{cases}\) d’où \(\forall i\in\llbracket 1,4\rrbracket,\quad \alpha_i=0\).


Exercice 1006 *

13 février 2021 09:16 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soient \(r\), \(\omega\in \mathbb{R}\) tels que \(\omega\neq 0\). Dans le \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel \(E=\mathscr F\left(\mathbb{R},\mathbb{R}\right)\), on considère les deux vecteurs \(f_1\) et \(f_2\) définis par : \[\forall x\in\mathbb{R},\quad f_1\left(x\right)=e^{r x}\sin \omega x \quad \textrm{ et} \quad f_2\left(x\right)=e^{r x} \cos \omega x.\] Démontrer que la famille \(\left(f_1,f_2\right)\) est libre.



[ID: 1313] [Date de publication: 13 février 2021 09:16] [Catégorie(s): Famille libre, Famille liée, Famille génératrice ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Accordéon
Titre
Solution
Texte

Exercice 1006
Par emmanuel le 13 février 2021 09:16

Soient \(\mu_1,\mu_2\in\mathbb{R}\) tels que : \(\mu_1 f_1+\mu_2 f_2=0\). Cette égalité s’écrit aussi : \(\forall x\in\mathbb{R},\quad \mu_1 e^{r x}\cos \omega x +\mu_2 e^{r x}\sin \omega x=0\). Pour \(x=0\), on obtient : \(\mu_1=0\) et pour \(x={\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2\omega}\), on a : \(\mu_2 =0\). Le couple \(\left(\mu_1,\mu_2\right)\) est donc nul et la famille \(\left(f_1,f_2\right)\) est bien libre.


Exercice 146 *

13 février 2021 09:16 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Pour tout \(a\in\mathbb{R}\), considérons l’application \[f_a: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \left|x-a\right| \end{array} \right. .\] Montrer que la famille \(\left(f_0,f_1,f_2\right)\) est une famille libre dans \(\mathscr F\left(\mathbb{R},\mathbb{R}\right)\).



[ID: 1315] [Date de publication: 13 février 2021 09:16] [Catégorie(s): Famille libre, Famille liée, Famille génératrice ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Accordéon
Titre
Solution
Texte

Exercice 146
Par emmanuel le 13 février 2021 09:16

Soient \(\alpha_0,\alpha_1,\alpha_2\in\mathbb{R}\) tels que : \(\sum_{k=0}^2 \alpha_i f_i=0\). On a donc : \(\forall x\in\mathbb{R}, \quad \alpha_0 \left|x\right|+ \alpha_1 \left|x-1\right|+\alpha_2 \left|x-2\right|=0\). En prenant successivement \(x=0,1\) et \(2\) dans cette égalité, on aboutit au système : \(\left\{ \vcenter{\ialign{&$\hfil{}##{}$\crcr &\alpha_1&+2\alpha_2&=0 \cr \alpha_0 &&+\alpha_2&=0 \cr 2\alpha_0 &+\alpha_1&&=0\crcr}} \right.\) dont l’unique solution est \(\left(\alpha_0,\alpha_1,\alpha_2\right)=\left(0,0,0\right)\). La famille \(\left(f_0,f_1,f_2\right)\) est bien libre.

Autre solution : On suppose \(\alpha_0\neq 0\) et on a \(\left|x\right|= -{\scriptstyle 1\over\scriptstyle\alpha_0} \left( \alpha_1 \left|x-1\right|+\alpha_2 \left|x-2\right|\right)\). Or cette égalité est impossible car le membre de droite est dérivable en zéro et le membre de gauche ne l’est pas. Donc \(\alpha_0= 0\). On démontre de même que \(\alpha_1= 0\) et \(\alpha_2= 0\).


Accordéon
Titre
Solution
Texte

Exercice 927
Par emmanuel le 13 février 2021 09:16
  1. Puisque \(\forall x\in \mathbb{R}\), \(e.e^{x+1}-e^{x+2} = 0\), on en déduit que \((e^{x+1},e^{x+2})\) est lié, donc la famille est lié.

  2. Soit \((a,b,c)\in \mathbb{R}^{3}\) tels que \[\forall x\in \mathbb{R} , a(x-1)^2+b(x-2)^2+c(x-3)^2 = 0\] alors puisque ce polynôme est nul, les coefficients de \(x^2,x,1\) du polynôme et de ses dérivées doivent être nuls. On en tire \[a+b+c=a+2b+3c=a+4b+9c=0 \Rightarrow a=b=c=0\] Par conséquent, la famille est libre.

  3. Soient \((a,b,c,d)\in \mathbb{R}^{4}\) tels que \[\forall x\in \mathbb{R} , a+bx+cx^2+de^x=0\] On doit avoir \(\forall x\in \mathbb{R}\), \[d+(a+bx+cx^2)e^{-x} = 0\] et en passant à la limite lorsque \(x\rightarrow +\infty\), on obtient que \(d=0\). En factorisant ensuite par \(x^2\) et en faisant tendre \(x\) vers \(+\infty\), on trouve que \(c=0\). Ensuite de même \(b=0\) et enfin \(a=0\). La famille est libre.


Exercice 21 *

13 février 2021 09:16 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On considère l’espace des suites complexes \(E = \mathcal{S}(\mathbb{C})\), et deux complexes \((k_1, k_2) \in \mathbb{C}^{2}\) distincts. On note \(u\) la suite géométrique de raison \(k_1\) et \(v\) la suite géométrique de raison \(k_2\). Montrer que la famille \(S = (u, v)\) est libre dans \(E\).



[ID: 1319] [Date de publication: 13 février 2021 09:16] [Catégorie(s): Famille libre, Famille liée, Famille génératrice ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Accordéon
Titre
Solution
Texte

Exercice 21
Par emmanuel le 13 février 2021 09:16

Soit \((\lambda, \mu) \in \mathbb{C}^{2}\) tels que \(\lambda u + \mu v = 0_E\). En examinant les deux premiers termes de cette suite, on trouve que : \[\begin{cases}\lambda + \mu &= 0\\ \lambda k_1 + \mu k_2 &= 0\end{cases}\] et en résolvant ce système, que \(\lambda = \mu = 0\).


Exercice 940 *

13 février 2021 09:16 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\) et une famille de vecteurs \((a_1,\dots,a_n) \in E^n\) libre. On définit les vecteurs \[b_1=a_1, b_2=a_1+a_2, \dots , b_n=a_1+\dots + a_n\] Montrer que la famille \((b_1,\dots, b_n)\) est libre.



[ID: 1321] [Date de publication: 13 février 2021 09:16] [Catégorie(s): Famille libre, Famille liée, Famille génératrice ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Accordéon
Titre
Solution
Texte

Exercice 940
Par emmanuel le 13 février 2021 09:16

Soit \((\lambda_1,\dots,\lambda_n)\in \mathbb{K}^{n}\) tels que \[\lambda_1b_1+\dots + \lambda_n b_n =0_E\] Alors \[(\lambda_1+\dots+\lambda_n)a_1 + (\lambda_2+\dots+\lambda_n)a_2+\dots + (\lambda_{n-1}+ \lambda_n)a_{n-1} +\lambda_n a_n = 0\] Comme \((a_1,\dots,a_n)\) est libre, on tire que \[\lambda_n =\lambda_n+\lambda_{n-1} =\dots = \lambda_n+\dots+\lambda_1=0_{\mathbb{K} }\] et par conséquent que tous les \(\lambda_k\) sont nuls.


Accordéon
Titre
Solution
Texte

Exercice 1013
Par emmanuel le 13 février 2021 09:16

On montre que \(E\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathcal{F}(\mathbb{R} ,\mathbb{R} )\). Il est aussi facile de montrer que les applications \(\varphi_k\) sont linéaires. Montrons ensuite que la famille est libre. Soit \((\lambda_1,\dots, \lambda_n) \in \mathbb{R}^{n}\) tels que \[\lambda_1 \varphi_1+\dots + \lambda_n \varphi_n= 0_{L(E,\mathbb{R} )}\] En appliquant cette application linéaire à la fonction \(\theta_k: x\mapsto x^k \in E\), on trouve que \[\lambda_k k! =0\] (car \([x^k]^{(p)}(0)=k!\) si \(p=k\) et \([x^k]^{(p)}(0)=0\) si \(p\neq k\). On en déduit donc que \(\forall k\in [1,n], \lambda_k=0\).


Exercice 760 **

13 février 2021 09:16 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(f_k(t)=e^{kt}\). Montrer que \(\{ f_1, \dots, f_n\}\) est une famille libre dans \(\mathcal{F}(\mathbb{R} ,\mathbb{R} )\).



[ID: 1325] [Date de publication: 13 février 2021 09:16] [Catégorie(s): Famille libre, Famille liée, Famille génératrice ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Accordéon
Titre
Solution
Texte

Exercice 760
Par emmanuel le 13 février 2021 09:16

Soit \((\lambda_1,\dots,\lambda_n)\in \mathbb{R}^{n}\) tels que \[\forall x\in \mathbb{R} , \quad\lambda_1e^x+\dots +\lambda_ne^{nx}=0 .\] Alors \[\forall x\in \mathbb{R} , \quad\lambda_1+\dots +\lambda_ne^{(n-1)x}=0 \xrightarrow[x\rightarrow -\infty]{}0\] et \(\lambda_1=0\). On recommence avec \[\forall x\in \mathbb{R} , \lambda_2 e^x+\dots+\lambda_{n-1}e^{(n-1)x}=0\] ce qui donne \(\lambda_{2}=0\) et ainsi de suite, on montre que tous les coefficients de la combinaison linéaire sont nuls. La famille est donc libre.


Exercice 449 **

13 février 2021 09:16 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Dans l’espace vectoriel \(E = \mathcal{F}(\mathbb{R} , \mathbb{R} )\), montrer que la famille \(S = (x\to 1, x\mapsto\mathop{\mathrm{ch}}x, x\mapsto\mathop{\mathrm{ch}}2x, \dots, x\mapsto\mathop{\mathrm{ch}}nx)\) est libre.



[ID: 1327] [Date de publication: 13 février 2021 09:16] [Catégorie(s): Famille libre, Famille liée, Famille génératrice ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Accordéon
Titre
Solution
Texte

Exercice 449
Par emmanuel le 13 février 2021 09:16

Au voisinage de \(+\infty\), on a l’équivalent \(\mathop{\mathrm{ch}}n x = \dfrac{e^{nx}+e^{-nx}}{2}=\dfrac{e^{nx}}{2} \left(1+e^{-2nx}\right)\underset{x\rightarrow +\infty}{\sim}\dfrac{e^{nx}}{2}\)
car \(1+e^{-2nx}\xrightarrow[x\rightarrow +\infty]{}1\). Soient \(\alpha_0\), \(\dots, \alpha_n\in\mathbb{R}\) tels que \[\forall x\in \mathbb{R},\quad \alpha_0 + \alpha_1 \mathop{\mathrm{ch}}x + \dots+\alpha_n\mathop{\mathrm{ch}} nx=0\] alors \[\forall x\in \mathbb{R},\quad \alpha_0e^{-nx} + \alpha_1 \mathop{\mathrm{ch}}\left(x\right) e^{-nx} + \dots+\alpha_n\mathop{\mathrm{ch}}\left(nx\right) e^{-nx}=0 .\] En vertu de l’équivalent, pour tout \(k\in\llbracket 0,n\rrbracket, \mathop{\mathrm{ch}}\left(k x\right)e^{-nx}\underset{x\rightarrow +\infty}{\sim}e^{\left(k-n\right)x}/2\) et \[\mathop{\mathrm{ch}}\left(k x\right) e^{-nx} \xrightarrow[x\rightarrow +\infty]{}\begin{cases}0 &\textrm{ si } k<n \\ 1/2&\textrm{ si } k=n \end{cases}.\] Donc la somme précédente ne tend vers \(0\) que si \(\alpha_n=0\). On répète \(n\) fois ce raisonnement et on montre que \(\alpha_0=\dots=\alpha_n=0\). La famille \(S\) est bien libre.


Exercice 79 **

13 février 2021 09:16 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel et \((u_1, \dots, u_n)\) une famille libre. Les familles \[S=(u_1-u_2, u_2-u_3, \dots, u_{n-1}-u_n, u_n-u_1)\] \[T=(u_1+u_2, \dots, u_{n-1}+u_n, u_n+u_1)\] sont-elles libres?



[ID: 1329] [Date de publication: 13 février 2021 09:16] [Catégorie(s): Famille libre, Famille liée, Famille génératrice ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Accordéon
Titre
Solution
Texte

Exercice 79
Par emmanuel le 13 février 2021 09:16

La famille \(S\) est liée car \[(u_1-u_2)+(u_2-u_3)+\dots + (u_{n-1}-u_n) + (u_n-u_1)= 0_E\] Pour la famille \(T\): Soit \((\lambda_1,\dots,\lambda_n)\in \mathbb{K}^{n}\) tel que \[\lambda_1(u_1+u_2)+\dots +\lambda_n(u_n+u_1)=0_E\] Comme \((u_1,\dots,u_n)\) est libre, il vient que \[\lambda_1+\lambda_n=0_K, \quad\lambda_2+\lambda_1=0_K,\dots, \lambda_{n-1}+\lambda_n=0_K\] Par conséquent, \[\lambda_1=(-1)^{i-1} \lambda_{i}=(-1)^{n}\lambda_1.\] Si \(n\) est impair, \(2\lambda_1=0_K\) et donc \(\lambda_1=0\), puis alors tous les coefficients sont nuls. Si \(n\) est impair, \(T\) est une famille libre.

Si par contre \(n\) est pair, on vérifie que \[\sum_{i=0}^{n-1} (-1)^{i-1}(u_i+u_{i+1}) + (-1)^{n-1}(u_n+u_1)=0_E\] et donc \(T\) est lié.


Accordéon
Titre
Solution
Texte

Exercice 963
Par emmanuel le 13 février 2021 09:16

Soit \((p, q) \in \mathbb{N}^{2}\). On utilise la trigonométrie. Pour tout \(x\in\mathbb{R}\) : \[\sin(px)\, \sin(qx) ={\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}\left(\cos\left(\left(p-q\right)x\right)-\cos\left(\left(p+q\right)x\right)\right)\] donc si \(p\neq q\), \[{\scriptstyle 1\over\scriptstyle\pi}\int_0^{2\pi} \sin(px)\, \sin(qx) \mathrm{ \;d}x = {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2\pi}\left[{\scriptstyle 1\over\scriptstyle p-q}\sin\left(\left(p-q\right)x\right)-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle p+q}\sin\left(\left(p+q\right)x\right)\right] _0^{2\pi}=0\] et si \(p=q\) alors \[{\scriptstyle 1\over\scriptstyle\pi}\int_0^{2\pi} \sin(px)\, \sin(qx) \mathrm{ \;d}x={\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2\pi}\int_0^{2\pi}\left(1-\cos\left(\left(p+q\right)x\right)\right) \mathrm{ \;d}x= {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2\pi}\left[x-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle p+q}\sin\left(\left(p+q\right)x\right)\right] _0^{2\pi}=1.\] Montrons que \(S\) est libre. Soient \(\alpha_1,\dots,\alpha_n\in\mathbb{R}\) tels que \(\sum_{i=1}^n \alpha_i f_i=0\). Soit \(k\in\llbracket 1,n\rrbracket\). Par linéarité de l’intégrale, on a : \[0 = \sum_{i=1}^n {\scriptstyle\alpha_i\over\scriptstyle\pi} \int_{0}^{2\pi} f_k\left(x\right)f_i\left(x\right)\mathrm{ \;d}x = \sum_{i=1}^n \alpha_i \delta_{ki} = \alpha_k.\] et ce pour tout \(k\in \llbracket 1,n\rrbracket\). On en déduit que \(S\) est libre.


;
Success message!