Application aux équations différentielles linéaires du premier ordre avec problèmes de raccord des solutions

Exercices du dossier Application aux équations différentielles linéaires du premier ordre avec problèmes de raccord des solutions

Exercice 840 **

18 janvier 2021 14:39 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On considère l’équation différentielle \((L):~~ x(x^2-1) y'+2y=x^2\).

  • Résoudre \((L)\) dans chacun des sous-intervalles \(I_1=]-\infty,-1[\), \(I_2=]-1,0[\), \(I_3=]0,1[\) et \(I_4=]1,+\infty[\).

  • Existe-t-il des solutions de \((L)\) définies sur \(\mathbb{R}\).



[ID: 798] [Date de publication: 18 janvier 2021 14:39] [Catégorie(s): Application aux équations différentielles linéaires du premier ordre avec problèmes de raccord des solutions ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 840
Par emmanuel le 18 janvier 2021 14:39
  • Soit \(\left(N\right)~: y' + \dfrac{2y}{x\left(x^2-1\right)}=\dfrac{x^2}{x\left(x^2-1\right)}\). \(\left(N\right)\) est définie sur \(I = I_1\cup I_2\cup I_3\cup I_4\). Notons \(\left(H\right)\) l’équation homogène associée à \(\left(N\right)\) et introduisons la fonction \(a: \left\{ \begin{array}{ccl} I & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \dfrac{2}{x\left(x^2-1\right) } = {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 1+x} - {\scriptstyle 2\over\scriptstyle x} + {\scriptstyle 1\over\scriptstyle x-1} \end{array} \right.\). Pour tout \(k=1,2,3,4\), une primitive de \(a\) sur \(I_k\) est donnée par : \[x\mapsto \ln\dfrac{\left|1+x\right|\left|x-1\right|}{x^2}.\] Par conséquent, pour tout \(k=1,2,3,4\), les solutions de \(\left(H\right)\) sur \(I_k\) sont, par application du théorème de résolution des équations linéaires du premier degré, de la forme : \[\varphi_{\alpha_k}: \left\{ \begin{array}{ccl} I_k & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \alpha_k\dfrac{x^2}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)} \end{array} \right. \quad ; \alpha_k\in\mathbb{R}\] Soit \(k\in\llbracket 1,4\rrbracket\). Déterminons une solution particulière de \(\left(N\right)\) sur \(I_k\) en utilisant la méthode de variation de la constante. On la cherche sous la forme \(x\mapsto \alpha\left(x\right) \dfrac{x^2}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}\)\(\alpha\) est une fonction \(\mathcal{C}^{1}\) sur \(I_k\). On a  : \(\alpha'\left(x\right) \dfrac{x^2}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)} = \dfrac{x^2}{x\left(x+1\right)\left(x-1\right)}\) c’est-à-dire \(\alpha'\left(x\right)={\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}\) et donc on peut prendre \(\alpha\left(x\right) = \ln\left|x\right|\). En résumé, pour tout \(k\in\llbracket 1,4\rrbracket\), les solutions de \(\left(N\right)\) et donc de \(\left(E\right)\) sont, sur \(I_k\), de la forme : \[\boxed{x\mapsto \left(\ln \left|x\right| + \alpha_k\right)\dfrac{x^2}{{x^2-1}}} \textrm{ où } \alpha_k\in\mathbb{R}\]

  • Cherchons s’il existe des solutions de \(\left(E\right)\) définies sur \(\mathbb{R}\). Si une telle solution \(\varphi\) existe alors :

    1. \(\varphi\) doit être continue et dérivable sur \(\mathbb{R}\).

    2. \(\forall k\in\llbracket 1,4\rrbracket,\quad \exists \beta_k\in\mathbb{R}:\quad \varphi_{|I_k} = \left(\ln \left|x\right| + \beta_k\right)\dfrac{x^2}{{x^2-1}}\).

    Mais \[\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 1^-}\varphi\left(x\right)}= \displaystyle{\lim_{x \rightarrow 1^-}\left(\ln {x} + \beta_3\right)\dfrac{x^2}{{x^2-1}}} =\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 1^-}\left(\dfrac{\ln {x}}{x-1} + \dfrac{\beta_3}{x-1}\right)\dfrac{x^2}{{x+1}}}\] qui n’est définie (et vaut \({\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}\)) que si \(\beta_3=0\). On montre de même que \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 1^+}\varphi\left(x\right)}\) n’est définie que si \(\beta_4=0\), \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow -1^+}\varphi\left(x\right)}\) n’est définie que si \(\beta_2=0\) et \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow -1^-}\varphi\left(x\right)}\) n’est définie que si \(\beta_1=0\). De plus \(\dfrac{\ln\left|x\right|}{x^2-1}\xrightarrow[x\rightarrow 0]{}0\). La fonction \(\varphi\) définie par : \[\varphi\left(x\right)=\begin{cases} \dfrac{x^2\ln\left|x\right|}{x^2-1} &\textrm{ si } x\in\mathbb{R}\setminus\left\{-1,0,1\right\}\\ {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2} &\textrm{ si } x=\pm 1 \\ 0 &\textrm{ si } x=0 \end{cases}\] est donc continue sur \(\mathbb{R}\). Montrons qu’elle est dérivable sur \(\mathbb{R}\). Soit \(x\in I\) :

    • \(\dfrac{\varphi\left(x\right)-\varphi\left(0\right)}{x-0}=\dfrac{x^2\ln\left|x\right|}{x\left(x^2-1\right)} \xrightarrow[x\rightarrow 0]{} 0\) donc \(f\) est dérivable en \(0\) et \(f'\left(0\right)=0\).

    • \[\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 1}\dfrac{\varphi\left(x\right)-\varphi\left(1\right)}{x-1}}=\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 1}\dfrac{\dfrac{ x^2\ln{x}}{\left(x^2-1\right)} -{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}}{x-1}} \xlongequal{X=x-1} \displaystyle{\lim_{X \rightarrow 0} \dfrac{2\left(X+1\right)^2\ln\left(X+1\right)-\left(X+2\right)X }{2X^2\left(X+2\right)}}\] et, comme \(\ln\left(1+X\right) = X-{\scriptstyle X^2\over\scriptstyle 2}+\underset{X \rightarrow 0}{o}\left(X^2\right)\), \[\dfrac{2\left(X+1\right)^2\ln\left(X+1\right)-\left(X+2\right)X }{2X^2\left(X+2\right)} = {\scriptstyle 1\over\scriptstyle X+2} + \underset{X \rightarrow 0}{o}\left(1\right) \xrightarrow[X\rightarrow 0]{} {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}\] \(f\) est dérivable en \(1\) et \(f'\left(1\right)={\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}\).

    • On montre de même que \(f\) est dérivable en \(-1\) et que \(f'\left(-1\right) = 0\).

    On vérifie réciproquement que la fonction \(f\) ainsi construite est solution de \(\left(E\right)\) sur \(\mathbb{R}\).


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