Formes linéaires

Exercices du dossier Formes linéaires

Exercice 984 *

12 février 2021 17:02 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soient \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel et \(f,g\in E^{*}\) deux formes linéaires telles que \(\forall x\in E\), \(f(x)g(x)=0_K\). Montrer que \(f=0\) ou \(g=0\).



[ID: 1291] [Date de publication: 12 février 2021 17:02] [Catégorie(s): Formes linéaires ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Accordéon
Titre
Solution
Texte

Exercice 984
Par emmanuel le 12 février 2021 17:02

Si il existe \(a\in E\) tel que \(f(a)\neq 0\) et \(b\in E\) tel que \(g(b)\neq 0\), alors \[0=f(a+b)g(a+b)=f\left(a\right)g\left(a\right)+f\left(a\right)g\left(b\right)+f\left(b\right)g\left(a\right)+f\left(b\right)g\left(b\right)= f\left(a\right)g\left(b\right)+f\left(b\right)g\left(a\right).\] Donc \(f\left(a\right)g\left(b\right)=-f\left(b\right)g\left(a\right)\) et comme \(f(a)\neq 0\) , \(g(b)\neq 0\), nécessairement \(f\left(b\right) \neq 0\) et \(g\left(a\right)\neq 0\). Il vient alors que \(f\left(a\right)g\left(a\right)\neq 0\) ce qui est contraire à notre hypothèse de départ. Donc \(f=0\) ou \(g=0\).


Exercice 627 *

12 février 2021 17:02 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soient \(E\) un espace vectoriel et \(a\) un vecteur de \(E\). Soit \(\varphi\) une forme linéaire sur \(E\). On définit \(u(x)=x+\varphi(x)a\). Vérifier que \(u\) est un endomorphisme de \(E\), puis calculer \(u^2\). A quelle condition \(u\) est-elle injective?



[ID: 1293] [Date de publication: 12 février 2021 17:02] [Catégorie(s): Formes linéaires ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Accordéon
Titre
Solution
Texte

Exercice 627
Par emmanuel le 12 février 2021 17:02

Soient \(\alpha,\alpha'\in\mathbb{K}\) et \(x,x'\in E\). Par linéarité de \(\varphi\) \[u\left(\alpha x + \alpha' x'\right)= \alpha x + \alpha' x' + \varphi\left(\alpha x + \alpha' x'\right)a=\alpha\left(x+\varphi(x)a\right)+\alpha'\left(x'+\varphi(x')a\right)=\alpha u\left(x\right)+\alpha' u\left(x'\right)\] donc \(u\) est linéaire.

Soit \(x\in E\). \[u^2\left(x\right)=u\left(x+\varphi(x)a\right) =u\left(x\right)+\varphi(x)u\left(a\right)=x+\varphi(x)a+\varphi\left(x\right)\left(a+\varphi\left(a\right)a\right)=x+\left(2+\varphi\left(a\right)\right) \varphi\left( x \right) a\]

L’application \(u\) est injective si et seulement si son noyau est réduit au vecteur nul de \(E\). Mais \(u\left(x\right)=0\Longleftrightarrow x+ \varphi\left( x \right) a =0 \Longleftrightarrow x=-\varphi\left(x\right)a\). Donc un vecteur \(x\) est élément du noyau de \(u\) si et seulement si il existe \(\alpha\in\mathbb{K}\) tel que \(x=\alpha a\) et \(\varphi\left(x\right)=-\alpha\). On a alors \(\alpha a = -\alpha \varphi\left(a\right)a\) ce qui s’écrit aussi \(\alpha\left(1-\varphi\left(a\right)\right)a=0\). Pour que le noyau de \(u\) ne soit pas trivial, il faut donc que \(\varphi\left(a\right)=-1\), dans quel cas, \(u\) n’est pas injective. Sinon, si \(\varphi\left(a\right)\neq -1\), \(\varphi\) est injective.


Exercice 796 *

12 février 2021 17:02 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(E\) l’ensemble des fonctions dérivables sur \([0,1]\) et \(\delta :\mbox{$\left\{ \begin{array}{lcl} E & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ f & \longrightarrow & f'(0) \end{array} \right. $}\).

  1. Montrer que \(E\) est un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel.

  2. On pose \(H=\operatorname{Ker}\delta\). Trouver un supplémentaire de \(H\) dans \(E\).



[ID: 1295] [Date de publication: 12 février 2021 17:02] [Catégorie(s): Formes linéaires ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Accordéon
Titre
Solution
Texte

Exercice 796
Par emmanuel le 12 février 2021 17:02
  1. On montre facilement que \(E\) est un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel en prouvant que c’est un sous-espace vectoriel de \(\mathscr F\left(\left[0,1\right],\mathbb{R}\right)\).

  2. Montrons que l’ensemble des fonctions affines sur \(\left[0,1\right]\), noté \(I\), est un supplémentaire de \(H\) dans \(E\). Soit \(f\in E\). Alors \(f=\left(f-f'\left(0\right)x\right)+f'\left(0\right)x\). Il est clair que \(x\mapsto f-f'\left(0\right)x\in H\) et que \(x\mapsto f'\left(0\right)x\in I\). Donc \(E=H+I\). Si \(f\in H\cap I\) alors \(f'\left(0\right)=0\) et il existe \(a\in \mathbb{R}\) tel que \(f:x\mapsto ax\). Alors \(a=0\) et \(f=0\). Donc \(H\) et \(I\) sont en somme directe. En conclusion, \(E=H\oplus I\).


Accordéon
Titre
Solution
Texte

Exercice 704
Par emmanuel le 12 février 2021 17:02
  1. Soit \(\varphi,\psi\in L\left(E\right)\) et \(\alpha,\beta\in\mathbb{K}\). Alors \({u}^{\mathrm{T}}\left(\alpha \varphi+\beta\psi\right)=\left(\alpha \varphi+\beta\psi\right)\circ u=\alpha \varphi\circ u+\beta\psi\circ u=\alpha {u}^{\mathrm{T}}(\varphi)+\beta {u}^{\mathrm{T}}(\psi)\). Donc \({u}^{\mathrm{T}}\in L(E^{\star})\).

  2. Soit \(\varphi\in E^{\star}\). Calculons \[{v}^{\mathrm{T}}\circ {u}^{\mathrm{T}}(\varphi) = {v}^{\mathrm{T}}(\varphi\circ u) = \varphi\circ (u\circ v) = {(u\circ v)}^{\mathrm{T}}(\varphi)\] Par conséquent, \({(u\circ v)}^{\mathrm{T}} = {v}^{\mathrm{T}}\circ {u}^{\mathrm{T}}\).

  3. \(\theta\) est bien définie. Soit \(f\in \mathrm{GL}_{ }(E)\). Comme \(f\) est inversible, il existe \(f^{-1} \in L(E)\) vérifiant \(f\circ f^{-1} = \mathop{\mathrm{id}}\nolimits_E\). Mais en transposant, \({f^{-1}}^{\mathrm{T}}\circ {f}^{\mathrm{T}} = {\mathop{\mathrm{id}}\nolimits_E}^{\mathrm{T}} = \mathop{\mathrm{id}}\nolimits_{E^{\star}}\). On montre de même que \({f}^{\mathrm{T}} \circ {f^{-1}}^{\mathrm{T}} = \mathop{\mathrm{id}}\nolimits_{E^{\star}}\). Ce qui montre que \({f^{-1}}^{\mathrm{T}}\) est inversible dans \(L(E^{\star})\). On vérifie sans problème que \(\theta\) est un morphisme de groupes en utilisant 2.

  4. Soit \(f \in \operatorname{Ker}\theta\). Alors \(\forall \varphi\in E^{\star}\), \({f^{-1}}^{\mathrm{T}}(\varphi) = \varphi\) et donc \[\forall \varphi\in E^{\star},~\varphi\circ f^{-1} = \varphi\] En considérant \(\varphi_1\) et \(\varphi_2\) les deux projections sur \(\mathop{\mathrm{Vect}}(e_1)\) et \(\mathop{\mathrm{Vect}}(e_2)\), on montre que \(f = \mathop{\mathrm{id}}\nolimits_E\).


;
Success message!