Equations fonctionnelles

  1. Les exercices
  2. Vue compacte

Exercices du dossier Equations fonctionnelles

Exercice 44 ***

18 janvier 2021 15:48 — Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron

Déterminer les fonctions \(f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\) de classe \(\mathcal{C}^{1}\) sur \(\mathbb{R}\) telles que pour toute suite arithmétique \((x_n)\), la suite \((f(x_n))\) est une suite arithmétique.


[ID: 935] [Date de publication: 18 janvier 2021 15:48] [Catégorie(s): Equations fonctionnelles ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron ]
Solution

Exercice 44
Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron le 18 janvier 2021 15:48

Soit \(f\) une fonction vérifiant la propriété. Considérons \((a, b) \in \mathbb{R}^{2}\). Il existe alors \((\alpha, \beta) \in \mathbb{R}^{2}\) tels que \[\forall n \in \mathbb N, \quad f(a + bn) = \alpha + \beta n.\] Si on pose \(n = 0\) puis \(n = 1\), on trouve que \[\forall n \in \mathbb N, \quad f(a + bn) = f(a) + \left[f(a + b) - f(a)\right]n\] En particulier si \(n = 2\), on trouve que \[f(a + 2b) = 2f(a+b) - f(a).\] et cette relation doit être vraie pour tout \((a, b) \in \mathbb{R}^{2}\). Avec \(a = 0\), on trouve en particulier que \[\forall b \in \mathbb{R} , \quad f(2b) = 2f(b) - f(0).\] Posons \(g : \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & f(x) - f(0) \end{array} \right.\). Cette fonction doit vérifier \[\forall x \in \mathbb{R} , \quad g(2x) = 2g(x).\] La fonction \(g\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) car \(f\) l’est et en dérivant cette dernière relation, on trouve que \[\forall x \in \mathbb{R} , \quad g'(2x) = g'(x).\] Comme \(g'\) est continue en \(0\), on montre facilement que \(g'\) est constante. Par conséquent, \(g\) est linéaire, et \(f\) est affine.

On vérifie réciproquement que toute fonction affine convient.


Exercice 480 **

18 janvier 2021 15:48 — Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron

  1. Trouver toutes les fonctions de classe \(\mathcal{C}^{1}\) sur \(\mathbb{R}\) vérifiant \[\forall x\in \mathbb{R} , \quad f(2x)=2f(x)\]

  2. Si l’on ne suppose pas \(f\) dérivable, construire une fonction différente de celles trouvées vérifiant la propriété.


[ID: 937] [Date de publication: 18 janvier 2021 15:48] [Catégorie(s): Equations fonctionnelles ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron ]
Solution

Exercice 480
Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron le 18 janvier 2021 15:48

  1. En dérivant, on trouve que \[\forall x\in \mathbb{R} , \quad 2f'(2x)=2f'(x)\] Donc \(\forall x\in \mathbb{R} , f'(2x)=f'(x)\). Soit \(x\neq 0\). Il s’ensuit par une récurrence facile que \(\forall n\in \mathbb{N}{*}\), \(f'({\scriptstyle x\over\scriptstyle 2^n})=f'(x)\). Mais \(f'\) est continue en \(0\) donc \(f'({\scriptstyle x\over\scriptstyle 2^n}) \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{ } f'(0)\). La fonction \(f'\) est donc constante et \(f\) est affine de la forme \(f(x)=ax+b\) avec \(a,b\in\mathbb{R}\). Mais \(f\left(2\times 0\right)=2\times f\left(0\right)\) et nécessairement \(f\left(0\right)=0\) ce qui amène \(b=0\). La fonction \(f\) est donc linéaire. Réciproquement, toute fonction linéaire convient.

  2. La fonction donnée par \[f(x)=\begin{cases} 0 &\textrm{ si } x\in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\\ x & \textrm{ si } x\in \mathbb{Q} \end{cases}\] vérifie la propriété et n’est pas linéaire.


Exercice 316 ***

18 janvier 2021 15:48 — Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron

Soit \(f:\mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^{1}\). On suppose que : \[\forall x\in \mathbb{R} , \quad f\circ f(x)=\dfrac{x}{2}+3 \quad (\star).\]

  1. Montrer que : \(\forall x\in \mathbb{R} ,\quad f({\scriptstyle x\over\scriptstyle 2}+3)=\dfrac{f(x)}{2}+3\).

  2. Montrer que la fonction \(f'\) est constante.

  3. Trouver les fonctions \(f\) vérifiant la relation \((1)\).


[ID: 939] [Date de publication: 18 janvier 2021 15:48] [Catégorie(s): Equations fonctionnelles ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron ]
Solution

Exercice 316
Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron le 18 janvier 2021 15:48

  1. Soit \(x \in \mathbb{R}\). En appliquant \(f\) à \((\star)\), on trouve que \(f( f\circ f(x)) = f\left({\scriptstyle x\over\scriptstyle 2}+3\right)\) et comme \(f\circ(f\circ f) = (f\circ f) \circ f\), en utilisant l’expression de \(f\circ f\) donnée par \((\star)\), on obtient que \(\dfrac{f(x)}{2}+3 = f\left({\scriptstyle x\over\scriptstyle 2}+3\right)\).

  2. Soit \(x\in\mathbb{R}\). En dérivant l’égalité précédente, on obtient que \[\dfrac{f'(x)}{2} = {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}f'\left({\scriptstyle x\over\scriptstyle 2}+3\right) .\] On définit alors une suite \((u_n)\) par \[\begin{cases}u_0&=x\\ \forall n\in \mathbb N, u_{n+1}&=\dfrac{u_n}{2}+3 \end{cases}.\] Cette suite est arithmético-géométrique donc \[\forall n\in \mathbb N, \quad u_n = 6+\dfrac{1}{2^n}(x-6) \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{ } 6\] Comme \(f'\) est continue au point \(6\), on obtient que \(f'(u_n) \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{ } f'(6)\) et que finalement \(f'(x)=f'(6)\). Par conséquent, \(f'\) est constante.

  3. Comme \(f'\) est constante, il existe \((a,b)\in \mathbb{R}^{2}\) tels que \[\forall x\in \mathbb{R} , f(x)=ax+b\]

    Cherchons les réels \(a,b\) tels que \(f\) vérifie \((\star)\). Après calculs, on trouve \(a=\dfrac{\sqrt{2}}{{2}} , b=6-3\sqrt 2\) ou alors \(a=-\dfrac{\sqrt{2}}{{2}}, b=6+3\sqrt 2\).


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