Sous-espaces vectoriels

  1. Les exercices
  2. Vue compacte

Exercices du dossier Sous-espaces vectoriels

Exercice 413 *

11 février 2021 18:48 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soient \(F\) et \(G\) deux sous-espaces vectoriels d’un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\). Montrer que : \[F\cap G = F+G \Longleftrightarrow F=G\]


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Solution

Exercice 413
Par emmanuel le 11 février 2021 18:48

  • Soit \(x\in F\). Alors \(x=x+0\in F+G=F\cap G\). Donc \(x\in G\). Ce qui prouve que \(F\subset G\). On montre de la même façon que \(G\subset F\) et donc que \(F=G\).

  • Trivial.


Exercice 321 *

11 février 2021 18:48 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soient \(F\) et \(G\) deux sous-espaces vectoriels d’un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\). Montrer que \(F\cup G\) est un sous-espace vectoriel de \(E\) si et seulement si \(F\subset G\) ou \(G\subset F\).


[ID: 1119] [Date de publication: 11 février 2021 18:48] [Catégorie(s): Sous-espaces vectoriels ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Solution

Exercice 321
Par emmanuel le 11 février 2021 18:48

  • Supposons que \(F\not\subset G\) et que \(G\not \subset F\). On peut alors trouver deux vecteurs non nuls \(x\in F\setminus G\) et \(y\in G \setminus F\). \(x+y\) ne peut être élément de \(F\cup G\) : sinon on aurait \(x+y\in F\) (ou \(x+y \in G\)) et donc, \(F\) étant stable par combinaison linéaire \(y=x+y-x\) serait élément de \(F\) (on fait le même raisonnement si \(x+y\in G\)) ce qui n’est pas possible par hypothèse. Par conséquent \(F\cup G\) n’est pas un sous-espace vectoriel de \(E\). La première implication est ainsi prouvée par contraposée.

  • Trivial.


Exercice 414 *

11 février 2021 18:48 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On considère un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\), et l’on note \(\mathcal{V}(E)\) l’ensemble de tous les sous-espaces vectoriels de \(E\). On se donne un sous-espace vectoriel \(V \in \mathcal{V}(E)\) et l’on définit l’application \[\varphi_V : \left\{ \begin{array}{ccl} \mathcal{V}(E) & \longrightarrow & \mathcal{V}(E) \\ X & \longmapsto & X\cap V \end{array} \right.\] Montrer que \[\left(i\right)\quad \varphi_V \textrm{ injective } \Longleftrightarrow \left(ii\right)\quad\varphi_V \textrm{ surjective } \Longleftrightarrow \left(iii\right)\quad V = E\]


[ID: 1121] [Date de publication: 11 février 2021 18:48] [Catégorie(s): Sous-espaces vectoriels ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Solution

Exercice 414
Par emmanuel le 11 février 2021 18:48

  1. \((i) \Rightarrow (iii)\) : il suffit de prendre \(X_1=E\) et \(X_2 = V\). Alors comme \(\varphi\left(X_1\right)=\varphi\left(X_2\right)=V\) et que \(\varphi\) est injective, \(X_1=X_2\), c’est-à-dire \(V=E\).

  2. \((iii) \Rightarrow (i)\) : le résultat est clair car dans ce cas \(\varphi_E = \mathop{\mathrm{id}}\nolimits\).

  3. \((ii) \Rightarrow (iii)\) : comme \(E \in \mathcal{V}(E)\) et que \(\varphi\) est surjective, il possède un antécédent \(X\in \mathcal{V}(E)\) et l’égalité \(X\cap V=E\) n’est possible que si \(V = E\).

  4. \((ii) \Rightarrow (i)\) : clair car dans ce cas \(\varphi_E = \mathop{\mathrm{id}}\nolimits\).


Exercice 516 *

11 février 2021 18:48 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On considère un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\), et l’on note \(\mathcal{V}\) l’ensemble de tous les sous-espaces vectoriels de \(E\). On se donne un sous-espace vectoriel \(V \in \mathcal{V}\) et l’on définit l’application \[\varphi_V : \left\{ \begin{array}{ccl} \mathcal{V}(E) & \longrightarrow & \mathcal{V}(E) \\ X & \longmapsto & X + V \end{array} \right.\] Montrer que \[\left(i\right)\quad\varphi_V \textrm{ injective } \Longleftrightarrow \left(ii\right)\quad\varphi_V \textrm{ surjective } \Longleftrightarrow \left(iii\right)\quad V = \{0_E\}\]


[ID: 1123] [Date de publication: 11 février 2021 18:48] [Catégorie(s): Sous-espaces vectoriels ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Solution

Exercice 516
Par emmanuel le 11 février 2021 18:48

  1. \((iii) \Rightarrow (i)\) et \((iii) \Rightarrow (ii)\) sont claires puisque si \(V = \{0_E\}\), \(\varphi_V = \mathop{\mathrm{id}}\nolimits_{\mathcal{V}(E)}\).

  2. \((i) \Rightarrow (iii)\) : par l’absurde, si \(V \neq \{0_E\}\), il existe \(v \in V\) tel que \(v \neq 0_E\). En prenant \(X_1 = \{0_E\}\) et \(X_2 = \mathop{\mathrm{Vect}}(v)\), on aboutit à une contradiction car \(\varphi\left(X_1\right)=V=\varphi\left(X_2\right)\).

  3. \((ii) \Rightarrow (iii)\) : par l’absurde, si \(V \neq \{0_E\}\), il existe \(v \in V\) avec \(v \neq 0_E\). En posant \(Y = \{0\}\), on ne lui trouve pas d’antécédent par \(\varphi_V\).


Exercice 30 **

11 février 2021 18:48 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\) et quatre sous-espaces vectoriels \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\) de \(E\). Montrer que

  1. \(A\cap\left(B+C\right)=A\cap B + A\cap C\).

  2. \(A + \bigl(B \cap (A+C)\bigr) = (A+B) \cap (A+C)\) ;

  3. \(A \cap \bigl( B + (A \cap C)\bigr) = (A\cap B) + (A\cap C)\).

  4. \(A\cap B = C\cap D \Rightarrow \bigl(A + (B\cap C)\bigr) \cap \bigl(A + (B\cap D)\bigr) = A\) ;


[ID: 1125] [Date de publication: 11 février 2021 18:48] [Catégorie(s): Sous-espaces vectoriels ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Solution

Exercice 30
Par emmanuel le 11 février 2021 18:48

  1. Considérons \(z\in A\cap B + A\cap C\). Il existe \(x\in A\cap B\) et \(y\in A\cap C\) tels que \(z=x+y\). Mais comme \(x,y\in A\) et que \(A\) est un sous-espace vectoriel, \(z\in A\). Comme \(x\in B\) et \(y\in C\), \(z=x+y\in A+C\). En conclusion, \(z\in A\cap\left(B+C\right)\). Réciproquement, si \(z\in A\cap\left(B+C\right)\) alors \(z\in A\) et il existe \(x\in B\) et \(y\in C\) tels que \(z=x+y\).

  2. D’après la question précédente, \((A+B) \cap (A+C)=A\cap A + A\cap C + B\cap A+B\cap C=A+A\cap B+A\cap C+B\cap C=A+B\cap C\) car \(A\) est un sous-espace vectoriel et \(A\cap B,A\cap C\subset A\). De même, \(A + \bigl(B \cap (A+C)\bigr) = A+\left(A\cap B + B\cap C\right)=A+B\cap C\). On en déduit l’égalité.

  3. Toujours d’après la première question \(A \cap \bigl( B + (A \cap C)\bigr)=A\cap B + A\cap A\cap C=A\cap B+A\cap C\) et \(A \cap \bigl( B + (A \cap C)\bigr) = (A\cap B) + (A\cap C)\).

  4. Supposons que \(A\cap B = C\cap D\). Alors \[\bigl(A + (B\cap C)\bigr) \cap \bigl(A + (B\cap D)\bigr) = A\cap A+\underbrace{A\cap B}_{C\cap D}\cap D+\underbrace{A\cap B}_{C\cap D}\cap C+B\cap \underbrace{C\cap D}_{A\cap B}= A+C\cap D+A\cap B=A+A \cap B= A\] car \(A\) est un sous-espace vectoriel et que \(A\cap B\subset A\).


Exercice 331 **

11 février 2021 18:48 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\) et trois sous-espaces \(F\), \(G\) et \(H\) de \(E\). On suppose que \[\begin{cases} F + G = F + H \\ F \cap G = F \cap H \\ G \subset H \end{cases}\] A-t-on toujours \(G = H\) ?


[ID: 1127] [Date de publication: 11 février 2021 18:48] [Catégorie(s): Sous-espaces vectoriels ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Solution

Exercice 331
Par emmanuel le 11 février 2021 18:48

Montrons que \(G=H\). On sait déjà que \(G\subset H\). Il suffit donc de montrer l’inclusion réciproque. Soit \(h\in H\). Alors \(h\in F+H=F+G\). Donc il existe \(f\in F\) et \(g\in G\) tels que \(h=f+g\). Mais comme \(f=h-g\), que \(h-g\in H\) (car \(h\in H\), \(g\in G\subset H\) et \(H\) est un sous-espace vectoriel) alors \(f\in F\cap H=F\cap G\). Donc \(f\in G\) et \(h=f+g\in F\). Ce qui prouve que \(H\subset F\). En conclusion \(H=G\).


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