Arithmétique des polynômes

  1. Les exercices
  2. Vue compacte

Exercices du dossier Arithmétique des polynômes

Exercice 200 *

25 janvier 2021 15:47 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Prouver que le polynôme \(A\) divise le polynôme \(B\) et déterminer le quotient correspondant :

  1. \(A=X-1\) et \(B=X^3+X^2-X-1\)

  2. \(A=X+2\) et \(B=2X^3+5X^2+X-2\)

  3. \(A=X-i\) et \(B=X^3-2iX^2-i\)

  4. \(A=X+1\) et \(B=X^3+X^2-X-1\)


[ID: 965] [Date de publication: 25 janvier 2021 15:47] [Catégorie(s): Arithmétique des polynômes ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Solution

Exercice 200
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 25 janvier 2021 15:47

  1. On utilise le schéma de Horner : \[\xymatrix{ 1\ar[d]_{\times1} & 1\ar[d]_{\times1} & -1\ar[d]_{\times1} & -1\ar[d]_{\times1} \\ 1\ar[ur]^{+} & 2\ar[ur]^{+} & 1\ar[ur]^{+} & 0 }\] On trouve ainsi \(B(1) = 0\) et \(X^3+X^2-X-1 = (X-1)(X^2+2X+1)\)

  2. Idem. \[\xymatrix{2 \ar[d] & 5 \ar[d] & 1 \ar[d] & -2 \ar[d] \\ {\textcolor{red}{ 2}}\ar[d]_{\times(-2)} & \textcolor{red}{ 1 }\ar[d]_{\times(-2)} & {\textcolor{red}{ -1} }\ar[d]_{\times(-2)} & {\textcolor{green}{ 0}}\ar[d]_{\times(-2)} \\ -4\ar[uur]^{+}& -2\ar[uur]^{+} & 2\ar[uur]^{+} & 0 }\] Le zéro à droite de la deuxième ligne montre que \(A\) divise \(B\). Les coefficients du quotient s’affichent sur le reste de la deuxième ligne. Le quotient est \(2X^2+X-1\).

  3. Idem. \[\xymatrix{1 \ar[d] & -2i \ar[d] & 0 \ar[d] & -i \ar[d] \\ {\textcolor{red}{1}}\ar[d]_{\times i} & {\textcolor{red}{ -i}}\ar[d]_{\times i} & {\textcolor{red}{ 1}}\ar[d]_{\times i} & {\textcolor{green}{ 0}}\ar[d]_{\times i} \\ i\ar[uur]^{+} & 1\ar[uur]^{+} & i\ar[uur]^{+} & 0 }\] Le quotient est \(X^2-iX+1\). \[\xymatrix{1 \ar[d] & 1 \ar[d] & -1 \ar[d] & -1 \ar[d] \\ {\textcolor{red}{1}}\ar[d]_{\times (-1)} & {\textcolor{red}{ 0}}\ar[d]_{\times (-1)} & {\textcolor{red}{-1}}\ar[d]_{\times (-1)} & {\textcolor{green}{ 0}}\ar[d]_{\times (-1)} \\ -1\ar[uur]^{+} & 0\ar[uur]^{+} & 1\ar[uur]^{+} & 0 }\]

  4. Idem. Le quotient est \(X^2-1\).


Exercice 783 *

25 janvier 2021 15:47 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Trouver tous les polynômes de \(\mathbb{\mathbb{R} }_{3}[X]\) divisibles par \(X-1\) ayant même reste dans les divisions euclidiennes par \((X-2), (X-3), (X-4)\).


[ID: 967] [Date de publication: 25 janvier 2021 15:47] [Catégorie(s): Arithmétique des polynômes ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Solution

Exercice 783
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 25 janvier 2021 15:47

Soit \(P\in \mathbb{\mathbb{R} }_{3}[X]\) un polynôme vérifiant ces propriétés. On pose \(\mu = P(2)\). Le polynôme \(P(X)-P(2)\) est par hypothèse divisible par \(X-2\), \(X-3\) et \(X-4\). Il est donc divisible par leur produit. Comme \(\deg P \leqslant 3\), on peut écrire \(P(X) - \mu = \lambda (X-2)(X-3)(X-4)\). La condition \(P(1) = 0\) se traduit par \(-6\lambda + \mu = 0\). Donc \(P(X) = \lambda (X^3 - 9 X^2 + 26 X - 18)\). Par division euclidienne : \[\boxed{P = \lambda (X-1)(X^2-8X+18) }.\] Réciproquement, de tels polynômes conviennent.


Exercice 377 **

25 janvier 2021 15:47 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces
Soit \(A=X^{100}-X^4+X-1\) et \(B=X^3+X^2+X+1\). Trouver le reste de la division de \(A\) par \(B\).
( ).
Considérer \(X^{100}-X^4\).


[ID: 969] [Date de publication: 25 janvier 2021 15:47] [Catégorie(s): Arithmétique des polynômes ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Solution

Exercice 377
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 25 janvier 2021 15:47

On a \(B = (X+1)(X-i)(X+i)\). Les complexes \(-1, i\) et \(-i\) sont aussi racines de \(X^{100}-X^4\), donc \(X^{100}-X^4\) est divisible par \((X+1)(X-i)(X+i)\). On en déduit que le reste de la division de \(A\) par \(B\) est \(X-1\).


Exercice 912 **

25 janvier 2021 15:47 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(n\geqslant 1\). Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que \((X-1)^2 \mid aX^{n+1}+bX^n +1\) dans \(\mathbb{R}\left[X\right]\). Trouver le quotient.


[ID: 971] [Date de publication: 25 janvier 2021 15:47] [Catégorie(s): Arithmétique des polynômes ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Solution

Exercice 912
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 25 janvier 2021 15:47

Notons \(P=aX^{n+1}+bX^n+1\). Le polynôme \((X-1)^2\) divise \(P\) si et seulement si \(1\) est racine double au moins de \(P\), c’est-à-dire \(P(1)=P'(1)=0\). On trouve donc que \(a=n\) et \(b=-(n+1)\). On a alors \[P=nX^{n+1}-(n+1)X^n +1 = nX^n(X-1)-(X^n-1)=(X-1)[nX^n-X^{n-1}-X^{n-2}-\dots - X -1].\] Mais en factorisant, \[nX^n-X^{n-1}-\dots-X-1 = (X-1)[nX^{n-1}+(n-1)X^{n-2}+\dots +3X^2+2X+1].\] Donc \[\boxed{ Q=\sum_{k=0}^{n-1} (k+1)X^k} .\]


Exercice 971

25 janvier 2021 15:47 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

  1. Montrer que \(X^{5}-1\) et \(X^{2}+X+1\) sont premiers entre eux.

  2. Déterminer explicitement une relation de Bézout entre \(X^{5}-1\) et \(X^{2}+X+1\)


[ID: 973] [Date de publication: 25 janvier 2021 15:47] [Catégorie(s): Arithmétique des polynômes ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Solution

Exercice 971
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 25 janvier 2021 15:47

  1. Le complexe \(j\) est racine de \(X^2+X+1\). Mais il n’est pas racine de \(X^5-1\). Par conjugaison, \(\overline j\) n’est pas non plus racine de \(X^5-1\). Aucune racine dans \(\mathbb C\) de \(X^2+X+1\) n’est racine de \(X^5-1\). Par conséquent \(X^{5}-1\) et \(X^{2}+X+1\) sont premiers entre eux.

  2. On descend :
    \(\begin{array}{ccccccc} \textrm{dividende} && \textrm{quotient} && \textrm{diviseur} && \textrm{reste} \\ X^5-1 &=& (X^3-X^2+1) &\times& (X^2+X+1) &-& (X+2)\\ X^2+X+1 &=& (X-1) &\times& (X+2) &+& 3 \end{array}\)
    ce qui redémontre que \(X^{5}-1\) et \(X^{2}+X+1\) sont premiers entre eux. Maintenant, on remonte :
    \(3 = X^2+X+1 - (X-1) \times (X+2) = X^2+X+1 - (X-1) \times \left[ (X^3-X^2+1) \times (X^2+X+1) - \left( X^5-1 \right) \right] = \left( X^2+X+1\right) \left[ 1 - (X-1)(X^3-X^2+1) \right] + (X-1) \left( X^5-1 \right) = \left( X^2+X+1\right)\left( -X^4+2X^3-X^2-X+2 \right) + (X-1) \left( X^5-1 \right)\).


Exercice 1008 *

25 janvier 2021 15:47 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(P\in \mathbb{\mathbb{K} }_{ }[X]\) et \(\alpha \in \mathbb{K}\). Montrer que \(\alpha\) est racine double de \(P\) si et seulement si \(\alpha\) est une racine de \(P\wedge P'\).


[ID: 975] [Date de publication: 25 janvier 2021 15:47] [Catégorie(s): Arithmétique des polynômes ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Solution

Exercice 1008
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 25 janvier 2021 15:47

Si \(\alpha\) est racine double de \(P\), alors \((X-\alpha)\) divise \(P\) et \(P'\) et donc divise \(P\wedge P'\), ce qui montre que \(\alpha\) est racine de \(P\wedge P'\).

Réciproquement, si \(\alpha\) est racine de \(P\wedge P'\), comme \((X-\alpha)\) divise \(P\wedge P'\), \((X-\alpha)\) divise à la fois \(P\) et \(P'\), et donc est racine de \(P\) et \(P'\). Donc \(\alpha\) est racine double de \(P\).


Exercice 155 ***

25 janvier 2021 15:47 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(P,Q \in \mathbb{R}\left[X\right]\). Montrer que \[(P-Q) \mid P\circ P-Q\circ Q \Rightarrow (P-Q) \mid (P\circ Q-Q\circ P).\]


[ID: 977] [Date de publication: 25 janvier 2021 15:47] [Catégorie(s): Arithmétique des polynômes ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Solution

Exercice 155
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 25 janvier 2021 15:47

Soit \(z\in\mathbb{C}\) une racine de \(P-Q\), autrement dit \(P(z) = Q(z)\). Dire que \((P-Q) \mid P\circ P-Q\circ Q\), c’est dire que toute racine complexe de \(P-Q\), est aussi une racine de \(P\circ P-Q\circ Q\). Donc on a \(P(P(z)) = Q(Q(z))\). Mais alors on a aussi \(P(Q(z)) = Q(P(z))\). Mais on démontre ici que \(P\circ Q-Q\circ P\) a toutes les racines de \(P-Q\). C’est insuffisant. Il faut encore démontrer que les ordres de multiplicités pour \(P\circ Q-Q\circ P\) sont supérieurs à ceux pour \(P-Q\). On pourrait dériver, mais les formules (de Faà di Bruno) deviennent vite compliquées. Il vaut mieux chercher une autre voie.

On pose \(P(X) = \displaystyle\sum_{k=0}^p a_k X^k\) . On a donc \(P\circ Q-P\circ P = \displaystyle\sum_{k=0}^p a_k \left( Q^k - P^k\right) = \sum_{k=1}^p a_k \left( Q^k - P^k\right)\). Or pour \(k\geqslant 1\), \(P-Q \mid Q^k - P^k = (Q-P)\left( Q^{k-1}+Q^{k-2}P + \ldots + QP^{k-2} + P^{k-1}\right)\). Donc \(P-Q \mid P\circ Q-P\circ P\). De même \(P-Q \mid Q\circ Q-Q\circ P\). Donc \(P-Q\) divise la somme \(P\circ Q-P\circ P + Q\circ Q-Q\circ P\). Comme par hypothèse \(P-Q \mid P\circ P-Q\circ Q\), on en déduit que \((P-Q) \mid P\circ P-Q\circ Q\).


Exercice 455 *

25 janvier 2021 15:47 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit un entier \(n \geqslant 2\). Montrer que le polynôme \[P = (X-3)^{2n} + (X-2)^n - 1\] est divisible par \((X-2)(X-3)\) et calculer le quotient.


[ID: 979] [Date de publication: 25 janvier 2021 15:47] [Catégorie(s): Arithmétique des polynômes ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Solution

Exercice 455
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 25 janvier 2021 15:47

On calcule \(P(3) = P(2) = 0\) et donc \((X-2) | P\), \((X-3) | P\) et comme \((X-2) \wedge (X-3) = 1\), il vient que \((X-2)(X-3)| P\). Pour le quotient par \((X-2)(X-3)\), développer avec le binôme.


Exercice 893 *

25 janvier 2021 15:47 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soient deux entiers \((n, p) \in \left(\mathbb{N}^{*}\right)^2\) et un polynôme \(A \in \mathbb{\mathbb{K} }_{ }[X]\). Montrer que \[A^2 + A \mid A^{2n} + (A+1)^p - 1.\]


[ID: 981] [Date de publication: 25 janvier 2021 15:47] [Catégorie(s): Arithmétique des polynômes ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Solution

Exercice 893
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 25 janvier 2021 15:47

Soit \(T = X^{2n} + (X+1)^p - 1\). Les réels \(0\) et \(-1\) sont racines de \(T\), donc \(X(X+1) \mid T\). Autrement dit \(T = X(X+1)Q\) pour un certain polynôme \(Q\). Donc \(T\circ A = A^{2n} + (A+1)^p - 1 = A(A+1) Q\circ A\). Donc \(A(A+1) \mid P\).


Exercice 154 **

25 janvier 2021 15:47 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit un entier \(n \geqslant 2\) et un complexe non-nul \(\lambda \in \mathbb{C}^{\star}\). Déterminer les couples de polynômes \((A, B) \in { \mathbb{\mathbb{C} }_{ }[X] }^2\) vérifiant : \[A^n + B^n = \lambda.\]


[ID: 983] [Date de publication: 25 janvier 2021 15:47] [Catégorie(s): Arithmétique des polynômes ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Solution

Exercice 154
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 25 janvier 2021 15:47

Soient deux polynômes \(A, B \in \mathbb{\mathbb{C} }_{ }[X]\) vérifiant \(A^n + B^n= \lambda\). En dérivant, on trouve (\(n \geqslant 2\)) : \(A^{n-1}A' = -B^{n-1}B'\). Mais \(A\wedge B = 1\) (si \(D\) est un diviseur commun à \(A\) et \(B\), il doit diviser \(\lambda\)) et donc \(A^{n-1} \wedge B^{n-1} = 1\) également. Donc puisque \(A^{n-1} | B'B^{n-1}\), d’après le théorème de Gauss, on doit avoir \(A^{n-1} | B'\). Il existe donc un polynôme \(Q \in \mathbb{\mathbb{C} }_{ }[X]\) tel que \(B = A^{n-1} Q\). Mais en notant \(p = \deg A\) et \(q = \deg B\), d’après l’équation on trouve que \(p = q\) et alors puisque \(B' = QA^{n-1}\), en examinant les degrés, on a \(\deg Q + (n-1)p = p - 1\), ce qui donne \(\deg Q = (2-n)p - 1 < 0\). Par conséquent, \(B' = 0\) et donc \(B = b\) est constant. On a également \(A=a\) constant, avec les complexes \((a, b)\) vérifiant \(a^n + b^n = \lambda\). Réciproquement, ces deux polynômes conviennent.


Exercice 61 *

25 janvier 2021 15:47 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(P_{n}\) la suite de polynômes définie par \(P_{1}= 1 ; P_{2}= X\) et \(\forall\, n\geqslant 2,\quad P_{n}= XP_{n-1}- P_{n-2}\).

  1. Démontrer que \(\forall n\geqslant 2,\quad P^{2}_{n}- P_{n-1}.P_{n+1}= 1\).

  2. En déduire que \(P_{n}\) et \(P_{n+1}\) sont premiers entre eux.


[ID: 985] [Date de publication: 25 janvier 2021 15:47] [Catégorie(s): Arithmétique des polynômes ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Solution

Exercice 61
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 25 janvier 2021 15:47

  1. On a \(P_3 = XP_2 - P_1 = X^2 - 1\) et donc \(P_2^2 - P_1P_3 = X^2 - \left( X^2 - 1\right)\times 1 = 1\). On a aussi pour \(n\geqslant 2\) : \[P^{2}_{n+1}- P_{n}.P_{n+2}= P_{n+1}\left( XP_{n} -P_{n-1}\right) -P_n\left( XP_{n+1} -P_n\right) = XP_{n+1}P_{n} - P_{n+1}P_{n-1} - XP_nP_{n+1} + P_n^2 = P_n^2 - P_{n+1}P_{n-1}\] ce qui permet de montrer le résultat par récurrence.

  2. Soit \(n\geqslant 2\). On a la relation de Bézout \(UP_n+VP_{n+1}=1\) avec \(U=P_n\) et \(V=P_{n-1}\). Donc \(P_{n}\) et \(P_{n+1}\) sont premiers entre eux.


Exercice 373 **

25 janvier 2021 15:47 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(n\in \mathbb{N}^*\).

  1. Démontrer qu’il existe un unique couple \((P,Q)\in \mathbb{Q}_{n-1}[X]\), tel que \((1-X)^n P(X) + X^n Q(X) = 1\).

  2. Démontrer que \(P(X) = Q(1-X)\).

  3. Démontrer que \(\exists a\in \mathbb{Q}, (1-X).P'(X) - n.P(X) = aX^{n-1}\).

  4. Calculer \(P(0)\).

  5. Déterminer les coefficients de \(P\).


[ID: 987] [Date de publication: 25 janvier 2021 15:47] [Catégorie(s): Arithmétique des polynômes ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Solution

Exercice 373
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 25 janvier 2021 15:47

  1. Soit \((P_1,Q_1)\) un autre couple. On a \((1-X)^n (P-P_1) + X^n (Q - Q_1) = 0\). Donc \(X^n\) divise \((1-X)^n (P-P_1)\). Comme \(X^n\) et \((1-X)^n\) sont premiers entre eux, d’après le lemme de Gauss, \(X^n\) divise \(P-P_1\). Comme ce dernier est de degré \(<n\), \(P-P_1 = 0\). Par suite, \(Q = Q_1\).

    Les polynômes \(X\) et \(1-X\) sont premiers entre eux. Il en est donc de même pour \((1-X)^n\) et \(X^n\). D’après la propriété de Bézout, il existe deux polynômes \(P_0\) et \(Q_0\) tels que \((1-X)^n P_0(X) + X^n Q_0(X) = 1\). Reste à régler le problème des degrés. Or pour tout polynôme \(A\) de \(\mathbb{Q}[X]\), le couple \((P_0 - A X^n, Q_0 + A(1-X)^n )\) est aussi solution. A partir de là, on effectue la division euclidienne de \(P_0\) par \(X^n\) : \(P_0 = AX^n + P\) avec \(\deg P < n\). En posant \(Q = Q_0 + A(1-X)^n\) on a \(X^n Q(X) = 1 - (1-X)^n P(X)\). En regardant les degrés, on a \(n + \deg Q = n + \deg P\) et donc \(\deg Q < n\).

  2. En substituant \(1-X\) à \(X\) on a \(X^n P(1-X) + (1-X)^nQ(1-X) = 1\). Comme \(\deg Q(1-X) = \deg Q < n\), d’après l’unicité précédente, on en déduit que \(Q(1-x)\), qui joue le rôle de \(P\) est égal à \(P\).

  3. En dérivant \((1-X)^n P(X) + X^n Q(X) = 1\), on trouve \(-n(1-X)^{n-1} P + nX^{n-1}Q(X) + (1-X)^n P' + X^n Q'(X) = 0\), soit \((1-X)^{n-1} ((1-X)P'-nP) + X^{n-1}(XQ' + nQ) = 0\). On applique à nouveau le lemme de Gauss car \(X^{n-1}\) divise \((1-X)^{n-1} ((1-X)P'-nP)\) et est premier avec \((1-X)^{n-1}\) donc \(X^{n-1}\) divise \((1-X)P'-nP\). Comme \(\deg ((1-X)P'-nP) \leqslant n-1\), on en déduit l’existence d’un \(a\in \mathbb{Q}\) (éventuellement nul) tel que \((1-X)P'-nP = aX^{n-1}\).

  4. On a \((1-0)^n P(0) + 0^n Q(0) = 1\) donc \(P(0) = 1\).

  5. On écrit \(P = 1 + \displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}a_kX^k,\;P' = \sum_{k=1}^{n-1}ka_kX^{k-1},\;XP' = \sum_{k=1}^{n-1}ka_kX^{k}\). D’où \[(1-X)P'-nP = \displaystyle\sum_{k=0}^{n-2} (k+1)a_{k+1} X^k - \sum_{k=1}^{n-1}ka_kX^{k} - \sum_{k=1}^{n-1}na_kX^k - n = aX^{n-1}.\] On regarde, suivant les valeurs de \(k\), le coefficient de \(X^k\).

    • \(k=n-1\) : \(-(n-1)a_{n-1} - na_{n-1} - n = (1-2n)a_{n-1} - n = a\).

    • \(k=1,\ldots,n-2\) : \((k+1)a_{k+1} - ka_k - na_k = 0\) soit \((k+1)a_{k+1} = (n+k)a_k\) ou \(a_{k+1} = \dfrac{n+k}{k+1}a_k\).

    • \(k=n-1\) : \(a_1 = n\).

    On trouve \[\underbrace{a_{n-1}}_{k=n-2} = \dfrac{n-2+n}{n-1}\times\dfrac{2n-3}{n-2}\times \ldots \times \underbrace{\dfrac{n+1}{2}}_{k=1}\times \underbrace{n}_{=a_1}\] soit \(a_{n-1} = \dfrac{(2n-2)!}{(n-1)!(n-1)!} = \binom{2n-2}{n-1}\).
    De même \(a_k = \dfrac{n+k-1}{k} \times \ldots \times \dfrac{n+1}{2} \times n = \dfrac{(n+k-1)!}{k!(n-1)!} = \binom{n+k-1}{k}\).


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