L'anneau des polynômes

Exercices du dossier L'anneau des polynômes

Exercice 226 *

25 janvier 2021 14:47 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Calculer \(P = (1+X)(1+X^{2})(1+X^{4})\ldots \left( 1+X^{2^n}\right)\).



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Exercice 226
Par emmanuel le 25 janvier 2021 14:47

Le produit \((1-X)P\) se téléscope en \((1-X)P = 1 - X^{2^{n+1}}\). On en déduit que \(P = \displaystyle\sum_{k=0}^{2^{n+1}-1} X^k\).


Exercice 37 *

25 janvier 2021 14:47 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(P\) le polynôme \(P(X) = (1+X)(1+qX)(1+q^{2}X)\ldots (1+q^{n-1}X), (q\neq 1)\). Établir une relation entre \(P(qX)\) et \(P(X)\). En déduire la valeur des coefficients de \(P\).



[ID: 943] [Date de publication: 25 janvier 2021 14:47] [Catégorie(s): L'anneau des polynômes ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 37
Par emmanuel le 25 janvier 2021 14:47

On a \((1+X)P(qX) = (1+q^nX)P(X)\). En posant \(P(X) = \displaystyle\sum_{k=0}^n a_k X^k\), on en déduit que pour \(k\geqslant 1\), \(a_k\left( 1-q^k\right) = a_{k-1}\left( q^{k-1} - q^n\right)\). Comme \(a_0 = 1\), il vient alors \(a_k = \dfrac{1-q^n}{1-q}\times \dfrac{q-q^n}{1-q^n}\times\ldots\times\dfrac{q^{k-1}-q^n}{1-q^k}\).


Exercice 51 *

25 janvier 2021 14:47 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Déterminer les coefficients de

  1. \((1 + X + X^2 + \ldots + X^n)^2\).

  2. \((1 - X + X^2 + \ldots + (-1)^nX^n)^2\).

  3. \((1 + X + X^{2}+ \ldots + X^{n})(1 - X + X^{2}- \ldots + (-1)^{n}X^{n})\).



[ID: 945] [Date de publication: 25 janvier 2021 14:47] [Catégorie(s): L'anneau des polynômes ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 51
Par emmanuel le 25 janvier 2021 14:47
  1. En développant \((1 + X + X^2 + \ldots + X^n)\times(1 + X + X^2 + \ldots + X^n) = \displaystyle\sum_{k=0}^{2n} a_k X^k\), on trouve \(a_k = k+1\) pour \(0\leqslant k \leqslant n\) et \(a_k = 2n+1 - k\) pour \(n\leqslant k \leqslant 2n\).

  2. D’après le résultat précédent, en composant par le polynôme \(-X\), on trouve :
    \((1 - X + X^2 + \ldots + (-1)^nX^n)^2 = \displaystyle\sum_{k=0}^n (-1)^k (k+1)X^k + \sum_{k=n+1}^{2n} (-1)^k (2n+1 - k) X^k\).

  3. Si \(k\leqslant n\), le coefficient \(a_k\) de \(X^k\) est \((-1)^k\left( 1 - 1 + 1 - \ldots \right)\) sachant qu’il y a \(k+1\) termes dans la parenthèse. Donc \(a_k=1\) lorsque \(k\) est pair et \(a_k=0\) lorsque \(k\) est impair. Maintenant, lorsque \(n\leqslant k\leqslant 2n\), on écrit \(k = n+\ell\) et le coefficient de \(X^k\) est \((-1)^{\ell} + (-1)^{\ell+1} + \ldots + (-1)^n\) soit \(n-\ell + 1\). Là encore si \(n-\ell + 1\) est pair tous les termes s’annulent et le coefficient \(a_k\) est nul. Cela se produit lorsque \(n - (k-n)+1\) est pair c’est-à-dire lorsque \(k\) est impair. Sinon, lorsque \(k\) est pair \(a_k\) est égal au premier (ou au dernier) terme de la somme, à savoir \((-1)^{\ell} = (-1)^{k-n} = (-1)^n\) puisque \(k\) est pair.
    Exemples :

    • \(n\) est pair, \((1 + X + X^2 + X^3 + X^4)(1 - X + X^2 - X^3 - X^4) = 1 + X^2 + X^4 + X^6 + X^8\).

    • \(n\) est impair, \((1 + X + X^2 + X^3 + X^4 + X^5)(1 - X + X^2 - X^3 - X^4 + X^5) = 1 + X^2 + X^4 - X^6 - X^8 - X^{10}\).


Exercice 42 *

25 janvier 2021 14:47 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Calculer \(S = (n-1) + (n-2)\times2 + \ldots + 2(n-2) + (n-1)\).

( ).
On pourra proposer deux solutions :
  • une première par un calcul direct,

  • une seconde en s’intéressant au polynôme \(P= \sum_{k=0}^{n} X^k\) et plus précisément à la dérivée seconde de \({P^2}\).



[ID: 947] [Date de publication: 25 janvier 2021 14:47] [Catégorie(s): L'anneau des polynômes ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 42
Par emmanuel le 25 janvier 2021 14:47
  1. Tout d’abord un calcul sans malice : \[S = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} k(n-k) = n \sum_{k=0}^{n} k - \sum_{k=0}^{n} k^2 = n\dfrac{n(n+1)}{2} - \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \dfrac{n(n+1)}{6}\left[ 3n - 2n - 1\right] = \dfrac{n(n+1)(n-1)}{6}.\]

  2. Soit \(P = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} X^k\), on a \(P' = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} kX^{k-1}\) et \(P'' = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} k(k-1)X^{k-2}\). La somme \(S\) est le coefficient de degré \(n-1\) dans le polynôme \((P')^2\). Par ailleurs \((P^2)' = 2PP'\) et \((P^2)'' = 2P'^2 + 2 PP''\). Le coefficient de \(X^{n+1}\) dans \(P^2\) est \(n+1\). En dérivant deux fois, Le coefficient de \(X^{n-1}\) dans \((P^2)''\) est \((n+1)(n+1)n\). D’autre part le coefficient de \(X^{n-1}\) dans \((P^2)''\) est \[(n+1)n + n(n-1) + \ldots + 2\times1 = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} (k+1)k = \sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \dfrac{n(n+1)}{2}.\] On en déduit \(n(n+1)^2 = 2S + \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} + n(n+1)\), d’où \(2S = n(n+1) \left[ (n+1) - 1 - \dfrac{2n+1}{3}\right] = \dfrac{n(n+1)(n-1)}{3}\). On retrouve bien le même résultat.


Exercice 756 *

25 janvier 2021 14:47 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Trouver tous les polynômes \(P,Q\in \mathbb{\mathbb{C} }_{}[X]\) vérifiant :

  1. \(Q^2(X)=XP^2(X)\).

  2. \(P\circ P=P\).

  3. \(P(X^2) = P(X)\)

  4. \(P(X+1)=XP(X)\)



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Exercice 756
Par emmanuel le 25 janvier 2021 14:48
  1. Soient \(P\) et \(Q\) deux polynômes vérifiant l’égalité. On a alors \(2\deg Q = 2 \deg P+1\) ce qui est impossible à moins que \(P=Q=0\). On vérifie réciproquement que si \(P=Q=0\) alors \(P\) et \(Q\) vérifient l’égalité.

  2. Le polynôme nul est solution de l’équation. Soit \(P\) un polynôme non nul vérifiant l’égalité. On a \(\left(\deg P\right)^2=\deg P\) ce qui amène \(\deg P=1\) ou \(\deg P=0\). Si \(\deg P=1\) alors il existe \(a,b\in\mathbb{C}\) tels que \(P=aX+b\). On a alors \(P\circ P=P\) si et seulement si \(a=1\) et \(b=0\) donc si et seulement si \(P=X\). Si \(\deg P=0\), \(P\) est alors un polynôme constant et on vérifie facilement que \(P\) est solution de l’équation. L’ensemble des solutions de l’équation est donc \(\boxed{ \left\lbrace X,\alpha~|~\alpha \in \mathbb{C}\right\rbrace }\).

  3. Le polynôme nul est solution de l’équation. Soit \(P\) un polynôme non nul vérifiant l’égalité. On a \(2\deg P=\deg P\) ce qui n’est possible que si \(\deg P=0\) c’est-à-dire que si \(P\) est un polynôme constant. On vérifie que tout polynôme constant est solution de l’équation et l’ensemble des solutions de l’équation est l’ensemble des polynômes constants.

  4. On vérifie que le polynôme nul est solution de l’équation. Supposons qu’il existe un polynôme \(P\in \mathbb{\mathbb{R} }_{}[X]\) non nul solution de l’équation. Alors \(\deg P=\deg P\left(X+1\right)=1+\deg P\) ce qui n’a pas de sens. Donc la seule solution de l’équation est le polynôme nul.


Exercice 400 *

25 janvier 2021 14:48 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Trouver tous les polynômes \(P,Q\in \mathbb{\mathbb{C} }_{}[X]\) vérifiant :

  1. \(P(X^2) = XP(X)\)

  2. \(P(X)^2 = XP(X + 1)\)

  3. \(P(X) - P(X-1) = X^2\)

  4. \((X+3)P(X)=XP(X+1)\)



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Exercice 400
Par emmanuel le 25 janvier 2021 14:48
  1. Le polynôme nul est solution de l’équation. Soit \(P\) un polynôme non nul vérifiant l’égalité. On a \(2\deg P=\deg P+1\) ce qui n’est possible que si \(\deg P=1\). \(P\) est donc de la forme \(P=aX+b\) avec \(a,b\in\mathbb{C}\). Mais \(P\) doit vérifier : \(aX^2+b=X\left(aX+b\right)\) et donc on a : \(b=0\). Réciproquement, on vérifie que les polynômes de la forme \(aX\) avec \(a\in\mathbb{C}\) sont solutions de l’équation.

  2. Le polynôme nul est solution de l’équation. Soit \(P\) un polynôme non nul vérifiant l’égalité. On a \(2\deg P=\deg P+1\) ce qui n’est possible que si \(\deg P=1\). \(P\) est donc de la forme \(P=aX+b\) avec \(a,b\in\mathbb{C}\). Mais \(P\) doit vérifier : \(\left(aX+b\right)^2=X\left(a\left(X+1\right)+b\right)\) ce qui n’est possible que si \(a=b=0\). Seul le polynôme nul est solution de l’équation.

  3. Soit \(P\) un polynôme solution de l’équation. Comme \(\deg\left(P\left(X\right)-P\left(X-1\right)\right)=\deg P-1\), on a : \(\deg P - 1 = 2\) et donc \(\deg P=3\). On pose \(P_1 = P - P(0)\). \(P_1\) est aussi une solution et est de la forme \(P_1=aX^3+bX^2+cX\) avec \(a,b,c\in\mathbb{C}\). Injectant dans l’égalité on trouve alors \(P_1= {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 3}X^3 + {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}X^2+ {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 6}X\) qui est l’unique solution de l’équation dont la valuation égale \(1\). On obtient toutes les solutions de l’équation en ajoutant les termes constants \(\boxed{P= {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 3}X^3 + {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}X^2+ {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 6}X} + c\).

  4. On vérifie que le polynôme nul est solution de l’équation. Soit \(P=a_nX^n+\dots+a_0 \in \mathbb{\mathbb{R} }_{}[X]\) un polynôme non nul de degré \(n\in\mathbb{N}\) solution de l’équation. On identifie les coefficients des termes de degré \(n\) dans l’égalité \((X+3)P(X)=XP(X+1)\) et on obtient : \(n a_n = 3 a_n\)1 . Comme \(a_n\neq 0\), nécessairement \(n=3\) et \(\deg P=3\). Cherchons alors les polynômes de la forme \(P=aX^3+bX^2+cX+d \in\mathbb{R}\left[X\right]\) solutions de l’équation. On obtient le système \[\begin{cases}b-3a=0\\ 2c-a-b=0\\ d=0\end{cases}\] qui admet comme ensemble solution \(\left\{\left(a,3a,2a,0\right)~|~ a\in\mathbb{R}\right\}\). Les polynômes solutions de l’équation sont alors les \(a\left(X^3+3X^2+2X\right),a\in\mathbb{R}\).


  1. 1  On peut aussi traiter le problème ainsi. L’égalité \((X+3)P(X)=XP(X+1)\) est équivalente à \(X\left(P\left(X+1\right)-P\left(X\right)\right)=3P\left(X\right)\) et la formule de Taylor pour les polynômes amène : \(3P\left(X\right) = X\left(P'\left(X\right)+\dfrac{P''\left(X\right)}{2!}+\dots+\dfrac{P^{\left(n\right)}\left(X\right)}{n!}\right)\). Il est alors facile d’identifier les coefficients des termes de degré \(n\) et on retrouve \(n a_n = 3 a_n\)

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Exercice 515
Par emmanuel le 25 janvier 2021 14:48

On a \(f(z) = 0\) pour tout \(z\) complexe, c’est donc vrai a fortiori pour tous les complexes de module \(1\). Donc \(\forall \vartheta\in \left[ 0,2\pi\right]\), \(f\left( e^{i\vartheta}\right) = 0\) et donc \(I_k = 0\).
D’autre part \(I_k = \displaystyle\int_0^{2\pi} \left( \sum_{m=0}^n a_m e^{im\vartheta}\right) e^{-ik\vartheta}\,\textrm d\vartheta = \sum_{m=0}^n a_m \int_0^{2\pi}e^{i(m-k)\vartheta}\,\textrm d\vartheta\). Or pour \(p\in\mathbb Z^*\), \(J_p = \displaystyle\int_0^{2\pi} e^{ip\vartheta}\,\textrm d\vartheta = \left[ \dfrac{e^{ip\vartheta}}{ip}\right]_0^{2\pi} = 0\) et \(J_0 = 2\pi\). Donc \(I_k = 2\pi a_k\).
On en déduit \(a_k = 0\) et ce pour tout \(k\in\llbracket 0,n\rrbracket\).


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Exercice 241
Par emmanuel le 25 janvier 2021 14:48
  1. En notant \(\omega=e^{{\scriptstyle 2i\pi\over\scriptstyle n+1}}\) la racine n+1 ième de l’unité, \[S_p = \sum_{k=0}^n \omega^{-kp} \sum_{j=0}^n a_j\omega^{jk} = \sum_{j=0}^n a_j \Bigl( \sum_{k=0}^n \omega^{k(j-p)}\Bigr) .\] Mais \[\sum_{k=0}^n \left(\omega^{j-p}\right)^k = \begin{cases} (n+1) & \textrm{ si } j = p \\ 0 & \textrm{ sinon } \end{cases}.\] Par conséquent, \(\forall p \in [\kern-0.127em[ 0, n ]\kern-0.127em]\), \(S_p = (n+1)a_p\).

  2. Soit \(p \in [\kern-0.127em[ 0, n ]\kern-0.127em]\). Avec l’inégalité triangulaire, \[\bigl|(n+1)a_p\bigr| = \Bigl| \sum_{k=0}^n \omega_k^{-p}P(\omega_k)\Bigr| \leqslant\sum_{k=0}^n \lvert P(\omega_k) \rvert \leqslant(n+1) M\] d’où le résultat.


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