Dérivabilité

  1. Les exercices
  2. Vue compacte

Exercices du dossier Dérivabilité

Exercice 609 *

18 janvier 2021 15:18 — Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron

En utilisant la définition, déterminer quand les fonctions suivantes sont dérivables et déterminer leur dérivée :

  1. \(f:x \mapsto x\).

  2. \(f:x \mapsto x^2\).

  3. \(f:x \mapsto \sqrt x\).

  4. \(f:x \mapsto \dfrac{1}{x}\).

  5. \(f:x \mapsto \left|x\right|\).

  6. \(f:x \mapsto x^n\) où \(n\in\mathbb{N}\).


[ID: 800] [Date de publication: 18 janvier 2021 15:18] [Catégorie(s): Dérivabilité ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron ]
Solution

Exercice 609
Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron le 18 janvier 2021 15:18

  1. Soit \(a\in \mathbb{R}\) et soit \(x\in\mathbb{R}\setminus \left\{a\right\}\). \[\Delta\left(x\right)=\dfrac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}=\dfrac{x-a}{x-a}=1\xrightarrow[x\rightarrow a]{}1\] donc \(f\) est dérivable en tout \(a\in\mathbb{R}\) et \(\boxed{f'\left(a\right)=1}\).

  2. Soit \(a\in \mathbb{R}\) et soit \(x\in\mathbb{R}\setminus \left\{a\right\}\). \[\Delta\left(x\right)=\dfrac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}=\dfrac{x^2-a^2}{x-a}=x+a\xrightarrow[x\rightarrow a]{} 2a\] donc \(f\) est dérivable en tout \(a\in\mathbb{R}\) et \(\boxed{f'\left(a\right)=2a}\).

  3. Soit \(a\in \mathbb{R}_+\) et soit \(x\in\mathbb{R}_+\setminus \left\{a\right\}\). \[\Delta\left(x\right)=\dfrac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}=\dfrac{\sqrt x - \sqrt a}{x-a}=\dfrac{1}{\sqrt x + \sqrt a}\xrightarrow[x\rightarrow a]{}\begin{cases} \dfrac{1}{2\sqrt a} &\textrm{ si } a>0 \\ +\infty &\textrm{ si } a=0 \end{cases}\] donc \(f\) est dérivable en tout \(a\in\mathbb{R}_+^*\) et dans ce cas \(\boxed{f'\left(a\right)=\dfrac{1}{2\sqrt a}}\). Par contre \(f\) n’est pas dérivable en \(0\).

  4. Soit \(a\in \mathbb{R}^*\) et soit \(x\in\mathbb{R}^*\setminus \left\{a\right\}\). \[\Delta\left(x\right)=\dfrac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}=\dfrac{\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{a}}{x-a} =-\dfrac{1}{ax}\xrightarrow[x\rightarrow a]{}-\dfrac{1}{a^2}\] donc \(f\) est dérivable en tout \(a\in\mathbb{R}^*\) et \(\boxed{f'\left(a\right)=-\dfrac{1}{a^2}}\).

  5. Soit \(a\in \mathbb{R}\) et soit \(x\in\mathbb{R}\setminus \left\{a\right\}\). \[\Delta\left(x\right)=\dfrac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}=\dfrac{\left|x\right|-\left|a\right|}{x-a}.\] Si \(a<0\), comme on va calculer la limite de \(\Delta\left(x\right)\) quand \(x\) tend vers \(a\), on peut supposer \(x<0\) et il s’ensuit que \(\Delta\left(x\right)=-1\) donc \(f\) est dérivable en tout \(a\in\mathbb{R}_-^*\). De plus \(\boxed{f'\left(a\right)=-1}\). On montre de même que si \(a\in\mathbb{R}_+^*\) alors \(f\) est dérivable en \(a\) et \(\boxed{f'\left(a\right)=1}\). Par contre en \(0\), \(\Delta\left(x\right) \xrightarrow[x\rightarrow a^-]{}-1\) et \(\Delta\left(x\right) \xrightarrow[x\rightarrow a^+]{}1\). \(f\) est alors dérivable à gauche et à droite en \(0\) mais n’est pas dérivable en \(0\).

  6. Soit \(a\in \mathbb{R}\) et soit \(x\in\mathbb{R}\setminus \left\{a\right\}\). En utilisant les formules de factorisation : \[\Delta\left(x\right)=\dfrac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}=\dfrac{x^n-a^n}{x-a}=\sum_{k=0}^{n-1} x^{n-k-1}a^k\xrightarrow[x\rightarrow a]{} \sum_{k=0}^{n-1} a^{n-1}=na^{n-1}\] donc \(f\) est dérivable en tout \(a\in\mathbb{R}\) et \(\boxed{f'\left(a\right)=na^{n-1}}\).


Exercice 852 *

18 janvier 2021 15:18 — Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron

Soit \(f :\mathbb{R}\rightarrow R\) une fonction dérivable sur \(\mathbb{R}\)

  1. Si \(f\) est paire que dire de \(f'\)?

  2. Si \(f\) est \(T\)-périodique (\(T>0\)) que dire de \(f'\)?


[ID: 802] [Date de publication: 18 janvier 2021 15:18] [Catégorie(s): Dérivabilité ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron ]
Solution

Exercice 852
Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron le 18 janvier 2021 15:18

  1. On a : \(\forall x \in \mathbb{R}, \quad f(x)=f(-x)\). En dérivant les deux membres de cette égalité, on obtient: \(\forall x \in \mathbb{R}, \quad f'(x)=-f'(-x)\) et donc \(f'\) est impaire. De même si \(f\) est impaire, alors \(f'\) est paire.

  2. Puisque \(\forall x\in \mathbb{R}\), \(f(x+T)-f(x)=0\), en dérivant à nouveau les membres de cette égalité, on obtient que \(f'(x+T)-f'(x)=0\) et donc que \(f'\) est aussi \(T\)-périodique.


Exercice 344 *

18 janvier 2021 15:18 — Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron

Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer :

  1. son domaine de définition.

  2. son domaine de dérivabilité.

  3. sa dérivée.

  1. \(f:x \mapsto \sqrt[5]{x^3}\)

  2. \(f:x \mapsto \dfrac{\operatorname{arctan} x}{x^2+1}\)

  3. \(f: x \mapsto \ln\left(\ln x\right)\)

  4. \(f: x \mapsto e^{\cos x}\)

  5. \(f: x \mapsto \ln\left|x\right|\)

  6. \(f: x \mapsto 5^x\)


[ID: 804] [Date de publication: 18 janvier 2021 15:18] [Catégorie(s): Dérivabilité ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron ]
Solution

Exercice 344
Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron le 18 janvier 2021 15:18

  1. \(f\) est définie sur \(\mathbb{R}\) et dérivable sur \(\mathbb{R}^*\) comme composée de fonctions dérivables. De plus, pour tout \(x\in\mathbb{R}^*\) : \(\boxed{f'\left(x\right)=\dfrac{3}{5} {x}^{-{\scriptstyle 2\over\scriptstyle 5}}}\).

  2. \(f\) est définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\) comme quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas sur \(\mathbb{R}\). De plus, si \(x\in\mathbb{R}\), \(\boxed{f'\left(x\right)={\dfrac {1-2x\operatorname{arctan} x }{ \left( 1+{x}^{2} \right) ^ {2}}}}\).

  3. \(f\) est définie et dérivable sur \(\left]1,+\infty\right[\) comme composée de fonctions dérivables. Si \(x\in \left]1,+\infty\right[\), \(\boxed{f'\left(x\right)=\dfrac {1}{x\ln x }}\).

  4. \(f\) est définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\) comme composée de fonctions dérivables. Si \(x\in\mathbb{R}\), \(\boxed{f'\left(x\right)=-\sin x e^{\cos x}}\).

  5. \(f\) est définie et dérivable sur \(\mathbb{R}^*\) comme composée de fonctions dérivables. De plus, si \(x\in\mathbb{R}^*\), \(f'(x)=\begin{cases} \dfrac{1}{x} &\textrm{ si } x<0 \\ {\scriptstyle 1\over\scriptstyle x} &\textrm{ si } x>0 \end{cases}=\boxed{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle{x}}}\).

  6. Comme \(5^x=e^{x\ln 5}\), \(f\) est définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\). Si \(x\in \mathbb{R}\), \(\boxed{f'\left(x\right)=\ln 5 . 5^x}\).


Exercice 68 *

18 janvier 2021 15:18 — Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron

Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer :

  1. son domaine de définition.

  2. son domaine de dérivabilité.

  3. sa dérivée.

  1. \(f: x \mapsto \cos^7 x\)

  2. \(f:x \mapsto x^x\)

  3. \(f: x \mapsto \sqrt{\left(x^4+1\right)^3}\)

  4. \(f: x \mapsto x\ln\left|x+1\right|\)

  5. \(f: x \mapsto x^4 e^{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}}\)

  6. \(f: x \mapsto \mathop{\mathrm{argth}}\left(\sin x\right)\)


[ID: 806] [Date de publication: 18 janvier 2021 15:18] [Catégorie(s): Dérivabilité ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron ]
Solution

Exercice 68
Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron le 18 janvier 2021 15:18

  1. \(f\) est définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\) comme composée de fonctions dérivables. Si \(x\in \mathbb{R}\), \(\boxed{f'\left(x\right)=-7\sin x \cos^6 x}\).

  2. \(f\) est définie et dérivable sur \(\mathbb{R}_+^*\) car \(x^x = e^{x\ln x}\). De plus, pour tout \(x\in\mathbb{R}_+^*\) : \(\boxed{f'(x)=\left(1+\ln x\right)x^x}\).

  3. \(f\) est définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\) comme composée de fonctions dérivables. Pour tout \(x\in\mathbb{R}\) : \(\boxed{f'\left(x\right)=6{x}^{3}\sqrt {{x}^{4}+1}}\).

  4. \(f\) est définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\setminus\left\{-1\right\}\) comme composée de fonctions dérivables. Si \(x\in\mathbb{R}\setminus\left\{-1\right\}\), \(\boxed{f'\left(x\right) = \ln\left|x+1\right|+\dfrac{x}{{x+1}}}\).

  5. \(f\) est définie et dérivable sur \(\mathbb{R}^*\) comme composée de fonctions dérivables. Si \(x\in\mathbb{R}^*\), \(\boxed{f'\left(x\right) = {x}^{2}{e^{{x}^{-1}}} \left( 4\,x-1 \right)}\).

  6. \(f\) est définie et dérivable sur \(I=\mathbb{R}\setminus \left\{\dfrac{\pi}{2} +k\pi~|~ k\in\mathbb{Z}\right\}\) comme composée de fonctions dérivables. Si \(x \in I\), \(\boxed{f'\left(x\right)= \dfrac{\cos x}{1-\sin^2 x}=\dfrac{1}{\cos x}}\).


Exercice 289 *

18 janvier 2021 15:18 — Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron

Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer :

  1. son domaine de définition.

  2. son domaine de dérivabilité.

  3. sa dérivée.

  1. \(f: x \mapsto \ln\left(\ln\left(\ln\left(\ln x\right)\right)\right)\)

  2. \(f: x \mapsto \mathop{\mathrm{argch}}\left(2+\cos x\right)\)

  3. \(f: x \mapsto \left(\mathop{\mathrm{ch}}x\right)^{2x}\)

  4. \(f:x \mapsto \ln\left(\operatorname{arccos} x\right)\)

  5. \(f: x \mapsto \dfrac{1}{\operatorname{arcsin} \mathop{\mathrm{sh}}x}\)

  6. \(f:x \mapsto \sqrt{1+\operatorname{th} x}\)


[ID: 808] [Date de publication: 18 janvier 2021 15:18] [Catégorie(s): Dérivabilité ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron ]
Solution

Exercice 289
Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron le 18 janvier 2021 15:18

  1. \(f\) est définie et dérivable sur \(\left]e^e,+\infty\right[\) comme composée de fonctions dérivables. Si \(x\in\left]e^e,+\infty\right[\) : \(\boxed{f'\left(x\right)={\dfrac {1}{x\ln \left( x \right) \ln \left( \ln \left( x \right) \right) \ln \left( \ln \left( \ln \left( x \right) \right) \right) }}}\)

  2. \(f\) est définie sur \(\mathbb{R}\) et dérivable sur \(\mathbb{R}\setminus \left(\pi+2\pi\mathbb{Z}\right)\) comme composée de fonctions dérivables. Si \(x\not \equiv \pi\) alors  : \(\boxed{f'\left(x\right)= -{\dfrac {\sin x }{\sqrt {1+\cos x } \sqrt {3+\cos x }}}}\)

  3. \(f\) est définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\) comme composée de fonctions dérivables. De plus, \(\boxed{f'(x)= 2\, \mathop{\mathrm{ch}}^{2\,x-1} \left( \ln \left( \mathop{\mathrm{ch}}x \right) \mathop{\mathrm{ch}}x +x\mathop{\mathrm{sh}} x \right) }\).

  4. \(f\) est définie sur \(\left[-1,1\right[\) et dérivable sur \(\left]-1,1\right[\) comme composée de fonctions dérivables. Si \(x\in\left]-1,1\right[\), \(\boxed{f'\left(x\right)=-{\dfrac {1}{\sqrt {1-{x}^{2}}\operatorname{arccos} x }}}\).

  5. \(f\) est définie sur \(\left[-\ln\left(1+\sqrt 2\right),0\right[\cup \left]0,\ln\left(1+\sqrt 2\right)\right]\) et dérivable sur \(I=\left]-\ln\left(1+\sqrt 2\right),0\right[\cup \left]0,\ln\left(1+\sqrt 2\right)\right[\) comme composée de fonctions dérivables. De plus, si \(x\in I\) \(\boxed{f'(x)=-{\dfrac {\mathop{\mathrm{ch}}x }{\sqrt {1- \mathop{\mathrm{sh}}^2 x } \left( \operatorname{arcsin} \mathop{\mathrm{sh}}x \right) ^{2}}}}\).

  6. \(f\) est définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\) et si \(x\in\mathbb{R}\) : \(\boxed{f'\left(x\right)=\dfrac{1-\operatorname{th} ^2 x}{2\sqrt{1+\operatorname{th} x}}}\)


Exercice 93 *

18 janvier 2021 15:18 — Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron

Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer :

  1. son domaine de définition.

  2. son domaine de dérivabilité.

  3. sa dérivée.

  1. \(f: x \mapsto {\scriptstyle 2\sqrt x\over\scriptstyle 1+x}\)

  2. \(f: x \mapsto {\scriptstyle x+\ln x\over\scriptstyle x+\ln^2 x}\)

  3. \(f:x \mapsto \dfrac{\operatorname{arccos} x}{\operatorname{arcsin} x}\)

  4. \(f: x \mapsto \left(1+x\right)^x\)

  5. \(f: x\mapsto \dfrac{\sqrt{ \mathop{\mathrm{argsh}}x}}{\ln \left(\mathop{\mathrm{ch}}x\right)}\)

  6. \(x \mapsto {\scriptstyle\sin x\over\scriptstyle\left(\cos x + 2\right)^4}\)


[ID: 810] [Date de publication: 18 janvier 2021 15:18] [Catégorie(s): Dérivabilité ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron ]
Solution

Exercice 93
Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron le 18 janvier 2021 15:18

  1. \(f\) est définie sur \(\mathbb{R}_+\) et dérivable, par opérations sur les fonctions dérivables sur \(\mathbb{R}_+^*\). De plus, pour tout \(x>0\) : \(\boxed{f'\left(x\right)= {\dfrac {1-x}{ \left( x+1 \right) ^{2} \sqrt {x}}}}\)

  2. \(f\) est définie et dérivable sur \(\mathbb{R}_+^*\). Si \(x\in \mathbb{R}_+^*\) alors \(\boxed{f'\left(x\right)= \dfrac {\left(x-1\right)\ln^2 x -3x\ln x +x}{x\left(x+\ln^2 x\right)^2 }}\)

  3. \(f\) est définie et dérivable sur \(\left]-1,-1\right[\setminus\left\{0\right\}\) comme quotient de fonctions dérivables sur cet intervalle. De plus, si \(x\in\left]-1,1\right[ \setminus\left\{0\right\}\) : \(f'\left(x\right) = -{\dfrac {\operatorname{arcsin} x +\operatorname{arccos} x }{ \sqrt {1-{x}^{2}}\operatorname{arcsin} ^2 x } }= \boxed{- \dfrac{\pi}{2} \dfrac {1 }{ \sqrt {1-{x}^{2}}\operatorname{arcsin} ^2 x }}\)

  4. \(f\left(x\right)= e^{x\ln\left( 1+x \right)}\) et donc \(f\) est définie et dérivable sur \(\left]-1,+\infty\right[\). Si \(x\in \left]-1,+\infty\right[\), \(\boxed{f'\left(x\right)= \left(ln(1+x)+\dfrac{x}{1+x}\right)\left(1+x\right)^x}\).

  5. \(f\) est définie et dérivable sur \(\mathbb{R}^*_+\) et si \(x> 0\) : \(\boxed{f'\left(x\right)= -{\dfrac {-\mathop{\mathrm{ch}}x\ln \left(\mathop{\mathrm{ch}}x\right) +2\mathop{\mathrm{argsh}}x \mathop{\mathrm{sh}}x \sqrt {1+{x}^{2}}}{2\sqrt {1+{x}^{2}} \left( \ln \left( \mathop{\mathrm{ch}}x \right) \right) ^{2}\mathop{\mathrm{ch}}x \sqrt{\mathop{\mathrm{argsh}}x}}}}\)

  6. \(f\) est définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\). De plus, pour tout \(x\in\mathbb{R}\), \(\boxed{f'(x)=\dfrac{4+2\cos x -3\cos^2 x}{\left(\cos x + 2\right)^5}}\).


Exercice 283 *

18 janvier 2021 15:18 — Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron

Pour chacune des fonctions suivantes :

  1. Déterminer son domaine de définition \(D_f\).

  2. Prouver que \(f\) est continue sur \(D_f\).

  3. Déterminer sur quel domaine \(f\) est dérivable.

  4. Prolonger \(f\) par continuité là où c’est possible.

  5. Vérifier si ce prolongement est dérivable.

  1. \(f:x \mapsto x\sin\left( {\scriptstyle 1\over\scriptstyle x} \right)\)

  2. \(f:x \mapsto x^2\sin\left( {\scriptstyle 1\over\scriptstyle x} \right)\)

  3. \(f:x \mapsto \left(x^2-1\right) \operatorname{arcsin} \left(x^2\right)\)

  4. \(f: x \mapsto \left|x\right|\mathop{\mathrm{argth}}x\)


[ID: 812] [Date de publication: 18 janvier 2021 15:18] [Catégorie(s): Dérivabilité ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron ]
Solution

Exercice 283
Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron le 18 janvier 2021 15:18

  1. \(f\) est définie et continue sur \(\mathbb{R}^*\) comme produit et composée de fonctions continues. En appliquant le théorème des gendarmes, on montre que \(f\left(x\right)\xrightarrow[x\rightarrow 0]{}0\). On prolonge alors \(f\) par continuité en \(0\) en posant : \(f\left(0\right)=0\). Par opérations sur les fonctions dérivables, \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}^*\). Reste à étudier la dérivabilité en \(0\). Pour tout \(x\in\mathbb{R}^*\), \(\Delta\left(x\right)=\dfrac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}=\sin \dfrac{1}{x}\) qui diverge quand \(x\) tend vers \(0\). \(f\) n’est donc pas dérivable en \(0\).

  2. On montre comme précédemment que \(f\) est définie, continue et dérivable sur \(\mathbb{R}^*\). On montre aussi qu’on peut là encore prolonger \(f\) par continuité en \(0\) en posant \(f\left(0\right)=0\). Pour ce qui concerne la dérivabilité en \(0\) on a, pour tout \(x\in\mathbb{R}^*\), \(\Delta\left(x\right)=\dfrac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}=x\sin \dfrac{1}{x}\xrightarrow[x\rightarrow 0]{}0\) donc \(f\) est dérivable en \(0\) et \(f'\left(0\right)=0\).

  3. \(f\) est définie et continue sur \(\left[-1,1\right]\). Par opérations sur les fonctions dérivables, \(f\) est dérivable sur \(\left]-1,1\right[\). En \(x=1\), \(\Delta\left(x\right)=\dfrac{f\left(x\right)-f\left(1\right)}{x-1}=\dfrac{\left(x^2-1\right) \operatorname{arcsin} \left(x^2\right)}{x-1} =\left(x+1\right)\operatorname{arcsin} \left(x^2\right)\xrightarrow[x\rightarrow 1^-]{} \pi\). \(f\) est donc dérivable en \(x=1\) et \(f'\left(1\right)=\pi\). Comme \(f\) est paire, on a aussi \(f'(-1)=\pi\).

  4. \(f\) est définie et continue sur \(\left]-1,1\right[\). \(f\) n’est pas prolongeable par continuité en \(\pm 1\). \(f\) est dérivable sur \(\left]-1,0\right[\cup \left[0,1\right]\) comme produit de fonctions dérivables sur ces intervalles. En \(x=0\), \(\Delta\left(x\right)=\dfrac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0} = \dfrac{\left|x\right|\mathop{\mathrm{argth}}x}{x}\underset{x\rightarrow 0}{\sim} \left|x\right|\xrightarrow[x\rightarrow 0]{}0\) donc \(f\) est dérivable aussi en \(0\) et \(f'\left(0\right)=0\).


Exercice 899 *

18 janvier 2021 15:18 — Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron

Pour chacune des fonctions suivantes :

  1. Déterminer son domaine de définition \(D_f\).

  2. Prouver que \(f\) est continue sur \(D_f\).

  3. Déterminer sur quel domaine \(f\) est dérivable.

  4. Prolonger \(f\) par continuité là où c’est possible.

  5. Vérifier si ce prolongement est dérivable.

  1. \(f:x\mapsto {\scriptstyle x^4\over\scriptstyle e^x-1}\)

  2. \(f:x\mapsto x^x\).

  3. \(f:x\mapsto \cos\left(\sqrt x\right)\)

  4. \(f:x\mapsto \sqrt{\left|x-1\right|}\sin x\).


[ID: 814] [Date de publication: 18 janvier 2021 15:18] [Catégorie(s): Dérivabilité ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron ]
Solution

Exercice 899
Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron le 18 janvier 2021 15:18

  1. \(f\) est définie et continue sur \(\mathbb{R}^*\). De plus : \({\scriptstyle x^4\over\scriptstyle e^x-1}\underset{x\rightarrow 0}{\sim}\dfrac{x^4}{x}=x^3 \xrightarrow[x\rightarrow 0]{}0\). On prolonge alors \(f\) par continuité en \(0\) en posant \(f\left(0\right)=0\). \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}^*\) par opérations sur les fonctions dérivables. Si \(x=0\), alors \(\Delta\left(x\right)=\dfrac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0} = \dfrac{x^3}{e^x -1}\underset{x\rightarrow 0}{\sim} x^2 \xrightarrow[x\rightarrow 0]{}0\) donc \(f\) est dérivable en \(0\) et \(f'\left(0\right)=0\).

  2. \(f\left(x\right)=x^x = e^{x\ln x}\) donc \(f\) est définie et continue sur \(\mathbb{R}_+^*\). Mais \(x\ln x\xrightarrow[x\rightarrow 0^+]{}0\) donc par opérations sur les limites \(f\left(x\right)\xrightarrow[x\rightarrow 0^+]{}e^0=1\). On prolonge donc \(f\) par continuité en \(0\) en posant \(f\left(0\right)=1\). \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}_+^*\) comme composée de fonctions dérivables. En \(x=0\), on a : \(\Delta\left(x\right)=\dfrac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0} = \dfrac{e^{x\ln x}-1}{x}\underset{x\rightarrow 0^+}{\sim}\dfrac{x\ln x}{x}=\ln x\xrightarrow[x\rightarrow 0^+]{}-\infty\), l’équivalent étant valide car \(x\ln x\xrightarrow[x\rightarrow 0^+]{}0\). \(f\) n’est donc pas dérivable en \(0\) et le graphe de \(f\) admet en \(0\) une tangente verticale.

  3. \(f\) est définie et continue sur \(\mathbb{R}_+\). \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}_+^*\) par opérations sur les fonctions dérivables. En \(x=0\), on a : \(\Delta\left(x\right)=\dfrac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0} = \dfrac{\cos\left(\sqrt x\right) - 1}{x} \underset{x\rightarrow 0^+}{\sim} \dfrac{\dfrac{-x}{2}}{x} = -\dfrac{1}{2} \xrightarrow[x\rightarrow 0^+]{}0\) et \(f\) est dérivable en \(0\) avec de plus \(f'\left(0\right)=-1/2\).

  4. \(f\) est définie et continue sur \(\mathbb{R}\). Elle est dérivable sur \(\mathbb{R}\setminus\left\{1\right\}\) et en \(x=1\) : \(\Delta\left(x\right)=\dfrac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0} =\dfrac{\sin x . \sqrt{\left|x-1\right|}}{x-1} \underset{x\rightarrow 1}{\sim} \sin 1 \dfrac{\sqrt{\left|x-1\right|}}{x-1}\) donc \(\Delta\left(x\right)\xrightarrow[x\rightarrow 1^-]{}+\infty\) et \(\Delta\left(x\right)\xrightarrow[x\rightarrow 1^+]{}-\infty\). \(f\) n’est donc pas dérivable en \(0\).


Exercice 261 *

18 janvier 2021 15:18 — Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par : \[f\left(x\right)=\begin{cases} 1-e^x &\textrm{ si } x<0\\ 0 &\textrm{ si } x=0\\ \dfrac{e^x-1}{e^x+1} &\textrm{ si } x>0 \end{cases}\]

  1. Prouver que \(f\) est continue en \(0\).

  2. Étudier la dérivabilité de \(f\) et calculer \(f'\left(x\right)\) en tout point \(x\) où \(f\) est dérivable.


[ID: 816] [Date de publication: 18 janvier 2021 15:18] [Catégorie(s): Dérivabilité ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron ]
Solution

Exercice 261
Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron le 18 janvier 2021 15:18

  1. Il est clair que \(1-e^{x}\xrightarrow[x\rightarrow 0^-]{}0\). Donc \(f\) est continue à gauche en \(0\). De plus, \(\dfrac{e^x-1}{e^x+1}\xrightarrow[x\rightarrow 0^+]{}0\) et donc \(f\) est aussi continue à droite en \(0\). En résumé, \(f\) est continue en \(0\).

  2. \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}^*\) par opérations sur les fonctions dérivables. Si \(x<0\) alors \(f'\left(x\right)=-e^x\) et si \(x>0\) alors \(f'\left(x\right)=\dfrac{2e^x}{\left(e^x+1\right)^2}\). De plus : \[\textrm{ si $x<0$~:}\quad\Delta\left(x\right)=\dfrac{1-e^x}{x}\underset{x\rightarrow 0^+}{\sim}\dfrac{-x}{x}=-1 \xrightarrow[x\rightarrow 0^+]{}-1 \quad \textrm{ et} \quad\textrm{ si $x>0$~:}\quad \Delta\left(x\right)=\dfrac{e^x-1}{x\left(e^x+1\right)}\underset{x\rightarrow 0^-}{\sim}\dfrac{x}{2x}\xrightarrow[x\rightarrow 0^-]{} \dfrac{1}{2}\] donc \(f\) est dérivable à gauche et à droite en \(0\) mais n’est pas dérivable en \(0\).


Exercice 347 *

18 janvier 2021 15:18 — Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par : \[f\left(x\right)=\begin{cases} e^{-x}+1 &\textrm{ si } x\leqslant 0\\ 2+x\ln x &\textrm{ si } x>0 \end{cases}\]

  1. Prouver que \(f\) est continue en \(0\).

  2. Étudier la dérivabilité de \(f\) et calculer \(f'\left(x\right)\) en tout point \(x\) où \(f\) est dérivable.


[ID: 818] [Date de publication: 18 janvier 2021 15:18] [Catégorie(s): Dérivabilité ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron ]
Solution

Exercice 347
Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron le 18 janvier 2021 15:18

  1. Il est clair que \(f\) est continue à gauche en \(0\). De plus, \(2+x\ln x\xrightarrow[x\rightarrow 0^+]{}2=f\left(0\right)\) donc \(f\) est aussi continue à droite en \(0\). En résumé, \(f\) est continue en \(0\).

  2. \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}^*\) par opérations sur les fonctions dérivables. Si \(x<0\) alors \(f'\left(x\right)=-e^{-x}\) et si \(x>0\), \(f'\left(x\right)=\ln x+1\). On vérifie facilement que \(f\) est dérivable à gauche en \(0\). Par contre, comme \(f'\left(x\right)=\ln x+1\xrightarrow[x\rightarrow 0^+]{}-\infty\), \(f\) n’est pas dérivable à droite en \(0\).


Exercice 552 **

18 janvier 2021 15:18 — Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron

Soient deux réels \(a\) et \(x_0>0\). On définit \[f:\left\{ \begin{array}{ccl} ]0,+\infty[ & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \begin{cases} a\sqrt{x} & \textrm{ si } x<x_0 \\ x^2+1 & \textrm{ si } x\geqslant x_0 \end{cases} \end{array} \right.\]

Trouver les valeurs de \(a\) et \(x_0\) pour lesquelles \(f\) est dérivable sur \(]0,+\infty[\).


[ID: 820] [Date de publication: 18 janvier 2021 15:18] [Catégorie(s): Dérivabilité ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron ]
Solution

Exercice 552
Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron le 18 janvier 2021 15:18

Par opérations sur les fonctions dérivables, la fonction \(f\) est dérivable sur \(]0,x_0[\) et sur \(]x_0,+\infty[\). Comme \(\forall x>x_0\), \(f'(x)=2x \xrightarrow[x \rightarrow x_0]{}2x_0\), la fonction \(f\) est dérivable à droite au point \(x_0\) d’après le théorème du prolongement dérivable et \(f'_d(x_0)=2x_0\).

Comme \(\forall x<x_0\), \(f'(x)=\dfrac{a}{2\sqrt{x}}\xrightarrow[x \rightarrow x_0]{} \dfrac{a}{2\sqrt{x_0}}\), il vient que \(f\) est dérivable à gauche en \(x_0\) et \(f'_g(x_0)=\dfrac{a}{2\sqrt{x_0}}\).

La fonction \(f\) est dérivable en \(x_0\) si et seulement si \(f'_g(x_0)=f'_d(x_0)\), c’est-à-dire si et seulement si \(\boxed{a=4x_0\sqrt{x_0}}\).


Dérivée symétrique en \(0\) **

18 janvier 2021 15:18 — Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron

Soit une fonction \(f:\mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}\). On dit que cette fonction possède une dérivée symétrique en \(0\) lorsque \[\lim_{h\rightarrow 0} \dfrac{ f(h)-f(-h)}{2h} \textrm{ existe et est finie.}\]

  1. Si la fonction \(f\) est dérivable en 0, montrer qu’elle admet une dérivée symétrique en \(0\) et la calculer.

  2. Si la fonction \(f\) admet une dérivée symétrique en \(0\), est-elle dérivable en 0 ?


[ID: 822] [Date de publication: 18 janvier 2021 15:18] [Catégorie(s): Dérivabilité ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron ]
Solution

Dérivée symétrique en \(0\)
Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron le 18 janvier 2021 15:18

  1. Calculons le développement limité à l’ordre \(1\) de \(f\) en \(0\) : \[f(x)=f(0)+xf'(0)+x\varepsilon(x)\] avec \(\varepsilon(x) \xrightarrow[x \rightarrow 0]{} 0\). Soit \(h > 0\). En écrivant cette égalité pour \(x = h\) et pour \(x = -h\), en soustrayant et en divisant par \(2h\), on trouve que \[\dfrac{ f(h)-f(-h)}{2h}= f'(0)+ \dfrac{\varepsilon(h)+\varepsilon(-h)}{2}\xrightarrow[h \rightarrow 0]{} f'(0)\] Donc la fonction \(f\) admet une dérivée symétrique en \(0\) qui vaut \(f'(0)\).

  2. La réciproque est fausse comme on le voit si \(f(x)=\left| x \right|\) : \(\forall h\neq 0\), \(\dfrac{f(h)-f(-h)}{2h}=0\) donc \(f\) admet une dérivée symétrique en \(0\) mais n’est pas dérivable en \(0\) car \(f'_g(0)=-1\) et \(f'_d(0)=1\).


Exercice 750 **

18 janvier 2021 15:18 — Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron

Soit une fonction \(f:[0,+\infty [\longrightarrow \mathbb{R}\) dérivable sur l’intervalle \([0, +\infty[\) telle que \(f(0)=0\), \(f\geqslant 0\) et \[\forall x\geqslant 0, f'(x)\leqslant af(x) \quad(a>0)\] Montrer que la fonction \(f\) est nulle.


[ID: 824] [Date de publication: 18 janvier 2021 15:18] [Catégorie(s): Dérivabilité ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron ]
Solution

Exercice 750
Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron le 18 janvier 2021 15:18

Introduisons la fonction auxiliaire \[g:\left\{ \begin{array}{ccl} [0, +\infty[ & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & e^{-ax}f(x) \end{array} \right.\] La fonction \(g\) est dérivable sur l’intervalle \([0, +\infty[\) comme produit de fonctions dérivables et \(\forall x\geqslant 0\), \(g'(x)=e^{-ax}\bigl(f'(x)-af(x)\bigr)\leqslant 0\). Donc la fonction \(g\) est décroissante sur l’intervalle \([0, +\infty[\) et on a \(\forall x\geqslant 0\), \(g(x)\leqslant g(0)\). Mais alors, si \(x \in [0, +\infty[\), \(f(x)=e^{ax}g(x) \leqslant e^{ax}g(0)= e^{ax}f(0)= 0\). Comme la fonction \(f\) est positive, c’est la fonction nulle.


Exercice 1021 **

18 janvier 2021 15:18 — Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron

Soit \(x_0\in\mathbb{R}\) et \(f:\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\) une application continue en \(x_0\neq 0\) et telle que la fonction \(x\mapsto xf(x)\) soit dérivable en \(x_0\). Montrer que \(f\) est dérivable en \(x_0\).


[ID: 826] [Date de publication: 18 janvier 2021 15:18] [Catégorie(s): Dérivabilité ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron ]
Solution

Exercice 1021
Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron le 18 janvier 2021 15:18

Soit \(x\in\mathbb{R}\setminus\left\{x_0\right\}\). On écrit que : \[\dfrac{ xf(x)-x_0f(x_0)}{x-x_0}= \dfrac{ x[f(x)-f(x_0)]+f(x_0)[x-x_0]}{x-x_0}= x\dfrac{ f(x)-f(x_0)}{x-x_0}+f(x_0)\] d’où l’on tire: \[\dfrac{ f(x)-f(x_0)}{x-x_0}= \dfrac{1}{x} \left( \dfrac{xf(x)-x_0f(x_0)}{x-x_0}-f(x_0) \right)\] On passe ensuite à la limite dans cette relation lorsque \(x\rightarrow x_0\), et on trouve, en utilisant que \(x\mapsto xf(x)\) est dérivable en \(x_0\) et que \(f\) est continue en \(x_0\), que \(f\) est dérivable en \(x_0\) avec \[\boxed{f'(x_0)= \dfrac{1}{x_0}( (xf)'(x_0)-f(x_0))}\]


Exercice 473 **

18 janvier 2021 15:18 — Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron

Soit \(f:\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\) une fonction dérivable et telle que \(xf'(x) \xrightarrow[x \rightarrow +\infty]{} 1\). Montrer que \(f(x) \xrightarrow[x \rightarrow +\infty]{} +\infty\).


[ID: 828] [Date de publication: 18 janvier 2021 15:18] [Catégorie(s): Dérivabilité ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron ]
Solution

Exercice 473
Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron le 18 janvier 2021 15:18

Soit \(0<\varepsilon<1\). Comme \(xf'(x) \xrightarrow[x \rightarrow +\infty]{} 1\), il existe \(A\in\mathbb{R}_+^*\) tel que si \(x\geqslant A\) alors \[\dfrac{1-\varepsilon}{x}\leqslant f'\left(x\right) \leqslant \dfrac{1+\varepsilon}{x}.\] Mais alors, pour \(X\geqslant A\) : \[\int_{A}^{X} \dfrac{1-\varepsilon}{x}\,\textrm{d}x\leqslant\int_{A}^{X} f'\left(x\right)\,\textrm{d}x \leqslant \int_{A}^{X} \dfrac{1+\varepsilon}{x}\,\textrm{d}x\] ce qui amène \[\left(1-\varepsilon\right)\left(\ln X-\ln A\right)\leqslant f\left(X\right)-f\left(A\right)\leqslant\left(1+\varepsilon\right)\left(\ln X-\ln A\right).\] On en déduit grâce au théorème des gendarmes que \(f(x) \xrightarrow[x \rightarrow +\infty]{} +\infty\).


Exercice 422 **

18 janvier 2021 15:18 — Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron

Soit \[f:\left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \begin{cases} x^2 & \textrm{ si } x\in \mathbb{Q}\\ 0 & \textrm{ si } x\not\in \mathbb{Q} \end{cases} \end{array} \right.\] Étudier la dérivabilité de \(f\) en \(x_0\in \mathbb{R}\).


[ID: 830] [Date de publication: 18 janvier 2021 15:18] [Catégorie(s): Dérivabilité ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron ]
Solution

Exercice 422
Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron le 18 janvier 2021 15:18

  1. Si \(x_0=0\), formons le taux d’accroissement \(\Delta\) de \(f\) en \(0\). Pour \(x\neq 0\), on a :\(\Delta(x)=\left(f(x)-0\right)/{x}\) et donc \(\lvert \Delta(x) \rvert \leqslant{x^2}/{x} \leqslant x\). On en déduit que \(\Delta(x)\xrightarrow[x \rightarrow 0]{} 0\) et que \(f\) est dérivable en \(0\). De plus \(f'(0)=0\).

  2. Si \(x_0\neq 0\), montrons que \(f\) n’est pas dérivable en \(x_0\) en montrant que \(f\) n’est pas continue en \(x_0\). Comme \(\mathbb{Q}\) et \(\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}\) sont denses dans \(\mathbb{R}\), il existe une suite de rationnels \((r_n)\) et une suite d’irrationnels \((q_n)\) qui convergent toutes deux vers \(x_0\). Alors, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(f\left(r_n\right)=r_n^2 \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}x_0^2\) et \(f\left(q_n\right)=0 \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{} 0\). Donc \(f\) n’est pas continue en \(x_0\) et à fortiori \(f\) n’est pas dérivable en \(x_0\).


Exercice 559 **

18 janvier 2021 15:18 — Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron

Soit \(f:\mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}\) une fonction dérivable telle que \(f(0)=0\). Déterminer la limite suivante : \[\lim_{x\rightarrow 0} \dfrac{ f(x)f(-x)}{x^2}\]


[ID: 832] [Date de publication: 18 janvier 2021 15:18] [Catégorie(s): Dérivabilité ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron ]
Solution

Exercice 559
Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron le 18 janvier 2021 15:18

Écrivons le développement limité à l’ordre \(1\) de \(f\) en \(0\): \[\forall x\in\mathbb{R},\quad f(x)=xf'(0)+x\varepsilon(x) \textrm{ avec } \varepsilon(x)\xrightarrow[x \rightarrow 0]{} 0\] Alors, pour tout \(x\in\mathbb{R}\) : \[\dfrac{f(x)f(-x)}{x^2}= (f'(0)+\varepsilon(x))(-f'(0)-\varepsilon(-x)) \xrightarrow[x \rightarrow 0]{} -(f'(0))^2\]


Exercice 744 ***

18 janvier 2021 15:18 — Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron

Soit \(f:\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\) dérivable en \(0\) telle que \(f(0)=0\). Trouver la limite de la suite de terme général \[u_n= \sum_{k=0}^n \dbinom{n}{k}f\left( \dfrac{2^k}{3^n} \right)\]

Indication: Utiliser le développement limité à l’ordre \(1\) de \(f\) en \(0\): \(f(x)=xf'(0)+ x\varepsilon(x)\). L’idée est que pour \(x\) petit, \(f(x)\) ressemble à \(xf'(0)\) . La suite se comporte comme \(f'(0) \sum_{k=0}^n {\displaystyle\Big({{\textstyle n}\atop {\textstyle k}}\Big)}\dfrac{2^k}{3^n}= f'(0)\).


[ID: 834] [Date de publication: 18 janvier 2021 15:18] [Catégorie(s): Dérivabilité ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron ]
Solution

Exercice 744
Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron le 18 janvier 2021 15:18

Écrivons le développement limité à l’ordre \(1\) de \(f\) en \(0\): \[f(x)=xf'(0) + x\varepsilon(x) \textrm{ avec } \varepsilon(x)\xrightarrow[x \rightarrow 0]{} 0\] Alors pour tout \(n\in\mathbb{N}\) \[u_n = f'(0)\sum_{k=0}^n \dbinom{n}{k}\dfrac{2^k}{3^n} + \sum_{k=0}^n \dbinom{n}{k}\dfrac{2^k}{3^n}\varepsilon\left(\dfrac{2^k}{3^n}\right) = f'(0) + v_n \textrm{ avec } v_n= \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\dfrac{2^k}{3^n}\varepsilon\left(\dfrac{2^k}{3^n}\right)\] car d’après la formule du binôme \(\sum_{k=0}^n \dbinom{n}{k}2^k =\left(1+2\right)^n=3^n\).

Montrons que \(v_n\xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}0\). Soit \(\mu >0\). Il existe \(\alpha>0\) tel que \(\forall x\in [-\alpha,\alpha]\), \(\left| \varepsilon(x) \right| \leqslant\mu\). Comme la suite \(\dfrac{2^n}{3^n} \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}0\), il existe \(N\in \mathbb N\) tel que \(\forall n\geqslant N\), \(\dfrac{2^n}{3^n}\leqslant\alpha\). Soit alors \(n\geqslant N\). Puisque \(\forall k\in [0,n]\), \(0\leqslant\dfrac{2^k}{3^n}\leqslant \dfrac{2^n}{3^n}\leqslant\alpha\), il vient que \[\forall k\in \llbracket 0,n\rrbracket, \left| \varepsilon\left( \dfrac{2^k}{3^n}\right) \right| \leqslant\mu\] Mais alors \[\left| v_n \right| \leqslant\sum_{k=0}^n \dbinom{n}{k} \dfrac{2^k}{3^n}\left| \varepsilon\left(\dfrac{2^k}{3^n}\right) \right| \leqslant\mu \sum_{k=0}^n \dbinom{n}{k} \dfrac{2^k}{3^n}= \mu\] Par conséquent, \(\boxed{ u_n\xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}f'(0) }\).


Exercice 838 ***

18 janvier 2021 15:18 — Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron

On considère la suite \((s_n)\) définie pour tout \(n\geqslant 1\) par \[s_n = \sum_{k=n}^{2n} \dfrac{1}{k}\]

  1. Montrez que la suite \((s_n)\) est convergente.

  2. On considère une fonction \(f : [0, 1] \mapsto \mathbb{R}\) dérivable au point \(0\) et telle que \(f\left(0\right)=0\). On définit pour tout \(n\geqslant 1\) la suite \((S_n)\) par \[S_n = \sum_{k=n}^{2n} f\left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle k}\right)\] Montrer que la suite \((s_n)\) converge.

  3. Étudiez les suites de terme général \[u_n = \sum_{k=n}^{2n} \ln\left( 1 + {\scriptstyle 1\over\scriptstyle k}\right) \textrm{ et } v_n = \sum_{k=0}^n \sin\left(\dfrac{1}{k+n}\right)\]


[ID: 836] [Date de publication: 18 janvier 2021 15:18] [Catégorie(s): Dérivabilité ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron ]
Solution

Exercice 838
Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron le 18 janvier 2021 15:18

  1. Soit \(n\in\mathbb{N}^*\). Comme \(s_{n+1}-s_n={\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2n+2}+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2n+1}-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}=-{\scriptstyle 3n+2\over\scriptstyle 2n\left(n+1\right)\left( 2n+1\right)}<0\) donc \(\left(s_n\right)\) est décroissante. Elle est positive donc minorée par \(0\). D’après le théorème de la limite monotone, \(\left(s_n\right)\) est donc convergente.

  2. Posons \(\lambda=f'\left(0\right)\). Le développement limité de \(f\) en \(0\) à l’odre \(1\) est donné, pour tout \(x\in\left[0,1\right]\), par : \(f\left(x\right)=\lambda x + x\varepsilon\left(x\right)\) où \(\varepsilon\) est une fonction définie sur un voisinage à droite de \(0\) telle que \(\lim_{0^+}\varepsilon=0\). On a donc pour tout \(k\in\mathbb{N}^*\) : \(f\left(1/k\right)=\lambda/k+\varepsilon_k/k\) où \(\varepsilon_k=\varepsilon\left(1/k\right)\). Remarquons que \(\varepsilon_k\xrightarrow[k\rightarrow +\infty]{}0\). Il vient alors : \[S_n=\sum_{k=n}^{2n} f\left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle k}\right) = \lambda s_n+ \sum_{k=n}^{2n}\dfrac{\varepsilon_k}{k}.\] Soit \(\varepsilon>0\). Il existe un rang \(N\) tel que si \(n\geqslant N\) alors \(\left|\varepsilon_n\right|\leqslant\varepsilon\) Pour \(n\geqslant N\), on a donc : \[\left(\lambda-\varepsilon\right) s_n \leqslant S_n \leqslant\left(\lambda+\varepsilon\right) s_n.\] Si \(\lambda\neq 0\), on en déduit que \(S_n\underset{n\rightarrow +\infty}{\sim}\lambda s_n\) et donc que \(S_n\) converge vers \(\lambda l\) où \(l=\lim s_n\). Si \(\lambda = 0\) alors il vient que \(S_n =\underset{n \rightarrow +\infty}{o}\left(s_n\right)\) et comme \(\left(s_n\right)\) converge il en est de même de \(\left(S_n\right)\).

  3. Par application du résultat précédent, il est clair que \(\left(u_n\right)\) est convergente. Par ailleurs, pour tout \(n\in\mathbb{N}^*\), \(v_n=\sum_{k=0}^n \sin\left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle k+n}\right)=\sum_{k=n}^{2n}\sin\left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle k}\right)\) et donc de la même façon, \(\left(v_n\right)\) est convergente.


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