Montrer que les ensembles suivants sont des sous-espaces vectoriels de \(\mathbb{R}^3\) en les décrivant sous la forme \(Vect\left(\mathscr F\right)\) :
\(F_1=\left\{\left(x,y\right)\in\mathbb{R}^2 ~|~ x-y=0\right\}\)
\(F_2=\left\{\left(x,y\right)\in\mathbb{R}^2 ~|~ 2x-y=0 \right\}\)
\(F_3=\left\{\left(t,-2t\right)~|~ t\in\mathbb{R}\right\}\)
\(F_1 = \left\{\left(x,y\right)\in\mathbb{R}^2 ~|~ x-y=0\right\} = \left\{\left(x,x\right)\in \mathbb{R}^2 ~|~ x\in\mathbb{R}\right\}=Vect\left(\left(1,1\right)\right)\)
\(F_2=\left\{\left(x,y\right)\in\mathbb{R}^2 ~|~ 2x-y=0 \right\}=\left\{\left(x,2x\right)\in\mathbb{R}^2 ~|~ x\in\mathbb{R}\right\} = Vect\left(\left(1,2\right)\right)\)
\(F_3=\left\{\left(t,-2t\right)~|~ t\in\mathbb{R}\right\}=Vect\left(\left(1,-2\right)\right)\)
Montrer que les ensembles suivants sont des sous-espaces vectoriels de \(\mathbb{R}^2\) en les décrivant sous la forme \(Vect\left(\mathscr F\right)\) :
\(F_1=\left\{\left(x,y,z\right)\in\mathbb{R}^3~|~ x+y-z=0 \right\}\)
\(F_2=\left\{\left(2s+t,s-t,s+t\right)~|~ \left(s,t\right)\in\mathbb{R}^2\right\}\)
\(F_3=\left\{\left(x,y,z\right)\in\mathbb{R}^3~|~ x-y+z=0 \quad \textrm{ et} \quad x+y-z=0\right\}\)
\(F_4= F \cap G\) avec \(F = \left\{\left(x,y,z\right)\in\mathbb{R}^3~|~ x-y-2z=0\right\}\) et \(G = \left\{\left(x,y,z\right)\in\mathbb{R}^3~|~ 3x-y-z=0\right\}\)
\(F_5=\left\{\left(2t,3t,t\right)~|~t\in\mathbb{R}\right\}\)
\(F_1=\left\{\left(x,y,z\right)\in\mathbb{R}^3~|~ x+y-z=0 \right\}=\left\{\left(x,y,x+y\right)\in\mathbb{R}^3~|~ x,y\in\mathbb{R}\right\} = \left\{x\left(1,0,1\right) + y\left(0,1,1\right)\in\mathbb{R}^3~|~ x,y\in\mathbb{R} \right\}=Vect{\left(\left(1,0,1\right),\left(0,1,1\right)\right)}\).
\(F_2=\left\{\left(2s+t,s-t,s+t\right)~|~ \left(s,t\right)\in\mathbb{R}^2\right\} =\left\{s\left(2,1,1\right)+t\left(1,-1 ,1\right)~|~ \left(s,t\right)\in\mathbb{R}^2\right\} =Vect\left(\left(2,1,1\right),\left(1,-1 ,1\right)\right)\).
\(F_3=\left\{\left(x,y,z\right)\in\mathbb{R}^3~|~ x-y+z=0 \quad \textrm{ et} \quad x+y-z=0\right\} = \left\{\left(0,y,y\right)\in\mathbb{R}^3~|~ y\in\mathbb{R}\right\}=Vect\left(\left(0,1,1\right)\right)\).
\(F_4=\left\{\left(x,y,z\right)\in\mathbb{R}^3~|~ x-y-2z=0\right\}\cap \left\{\left(x,y,z\right)\in\mathbb{R}^3~|~ 3x-y-z=0\right\}\) \(= \left\{\left(x,y,z\right)\in\mathbb{R}^3~|~ x-y-2z=0 \quad \textrm{ et} \quad 3x-y-z=0\right\}\)
\(F_5=\left\{\left(2t,3t,t\right)~|~t\in\mathbb{R}\right\}=Vect\left(\left(2,3,1\right)\right)\).
Montrer que les ensembles suivants sont des sous-espaces vectoriels en les décrivant sous la forme \(Vect\left(\mathscr F\right)\) :
\(F_1=\mathbb{R}_2\left[X\right]\)
\(F_2=\left\{ P\in\mathbb{R}_{3}\left[X\right] ~|~P\left(1\right)=0 \right\}\)
\(F_3=\left\{ P'~|~P\in\mathbb{R}_n\left[X\right] \right\}\) où \(n\in \mathbb{N}\)
\(F_4=\left\{ a\left(X^3-1\right)+b\left(X^2-2\right)+c\left(X+4\right)~|~\left(a,b,c\right)\in\mathbb{R}^3 \right\}\)
\(F_5=\left\{ P\in\mathbb{R}_{4}\left[X\right]~|~ P\left(1\right)=P\left(2\right)=0\right\}\)
\(F_6=\left\{ P\in\mathbb{R}_{2}\left[X\right]~|~ P'=0\right\}\)
\(F_7=\left\{ P\in\mathbb{R}_{3}\left[X\right]~|~ P''=0\right\}\)
\(F_8=\left\{ P\in\mathbb{R}_{2}\left[X\right]~|~ \int_{0}^{1} P\left(t\right)\,\textrm{d}t=0\right\}\)
\(F_1=\mathbb{R}_2\left[X\right]=Vect\left(X^2,X,1\right)\).
\(F_2=\left\{ P\in\mathbb{R}_{3}\left[X\right] ~|~P\left(1\right)=0 \right\}=\left\{ \left(X-1\right)P ~|~P\in \mathbb{R}_2\left[X\right]\right\}=Vect{\left(\left(X-1\right)X^2,\left(X-1\right)X,\left(X-1\right)1\right)}\).
\(F_3=\left\{ P'~|~P\in\mathbb{R}_n\left[X\right] \right\}=R_{n-1}\left[X\right]=Vect\left(1,X,\dots,X^{n-1}\right)\).
\(F_4=\left\{ a\left(X^3-1\right)+b\left(X^2-2\right)+c\left(X+4\right)~|~\left(a,b,c\right)\in\mathbb{R}^3 \right\}=Vect\left(X^3-1,X^2-2,X+4\right)\).
\(F_5=\left\{ P\in\mathbb{R}_{4}\left[X\right]~|~ P\left(1\right)=P\left(2\right)=0\right\}=\left\{ \left(X-1\right)\left(X-2\right)P~|~ P\in \mathbb{R}_{2}\left[X\right]\right\}\)
\(F_6=\left\{ P\in\mathbb{R}_{2}\left[X\right]~|~ P'=0\right\}=Vect\left(1\right)\).
\(F_7=\left\{ P\in\mathbb{R}_{3}\left[X\right]~|~ P''=0\right\}=\left\{aX+b|a,b\in \mathbb{R}\right\} = Vect\left(X,1\right)\).
Soit \(P=aX^2+bX+c\in F_8\) où \(a,b,c\in\mathbb{R}\). On a : \(\int_{0}^{1} P\left(t\right)\,\textrm{d}t=0\) si et seulement si \(2a+3b+6c=0\) . Donc \(F_8=\left\{ aX^2+bX+c|~ a,b,c\in\mathbb{R}\quad \textrm{ et} \quad 2a+3b+6c=0\right\}=\left\{ aX^2+bX-{\scriptstyle a\over\scriptstyle 3}-{\scriptstyle b\over\scriptstyle 2} |~ a,b\in\mathbb{R}\right\}=Vect{\left(X^2-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 3}, X-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2} \right)}\).
Montrer que les ensembles suivants sont des sous-espaces vectoriels en les décrivant sous la forme \(Vect\left(\mathscr F\right)\) :
\(F_1=\left\{f\in\mathcal{C}^{1}\left(\mathbb{R},\mathbb{R}\right)~|~f'-2t f=0\right\}\)
\(F_2=\left\{f\in\mathcal{C}^{2}\left(\mathbb{R},\mathbb{R}\right)~|~ f''+\omega^2 f=0\right\}\) où \(\omega\in \mathbb{R}_+^*\)
\(F_3=\left\{f\in\mathcal{C}^{2}\left(\mathbb{R},\mathbb{R}\right)~|~ f''+2 f'+f=0\right\}\)
\(F_4=\left\{f\in\mathcal{C}^{2}\left(\mathbb{R},\mathbb{R}\right)~|~ f''-4f=0\right\}\)
Les fonctions solutions de \(y'-t y=0\) sont les fonctions \(\varphi_\alpha: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ t & \longmapsto & \alpha e^{t^2} \end{array} \right.\) où \(\alpha\in\mathbb{R}\).Donc \(F_1=Vect\left(\varphi_1\right)\).
Les fonctions solutions de \(f''+\omega^2 f=0\) sont les fonctions \(\varphi_{\alpha,\beta}: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ t & \longmapsto & \alpha \cos \left(\omega t\right) +\beta \sin \left(\omega t\right) \end{array} \right.\) où \(\alpha,\beta\in\mathbb{R}\). Donc \(F_2=Vect\left(t\mapsto \cos \left(\omega t\right) ,t\mapsto \sin \left(\omega t\right)\right)\).
Les fonctions solutions de \(f''+2 f'+f=0\) sont les fonctions \(\varphi_{\alpha,\beta}: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ t & \longmapsto & \alpha e^{-t} +\beta te^{-t} \end{array} \right.\) où \(\alpha,\beta\in\mathbb{R}\). Donc \(F_3=Vect\left(t\mapsto e^{-t} ,t\mapsto t e^{-t}\right)\).
On montre de même que \(F_4=Vect\left(t\mapsto e^{2t},t\mapsto e^{-2t}\right)\).
Montrer que les ensembles suivants sont des sous-espaces vectoriels de \(\mathcal S\left(\mathbb{R}\right)\) en les décrivant sous la forme \(Vect\left(\mathscr F\right)\) :
L’ensemble \(F_1\) des suites réelles constantes.
L’ensemble \(F_2\) des suites arithmétiques.
L’ensemble \(F_3\) des suites géométriques de raison \(2\).
L’ensemble \(F_4\) des suites réelles nulles à partir du rang \(3\).
\(F_1=Vect\left(\left(1\right)\right)\).
\(F_2=Vect\left(\left(1\right),\left(n\right)\right)\)
\(F_3=Vect\left(\left(2^n\right)\right)\)
\(F_4=Vect\left( \left(1,0,0,0,\dots\right) , \left(0,1,0,0,\dots\right), \left(0,0,1,0,\dots\right)\right)\)
Dans l’espace vectoriel \(E = \mathbb{R}^{3}\), on considère les vecteurs \(e_1=(1,1,0)\) et \(e_2=(1,2,1)\). Déterminer \(\mathop{\mathrm{Vect}}(e_1, e_2)\).
On trouve que \[\mathop{\mathrm{Vect}}(e_1, e_2) = \{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x - y + z = 0 \}\] C’est un plan vectoriel.
On note \(E = \{ f \in \mathcal{F}(\mathbb{R} , \mathbb{R} ) \mid \exists (a, \varphi)\in \mathbb{R}^{2} :\, \forall x \in \mathbb{R} , \, f(x) = a\cos(x - \varphi) \}\). Déterminer une partie \(A\) de \(\mathcal{F}(\mathbb{R} , \mathbb{R} )\) telle que \(E = \mathop{\mathrm{Vect}}(A)\).
Grâce à la trigonométrie, on a les équivalences : \[\begin{aligned} & & f\in E \\ &\Longleftrightarrow& \exists (a, \varphi)\in \mathbb{R}^{2} :\, \forall x \in \mathbb{R} , \, f(x) = a\cos(x - \varphi) \\ &\Longleftrightarrow& \exists (a, \varphi)\in \mathbb{R}^{2} :\, \forall x \in \mathbb{R} , \, f(x) =a\cos \varphi\cos x +a\sin\varphi\sin x\\ &\Longleftrightarrow& \exists \alpha,\beta\in \mathbb{R}:\, \forall x \in \mathbb{R} , \, f\left(x\right)=\alpha \cos x+ \beta \sin x \end{aligned}\] Donc \(\boxed{E=\mathop{\mathrm{Vect}}(\cos , \sin )}\).
Soit \(E = \mathcal{F}(\mathbb{R} , \mathbb{R} )\) le \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel des fonctions d’une variable réelle. On définit les systèmes de vecteurs \[S = (x\mapsto 1, x\mapsto \cos x, x\mapsto \cos 2x) \quad T = (x\mapsto 1,x\mapsto \cos x, x\mapsto \cos^2 x).\] Montrer que \(\mathop{\mathrm{Vect}}(S) = \mathop{\mathrm{Vect}}(T)\).
Comme pour tout \(x\in\mathbb{R}\), \(\cos 2x= 2\cos^2 x-1\), il est clair que \(x\mapsto \cos 2 x\in \mathop{\mathrm{Vect}}(T)\). Il s’ensuit que \(\mathop{\mathrm{Vect}}\left(S\right)\subset \mathop{\mathrm{Vect}}\left(T\right)\). De même, pour tout \(x\in\mathbb{R}\), \(\cos^2 x =\left(1+\cos 2x\right)/2\) et donc \(x\mapsto \cos^2 x\in \mathop{\mathrm{Vect}}(S)\). Donc \(\mathop{\mathrm{Vect}}\left(T\right)\subset \mathop{\mathrm{Vect}}\left(S\right)\). En conclusion \(\mathop{\mathrm{Vect}}\left(S\right)= \mathop{\mathrm{Vect}}\left(T\right)\).
Dans \(\mathbb{R}^{4}\), montrer que les vecteurs \(v_1=(1,0,0,1)\) et \(v_2=(2,1,-1,0)\) engendrent le même sous-espace vectoriel que les vecteurs \(v_3=(3,1,-1,1)\) et \(v_4=(5,2,-2,1)\).
Comme \(v_3=v_1+v_2\) et que \(v_4= v_1+2 v_2\), il est clair que \(v_3\) et \(v_4\) sont éléments de \(Vect\left(v_1,v_2\right)\). Donc \(Vect\left(v_3,v_4\right)\subset Vect\left(v_1,v_2\right)\). On remarque de plus que \(v_1=2v_3-v_4\) et que \(v_2=v_4-v_3\). Donc de la même façon, \(Vect\left(v_1,v_2\right)\subset Vect\left(v_3,v_4\right)\). En conclusion \(Vect\left(v_1,v_2\right)= Vect\left(v_3,v_4\right)\)
Soit \(E\) un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel et \(F\) un sous-espace vectoriel de \(E\). On pose \(A=E\setminus F\).
Montrer que \(\forall x \in F\), \(\forall y \in A\), \(x+y \in A\).
En déduire que si \(F \neq E\), alors \(\mathop{\mathrm{Vect}}(A)=E\).
Soit \(x\in F\) et \(y\in A\). Par l’absurde, si \(x+y\not\in A\), alors \(x+y\in F\) et il existe \(f\in F\) tel que \(x+y=f\) mais alors \(y=f-y\in F\) (car \(F\) est un sous-espace vectoriel), ce qui n’est pas possible.
Supposons que \(F\neq E\). Par conséquent, il existe \(y\in A\). Montrons alors que \(E\subset \mathop{\mathrm{Vect}}(A)\). Soit \(x\in E\). Si \(x\in A\), alors \(x\in \mathop{\mathrm{Vect}}(A)\). Supposons donc que \(x\not\in A\). Alors \(x\in F\) et d’après 1. , \(x+y\in A\). On écrit alors \[x= (x+y)-y\] Et donc \(x\) est combinaison linéaire des vecteurs \((x+y)\) et \(y\) qui appartiennent à \(A\). Par conséquent, \(x\in \mathop{\mathrm{Vect}}(A)\).
Soient \(A\) et \(B\) deux parties d’un \(\mathbb{K}-\)espace vectoriel \(E\).
Si \(A \subset B\), montrer que \(\mathop{\mathrm{Vect}}(A) \subset \mathop{\mathrm{Vect}}(B)\).
Si \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(E\), montrer que \(\mathop{\mathrm{Vect}}(F) = F\).
Montrer que \(\mathop{\mathrm{Vect}}\bigl(\mathop{\mathrm{Vect}}(A)\bigr) = \mathop{\mathrm{Vect}}(A)\).
Comme \(\mathop{\mathrm{Vect}}(A)\) est le plus petit sous-espace vectoriel de \(E\) contenant \(A\) et que \(\mathop{\mathrm{Vect}}(B)\) est un sous-espace vectoriel de \(E\) qui contient \(B\) et donc \(A\), on a forcément \(\mathop{\mathrm{Vect}}(A) \subset \mathop{\mathrm{Vect}}(B)\).
De même, comme \(F\) est le plus petit sous-espace vectoriel de \(E\) contenant \(F\) donc \(\mathop{\mathrm{Vect}}(F) = F\).
On applique la question précédente avec \(F=\mathop{\mathrm{Vect}}(A)\). On obtient \(\mathop{\mathrm{Vect}}\bigl(\mathop{\mathrm{Vect}}(A)\bigr) = \mathop{\mathrm{Vect}}(A)\).
Soient \(A\) et \(B\) deux parties d’un \(K\)-espace vectoriel \(E\). Montrer que :
\[\textrm{ Vect}\left(A\cup B\right)=\textrm{ Vect}\left(A\right)+\textrm{ Vect}\left(B\right)\]
\(\textrm{ Vect}\left(A\right)+\textrm{ Vect}\left(B\right)\) est un sous-espace vectoriel de \(E\) qui contient \(A\) et \(B\). Il contient donc \(\textrm{ Vect}\left(A\cup B\right)\).
Soit \(x\in \textrm{ Vect}\left(A\right)+\textrm{ Vect}\left(B\right)\). Il existe \(x_A\in \textrm{ Vect}\left(A\right)\) et \(x_B\in \textrm{ Vect}\left(B\right)\) tels que \(x=x_A+x_B\). Le vecteur \(x_A\) est combinaison linéaire de vecteurs de \(A\), \(x_B\) est combinaison linéaire de vecteurs de \(B\). Par conséquent \(x\) est combinaison linéaire de vecteurs de \(A\) et de vecteurs de \(B\). Le vecteur \(x\) est donc bien élément de \(\textrm{ Vect}\left(A\cup B\right)\).