Division euclidienne

Exercices du dossier Division euclidienne

Exercice 606 *

25 janvier 2021 15:54 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Effectuer la division euclidienne de \(A\) par \(B\) dans les cas suivants :

  1. \(A= X^3+X^2-2X+3\) et \(B=X^2+2X-1\)

  2. \(A=X^4+2X^2-3X^3-2X+4\) et \(B=X^2+1\)

  3. \(A= X^2+iX+3\) et \(B=X+2i\)

  4. \(A=X\) et \(B= X^2+1\)

  5. \(A=2X^2+4X-1\) et \(B=X^2+3X-1\)

  6. \(A= X^2-1\) et \(B= X^3+2X-1\)



[ID: 989] [Date de publication: 25 janvier 2021 15:54] [Catégorie(s): Division euclidienne ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 606
Par emmanuel le 25 janvier 2021 15:54
  1. \(X^3+X^2-2X+3= \left(X-1\right)\left(X^2+2X-1\right)+\left(X+2\right)\)

  2. \(X^4+2X^2-3X^3-2X+4= \left(X^2-3X+1\right)\left(X^2+1\right)+\left(X+3\right)\)

  3. \(X^2+IX+3= \left(X-i\right)\left(X+2i\right)+3\)

  4. \(X = 0\left(X^2+1\right)+X\).

  5. \(2X^2+4X-1= 2\left(X^2+3X-1\right)-2X+1\)

  6. \(X^2-1=0\left(X^3+2X-1\right)+X^2-1\)


Exercice 69 *

25 janvier 2021 15:54 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces
Soient \(P\in \mathbb{K}_{ }[X]\) et \(r\) et \(s\) les restes de la division de \(P\) par \((X-a)\) et par \((X-b)\). Quel est le reste de la division de \(P\) par \((X-a)(X-b)\)? (on déterminera ce reste en fonction de \(r,s\) lorsque \(a\neq b\) et en fonction de \(P(a)\) et \(P'(a)\) si \(a=b\).
( ).
Lorsque \(a=b\), utiliser la formule de Taylor.


[ID: 991] [Date de publication: 25 janvier 2021 15:54] [Catégorie(s): Division euclidienne ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 69
Par emmanuel le 25 janvier 2021 15:54

Par division euclidienne, il existe un unique couple \(\left(Q,R\right)\in \left(\mathbb{K}\left[X\right]\right)^2\) tel que \(P=\left(X-a\right)\left(X-b\right)Q+R\) et \(\deg R\leqslant 1\). Donc \(R=\alpha X+\beta\)\(\alpha,\beta\in\mathbb{K}\).

  • Si \(a\neq b\), alors l’égalité précédente amène \(P\left( a\right)=\alpha a+\beta\) et \(P\left( b\right)=\alpha b+\beta\). On résout le système formé par ces deux équations et on trouve \(R= \dfrac{ P(a)-P(b)}{a-b} X + \dfrac{bP(a)-aP(b)}{b-a}\). Comme \(r=P(a)\) et \(s=P(b)\), il vient \(\boxed{R= \dfrac{ r-s}{a-b} X + \dfrac{br-as}{b-a}}\).

  • Si \(a=b\), on écrit la formule de Taylor: \[P(X)= P(a)+(X-a)P'(a) + (X-a)^2Q(X)\] et le reste vaut alors \(\boxed{R=P(a)+(X-a)P'(a)}\).


Exercice 45 *

25 janvier 2021 15:54 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Trouver le reste de la division euclidienne de \(X^n\) par \((X-1)^3\).



[ID: 993] [Date de publication: 25 janvier 2021 15:54] [Catégorie(s): Division euclidienne ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 45
Par emmanuel le 25 janvier 2021 15:54

En utilisant la formule de Taylor, on trouve \[X^n = 1 + n\left(X-1\right)+ \dfrac{n(n-1)}{2}\left(X-1\right)^2+\left(X-1\right)^3Q\]\(Q\in\mathbb{R}\left[X\right]\). Par unicité du couple quotient-reste dans la division euclidienne de deux polynômes, on trouve pour le reste \[\boxed{ \dfrac{n(n-1)}{2}(X-1)^2 + n(X-1)+1 }.\]


Exercice 628 *

25 janvier 2021 15:54 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soient \(a\in\mathbb{R}\) et \(n\in\mathbb{N}^*\). Déterminer le reste de la division euclidienne dans \(\mathbb{R}\left[X\right]\) de \(\left(X\sin a + \cos a\right)^n\) par \(X^2+1\).



[ID: 995] [Date de publication: 25 janvier 2021 15:54] [Catégorie(s): Division euclidienne ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 628
Par emmanuel le 25 janvier 2021 15:54

Par division euclidienne, on a : \[\left(X\sin a + \cos a\right)^n=Q\left(X^2+1\right)+\alpha X+ \beta\] avec \(Q\in\mathbb{R}\left[X\right]\) et \(\alpha,\beta\in\mathbb{R}\). On remplace \(X\) par les racines \(i\) et \(-i\) de \(X^2+1\), on obtient : \[\begin{cases}e^{ia}&=\alpha i+\beta \\e^{-ia}&=\alpha i+\beta \end{cases}\] Il vient \(\alpha= \sin a\) et \(\beta = \cos a\). Donc le reste recherché est : \(\boxed{X\sin a +\cos a }\).


Exercice 420 **

25 janvier 2021 15:55 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Pour \(m\in {\mathbb{N}}^{*}\)et \(\vartheta \in {\mathbb{R}}\), on considère \(F_{m,\vartheta}= X^{2m}- 2X^{m}\cos m\vartheta + 1 \in {\mathbb{C}}[X]\). Vérifier que \(F_{m,\vartheta }\) est divisible par \(F_{1,\vartheta }\). Calculer le quotient.



[ID: 997] [Date de publication: 25 janvier 2021 15:55] [Catégorie(s): Division euclidienne ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 420
Par emmanuel le 25 janvier 2021 15:55

D’abord, il est bon de remarquer que \(F_{m,\vartheta} = \left[X^m - \left( e^{i\vartheta}\right)^m \right]\left[X^m - \left( e^{-i\vartheta}\right)^m \right] .\) On en déduit que le quotient égale \[\left[X^{m-1} + e^{i\vartheta}X^{m-2} + \ldots + e^{i(m-1)\vartheta} \right] \left[X^{m-1} + e^{-i\vartheta}X^{m-2} + \ldots + e^{-i(m-1)\vartheta} \right].\]

Les coefficients se calculent plutôt bien. \(1\) pour \(X^{2m-2}\), \(e^{i\vartheta} + e^{-i\vartheta} = 2\cos \vartheta\) pour \(X^{2m-3}\), \(e^{2i\vartheta} + 1 + e^{-2i\vartheta} = 1 + 2\cos 2\vartheta\) etc. Pour la suite on prendra \(\vartheta\not\equiv0\pmod\pi\).

Pour \(0\leqslant k \leqslant m-1\), le coefficient de \(X^k\) égale \(e^{i(m-k-1)\vartheta}.e^{-i(m-1)\vartheta} + e^{i(m-k-2)\vartheta}e^{-i(m-2)\vartheta} + \ldots e^{-i(m-k-1)\vartheta}e^{i(m-1)\vartheta}\). On a la somme d’une suite géométrique de \(k+1\) termes de raison \(e^{2i\vartheta}\) soit \[e^{-ik\vartheta} \dfrac{e^{2i(k+1)\vartheta}-1}{e^{2i\vartheta}-1} = e^{-ik\vartheta} \dfrac{e^{ik\vartheta}}{e^{i\vartheta}} \dfrac{e^{i(k+1)\vartheta} - e^{-i(k+1)\vartheta}}{e^{i\vartheta} - e^{-i\vartheta}} = \dfrac{\sin{(k+1)\vartheta}}{\sin \vartheta}.\]

Les coefficients sont symétriques, c’est-à-dire que le coefficient de \(X^{2m-2-k}\) est aussi \(\dfrac{\sin{(k+1)\vartheta}}{\sin \vartheta}\).
Une dernière vérification, car il en faut pour tous les goûts : Il s’agit de calculer les coefficients de \[\left( X^2 - 2X\cos \vartheta + 1 \right) \left( \sin \vartheta X^{2m-2} + \sin 2\vartheta X^{2m-3} + \ldots + \sin (m-1) \vartheta X^{m} + \sin m\vartheta X^{m-1} + \sin (m-1)\vartheta X^{m-2} + \ldots + \sin \vartheta \right).\] Le coefficient constant vaut \(\sin \vartheta\), pour \(2\leqslant k \leqslant m-1\), le coefficient de \(X^k\) vaut \[\sin (k+1)\vartheta - 2\cos \vartheta \sin k\vartheta + \sin (k-1)\vartheta = \sin k\vartheta\cos \vartheta + \cos k\vartheta\sin \vartheta - 2\cos \vartheta\sin k\vartheta + \sin k\vartheta\cos \vartheta - \sin \vartheta\cos k\vartheta = 0.\]

le coefficient de \(X^m\) vaut \[\sin (m+1)\vartheta - 2\cos \vartheta \sin m\vartheta + \sin (m-1)\vartheta = \sin m\vartheta\cos \vartheta - \cos m\vartheta\sin \vartheta - 2\cos \vartheta\sin m\vartheta + \sin m\vartheta\cos \vartheta - \sin \vartheta\cos m\vartheta = -2\cos m\vartheta\sin \vartheta.\] En utilisant les symétries des coefficients (on dit que ces polynômes sont réciproques. Voir aussi l’exercice p. ), le coefficient de \(X^k\) pour \(m+1\leqslant k \leqslant 2m-1\) est nul et celui de \(X^{2n}\) vaut \(\sin \vartheta\). D’où \[\left( X^2 - 2X\cos \vartheta + 1 \right) \left( \sin \vartheta X^{2m-2} + \sin 2\vartheta X^{2m-3} + \ldots + \sin (m-1) \vartheta X^{m} + \sin m\vartheta X^{m-1} + \sin (m-1)\vartheta X^{m-2} + \ldots + \sin \vartheta \right) \\= \sin \vartheta \left( X^{2m}- 2X^{m}\cos m\vartheta + 1\right).\]


Exercice 910 **

25 janvier 2021 15:55 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Vérifier que \(X^{n}\sin\vartheta - X.\sin n\vartheta + \sin (n-1)\vartheta\) est divisible dans \(\mathbb{C}[X]\) par \(X^{2}- 2X.\cos \vartheta + 1\) et calculer le quotient.



[ID: 999] [Date de publication: 25 janvier 2021 15:55] [Catégorie(s): Division euclidienne ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 910
Par emmanuel le 25 janvier 2021 15:55

Les racines de \(X^2- 2X\cos \vartheta + 1\) sont \(e^{i\vartheta}\) et \(e^{-i\vartheta}\). Vérifions qu’elles sont aussi racines du dividende. Pour \(e^{i\vartheta}\) :
\(e^{in\vartheta}\dfrac{e^{i\vartheta} - e^{-i\vartheta}}{2i} - e^{i\vartheta}\dfrac{e^{in\vartheta} - e^{-in\vartheta}}{2i} + \dfrac{e^{i(n-1)\vartheta} - e^{-i(n-1)\vartheta}}{2i} = \dfrac{1}{2i}\left[ e^{i(n+1)\vartheta} - e^{i(n-1)\vartheta} - e^{i(n+1)\vartheta} + e^{-i(n-1)\vartheta} + e^{i(n-1)\vartheta} - e^{-i(n-1)\vartheta}\right] = 0\). Comme le dividende est un polynôme réel, le conjugué de \(e^{i\vartheta}\) est aussi racine.

On pose la division sans se dégonfler : \[\left. \begin{matrix} X^{n}\sin\vartheta&&&& &- X.\sin n\vartheta &\sin (n-1)\vartheta \\ &X^{n-1}\sin2\vartheta&X^{n-2}\sin\vartheta& & & - X.\sin n\vartheta &\sin (n-1)\vartheta \\ & &2X^{n-2}\sin2\vartheta\cos \vartheta& & &- X.\sin n\vartheta &\sin (n-1)\vartheta\\ = & &X^{n-2}\sin\vartheta(4\cos^2 \vartheta - 1)& & &- X.\sin n\vartheta &\sin (n-1)\vartheta\\ = & &X^{n-2}\sin3\vartheta& & &- X.\sin n\vartheta &\sin (n-1)\vartheta\\ \end{matrix} \right| \begin{matrix} X^2&- 2X\cos \vartheta&+1& \\ \hline X^{n-2}\sin\vartheta&+ X^{n-3}\sin2\vartheta \\ &+ X^{n-4}\sin3\vartheta+\ldots \\ \\ \\ \end{matrix}\] On peut donc supposer que le quotient est \(X^{n-2}\sin\vartheta + X^{n-3}\sin2\vartheta + \ldots + \sin(n-1)\vartheta\). En remarquant que \(\sin x = Im(e^{ix})\) on est amené à calculer \(\left( X^{n-2}e^{i\vartheta} + X^{n-3}e^{2i\vartheta} + \ldots + e^{i(n-1)\vartheta}\right)\left( X - e^{i\vartheta}\right) = e^{i\vartheta}\left( X^{n-2} + X^{n-3}e^{i\vartheta} + \ldots + e^{i(n-2)\vartheta}\right)\left( X - e^{i\vartheta}\right) = e^{i\vartheta}\left( X^{n-1} - e^{i(n-1)\vartheta}\right) = e^{i\vartheta}X^{n-1} - e^{in\vartheta}\). En multipliant le résultat précédent par \(X - e^{i\vartheta}\), \(\left( X^{n-2}e^{i\vartheta} + X^{n-3}e^{2i\vartheta} + \ldots + e^{i(n-1)\vartheta}\right)\left( X^2- 2X\cos \vartheta + 1\right) = e^{i\vartheta}X^n - e^{in\vartheta}X - X^{n-1} + e^{i(n-1)\vartheta}\).
En prenant les parties imaginaires des deux membres, on a bien le résultat annoncé.
La partie imaginaire d’un polynôme \(P\) est bien sûr le polynôme \({\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2i}\left( P - \overline P\right)\).
Remarque: On a aussi démontré que \(X^n \cos \vartheta - X^{n-1} - \cos n\vartheta X + \cos (n-1)\vartheta\) est divisible par \(X^2- 2X\cos \vartheta + 1\) et que le quotient est \(X^{n-2}\cos\vartheta + X^{n-3}\cos2\vartheta + \ldots + \cos(n-1)\vartheta\).


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Exercice 486
Par emmanuel le 25 janvier 2021 15:55
  1. On écrit \(n = dk\) et on a immédiatement \(X^n - 1 = \left( X^{d}\right) ^k - 1 = \left( X^{d} - 1 \right)\left( 1 + X^d + X^{2d} + \ldots + X^{d(k-1)}\right)\) ce qui permet de conclure.
    Sinon on écrit \(X^d - 1 = \displaystyle\prod_{m=0}^{d-1} \left( X - \exp\left( {\scriptstyle 2i\pi km\over\scriptstyle n}\right)\right)\). Cela veut dire que toutes les racines de \(X^d - 1\) sont aussi racines de \(X^n - 1\). Cela veut dire que \(X^n - 1\) est divisible par chacun des \(X - \exp\left( {\scriptstyle 2i\pi km\over\scriptstyle n} \right)\) donc par leur produit puisque toutes ces racines sont notoirement distinctes.

  2. On écrit \(X^n - 1 = X^{mq+r} - X^r + X^r - 1 = X^r\left( X^{mq} - 1\right) + X^r - 1 = X^r\left( X^m - 1\right) \left( 1 + X^m + X^{2m} + \ldots + X^{m(q-1)}\right) + X^r - 1\). Comme \(\deg X^r - 1 = r < m = \deg X^m - 1\) on en déduit que \(X^r - 1\) est le reste et \(X^r \left( 1 + X^m + X^{2m} + \ldots + X^{m(q-1)}\right)\) est le quotient. Par application de l’algorithme d’Euclide, on en déduit \(X^n - 1 \wedge X^m - 1 = X^m - 1 \wedge X^r - 1\).

  3. On effectue en parallèle l’algorithme d’Euclide pour \(n\) et \(m\) d’une part, et pour \(X^n - 1\) et \(X^m - 1\) d’autre part. Dans le premier cas on appelle \(r_0, r_1, \ldots, r_p , 0\) la suite des restes. D’après le résultat précédent, la suite des restes pour \(X^n - 1\) et \(X^m - 1\) est \(X^{r_0} - 1 , X^{r_1} - 1, \ldots, X^{r_p} - 1 , 0\). Dans les deux cas le PGCD est le dernier reste non nul. On en déduit bien que \(X^n - 1 \wedge X^m - 1 = X^{r_p} - 1\) avec \(r_p = n \wedge m\). Ce qu’il fallait démontrer.

  4. On peut parfaitement appliquer la méthode précédente.

  5. On va commencer par démontrer le résultat pour \(P = X\). On sait que \(X^a - 1\) divise \(X^{ab}- 1\) soit \(X^{ab}- 1 = Q_1\left( X^a - 1 \right)\). De même \(X^{ab}- 1 = Q_2\left( X^b - 1 \right)\). Or on sait aussi que le PGCD de \(X^a - 1\) et \(X^b - 1\) égale \(X-1\). Donc on peut écrire \(X^a - 1 = (X-1) Q_3\) et \(X^b - 1 = (X-1) Q_4\) avec \(Q_3 \wedge Q_4 = 1\). Donc on a \(Q_1Q_3 = Q_2Q_4\). \(Q_3\) divise \(Q_2Q_4\) et \(Q_3 \wedge Q_4 = 1\), donc d’apès le lemme de Gauss, \(Q_3\) divise \(Q_2\). Autrement dit \(Q_2 = Q_3D\). Résumons-nous : \(\left( X^{ab}- 1\right) (X-1) = Q_3(X-1)DQ_4(X-1) = D(X)\left( X^a - 1 \right)\left( X^b - 1 \right)\).
    En toute généralité, on a \(\left( P^{ab}- 1\right) (P-1) = D(P(X))\left( P^a - 1 \right)\left( P^b - 1 \right)\). Ce qu’il fallait démontrer.


Exercice 370 **

25 janvier 2021 15:55 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(\varphi~:~\mathbb{Z}\to \mathbb{K}[X]\) un morphisme de d’anneaux. Montrer que \(\forall\,(a,b)\in\mathbb{Z}^2, \varphi(a)\wedge \varphi(b)=\varphi(a\wedge b)\).



[ID: 1003] [Date de publication: 25 janvier 2021 15:55] [Catégorie(s): Division euclidienne ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 370
Par emmanuel le 25 janvier 2021 15:55

Soit \(d=a\wedge b\). On écrit \(a=da',\,b=db'\), avec \(a'\wedge b'=1\).

Soient \(u,v\in \mathbb{Z}\) tels que \(ua'+vb'=1\). On a alors \(\varphi(u)\varphi(a')+\varphi(v)\varphi(b')=\varphi(1) = 1\), et donc \(\varphi(a')\) et \(\varphi(b')\) sont premiers entre eux.

Comme \(\varphi(a)=\varphi(d)\varphi(a')\) et \(\varphi(b)=\varphi(d)\varphi(b')\), on a le résultat.


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