Relations entre coefficients et racines

Exercices du dossier Relations entre coefficients et racines

Exercice 463 *

25 janvier 2021 16:12 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Trouver une condition nécessaire et suffisante sur \(\lambda\) pour que \[P =2X^3-X^2-7X+\lambda\] possède deux racines de somme \(1\).



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Exercice 463
Par emmanuel le 25 janvier 2021 16:12

Notons \(x_1, x_2,x_3\) les racines de \(P\). Supposons, quitte à re-indicier les racines, que \(x_1+x_2=1\). D’après les relations coefficients-racines, on sait que \(x_1+x_2+x_3=\dfrac{1}{2}\). Une condition nécessaire est donc que la troisième vaut \(-\dfrac{1}{2}\). Par conséquent, \(P(-1/2)=0\) d’où \(\lambda=-3\). On vérifie facilement que la réciproque est vraie.


Exercice 565 *

25 janvier 2021 16:12 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(P(X)=X^3+2X^2-7X+\lambda \in \mathbb{C}_{ }[X]\). Trouver \(\lambda\) pour que le carré d’une racine de \(P\) soit égal à la somme des carrés des autres racines.



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Exercice 565
Par emmanuel le 25 janvier 2021 16:12

Notons \(x_1,x_2,x_3\) les trois racines de \(P\). On suppose, quitte à les renuméroter, que \(x_3^2=x_1^2+x_2^2\). On écrit les relations coefficients racines : \[\sigma_1=x_1+x_2+x_3=-2 \quad\sigma_2=x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=-7 \quad \sigma_3=x_1x_2x_3=-\lambda .\] Donc \(2x_3^2=\sigma_1^2-2\sigma_2=18\) et \(x_3^2=9\). On trouve alors \(\lambda=-24\) ou \(\lambda=-12\). On vérifie que \(\lambda=-24\) convient. En effet, dans ce cas les racines de \(P\) sont \(x_3=3, x_1=-5/2 + i\sqrt 7/2\) et \(x_2=-5/2 - i\sqrt 7/2\) et on a bien \(x_3^2=x_1^2+x_2^2\). Si \(\lambda=-12\) alors les racines de \(P\) sont \(x_3=-3\) et \(x_1=1/2+\sqrt{17}/2\), \(x_2= 1/2-\sqrt{17}/2\) et on n’a pas \(x_3^2=x_1^2+x_2^2\). Donc seul \(\boxed{\lambda=-24}\) convient.


Exercice 76 **

25 janvier 2021 16:12 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Montrer qu’il n’existe pas de triplet de réels \(\left(u,v,w\right)\) vérifiant: \[u+v+w=3 \quad\textrm{ et} \quad uv+vw+wu=6\]

( ).
Utiliser les relations coefficients-racines et le théorème de Rolle.


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Exercice 76
Par emmanuel le 25 janvier 2021 16:12

Si un tel triplet \(\left(u,v,w\right)\) existait, les réels \(u,v,w\) seraient racines de \(P(X)=X^3-3X^2+6X+c\) d’après les relations coefficients-racines. Mais d’après le théorème de Rolle, \(P'\) posséderait alors deux racines réelles distinctes, ce qui est faux. Un tel triplet n’existe donc pas.


Exercice 842 **

25 janvier 2021 16:12 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Trouver les racines dans \(\mathbb{C}\) du polynôme \(X^4-X^3-7X^2+X+6\) sachant qu’il possède deux racines dont la somme est \(0\).



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Exercice 842
Par emmanuel le 25 janvier 2021 16:12

Notons \(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\) les racines de \(P\) et supposons que \(\alpha_1+\alpha_2=0\). Écrivons les relations coefficients racines pour \(P\) : \[\begin{cases} \alpha_1+\alpha_2+\alpha_3+\alpha_4=1\\ \alpha_1\alpha_2+\alpha_1\alpha_3+\alpha_1\alpha_4+\alpha_2\alpha_3+\alpha_2 \alpha_4+\alpha_3\alpha_4=-7\\ \alpha_1\alpha_2\alpha_3+\alpha_1\alpha_2\alpha_4+\alpha_1\alpha_3\alpha_4+ \alpha_2\alpha_3\alpha_4=-1\\ \alpha_1\alpha_2\alpha_3\alpha_4=6 \end{cases}\] De la première, on tire que \(\alpha_3+\alpha_4=1\). La seconde se re-écrit \(\left(\alpha_1+\alpha_2\right)\left(\alpha_3+\alpha_4\right) +\alpha_1\alpha_2+\alpha_3\alpha_4=-7\) et il vient que \(\alpha_1\alpha_2+\alpha_3\alpha_4=-7\). La troisième équivaut à \(\alpha_1\alpha_2\left(\alpha_3+\alpha_4\right)+\alpha_3\alpha_4\left(\alpha_1+\alpha_2\right) =-1\) et donc on a \(\alpha_1\alpha_2=-1\). Comme les réels \(\alpha_1,\alpha_2\) satisfont le système \[\begin{cases}\alpha_1+\alpha_2&=0 \\\alpha_1\alpha_2=-1\end{cases}\] ce sont les racines du trinôme \(X^2-1\). Donc on a par exemple \(\alpha_1=1\) et \(\alpha_2=-1\). Il vient alors que \(\alpha_3,\alpha_4\) satisfont le système \[\begin{cases}\alpha_3+\alpha_4&=1 \\\alpha_3\alpha_4=-6\end{cases}\] ce sont les racines du trinôme \(X^2-X-6=\left(X-3\right)\left(X+2\right)\). Donc \(\alpha_3=3\) et \(\alpha_4=-2\). Les racines de \(P\) sont alors : \(\boxed{-2,-1,1,3}\).


Exercice 121 **

25 janvier 2021 16:12 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(P= X^3+X-1 \in \mathbb{C}_{ }[X]\). On note \(x_k\) avec \(k\in\llbracket 1,3\rrbracket\) ses trois racines complexes.

  1. Vérifier (sans chercher à les calculer) que les trois racines sont distinctes.

  2. Effectuer la division euclidienne de \(X^5\) par \(P\).

  3. En déduire la valeur de \[S=\sum_{k=1}^3 x_k^5 .\]



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Exercice 121
Par emmanuel le 25 janvier 2021 16:12
  1. Par l’absurde, si \(x\) est une racine double de \(P\), alors \(P(x)=P'(x)=0\). Mais \(P'(x)=0 \Rightarrow 3x^2+1=0 \Rightarrow x=\pm \dfrac{i}{\sqrt{3}}\), qui ne sont pas des racines de \(P\). Donc toutes les racines complexes de \(P\) sont simples.

  2. On trouve que \(X^5=(X^2-1)P(X)+X^2+X-1\).

  3. Si \(x_k\) est une racine de \(P\), alors \(x_k^5=(x_k^2-1)P(x_k)+x_k^2+x_k-1 = x_k^2+x_k-1\). On peut alors exprimer la somme cherchée en fonction des fonctions symétriques élémentaires des racines de \(P\). Si \(\sigma_1=x_1+x_2+x_3=0\) et si \(\sigma_2=x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=1\) alors \[S=\sum_{k=1}^3 x_k^2 +\sigma_1 -3 = \sigma_1^2-2\sigma_2+\sigma_1-3= -2-3=\boxed{-5} .\]


Exercice 932 **

25 janvier 2021 16:12 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Trouver \(m\in \mathbb{C}\) pour que le polynôme \[P=X^3+X^2+mX+6 \in \mathbb{\mathbb{C} }_{ }[X]\] possède deux racines \(x_1,x_2\) vérifiant \[x_1+x_2=x_1x_2.\] Déterminer alors explicitement ces racines.



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Exercice 932
Par emmanuel le 25 janvier 2021 16:12

Notons \(x_1,x_2,x_3\) les racines de \(P\). En écrivant les relations coefficients-racines, il vient que : \[x_1+x_2+x_3=-1 \quad x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=m \quad x_1x_2x_3=-6\] En supposant que \(x_1+x_2=x_1x_2\), de la deuxième et la troisième relation, on tire \[(x_1+x_2)x_3=-6 \Rightarrow x_1x_2=m+6 .\] Mais de la première, on tire aussi \[(-1-x_3)x_3=-6 \Rightarrow x_3^2+x-6= 0\] et par conséquent, l’une des racines de \(P\) doit être égale à \(2\) ou alors à \(-3\). Etudions les deux cas:

  • \(x_3=2\): comme \(P(2)=0\), \(m=-9\) et alors \(P=(X-2)(X^2+3X-3)\). Alors comme \(x_1,x_2\) sont les racines du trinôme \(X^2+3X-3\), \(x_1x_2=-3\) et \(x_1+x_2=-3\) conviennent.

  • \(x_3=-3\): comme \(P(-3)=0\), \(m=-4\) et alors \(P=(X+3)(X^2-2X+2)\) et dans ce cas, \(x_1x_2=2\), \(x_1+x_2=2\) conviennent également.

En conclusion, \(\boxed{m=-9}\) ou \(\boxed{m=-4}\).


Exercice 883 **

25 janvier 2021 16:12 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Trouver les triplets \((x,y,z)\in \mathbb{C}^{3}\) solutions de \[\begin{cases}x+y+z&=1\\ x^2+y^2+z^2&=9\\ \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}&=1\end{cases} .\]



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Exercice 883
Par emmanuel le 25 janvier 2021 16:12

Exprimons ces trois quantités en fonction de \(\sigma_1=x+y+z\), \(\sigma_2=xy+xz+yz\) et \(\sigma_3=xyz\). On a \(x^2+y^2+z^2=\sigma_1^2-2\sigma_2\) et \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{\sigma_2}{\sigma_3}\). Si \(x,y,z\) sont solutions du système d’équations de l’énoncé, alors on doit avoir \(\sigma_1=1\), \(\sigma_1^2-2\sigma_2=9\) et \(\dfrac{\sigma_2}{\sigma_3}=1\) d’où l’on tire \(\sigma_1=1\), \(\sigma_2=-4\) et \(\sigma_3=-4\). Alors \(x,y,z\) sont racines du polynôme \(X^3-\sigma_1X^2+\sigma_2X-\sigma_3=X^3-X^2-4X+4=(X-1)(X-2)(X+2)\) et donc \(\boxed{\left(x,y,z\right)=\left(1,2,-2\right) }\) à permutation près. On vérifie que réciproquement, ces valeurs, à permutation près, donnent des solutions au système.


Exercice 129 **

25 janvier 2021 16:12 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Résoudre dans \(\mathbb{C}\), \[\begin{cases} z_1 + z_2 + z_3 = 0 \\ \lvert z_1 \rvert = \lvert z_2 \rvert = \lvert z_3 \rvert = 1 \\ z_1 z_2 z_3 = 1 \end{cases}.\]



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Exercice 129
Par emmanuel le 25 janvier 2021 16:12

Il est clair que les racines cubiques de l’unité \(1\), \(j\) et \(j^2\) sont un triplet de solutions.

Soient trois complexes \((z_1, z_2, z_3)\) vérifiant les conditions. Ils sont racines du polynôme \[P(X) = (X-z_1)(X-z_2)(X-z_3) = X^3 - (z_1+z_2+z_3)X^2 + (z_1z_2 + z_1z_3 + z_2z_3) X - z_1z_2z_3 = 0.\] Mais puisque \(\lvert z_1 \rvert = \lvert z_2 \rvert = \lvert z_3 \rvert = 1\), et que \(z_1z_2z_3 = 1\), \[z_1z_2 + z_1z_3 + z_2z_3 = \dfrac{1}{z_3} + \dfrac{1}{z_2} + \dfrac{1}{z_1} = \overline{z_3} + \overline{z_2} + \overline{z_1} = \overline{z_1+z_2+z_3}=0.\] Par conséquent, les complexes \(z_1\), \(z_2\), \(z_3\) sont racines du polynôme \(P(X) = X^3 - 1\). Ce sont donc les racines cubiques de l’unité : \(\{z_1, z_2, z_3\} = \{1, j, j^2\}\).
Sinon, en considérant les points \(M_k\) d’affixes respectives \(z_k\), l’égalité \(z_1 + z_2 + z_3 = 0\) se traduit par \(O\) est le centre de gravité de \(M_1M_2M_3\). Comme on a \(\lvert z_1 \rvert = \lvert z_2 \rvert = \lvert z_3 \rvert = 1\), \(O\) est aussi le centre du cercle circonscrit. Les médianes sont donc aussi médiatrices, donc \(M_1M_2M_3\) est équilatéral. Quitte à changer la numérotation, il existe \(\alpha\) tel que \(z_k = \exp\left( i\alpha +{\scriptstyle 2ik\pi\over\scriptstyle 3}\right)\). La troisième égalité \(z_1 z_2 z_3 = 1\) dit alors que \(\alpha^3=1\) ce qu’il fallait vérifier.


Exercice 260 **

25 janvier 2021 16:12 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On considère une vraie ellipse \(\left\lbrace \begin{array}{rcl} x(t) &=& a\cos t \\ y(t) &=& a\sin t \end{array}\right.\), \(a^2\neq b^2\). Démontrer que quatre points \((M_{i})_{1\leqslant i\leqslant 4}\) sont cocycliques si et seulement si leurs paramètres \((t_{k})_{1\leqslant k\leqslant 4}\) vérifient \(t_{1}+t_{2}+t_{3}+t_{4}\equiv 0 [2\pi ]\) (passer en \(e^{it}\)).



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Exercice 260
Par emmanuel le 25 janvier 2021 16:12

Une intersection se détermine simplement lorsqu’un ensemble est déterminé par une équation cartésienne et l’autre en paramétrique. Ici cela fournit la solution. On considère un cercle d’équation \(x^2 + y^2 + 2\alpha x + 2\beta y + \gamma = 0\) qui coupe l’ellipse en quatre points \(M_i(a\cos t_k, b\sin t_k)\) qui vérifient \(a^2\cos^2t_k + b^2\sin^2t_k + 2a\alpha\cos t_k + 2b\beta\sin t_k + \gamma = 0\). Soit \[a^2\dfrac{e^{2it_k} + 2 + e^{-2it_k}}{4} - b^2\dfrac{e^{2it_k} - 2 + e^{-2it_k}}{4} + 2a\alpha\dfrac{e^{it_k} + e^{-2it_k}}{2} + 2b\beta\dfrac{e^{it_k} - e^{-2it_k}}{2i} + \gamma = 0.\]

En multipliant par \(e^{2it_k}\) : \[\dfrac{a^2 - b^2}{4} e^{4it_k} + (a\alpha-ib\beta) e^{3it_k} + \dfrac{a^2+b^2}{2}e^{2it_k} + (a\alpha+ib\beta) e^{it_k} + \dfrac{a^2 - b^2}{4} = 0.\]

Donc les \(e^{it_k}\) sont des racines distinctes du polynôme : \(\dfrac{a^2 - b^2}{4} X^4 + (a\alpha-ib\beta) X^3 + \dfrac{a^2+b^2}{2} X^2 + (a\alpha+ib\beta) X + \dfrac{a^2 - b^2}{4}\). Le produit des racines vaut d’une part \(\exp\left( i\left( t_{1}+t_{2}+t_{3}+t_{4}\right) \right)\) et d’autre part \(\dfrac{{\scriptstyle a^2 - b^2\over\scriptstyle 4}}{{\scriptstyle a^2 - b^2\over\scriptstyle 4}} = 1\). D’où le résultat.


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Exercice 690
Par emmanuel le 25 janvier 2021 16:12

Facile ! Si on appelle \(a_1,\ldots,a_{20}\) les racines. On a \(\dfrac{a_1+\ldots+a_{20}}{20} = a_1.\ldots.a_{20}=1\). On est dans le cas d’égalité de l’inégalité arithmetico-géométrique, donc tous les \(a_k\) sont égaux à \(1\).


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