Opérations sur les sous-espaces vectoriels

Exercices du dossier Opérations sur les sous-espaces vectoriels

Exercice 825 *

12 février 2021 09:20 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Montrer que les ensembles suivants sont des sous-espaces vectoriels de \(\mathbb{R}^3\) en les décrivant sous la forme \(Vect\left(\mathscr F\right)\) :

  1. \(F_1=\left\{\left(x,y\right)\in\mathbb{R}^2 ~|~ x-y=0\right\}\)

  2. \(F_2=\left\{\left(x,y\right)\in\mathbb{R}^2 ~|~ 2x-y=0 \right\}\)

  3. \(F_3=\left\{\left(t,-2t\right)~|~ t\in\mathbb{R}\right\}\)



[ID: 1129] [Date de publication: 12 février 2021 09:20] [Catégorie(s): Opérations sur les sous-espaces vectoriels ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Accordéon
Titre
Solution
Texte

Exercice 825
Par emmanuel le 12 février 2021 09:20
  1. \(F_1 = \left\{\left(x,y\right)\in\mathbb{R}^2 ~|~ x-y=0\right\} = \left\{\left(x,x\right)\in \mathbb{R}^2 ~|~ x\in\mathbb{R}\right\}=Vect\left(\left(1,1\right)\right)\)

  2. \(F_2=\left\{\left(x,y\right)\in\mathbb{R}^2 ~|~ 2x-y=0 \right\}=\left\{\left(x,2x\right)\in\mathbb{R}^2 ~|~ x\in\mathbb{R}\right\} = Vect\left(\left(1,2\right)\right)\)

  3. \(F_3=\left\{\left(t,-2t\right)~|~ t\in\mathbb{R}\right\}=Vect\left(\left(1,-2\right)\right)\)


Accordéon
Titre
Solution
Texte

Exercice 201
Par emmanuel le 12 février 2021 09:20
  1. \(F_1=\left\{\left(x,y,z\right)\in\mathbb{R}^3~|~ x+y-z=0 \right\}=\left\{\left(x,y,x+y\right)\in\mathbb{R}^3~|~ x,y\in\mathbb{R}\right\} = \left\{x\left(1,0,1\right) + y\left(0,1,1\right)\in\mathbb{R}^3~|~ x,y\in\mathbb{R} \right\}=Vect{\left(\left(1,0,1\right),\left(0,1,1\right)\right)}\).

  2. \(F_2=\left\{\left(2s+t,s-t,s+t\right)~|~ \left(s,t\right)\in\mathbb{R}^2\right\} =\left\{s\left(2,1,1\right)+t\left(1,-1 ,1\right)~|~ \left(s,t\right)\in\mathbb{R}^2\right\} =Vect\left(\left(2,1,1\right),\left(1,-1 ,1\right)\right)\).

  3. \(F_3=\left\{\left(x,y,z\right)\in\mathbb{R}^3~|~ x-y+z=0 \quad \textrm{ et} \quad x+y-z=0\right\} = \left\{\left(0,y,y\right)\in\mathbb{R}^3~|~ y\in\mathbb{R}\right\}=Vect\left(\left(0,1,1\right)\right)\).

  4. \(F_4=\left\{\left(x,y,z\right)\in\mathbb{R}^3~|~ x-y-2z=0\right\}\cap \left\{\left(x,y,z\right)\in\mathbb{R}^3~|~ 3x-y-z=0\right\}\) \(= \left\{\left(x,y,z\right)\in\mathbb{R}^3~|~ x-y-2z=0 \quad \textrm{ et} \quad 3x-y-z=0\right\}\)
    \(\phantom{F_4}=\left\{\left(x,5x,-2x\right)\in\mathbb{R}^3~|~ x\in\mathbb{R}\right\}=Vect\left(\left(1,5,-2\right)\right)\).

  5. \(F_5=\left\{\left(2t,3t,t\right)~|~t\in\mathbb{R}\right\}=Vect\left(\left(2,3,1\right)\right)\).


Accordéon
Titre
Solution
Texte

Exercice 761
Par emmanuel le 12 février 2021 09:20
  1. \(F_1=\mathbb{R}_2\left[X\right]=Vect\left(X^2,X,1\right)\).

  2. \(F_2=\left\{ P\in\mathbb{R}_{3}\left[X\right] ~|~P\left(1\right)=0 \right\}=\left\{ \left(X-1\right)P ~|~P\in \mathbb{R}_2\left[X\right]\right\}=Vect{\left(\left(X-1\right)X^2,\left(X-1\right)X,\left(X-1\right)1\right)}\).

  3. \(F_3=\left\{ P'~|~P\in\mathbb{R}_n\left[X\right] \right\}=R_{n-1}\left[X\right]=Vect\left(1,X,\dots,X^{n-1}\right)\).

  4. \(F_4=\left\{ a\left(X^3-1\right)+b\left(X^2-2\right)+c\left(X+4\right)~|~\left(a,b,c\right)\in\mathbb{R}^3 \right\}=Vect\left(X^3-1,X^2-2,X+4\right)\).

  5. \(F_5=\left\{ P\in\mathbb{R}_{4}\left[X\right]~|~ P\left(1\right)=P\left(2\right)=0\right\}=\left\{ \left(X-1\right)\left(X-2\right)P~|~ P\in \mathbb{R}_{2}\left[X\right]\right\}\)
    \(\phantom{F_5}=Vect\left(X^2 \left(X-1\right)\left(X-2\right),X \left(X-1\right)\left(X-2\right), \left(X-1\right)\left(X-2\right)\right)\).

  6. \(F_6=\left\{ P\in\mathbb{R}_{2}\left[X\right]~|~ P'=0\right\}=Vect\left(1\right)\).

  7. \(F_7=\left\{ P\in\mathbb{R}_{3}\left[X\right]~|~ P''=0\right\}=\left\{aX+b|a,b\in \mathbb{R}\right\} = Vect\left(X,1\right)\).

  8. Soit \(P=aX^2+bX+c\in F_8\)\(a,b,c\in\mathbb{R}\). On a : \(\int_{0}^{1} P\left(t\right)\,\textrm{d}t=0\) si et seulement si \(2a+3b+6c=0\) . Donc \(F_8=\left\{ aX^2+bX+c|~ a,b,c\in\mathbb{R}\quad \textrm{ et} \quad 2a+3b+6c=0\right\}=\left\{ aX^2+bX-{\scriptstyle a\over\scriptstyle 3}-{\scriptstyle b\over\scriptstyle 2} |~ a,b\in\mathbb{R}\right\}=Vect{\left(X^2-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 3}, X-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2} \right)}\).


Accordéon
Titre
Solution
Texte

Exercice 634
Par emmanuel le 12 février 2021 09:20
  1. Les fonctions solutions de \(y'-t y=0\) sont les fonctions \(\varphi_\alpha: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ t & \longmapsto & \alpha e^{t^2} \end{array} \right.\)\(\alpha\in\mathbb{R}\).Donc \(F_1=Vect\left(\varphi_1\right)\).

  2. Les fonctions solutions de \(f''+\omega^2 f=0\) sont les fonctions \(\varphi_{\alpha,\beta}: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ t & \longmapsto & \alpha \cos \left(\omega t\right) +\beta \sin \left(\omega t\right) \end{array} \right.\)\(\alpha,\beta\in\mathbb{R}\). Donc \(F_2=Vect\left(t\mapsto \cos \left(\omega t\right) ,t\mapsto \sin \left(\omega t\right)\right)\).

  3. Les fonctions solutions de \(f''+2 f'+f=0\) sont les fonctions \(\varphi_{\alpha,\beta}: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ t & \longmapsto & \alpha e^{-t} +\beta te^{-t} \end{array} \right.\)\(\alpha,\beta\in\mathbb{R}\). Donc \(F_3=Vect\left(t\mapsto e^{-t} ,t\mapsto t e^{-t}\right)\).

  4. On montre de même que \(F_4=Vect\left(t\mapsto e^{2t},t\mapsto e^{-2t}\right)\).


Exercice 512 *

12 février 2021 09:20 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Montrer que les ensembles suivants sont des sous-espaces vectoriels de \(\mathcal S\left(\mathbb{R}\right)\) en les décrivant sous la forme \(Vect\left(\mathscr F\right)\) :

  1. L’ensemble \(F_1\) des suites réelles constantes.

  2. L’ensemble \(F_2\) des suites arithmétiques.

  3. L’ensemble \(F_3\) des suites géométriques de raison \(2\).

  4. L’ensemble \(F_4\) des suites réelles nulles à partir du rang \(3\).



[ID: 1137] [Date de publication: 12 février 2021 09:20] [Catégorie(s): Opérations sur les sous-espaces vectoriels ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Accordéon
Titre
Solution
Texte

Exercice 512
Par emmanuel le 12 février 2021 09:20
  1. \(F_1=Vect\left(\left(1\right)\right)\).

  2. \(F_2=Vect\left(\left(1\right),\left(n\right)\right)\)

  3. \(F_3=Vect\left(\left(2^n\right)\right)\)

  4. \(F_4=Vect\left( \left(1,0,0,0,\dots\right) , \left(0,1,0,0,\dots\right), \left(0,0,1,0,\dots\right)\right)\)


Exercice 871 *

12 février 2021 09:20 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Dans l’espace vectoriel \(E = \mathbb{R}^{3}\), on considère les vecteurs \(e_1=(1,1,0)\) et \(e_2=(1,2,1)\). Déterminer \(\mathop{\mathrm{Vect}}(e_1, e_2)\).



[ID: 1139] [Date de publication: 12 février 2021 09:20] [Catégorie(s): Opérations sur les sous-espaces vectoriels ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Accordéon
Titre
Solution
Texte

Exercice 871
Par emmanuel le 12 février 2021 09:20

On trouve que \[\mathop{\mathrm{Vect}}(e_1, e_2) = \{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x - y + z = 0 \}\] C’est un plan vectoriel.


Exercice 671 *

12 février 2021 09:20 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On note \(E = \{ f \in \mathcal{F}(\mathbb{R} , \mathbb{R} ) \mid \exists (a, \varphi)\in \mathbb{R}^{2} :\, \forall x \in \mathbb{R} , \, f(x) = a\cos(x - \varphi) \}\). Déterminer une partie \(A\) de \(\mathcal{F}(\mathbb{R} , \mathbb{R} )\) telle que \(E = \mathop{\mathrm{Vect}}(A)\).



[ID: 1141] [Date de publication: 12 février 2021 09:20] [Catégorie(s): Opérations sur les sous-espaces vectoriels ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Accordéon
Titre
Solution
Texte

Exercice 671
Par emmanuel le 12 février 2021 09:20

Grâce à la trigonométrie, on a les équivalences : \[\begin{aligned} & & f\in E \\ &\Longleftrightarrow& \exists (a, \varphi)\in \mathbb{R}^{2} :\, \forall x \in \mathbb{R} , \, f(x) = a\cos(x - \varphi) \\ &\Longleftrightarrow& \exists (a, \varphi)\in \mathbb{R}^{2} :\, \forall x \in \mathbb{R} , \, f(x) =a\cos \varphi\cos x +a\sin\varphi\sin x\\ &\Longleftrightarrow& \exists \alpha,\beta\in \mathbb{R}:\, \forall x \in \mathbb{R} , \, f\left(x\right)=\alpha \cos x+ \beta \sin x \end{aligned}\] Donc \(\boxed{E=\mathop{\mathrm{Vect}}(\cos , \sin )}\).


Exercice 978 *

12 février 2021 09:20 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(E = \mathcal{F}(\mathbb{R} , \mathbb{R} )\) le \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel des fonctions d’une variable réelle. On définit les systèmes de vecteurs \[S = (x\mapsto 1, x\mapsto \cos x, x\mapsto \cos 2x) \quad T = (x\mapsto 1,x\mapsto \cos x, x\mapsto \cos^2 x).\] Montrer que \(\mathop{\mathrm{Vect}}(S) = \mathop{\mathrm{Vect}}(T)\).



[ID: 1143] [Date de publication: 12 février 2021 09:20] [Catégorie(s): Opérations sur les sous-espaces vectoriels ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Accordéon
Titre
Solution
Texte

Exercice 978
Par emmanuel le 12 février 2021 09:20

Comme pour tout \(x\in\mathbb{R}\), \(\cos 2x= 2\cos^2 x-1\), il est clair que \(x\mapsto \cos 2 x\in \mathop{\mathrm{Vect}}(T)\). Il s’ensuit que \(\mathop{\mathrm{Vect}}\left(S\right)\subset \mathop{\mathrm{Vect}}\left(T\right)\). De même, pour tout \(x\in\mathbb{R}\), \(\cos^2 x =\left(1+\cos 2x\right)/2\) et donc \(x\mapsto \cos^2 x\in \mathop{\mathrm{Vect}}(S)\). Donc \(\mathop{\mathrm{Vect}}\left(T\right)\subset \mathop{\mathrm{Vect}}\left(S\right)\). En conclusion \(\mathop{\mathrm{Vect}}\left(S\right)= \mathop{\mathrm{Vect}}\left(T\right)\).


Exercice 1012 **

12 février 2021 09:20 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Dans \(\mathbb{R}^{4}\), montrer que les vecteurs \(v_1=(1,0,0,1)\) et \(v_2=(2,1,-1,0)\) engendrent le même sous-espace vectoriel que les vecteurs \(v_3=(3,1,-1,1)\) et \(v_4=(5,2,-2,1)\).



[ID: 1145] [Date de publication: 12 février 2021 09:20] [Catégorie(s): Opérations sur les sous-espaces vectoriels ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Accordéon
Titre
Solution
Texte

Exercice 1012
Par emmanuel le 12 février 2021 09:21

Comme \(v_3=v_1+v_2\) et que \(v_4= v_1+2 v_2\), il est clair que \(v_3\) et \(v_4\) sont éléments de \(Vect\left(v_1,v_2\right)\). Donc \(Vect\left(v_3,v_4\right)\subset Vect\left(v_1,v_2\right)\). On remarque de plus que \(v_1=2v_3-v_4\) et que \(v_2=v_4-v_3\). Donc de la même façon, \(Vect\left(v_1,v_2\right)\subset Vect\left(v_3,v_4\right)\). En conclusion \(Vect\left(v_1,v_2\right)= Vect\left(v_3,v_4\right)\)


Exercice 366 **

12 février 2021 09:21 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(E\) un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel et \(F\) un sous-espace vectoriel de \(E\). On pose \(A=E\setminus F\).

  1. Montrer que \(\forall x \in F\), \(\forall y \in A\), \(x+y \in A\).

  2. En déduire que si \(F \neq E\), alors \(\mathop{\mathrm{Vect}}(A)=E\).



[ID: 1147] [Date de publication: 12 février 2021 09:21] [Catégorie(s): Opérations sur les sous-espaces vectoriels ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Accordéon
Titre
Solution
Texte

Exercice 366
Par emmanuel le 12 février 2021 09:21
  1. Soit \(x\in F\) et \(y\in A\). Par l’absurde, si \(x+y\not\in A\), alors \(x+y\in F\) et il existe \(f\in F\) tel que \(x+y=f\) mais alors \(y=f-y\in F\) (car \(F\) est un sous-espace vectoriel), ce qui n’est pas possible.

  2. Supposons que \(F\neq E\). Par conséquent, il existe \(y\in A\). Montrons alors que \(E\subset \mathop{\mathrm{Vect}}(A)\). Soit \(x\in E\). Si \(x\in A\), alors \(x\in \mathop{\mathrm{Vect}}(A)\). Supposons donc que \(x\not\in A\). Alors \(x\in F\) et d’après 1. , \(x+y\in A\). On écrit alors \[x= (x+y)-y\] Et donc \(x\) est combinaison linéaire des vecteurs \((x+y)\) et \(y\) qui appartiennent à \(A\). Par conséquent, \(x\in \mathop{\mathrm{Vect}}(A)\).


Exercice 614 *

12 février 2021 09:21 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soient \(A\) et \(B\) deux parties d’un \(\mathbb{K}-\)espace vectoriel \(E\).

  1. Si \(A \subset B\), montrer que \(\mathop{\mathrm{Vect}}(A) \subset \mathop{\mathrm{Vect}}(B)\).

  2. Si \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(E\), montrer que \(\mathop{\mathrm{Vect}}(F) = F\).

  3. Montrer que \(\mathop{\mathrm{Vect}}\bigl(\mathop{\mathrm{Vect}}(A)\bigr) = \mathop{\mathrm{Vect}}(A)\).



[ID: 1149] [Date de publication: 12 février 2021 09:21] [Catégorie(s): Opérations sur les sous-espaces vectoriels ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Accordéon
Titre
Solution
Texte

Exercice 614
Par emmanuel le 12 février 2021 09:21
  1. Comme \(\mathop{\mathrm{Vect}}(A)\) est le plus petit sous-espace vectoriel de \(E\) contenant \(A\) et que \(\mathop{\mathrm{Vect}}(B)\) est un sous-espace vectoriel de \(E\) qui contient \(B\) et donc \(A\), on a forcément \(\mathop{\mathrm{Vect}}(A) \subset \mathop{\mathrm{Vect}}(B)\).

  2. De même, comme \(F\) est le plus petit sous-espace vectoriel de \(E\) contenant \(F\) donc \(\mathop{\mathrm{Vect}}(F) = F\).

  3. On applique la question précédente avec \(F=\mathop{\mathrm{Vect}}(A)\). On obtient \(\mathop{\mathrm{Vect}}\bigl(\mathop{\mathrm{Vect}}(A)\bigr) = \mathop{\mathrm{Vect}}(A)\).


Exercice 845 **

12 février 2021 09:21 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soient \(A\) et \(B\) deux parties d’un \(K\)-espace vectoriel \(E\). Montrer que :

\[\textrm{ Vect}\left(A\cup B\right)=\textrm{ Vect}\left(A\right)+\textrm{ Vect}\left(B\right)\]



[ID: 1151] [Date de publication: 12 février 2021 09:21] [Catégorie(s): Opérations sur les sous-espaces vectoriels ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Accordéon
Titre
Solution
Texte

Exercice 845
Par emmanuel le 12 février 2021 09:21
  • \(\textrm{ Vect}\left(A\right)+\textrm{ Vect}\left(B\right)\) est un sous-espace vectoriel de \(E\) qui contient \(A\) et \(B\). Il contient donc \(\textrm{ Vect}\left(A\cup B\right)\).

  • Soit \(x\in \textrm{ Vect}\left(A\right)+\textrm{ Vect}\left(B\right)\). Il existe \(x_A\in \textrm{ Vect}\left(A\right)\) et \(x_B\in \textrm{ Vect}\left(B\right)\) tels que \(x=x_A+x_B\). Le vecteur \(x_A\) est combinaison linéaire de vecteurs de \(A\), \(x_B\) est combinaison linéaire de vecteurs de \(B\). Par conséquent \(x\) est combinaison linéaire de vecteurs de \(A\) et de vecteurs de \(B\). Le vecteur \(x\) est donc bien élément de \(\textrm{ Vect}\left(A\cup B\right)\).


;
Success message!