Recherche d'extrémums

  1. Les exercices
  2. Vue compacte

Exercices du dossier Recherche d'extrémums

Exercice 823 *

18 janvier 2021 15:29 — Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron

Déterminer les extremum éventuels des fonctions \(f\) définies par les expressions suivantes :

  1. \(f:x\mapsto 1/x\) où \(x\in\left[1,2\right]\).

  2. \(f:x\mapsto x^5\) où \(x\in\mathbb{R}\).

  3. \(f:x\mapsto \left|x-1\right|\) où \(x\in\mathbb{R}\).


[ID: 864] [Date de publication: 18 janvier 2021 15:29] [Catégorie(s): Recherche d'extrémums ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron ]
Solution

Exercice 823
Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron le 18 janvier 2021 15:29

  1. La fonction \(f\) est continue et décroissante sur \(\left[1,2\right]\). Elle atteint donc son minimum en \(x=2\) et son maximum en \(x=1\). Remarquons que \(f'\) ne s’annule pas sur \(\left[1,2\right]\).

  2. Une étude rapide des variations de \(f\) nous montre qu’elle est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\) et que \(\lim_{-\infty}f=-\infty\), \(\lim_{+\infty}f=+\infty\). Cette fonction n’admet donc pas d’extremum sur \(\mathbb{R}\). Remarquons que \(f'\left(0\right)=0\) mais \(0\) n’est pas un extremum de \(f\).

  3. On vérifie facilement que \(f\) admet un minimum en \(x=1\). Remarquons que \(f\) n’est pas dérivable en \(x=1\). Par contre \(f\) n’admet pas de maximum.


Exercice 957 **

18 janvier 2021 15:29 — Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron
Soit une fonction \(f:[0,1]\longrightarrow \mathbb{R}\) dérivable sur \([0,1]\). On suppose que \(f(0)=0\) et que \(f(1)f'(1)<0\). Montrer qu’il existe \(c\in ]0,1[\) tel que \(f'(c)=0\).
( ).
Faire un dessin, et s’inspirer de la démonstration du théorème de Rolle.


[ID: 866] [Date de publication: 18 janvier 2021 15:29] [Catégorie(s): Recherche d'extrémums ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron ]
Solution

Exercice 957
Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron le 18 janvier 2021 15:29

\(f\) est continue sur le segment \([0,1]\). Elle est donc bornée et atteint ses bornes. Supposons par exemple que \(f(1)>0\) et \(f'(1)<0\). Soit \(M=f(c)\) le maximum de \(f\) sur \([0,1]\). Montrons que \(c\) est un point intérieur de \([0,1]\). On a \(c\neq 0\) car \(f(1)>0\). Si on suppose que \(c=1\), alors \(\forall x\in [0,1]\), \(f(x)\leqslant f(1)\) mais alors \(\dfrac{ f(x)-f(1)}{x-1} \geqslant 0\) et en passant à la limite dans les inégalités lorsque \(x\rightarrow 1\), on aurait \(f'(1)\geqslant 0\), ce qui est faux. Par conséquent, \(c\in ]0,1[\). Alors puisque \(f\) est dérivable au point \(c\) qui est un extrémum local intérieur, il vient que \(f'(c)=0\).


Exercice 83 **

18 janvier 2021 15:29 — Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron

Soit une fonction \(f:[0,1] \longrightarrow \mathbb{R}\) continue, non constante, dérivable à gauche et à droite en tout point. On suppose que \(f(0)=f(1)=0\). Montrer qu’il existe \(c \in ]0,1[\) tel que \(f'_d(c)f'_g(c)\leqslant 0\).


[ID: 868] [Date de publication: 18 janvier 2021 15:29] [Catégorie(s): Recherche d'extrémums ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron ]
Solution

Exercice 83
Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron le 18 janvier 2021 15:29

La fonction \(f\) est continue sur le segment \(\left[0,1\right]\) donc elle est bornée et atteint ses bornes sur ce segment. Les deux bornes de \(f\) ne peuvent être atteintes en les extrémités de \(\left[a,b\right]\) car comme \(f\left(0\right)=f\left(1\right)\), \(f\) serait constante ce qui est contraire aux hypothèses. Une des deux bornes est donc atteinte en un point \(c\) intérieur au segment \(\left[0,1\right]\). En ce point, les dérivées sont de signe contraire. En effet, supposons par exemple que \(c\) est un maximum alors, pour \(x\) dans un voisinage suffisamment petit à gauche de \(c\), on a \(\dfrac{f\left(x\right)-f\left(c\right)}{x-c}\geqslant 0\) donc par passage à la limite dans une inégalité, \(f'_g\left(x\right)\geqslant 0\). De même, pour \(x\) dans un voisinage suffisamment petit à droite de \(c\), on a \(\dfrac{f\left(x\right)-f\left(c\right)}{x-c}\leqslant 0\) et donc \(f'_d\left(x\right)\leqslant 0\). On en déduit le résultat. Si \(c\) est un minimum, on procède de manière analogue.


Exercice 556 ***

18 janvier 2021 15:29 — Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron

Soit une fonction \(f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\) dérivable. On suppose que \(f(x) \xrightarrow[x \rightarrow \pm \infty]{} +\infty\). Montrer qu’il existe \(c \in \mathbb{R}\) tel que \(f'(c) = 0\).


[ID: 870] [Date de publication: 18 janvier 2021 15:29] [Catégorie(s): Recherche d'extrémums ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron ]
Solution

Exercice 556
Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron le 18 janvier 2021 15:29

Soit \(x_0 \in \mathbb{R}\). Comme \(f(x) \xrightarrow[x \rightarrow \pm \infty]{}+\infty\), il existe \(A > 0\) tel que \(\forall x \in \mathbb{R}\), \(\lvert x \rvert > A \Rightarrow f(x) > f\left(x_0\right)\). En particulier, \(x_0 \in [-A, A]\). Sur le segment \([-A, A]\), la fonction \(f\) est continue et admet donc un minimum : il existe \(c \in [-A, A]\) tel que pour tout \(x \in [-A, A]\), \(f(x) \geqslant f(c)\). Mais si \(x \in \mathbb{R} \setminus [-A, A]\), on a \(f(x) \geqslant f(x_0) \geqslant f(c)\). Par conséquent, la fonction \(f\) admet un minimum global sur \(\mathbb{R}\) au point \(c\). On sait alors que \(f'(c) = 0\).


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