Développements asymptotiques

Exercices du dossier Développements asymptotiques

Exercice 718 *

18 janvier 2021 14:19 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Considérons la fonction définie par l’intégrale \[f(x)=\int_x^{x^2} \dfrac{dt}{\sqrt{1+t^4}}\]

  1. Montrer que \(f\) est définie et de classe \(\mathcal{C}^{\infty}\) sur \(\mathbb{R}\).

  2. Déterminer le \(DL(0,10)\) de la fonction \(f\).

  3. Déterminer un développement asymptotique de la fonction \(f\) au voisinage de \(+\infty\) à la précision \(1 / x^{10}\).



[ID: 778] [Date de publication: 18 janvier 2021 14:19] [Catégorie(s): Développements asymptotiques ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 718
Par emmanuel le 18 janvier 2021 14:19
  1. La fonction \(g:t\mapsto 1/\sqrt{1+t^4}\) est définie et continue sur \(R\). D’après le théorème fondamental, elle admet une primitive \(G\) sur \(\mathbb{R}\). De plus \(G\) est de classe \(\mathcal{C}^{\infty}\) sur \(\mathbb{R}\) et pour tout \(x\in\mathbb{R}\) : \[f\left(x\right)=G\left(x^2\right)-G\left(x\right) .\] On en déduit que \(f\) est définie et de classe \(\mathcal{C}^{\infty}\) sur \(\mathbb{R}\) et que pour tout \(x \in \mathbb{R}\), \[f'(x) = \dfrac{2x}{\sqrt{1+x^8}} - \dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}.\]

  2. Il vient alors que fonction \(f'\) est de classe \(\mathcal{C}^{9}\) sur \(\mathbb{R}\) et en primitivant le \(DL(0, 9)\) de \(f'\), on obtient le \(DL(0,10)\) de \(f\) : \[f(x)=-x+x^2+\dfrac{x^5}{10} + \dfrac{x^9}{24} - \dfrac{x^{10}}{10} + o(x^{10}).\]

  3. Posons ensuite \(X=\dfrac{1}{x}\). On a \[f\left(X\right)=\int_{1/x}^{1/x^2} \dfrac{1}{\sqrt{1+t^4}}\,\textrm{d}t = \int_{x}^{x^2} \dfrac{-1}{u^2}\dfrac{u^2}{\sqrt{1+u^4}} \,\textrm{d}u=-f\left(x\right)\] en effectuant le changement de variables \(u=\dfrac{1}{t}\). On trouve qu’au voisinage de \(+\infty\), \[f(x)=\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x^2} - \dfrac{1}{10x^5} - \dfrac{1}{24x^9} + \dfrac{1}{10x^{10}} + o(x^{-10})\]


Exercice 165 *

18 janvier 2021 14:20 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On considère la fonction définie par \[f(x) = \dfrac{(x^2 + 1) e^{1/x}}{\sqrt{x^2 + 2}}\] Étudier la branche infinie lorsque \(x \rightarrow +\infty\).



[ID: 780] [Date de publication: 18 janvier 2021 14:20] [Catégorie(s): Développements asymptotiques ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 165
Par emmanuel le 18 janvier 2021 14:20

On pose \(X=1/x\) et on utilise les DLs usuels en \(0\) : \[\begin{aligned} f(1/X) &=& \dfrac{1}{X}\dfrac{(X^2 + 1) e^{X}}{\sqrt{1 + 2X^2}}\\ &=& \dfrac{X^2+1}{X}\left(1+X+\dfrac{X^2}{2}+\underset{X \rightarrow 0^+}{o}\left(X^2\right)\right)\left(1-X^2+\underset{X \rightarrow 0^+}{o}\left(X^2\right)\right)\\ &=& \dfrac{X^2+1}{X}\left(1+X-1/2X^2+\underset{X \rightarrow 0^+}{o}\left(X^2\right)\right)\\ &=& \dfrac1X + 1 + \dfrac{X}{2}+\underset{X \rightarrow 0^+}{o}\left(X\right) \end{aligned}\] et \(f(x) = x + 1 + \dfrac{1}{2x} + \underset{x \rightarrow +\infty}{o}\left(1/x\right)\)


Exercice 161 **

18 janvier 2021 14:20 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On considère la fonction définie par \[f(x) = \operatorname{arctan} (x^2) \ln\bigl(2 \sqrt{x} + 1\bigr)\] Trouver un développement asymptotique de \(f\) au voisinage de \(+\infty\) à la précision \(1/\sqrt{x}\). En déduire une courbe asymptote simple et la position de la courbe par rapport à son asymptote.



[ID: 782] [Date de publication: 18 janvier 2021 14:20] [Catégorie(s): Développements asymptotiques ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 161
Par emmanuel le 18 janvier 2021 14:20

Posons \(X=1/x\) et utilisons les développements limités usuels en \(0^+\) ainsi que la formule page  : \[\begin{aligned} f\left(X\right)&=&\operatorname{arctan} \left(1/X^2\right)\ln\left(2/\sqrt X +1\right) \\ &=&\left(\pi/2-\operatorname{arctan} X^2\right)\left(\ln 2 + \ln \left(1+\sqrt X/2\right) - \ln \sqrt X\right) \\ &=& \left(\pi/2-X^2+\underset{X \rightarrow 0^+}{o}\left(X^2\right)\right)\left(\ln 2 - {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}\ln X+ {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}X^{1/2}-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 8}X+1/24X^{3/2}-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 64}X^2+\underset{x \rightarrow 0^+}{o}\left(X^2\right) \right)\\ &=& -\dfrac{\pi}{4} \ln X + \dfrac{\pi\ln 2}{2} + \dfrac{\pi}{4} \sqrt{X} + \underset{X \rightarrow 0^+}{o}\left(\sqrt{X}\right)\end{aligned}\] donc \[f(x) = \dfrac{\pi}{4} \ln x + \dfrac{\pi\ln 2}{2} + \dfrac{\pi}{4} \dfrac{1}{\sqrt{x}} + \underset{x \rightarrow +\infty}{o}\left(1/\sqrt{x}\right)\] La courbe d’équation \(y = \dfrac{\pi}{4} \ln x + \dfrac{\pi\ln 2}{2}\) est donc asymptote et la courbe \(C_f\) est située localement au dessus.


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