Application aux équations différentielles linéaires du premier ordre avec problèmes de raccord des solutions
Exercices du dossier Application aux équations différentielles linéaires du premier ordre avec problèmes de raccord des solutions
Exercice 947 **
18 janvier 2021 15:40 — Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-BaronOn considère l’équation différentielle : \[(E) : \quad(1-x^2)y' + xy +(x^2-1)=0\]
Déterminer toutes les solutions de \((E)\) sur \(]-1,1[\).
Existe-t-il une solution sur \(I=]-1,1]\) ? (On admettra que \(\pi/2-\operatorname{arcsin} x \underset{x\rightarrow 1^-}{\sim} \sqrt{2(1-x)}\) ).
[ID: 911] [Date de publication: 18 janvier 2021 15:40] [Catégorie(s): Application aux équations différentielles linéaires du premier ordre avec problèmes de raccord des solutions ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron ]
Accordéon
Titre
Solution
Texte
Exercice 947
Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron le 18 janvier 2021 15:40
Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron le 18 janvier 2021 15:40
La quantité \((x^2-1)\) ne s’annule pas sur \(I_1=]-1,1[\). Résolvons l’équation d’abord sur \(I_1\). La solution générale de l’équation homogène est \[y_0(x)= C\sqrt{1-x^2 } \textrm{ où } C\in\mathbb{R}.\] En utilisant la méthode de variation de la constante, on cherche une solution particulière de la forme \(\tild{y}(x)= C(x)\sqrt{1-x^2 }\). Il suffit que \(C'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{ 1-x^2 } }\) et donc par exemple \(C(x)=\operatorname{arcsin} (x)\). La solution générale s’écrit donc \[y(x)= (\operatorname{arcsin} x + C) \sqrt{1-x^2}.\] Soit maintenant \(y\) une solution sur \(I\). Pour que l’équation soit vérifiée en \(1\), il faut que \(y(1)=0\). Comme \(\forall x<1\), \(y(x)=(\operatorname{arcsin} x + C)\sqrt{1-x^2}\), cette fonction se prolonge par continuité en \(1\) avec \(y(1)=0\). Étudions la dérivabilité en \(1\) de la fonction ainsi prolongée. Puisque \(y\) vérifie l’équation différentielle, on en tire que \(\forall x < 1\), \[y'(x)= 1 - x \dfrac{ \operatorname{arcsin} x + C }{ \sqrt{1-x^2} }\] Pour que \(y'\) ait une limite finie en \(1\), il faut que \(C=-\operatorname{arcsin} 1 = -\dfrac{\pi}{2}\). En effet, si \(C\neq -\dfrac{\pi}{2}\), alors \(y'(x)\xrightarrow[x \rightarrow 1^-]{}\infty\) et d’après la proposition page , \(y\) ne serait pas dérivable en \(1\) ?
Si \(C=-\dfrac{\pi}{2}\), alors \[y'(x)= 1 - x \dfrac{ \operatorname{arcsin} x - \pi/2 }{ \sqrt{1-x^2} }\xrightarrow[x \rightarrow 1]{}2 \textrm{ car } \dfrac{ \operatorname{arcsin} x - \pi/2 }{ \sqrt{1-x^2} }\underset{x\rightarrow 1^-}{\sim} -\dfrac{\sqrt{2\left(1-x\right)}}{\sqrt{1-x^2}}= -\dfrac{\sqrt 2}{\sqrt{x+1}}\xrightarrow[x\rightarrow 1^-]{} -1\] et donc d’après le théorème , \(y\) est dérivable en \(1\) avec \(y'(1)=2\). Réciproquement, on vérifie que la fonction
\[\boxed{ x\mapsto \left( \operatorname{arcsin} x -\dfrac{\pi}{2}\right)\sqrt{1-x^2} }\] est solution de \(\left(E\right)\) sur \(]-1,1]\). C’est la seule solution de cette équation sur \(]-1,1]\).