Espaces vectoriels

Exercices du dossier Espaces vectoriels

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Exercice 409
Par emmanuel le 11 février 2021 18:44
  1. Vérifions les différents axiomes.

    1. \(\oplus\) admet \(1\) comme élément neutre et si \(a,b\in\mathbb{R}_+^*\), il est clair que \(a\oplus b^{-1}\in \mathbb{R}_+^*\). Donc \(\mathbb{R}_+^*\) est un sous-groupe du groupe commutatif \(\left(\mathbb{R}^*,\times\right)\) et \(\left(\mathbb{R}_+^*,\oplus\right)\) admet alors bien une structure de groupe commutatif.

    2. Soient \(\alpha,\beta\in \mathbb{R}\) et \(x,y\in \mathbb{R}_+^*\). On vérifie que :

      1. \(\left(\alpha+\beta\right)\otimes x=x^{\alpha+\beta}=x^\alpha x^\beta=\alpha \otimes x \oplus \beta \otimes x\)

      2. \(\left(\alpha\times \beta\right)\otimes x = x^{\alpha\beta}=\left(x^\beta\right)^\alpha=\alpha \otimes \left(\beta \otimes x\right)\)

      3. \(\alpha\otimes\left(x\oplus y\right)=\left(xy\right)^\alpha=x^\alpha y^\alpha=\alpha\otimes x \oplus \alpha \otimes y\).

      4. \(1\otimes x=x^1=x\).

  2. La loi externe n’est pas distributive. En effet \(\left(1+2\right)\otimes\left(1,2\right)=\left(3,2\right)\) et \(1\otimes\left(1,2\right)\oplus 2\otimes\left(1,2\right)=\left(1,2\right)\oplus\left(2,2\right)=\left(3,4\right)\).


Exercice 776 *

11 février 2021 18:44 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On considère \(E=\mathcal{C}^{0}\left(\mathbb{R},\mathbb{R}\right)\) l’ensemble des fonctions continues définies sur \(\mathbb{R}\) et à valeurs dans \(\mathbb{R}\). Indiquer parmi les ensembles suivants lesquels sont des sous-espaces vectoriels de \(\mathcal{C}^{0}\left(\mathbb{R},\mathbb{R}\right)\)

  1. L’ensemble \(F_1\) des fonctions polynomiales de degré \(n\)\(n\in \mathbb{N}\).

  2. L’ensemble \(F_2\) des fonctions polynomiales de degré au plus \(n\)\(n\in \mathbb{N}\) et à coefficients dans \(\mathbb{R}\).

  3. L’ensemble \(F_3\) des fonctions dérivables sur \(\mathbb{R}\).

  4. L’ensemble \(F_4\) des fonctions \(f\) vérifiant telles qu’il existe \(k\in \mathbb{R}\) tel que \(f\) est \(k\)-lipschitzienne.

  5. L’ensemble \(F_5\) des fonctions \(f\) dérivables sur \(\mathbb{R}\) telles que \(f\left(0\right)=1\)

  6. L’ensemble \(F_6\) des fonctions \(f\) dérivables sur \(\mathbb{R}\) telles que \(f\left(0\right)=0\)

  7. L’ensemble \(F_7\) des fonctions \(f\in\mathcal{C}^{1}\left(\mathbb{R}\right)\) solutions de \(y'-y=0\).

  8. L’ensemble \(F_8\) des fonctions \(f\in\mathcal{C}^{1}\left(\mathbb{R}\right)\) solutions de \(\forall t\in\mathbb{R},\quad y'(t)- y(t)=t\).



[ID: 1103] [Date de publication: 11 février 2021 18:44] [Catégorie(s): Espaces vectoriels ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 776
Par emmanuel le 11 février 2021 18:44
  1. L’ensemble \(F_1\) est clairement une partie de \(E\) car toute fonction polynomiale est continue sur \(\mathbb{R}\). Elle ne contient par contre pas la fonction nulle car le polynôme correspondant est de degré \(-\infty\). Ce n’est donc par un sous-espace vectoriel de \(E\).

  2. L’ensemble \(F_2\) est clairement une partie de \(E\). Il est évident que \(F_2\) est non vide et qu’une combinaison linéaire de polynômes de degré \(\leqslant n\) est encore un polynôme de degré \(\leqslant n\) donc \(F_2\) est un sous-espace vectoriel de \(E\).

  3. Toute fonction dérivable sur \(\mathbb{R}\) est continue sur \(\mathbb{R}\) donc \(F_3\subset E\). \(F_3\) est par ailleurs non vide et une combinaison linéaire de fonctions dérivables est encore dérivable donc \(F_3\) est un sous-espace vectoriel de \(E\).

  4. Toute fonction \(k\)-lipschitzienne est continue (et même uniformément continue) sur \(\mathbb{R}\) donc \(F_4\) est bien une partie de \(E\). Si on considère une fonction \(f_1\) \(k_1\)-lipschitzienne et une fonction \(f_2\) \(k_2\)-lipschitzienne sur \(\mathbb{R}\) avec \(k_1,k_2\in\mathbb{R}_+^*\) et si \(\alpha_1,\alpha_2\in\mathbb{R}\) alors, pour tout \(x,x'\in \mathbb{R}\), on a, par application de l’inégalité triangulaire : \[\left|\left(\alpha_1 f_1 + \alpha_{2}f_2\right)\left(x\right)-\left(\alpha_1 f_1 + \alpha_{2}f_2\right)\left(x'\right) \right| \leqslant\left(\left|\alpha_1\right|k_1 + \left|\alpha_2\right|k_2\right)\left|x-x'\right|\] et donc \(\alpha_1 f_1 + \alpha_{2}f_2\) est \(\left|\alpha_1\right|k_1 + \left|\alpha_2\right|k_2\)-lipschitzienne. \(F_4\) est donc bien un sous-espace vectoriel de \(E\).

  5. La fonction nulle n’est pas élément de \(F_5\) donc \(F_5\) n’est pas un sous-espace vectoriel de \(E\).

  6. L’inclusion de \(F_6\) dans \(E\) est évidente car toute fonction dérivable sur \(\mathbb{R}\) est continue sur \(\mathbb{R}\). \(F_6\) est clairement non vide, la fonction identiquement nulle en est un élément. Par ailleurs, une combinaison linéaire de fonctions dérivables nulles en \(0\) est encore dérivable et nulle en \(0\) donc \(F_6\) est bien un sous-espace vectoriel de \(E\).

  7. \(F_7\) est non vide car la fonction nulle sur \(\mathbb{R}\) est \(\mathcal{C}^{1}\) sur \(\mathbb{R}\) et solution de l’équation différentielle \(y'-y=0\). Toute fonction \(\mathcal{C}^{1}\) sur \(\mathbb{R}\) est continue sur \(\mathbb{R}\) donc \(F_7\) est bien une partie de \(E\). On vérifie de plus que toute combinaison linéaire de fonctions \(\mathcal{C}^{1}\) sur \(\mathbb{R}\) solutions de l’équation différentielle est encore \(\mathcal{C}^{1}\) sur \(\mathbb{R}\) et solution de l’équation différentielle. \(F_7\) est donc un sous-espace vectoriel de \(E\).

  8. La fonction identiquement nulle n’est pas solution de \(y'- y=t\) donc \(F_8\) n’est pas un sous-espace vectoriel de \(E\).


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Exercice 1007
Par emmanuel le 11 février 2021 18:44
  1. Une combinaison linéaire de fonctions bornées est bornée. \(F_1\) est non vide donc \(F_1\) est un sous-espace vectoriel de \(E\).

  2. On considère les fonctions \(f_1: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & x^3 \end{array} \right.\) et \(f_2: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & x \end{array} \right.\). \(f_1\) et \(f_2\) sont monotones (croissantes) mais ce n’est pas le cas de \(f_1-f_2\) comme on peut le vérifier facilement. \(F_2\) n’est donc pas un sous-espace vectoriel de \(E\).

  3. On considère les fonctions \(f_1: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & x \end{array} \right.\) et \(f_2: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & x-1 \end{array} \right.\). \(f_1\) et \(f_2\) s’annulent toute deux au moins une fois sur \(\mathbb{R}\) mais ce n’est pas le cas de \(f_2-f_1\). Donc \(F_3\) n’est pas un sous-espace vectoriel de \(E\).

  4. La fonction nulle n’est pas élément de \(F_4\) donc \(F_4\) n’est pas un sous-espace vectoriel de \(E\).

  5. Les fonctions \(f_1: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \sin x \end{array} \right.\) et \(f_2: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \sin x -{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2} \end{array} \right.\) s’annulent une infinité de fois sur \(\mathbb{R}\) mais ce n’est pas le cas de \(f_1-f_2={\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}\). \(F_5\) n’est pas un sous-espace vectoriel de \(E\).

  6. On montre facilement que \(F_6\) est un sous-espace vectoriel de \(E\).

  7. La fonction nulle n’est pas dans \(F_7\). Ce n’est pas un sous-espace vectoriel de \(E\).

  8. Une combinaison linéaire de fonctions dérivables est dérivable et \(F_8\) est non vide donc \(F_8\) est un sous-espace vectoriel de \(E\).

  9. \(F_9\) est non vide. Si \(f\) et \(g\) sont deux fonctions paires et si \(\alpha,\beta\) sont deux scalaires réels alors, pour tout \(x\in\mathbb{R}\) : \[\left(\alpha f + \beta g\right)\left(-x\right) = \left(\alpha f + \beta g\right)\left(x\right)\] et donc \(F_8\) est stable par combinaison linéaire. On en déduit que c’est un sous-espace vectoriel de \(E\).

  10. On vérifie facilement que \(F_{10}\) est non vide et qu’une combinaison linéaire de fonctions \(T\)-périodiques est encore \(T\)-périodique. \(F_{10}\) est donc un sous-espace vectoriel de \(E\).


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Exercice 962
Par emmanuel le 11 février 2021 18:44
  1. L’ensemble \(F_1\) est clairement un sous-ensemble de \(E\). \(F_1\) est non vide car il contient la fonction nulle. Soient \(f,g \in F_1\), \(\alpha,\beta\in\mathbb{R}\). On combinaison linéaire de fonctions \(\mathcal{C}^{1}\) sur \(\left[0,1\right]\) est encore \(\mathcal{C}^{1}\) sur \(\left[0,1\right]\) et \(\left(\alpha f + \beta g\right)'\left(0\right) =\left(\alpha f + \beta g\right)'\left(1\right)\). \(F_1\) est donc bien un sous-espace vectoriel de \(E\).

  2. Une combinaison linéaire de fonctions positives n’est pas forcément positive. Il s’ensuit que \(F_2\) n’est pas un sous-espace vectoriel de \(E\).

  3. L’intégrale entre \(0\) et \(1\) de la fonction nulle est nulle. Cette fonction n’est donc pas élément de \(F_3\) et \(F_3\) ne peut être un sous-espace vectoriel de \(E\).

  4. L’ensemble \(F_4\) est clairement une partie non vide de \(E\). De plus, une combinaison linéaire de fonctions d’intégrales nulles est d’intégrale nulle et si \(f,g \in F_4\), \(\alpha,\beta\in\mathbb{R}\) alors, par linéarité de l’intégrale : \(\int_{0}^{1} \left(\alpha f + \beta g\right)\left(t\right)\,\textrm{d}t=\alpha\int_{0}^{1} f\left(t\right)\,\textrm{d}t+\beta\int_{0}^{1} g\left(t\right)\,\textrm{d}t=0\). \(F_4\) est donc bien stable par combinaison linéaire et c’est bien un sous-espace vectoriel de \(E\).


Exercice 299 *

11 février 2021 18:44 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On note \(E=\mathscr S\left(\mathbb{R}\right)\) l’espace vectoriel des suites réelles. Parmi les ensembles suivants, lesquels sont des sous-espaces vectoriels de \(\mathscr S\left(\mathbb{R}\right)\)?

  1. \(F_1=\left\{\left(u_n\right)\in \mathscr S\left(\mathbb{R}\right) ~|~ \left(u_n\right) \textrm{ est bornée }\right\}\)

  2. \(F_2=\left\{\left(u_n\right)\in \mathscr S\left(\mathbb{R}\right) ~|~ \left(u_n\right) \textrm{ est monotone }\right\}\)

  3. \(F_3=\left\{\left(u_n\right)\in \mathscr S\left(\mathbb{R}\right) ~|~ \left(u_n\right) \textrm{ est convergente }\right\}\)

  4. \(F_4=\left\{\left(u_n\right)\in \mathscr S\left(\mathbb{R}\right) ~|~ \left(u_n\right) \textrm{ est convergente vers $0$}\right\}\)

  5. \(F_5=\left\{\left(u_n\right)\in \mathscr S\left(\mathbb{R}\right) ~|~ \left(u_n\right) \textrm{ est convergente vers $l$ }\right\}\)\(l\) est un réel fixé non nul.

  6. \(F_6=\left\{\left(u_n\right)\in \mathscr S\left(\mathbb{R}\right) ~|~ \left(u_n\right) \textrm{ est divergente }\right\}\)

  7. \(F_7=\left\{\left(u_n\right)\in \mathscr S\left(\mathbb{R}\right) ~|~ \left(u_n\right) \textrm{ est géométrique }\right\}\)

  8. \(F_8=\left\{\left(u_n\right)\in \mathscr S\left(\mathbb{R}\right) ~|~ \left(u_n\right) \textrm{ \begin{small}est géométrique de raison $a$\end{small} }\right\}\)\(a\) est un réel fixé.



[ID: 1109] [Date de publication: 11 février 2021 18:44] [Catégorie(s): Espaces vectoriels ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 299
Par emmanuel le 11 février 2021 18:44
  1. Une combinaison linéaire de suites bornées étant encore bornée, on vérifie facilement que \(F_1\) est un sous-espace vectoriel de \(E\).

  2. En considérant par exemple les suites \(\left(u_n\right)\) et \(\left(v_n\right)\) de terme général \(u_n=n^2\) et \(v_n=4n-1\) on vérifie que \(\left(u_n\right)\) et \(\left(v_n\right)\) sont croissantes mais que \(u_n-v_n\) n’est pas monotone (il suffit de calculer les \(4\) premiers termes de cette suite). \(F_2\) n’est donc pas stable par combinaison linéaire et ne forme donc pas un sous-espace vectoriel de \(E\).

  3. L’ensemble \(F_3\) est clairement une partie non vide de \(E\). Par le théorème d’opérations sur les limites, on sait qu’une combinaison linéaire de suites convergentes est encore convergente. Donc \(F_3\) est un sous-espace vectoriel de \(E\).

  4. L’ensemble \(F_4\) est une partie non vide de \(E\). Par le théorème d’opérations sur les limites, on sait qu’une combinaison linéaire de suites convergentes vers \(0\) est encore convergente vers \(0\). Donc \(F_3\) est un sous-espace vectoriel de \(E\).

  5. La suite nulle ne converge pas vers \(l\neq 0\) et donc \(F_5\) ne peut être un sous-espace vectoriel de \(E\).

  6. La suite nulle n’est pas divergente et donc n’appartient pas à \(F_6\) qui ne peut du coup être un sous-espace vectoriel de \(E\)..

  7. Une combinaison linéaire de suites géométriques n’est pas forcément géométrique donc \(F_7\) n’est pas un sous-espace vectoriel de \(E\).

  8. L’ensemble \(F_8\) est une partie non vide de \(E\). On vérifie facilement qu’un combinaison linéaire de suites de raison \(a\) est encore une suite géométrique de raison \(a\) et \(F_8\) est donc un sous-espace vectoriel de \(E\).


Exercice 625 *

11 février 2021 18:44 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Les parties suivantes sont-elles des sous-espaces vectoriels de \(\mathbb{R}^2\)?

  1. \(F_1=\left\{\left(x,y\right)\in \mathbb{R}^2 ~|~ 2x+y\geqslant 0\right\}\)

  2. \(F_2=\left\{\left(x,y\right)\in \mathbb{R}^2 ~|~ x^2+y^2=1\right\}\)

  3. \(F_3=\left\{\left(x,y\right)\in \mathbb{R}^2 ~|~ y=x\right\}\)

  4. \(F_4=\left\{\left(x,y\right)\in \mathbb{R}^2 ~|~ x-2y=3\right\}\)



[ID: 1111] [Date de publication: 11 février 2021 18:44] [Catégorie(s): Espaces vectoriels ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 625
Par emmanuel le 11 février 2021 18:44

Rappelons qu’une partie de \(\mathbb{R}^2\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^2\) si et seulement si c’est le singleton \(\left\{0\right\}\), une droite vectorielle ou \(\mathbb{R}^2\) tout entier.

  1. Le couple \(\left(0,1\right)\) est élément de \(F_1\) mais ce n’est pas le cas du couple \(\left(0,-1\right)\) qui lui est pourtant colinéaire. \(F_1\) n’est donc pas stable par combinaison linéaire et ce ne peut être un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^2\).

  2. Le couple nul \(\left(0,0\right)\) n’est pas élément de \(F_2\) et donc \(F_2\) ne peut être un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^2\).

  3. On vérifie facilement que \(F_3\) est une partie non vide de \(\mathbb{R}^2\). Si \(\left(x,y\right),\left(x',y'\right)\in F_3\) et si \(\alpha,\beta \in\mathbb{R}\) alors on vérifie facilement que \(\alpha x+\beta x'=\alpha y +\beta y'\) et donc que \(\alpha\left(x,y\right)+\beta \left(x',y'\right)\in F_3\). \(F_3\) est donc un sous-espace vectoriel de \(R^2\).

  4. Le couple nul \(\left(0,0\right)\) n’est pas élément de \(F_4\) et donc \(F_4\) n’est pas un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^2\).


Exercice 218 *

11 février 2021 18:44 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soient \(F=\left\{\left(x,y,z\right)\in \mathbb{R}^3 ~|~ x+y+z=0\right\}\) et \(G=\left\{\left(s-t,s+t,t\right)\in \mathbb{R}^3 ~|~ s,t\in\mathbb{R}\right\}\).

  1. Montrer que \(F\) et \(G\) sont des sous-espaces vectoriels de \(\mathbb{R}^3\).

  2. Déterminer \(F\cap G\).



[ID: 1113] [Date de publication: 11 février 2021 18:44] [Catégorie(s): Espaces vectoriels ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 218
Par emmanuel le 11 février 2021 18:44

Rappelons qu’une partie de \(\mathbb{R}^3\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^3\) si et seulement si c’est le singleton \(\left\{0\right\}\), une droite vectorielle, un plan vectoriel ou \(\mathbb{R}^3\) tout entier.

  1. \(F\) est une partie non vide de \(\mathbb{R}^3\). Si \(\left(x,y,z\right),\left(x',y',z'\right)\in F\) et si \(\alpha,\beta\in\mathbb{R}\) alors on vérifie facilement que le triplet \(\alpha \left(x,y,z\right) + \beta \left(x',y',z'\right)\) vérifie l’équation \(x+y+z=0\). \(F\) est donc stable par combinaison linéaire et forme un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^3\) (on aura reconnu que \(F\) est un plan vectoriel de l’espace). On vérifie aussi que \(G\) est un sous-ensemble non vide de \(\mathbb{R}^3\) et si \(\left(s-t,s+t,t\right)\) et \(\left(s'-t',s'+t',t'\right)\) sont deux éléments de \(G\) (avec \(s,s',t,t'\in\mathbb{R}\)) et si alors \(\alpha,\beta\in\mathbb{R}\) alors : \[\alpha \left(s-t,s+t,t\right) + \beta \left(s'-t',s'+t',t'\right) = \left( S-T,S+T,T\right)\] avec \(S=\alpha s + \beta s'\) et \(T= \alpha t + \beta t'\) et donc \(G\) est aussi stable par combinaison linéaire (On aura là encore remarqué que \(G\) est un plan vectoriel de l’espace).

  2. Pour déterminer \(F\cap G\) il suffit de résoudre le système \(\begin{cases}x+y+z=0\\x=s-t\\y=s+t\\z=t \end{cases}\) et on obtient comme ensemble solution celui paramétré par  : \(\begin{cases} x=-\dfrac{3}{2}t\\ y=\dfrac{1}{2}t\\ z=t\end{cases}\) (on reconnait l’équation paramétrée d’une droite vectorielle).


Exercice 667 **

11 février 2021 18:44 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On considère un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\) et un sous-espace vectoriel \(A\) de \(E\). On suppose que \(A \neq \{0_E\}\) et \(A\neq E\). Montrer que la partie \(B = (E\setminus A) \cup \{0_E\}\) n’est pas un sous-espace vectoriel de \(E\).



[ID: 1115] [Date de publication: 11 février 2021 18:44] [Catégorie(s): Espaces vectoriels ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 667
Par emmanuel le 11 février 2021 18:44

Par l’absurde, supposons que \(B\) est un sous-espace vectoriel de \(E\). Soient \(a\in A\) et \(b\in B\) deux vecteurs non nuls. Posons \(x=a+b\). Comme \(E\) est un espace vectoriel, \(x\) est élément de \(E\) et comme \(E=A\cup B\), soit \(x\in A\), soit \(x\in B\). Si \(x \in A\) alors \(b=x-a\) est élément de \(A\) car \(A\) est un sous-espace vectoriel. Mais \(A\cap B=\left\{0\right\}\) donc \(b=0\) ce qui est contradictoire avec notre hypothèse de départ. De même, si \(x\in B\) alors \(a=x-b \in B\) et \(a=0\) ce qui est aussi une contradiction. En conclusion, \(B\) ne peut être un sous-espace vectoriel de \(E\).


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