Dérivation, formule de Taylor

Exercices du dossier Dérivation, formule de Taylor

Exercice 372 *

25 janvier 2021 15:23 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Trouver tous les polynômes \(P\in \mathbb{\mathbb{R} }_{ }[X]\) vérifiant:

  1. \(P-XP'=X\)

  2. \(P'^2=9P\)

  3. \(\left(X^2+4\right)P''=6P\).



[ID: 957] [Date de publication: 25 janvier 2021 15:23] [Catégorie(s): Dérivation, formule de Taylor ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 372
Par emmanuel le 25 janvier 2021 15:23
  1. Soit \(P\in \mathbb{\mathbb{R} }_{ }[X]\). Supposons que \(P-XP'=X\). Alors \(P\neq 0\). Notons \(n=\deg P\). Comme \(\deg(P-XP')\leqslant n\), il faut que \(n\geqslant 1\). Mais si l’on cherche le coefficient de \(X^n\) dans \(P-XP'\), on trouve \((n-1)a_n\). Par conséquent, si \(n=1\), \(\deg(P-XP')\leqslant 0\) et ce n’est pas possible, et si \(n\geqslant 2\), \(\deg(P-XP')=n\), ce qui n’est pas possible non plus. Il n’existe donc aucun polynôme vérifiant la propriété.

  2. Le polynôme nul est solution de l’équation. Supposons que \(P\in \mathbb{\mathbb{R} }_{ }[X]\) soit solution de l’équation. Alors \(2\left(\deg P-1\right)=\deg P\) et donc \(\deg P=2\). On a alors \(P=aX^2+bX+c\) avec \(a,b,c\in\mathbb{R}\). En injectant dans l’équation, on trouve \(P=0\) ou \(\boxed{P=9/4 X^2+b X+b^2/9}\). Réciproquement ces polynômes conviennent.

  3. Le polynôme nul est solution de l’équation, c’est même le seul polynôme de degré \(\leqslant 1\) solution de l’équation. Supposons que \(P\in \mathbb{\mathbb{R} }_{ }[X]\) soit solution et de degré \(n\geqslant 2\). Raisonnant sur le monôme de degré \(n\) dans \(P\), on obtient : \(n\left(n-1\right)=6\) ce qui donne \(n=3\). On vérifie par ailleurs que les seuls polynômes de la forme \(aX^3+bX^2+cX+d\in\mathbb{R}_3\left[X\right]\) solutions de l’équation sont ceux de la forme : \(\boxed{aX^3+4aX}\) avec \(a\in \mathbb{R}\).


Exercice 734 **

25 janvier 2021 15:23 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces
Déterminer les polynômes non-constants \(P\in\mathbb{R}\left[X\right]\) tels que \(P'\) divise \(P\)
( ).
Étudier le degré du quotient et utiliser la formule de Leibniz


[ID: 959] [Date de publication: 25 janvier 2021 15:23] [Catégorie(s): Dérivation, formule de Taylor ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 734
Par emmanuel le 25 janvier 2021 15:23

Soit \(P\in\mathbb{R}\left[X\right]\) une solution de l’équation. Il existe \(Q\in\mathbb{R}\left[X\right]\) tel que \(P=QP'\). On a forcément \(\deg Q =1\) et donc \(Q=\lambda(X-a)\)\(a,\lambda\in\mathbb{R}\). En identifiant les coefficients de \(X^n\), on trouve \(\lambda={\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\) et donc: \[nP=(X-a)P' .\] On utilise alors la formule de Leibniz. Pour tout \(k\in\mathbb{N}\), il vient : \(nP^{(k)} = (X-a)P^{(k+1)}+ kP^{(k)}\). D’où \((n-k) P^{(k)}=(X-a)P^{(k+1)}\). On a alors \(P^{(k)}(a)=0\) pour \(k\in \llbracket 0,n-1\rrbracket\) et donc \((X-a)^n \mid P\). Alors \(P=\lambda (X-a)^n\). On vérifie réciproquement que tout polynôme de cette forme convient.


Exercice 891 **

25 janvier 2021 15:23 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces
Déterminer tous les polynômes \(P\in \mathbb{R}_{ }[X]\) vérifiant: \[P(X+1)-2P(X)+P(X-1)=0\]
( ).
Utiliser une formule de Taylor.


[ID: 961] [Date de publication: 25 janvier 2021 15:23] [Catégorie(s): Dérivation, formule de Taylor ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 891
Par emmanuel le 25 janvier 2021 15:23

Écrivons les deux formules de Taylor: \[P(X+1)=P(X)+P'(X)+\dfrac{1}{2!}P''(X)+\dots +\dfrac{1}{n!}P^{(n)}(X),\] \[P(X-1)=P(X)-P'(X)+\dfrac{1}{2!}P''(X)+\dots + \dfrac{(-1)^n}{n!}P^{(n)}(X)\]\(n=\deg P\). Alors la condition de l’énoncé dit que: \[{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2!} P''(X)+ \dfrac{1}{4!}P^{(4)}(X) +\dots =0 .\] Mais alors \(P''(X)=0\). En effet, si \(P''(X)\neq 0\), \(P''(X)=a_nX^n +\dots\) avec \(a_n\neq 0\). Mais en cherchant le terme en \(X^n\) dans l’égalité précédente, on trouve qu’il vaut \(a_nX^n\) (tous les polynômes \(P^{(4)}\), …sont de degré strictement inférieur à \(n\)). Donc \(P\) est un polynôme de degré \(\leqslant 1\): \[P(X)=aX+b .\] Et on vérifie réciproquement que tout polynôme de cette forme convient.

Une autre solution : On résout \(P(X+1) - P(X) = 0\). L’ensemble des solutions est l’ensemble des polynômes constants. On résout ensuite \(P(X+1) - P(X) = c\). L’ensemble des solutions est l’ensemble des polynômes \(cX+d\). Maintenant \(P(X+2) - 2P(X+1) + P(X) = D(D(P))\) avec \(D(P) = P(X+1) - P(X)\). On en déduit que les polynômes de degré \(\leqslant 1\) sont les solutions de \(P(X+2) - 2P(X+1) + P(X) = 0\) puis que les polynômes de degré \(\leqslant 1\) sont les solutions de \(P(X+1) - 2P(X) + P(X-1) = 0\).


Exercice 362 *

25 janvier 2021 15:23 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

  1. Quels sont les polynômes de \(\mathbb{C}[X]\) tels que leur fonction polynôme associée soit une surjection de \(\mathbb{C}\) sur \(\mathbb{C}\) ?

  2. Quels sont les polynômes de \(\mathbb{R}[X]\) tels que leur fonction polynôme associée soit une surjection de \(\mathbb{R}\) sur \(\mathbb{R}\) ?



[ID: 963] [Date de publication: 25 janvier 2021 15:23] [Catégorie(s): Dérivation, formule de Taylor ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 362
Par emmanuel le 25 janvier 2021 15:23
  1. Ce sont tous les polynômes \(P\) de degré \(\geqslant 1\). En effet, soit \(z\in\mathbb{C}\), le polynôme \(P -z\) admet au moins une racine \(\alpha\) d’après le théorème fondamental de l’algèbre. Cela signifie que \(P(\alpha) = z\) et donc que la valeur \(z\) est atteinte par \(P\). Donc \(P\) est une surjection de \(\mathbb{C}\) sur \(\mathbb{C}\).

  2. Ce sont les polynômes de degré impair.


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