Inégalités

Exercices du dossier Inégalités

Exercice 937 **

25 janvier 2021 22:10 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces
Soient \(x_1\), \(x_2\), ..., \(x_n\), \(n\) réels strictement positifs. Montrer que \[\left( x_1+x_2+...+x_n \right)\left( x_1^{-1}+x_2^{-1}+...+x_n^{-1} \right) \geqslant n^2\]
( ).
On montrera au préalable que: \(\forall x \in \mathbb{R}_+^*,~ x+\dfrac{1}{x} \geqslant 2\).


[ID: 1067] [Date de publication: 25 janvier 2021 22:10] [Catégorie(s): Inégalités ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 937
Par emmanuel le 25 janvier 2021 22:10

Soit \(x\in\mathbb{R}_+^*\). On a : \[x+1/x\geqslant 2 \Longleftrightarrow x^2-2x+1\geqslant 0 \Longleftrightarrow\left(x-1\right)^2 \geqslant 0\] et donc on a toujours \(x+1/x\geqslant 2\). Par ailleurs : \[\begin{aligned} \left( x_1+x_2+...+x_n \right)\left( x_1^{-1}+x_2^{-1}+...+x_n^{-1} \right)&=&\sum_{1\leqslant i< j\leqslant n} \left(\dfrac{x_i}{x_j} + \dfrac{x_j}{x_i}\right)+n\\\end{aligned}\] La somme \(\sum_{1\leqslant i< j\leqslant n} ({x_i}/{x_j} + {x_j}/{x_i})\) contient \(n^2/2-n\) termes et d’après l’inégalité précédente, on peut affirmer que chacun de ces termes est \(\geqslant 2\). Il vient donc : \[\begin{aligned} \left( x_1+x_2+...+x_n \right)\left( x_1^{-1}+x_2^{-1}+...+x_n^{-1} \right) \geqslant 2\left(\dfrac{n^2}{2}-n\right)+n=n^2-n\geqslant n^2\end{aligned}\]


Exercice 670 **

25 janvier 2021 22:10 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Montrer que:

  1. \(\forall (a,b)\in \mathbb{R}_+^2, ~ \sqrt{a+b}\leqslant\sqrt a + \sqrt b\). Étudier dans quel cas on a égalité.

  2. \(\forall (a,b)\in \mathbb{R}^2, ~ \left|\sqrt{\left|a\right|}-\sqrt{\left|b\right|}\right|\leqslant\sqrt{\left|a-b\right|}\).

( ).
Aidez-vous de la preuve de l’inégalité triangulaire page .


[ID: 1069] [Date de publication: 25 janvier 2021 22:10] [Catégorie(s): Inégalités ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 670
Par emmanuel le 25 janvier 2021 22:10
  1. Soient \((a,b)\in \mathbb{R}_+^2\). On a : \[\begin{aligned} \left(\sqrt a+\sqrt b\right)^2=a+2\sqrt{ab}+b \geqslant a+b \end{aligned}\] et donc \(\sqrt{a+b}\leqslant\sqrt a + \sqrt b\). On a égalité si et seulement si \(\sqrt{ab}=0\), c’est-à-dire si et seulement si \(a\) ou \(b\) est nul.

  2. Soient \((a,b)\in \mathbb{R}^2\). En utilisant la première inégalité, on trouve que : \[\sqrt{\left|a\right|} = \sqrt{\left|a-b +b\right|} \leqslant\sqrt{\left|a-b\right|+\left|b\right|}\leqslant \sqrt{\left|a-b\right|}-\sqrt{\left|b\right|}\] donc \(\sqrt{\left|a\right|} - \sqrt{\left|b\right|} \leqslant\sqrt{\left|a-b\right|}\). On montre de même que \(\sqrt{\left|b\right|}\leqslant\sqrt{\left|a-b\right|}-\sqrt{\left|a\right|}\) et on en déduit que \(\sqrt{\left|b\right|} - \sqrt{\left|a\right|} \leqslant\sqrt{\left|a-b\right|}\). En résumé : \(\left|\sqrt{\left|a\right|}-\sqrt{\left|b\right|}\right|\leqslant\sqrt{\left|a-b\right|}\)


Exercice 56 **

25 janvier 2021 22:10 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Majorer et minorer pour \(n\geqslant n_0\) (à déterminer), les suites suivantes par des suites de la forme \(c. n^p\) (avec le même exposant pour la majoration et la minoration).

  1. \(u_n =\dfrac{2n^5 - n^4 + n^2 -1}{n^2 + n -1}\)

  2. \(u_n = \dfrac{n^2 + (n^2-1)/(n+1)}{n + (n^3-1)(n+1)}\)



[ID: 1071] [Date de publication: 25 janvier 2021 22:10] [Catégorie(s): Inégalités ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 56
Par emmanuel le 25 janvier 2021 22:10
  1. Pour \(n\geqslant 1\), on a \(n^5-n^4 \geqslant 0\) et \(n^2-1\geqslant 0\) donc \(2n^5 - n^4 + n^2 -1=n^5+\left(n^5-n^4\right)+\left(n^2-1\right)\geqslant n^5\). Par ailleurs, on a \(-n^4+n^2\leqslant 0\) et donc \(2n^5 - n^4 + n^2 -1\leqslant 2n^5\). On s’occupe maintenant du dénominateur. Si \(n\geqslant 1\), \(n-1\geqslant 0\) et \(n^2+n-1\geqslant n^2\). De même, si \(n\geqslant 1\), \(n^2\geqslant n\) et donc \(n^2+n-1\leqslant 2n^2-1\leqslant 2n^2\). En conclusion, si \(n\geqslant 1\) : \[\dfrac{n^3}{2}=\dfrac{n^5}{2n^2}\leqslant\dfrac{2n^5 - n^4 + n^2 -1}{n^2 + n -1}\leqslant\dfrac{2n^5}{n^2}=2n^3.\]

  2. On remarque que pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(u_n=\dfrac{n^2+n-1}{n^4+n^3-1}\). D’après la première question, si \(n\geqslant 1\), on sait que \(n^2\leqslant n^2+n-1\leqslant 2n^2\). On montre facilement que si \(n\geqslant 1\), \(n^4\leqslant n^4+n^3-1 \leqslant 2n^4\) donc il vient pour \(n\geqslant 1\) : \[\dfrac{1}{2n^2}\leqslant\dfrac{n^2+n-1}{n^4+n^3-1} \leqslant\dfrac{2}{n^2}.\]


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