Applications à l'étude de fonctions

Exercices du dossier Applications à l'étude de fonctions

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Exercice 995
Par emmanuel le 18 janvier 2021 13:50
  1. On a \(e^{x}-\sqrt{1+x} = \left(1+x\right)-\left(1+\dfrac{x}{2}\right) +\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x\right) = \dfrac{x}{2}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x\right)\) et \(\left(x^2+1\right)\left(x+3\right) \underset{x\rightarrow 0}{\sim} 3\). Donc \[\dfrac{e^{x}-\sqrt{1+x}}{\left(x^2+1\right)\left(x+3\right)}\underset{x\rightarrow 0}{\sim}\boxed{\dfrac{x}{6}}.\]

  2. On a : \(\left(\dfrac{\mathop{\mathrm{sh}}x}{x}\right)^{\sin x} = 1+\dfrac{x^3}{6}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right)\) et \(\left(\dfrac{\sin x}{x}\right)^{\mathop{\mathrm{sh}}x} = 1-\dfrac{x^3}{6}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right)\) donc : \[\begin{aligned} \left(\dfrac{\mathop{\mathrm{sh}}x}{x}\right)^{\sin x}-\left(\dfrac{\sin x}{x}\right)^{\mathop{\mathrm{sh}}x}&=& \dfrac{1}{3}x^3+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right)\\ &\underset{x\rightarrow 0}{\sim}&\boxed{\dfrac{1}{3}x^3} \end{aligned}\]

  3. \[\begin{aligned} \dfrac{x^2+\cos x - \mathop{\mathrm{ch}}x}{\sqrt x}&=&\dfrac{-\dfrac{1}{360}x^6 +\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^6\right) }{\sqrt{x}}\\ &\underset{x\rightarrow 0}{\sim} \boxed{-\dfrac{x^{{\scriptstyle 11\over\scriptstyle 2}}}{360}} \end{aligned}\]

  4. \[\begin{aligned} \sqrt x - \sqrt{\sin x}&=&\sqrt x - \sqrt{x-{\scriptstyle x^3\over\scriptstyle 6}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right)}\\ &=&\sqrt{x}\left(1- \sqrt{1-{\scriptstyle x^2\over\scriptstyle 6}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^2\right)} \right)\\ &=&\sqrt{x}\left(\dfrac{1}{12}x^2+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^2\right)\right)\\ &\underset{x\rightarrow 0}{\sim}&\boxed{\dfrac{x^{{\scriptstyle 5\over\scriptstyle 2}}}{12}} \end{aligned}\] car \(\dfrac{\sin x}{x}\xrightarrow[x\rightarrow 0]{}1\).

  5. On a : \(\mathop{\mathrm{sh}}\left(\sin x\right)=x-\dfrac{x^5}{15}+\dfrac{x^7}{90}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^7\right)\) et \(\sin\left(\mathop{\mathrm{sh}}x\right)=x-\dfrac{x^5}{15}-\dfrac{x^7}{90}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^7\right)\) donc : \[\begin{aligned} \mathop{\mathrm{sh}}\left(\sin x\right)-\sin\left(\mathop{\mathrm{sh}}x\right)&=& \dfrac{x^7}{45}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^7\right)\\ &\underset{x\rightarrow 0}{\sim} \boxed{\dfrac{x^7}{45}} \end{aligned}\]

  6. On a : \(\operatorname{arctan} x = x-\dfrac{x^3}{3}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right)\) et donc : \(\operatorname{arctan} 2x= 2x-\dfrac{8x^3}{3}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right)\) ce qui amène : \[\begin{aligned} \operatorname{arctan} \left(2x\right)-2\operatorname{arctan} \left(x\right)&=& -2x^3+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right)\\ &\underset{x\rightarrow 0}{\sim}&\boxed{-2x^3} \end{aligned}\]

  7. On a \(\operatorname{arctan} \left(\sin\left(x\right)\right) = x-\dfrac{1}{2}x^3+\dfrac{3}{8}x^5-\dfrac{83}{240}x^7+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^7\right)\) et \(\sin\left(\operatorname{arctan} \left(x\right)\right) = x-\dfrac{1}{2}x^3+\dfrac{3}{8}x^5-\dfrac{5}{16}x^7+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^7\right)\) donc :

    \[\begin{aligned} \operatorname{arctan} \sin x - \sin \operatorname{arctan} x&=& -\dfrac{x^7}{30}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^7\right)\\ &\underset{x\rightarrow 0}{\sim} \boxed{-\dfrac{x^7}{30}} \end{aligned}\]

  8. Posons \(X=\dfrac{1}{x}\) \[\begin{aligned} e^{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}}-e^{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x+1}}&=&e^{X}-e^{{\scriptstyle X\over\scriptstyle 1+X}}\\ &=& e^{X}-e^{X\left(1+X+\underset{X \rightarrow 0}{o}\left(X\right)\right)}\\ &=&e^{X}-e^{X+X^2+\underset{X \rightarrow 0}{o}\left(X^2\right)}\\ &=& 1+X+\dfrac{X^2}{2}-\left(1+X-\dfrac{X^2}{2}\right)+\underset{X \rightarrow 0}{o}\left(X^2\right)\\ &=& X^2+\underset{X \rightarrow 0}{o}\left(X^2\right)\\ &\underset{X\rightarrow 0}{\sim}&X^2\\ &\underset{x\rightarrow +\infty}{\sim}&\boxed{\dfrac{1}{x^2}} \end{aligned}\]


Exercice 407 *

18 janvier 2021 13:50 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Étudier la position du graphe de l’application \(f: x\mapsto \ln(1+x+x^2)\) par rapport à sa tangente en \(0\) et \(1\).



[ID: 752] [Date de publication: 18 janvier 2021 13:50] [Catégorie(s): Applications à l'étude de fonctions ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 407
Par emmanuel le 18 janvier 2021 13:50

On écrit le DL de \(f\) à l’ordre \(2\) en \(0\) et en \(1\) : \[\ln(1+x+x^2) = x+1/2x^2+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^2\right)\quad \textrm{ et} \quad\ln(1+x+x^2) =\ln(3)+\left(x-1\right)-1/6(x-1)^2+\underset{x \rightarrow 1}{o}\left(\left(x-1\right)^2\right)\] Une équation de la tangente au graphe de \(f\) est :

  • en \(0\): \(y=x\)

  • en \(1\) : \(y=x-1+\ln 3\)

Donc : \[f\left(x\right)-x= 1/2x^2+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^2\right) \underset{x\rightarrow 0}{\sim}1/2x^2\] et le graphe de \(f\) est au dessus de sa tangente au voisinage de \(0\). De même : \[f\left(x\right)-((x-1)+\ln 3)=-1/6(x-1)^2+\underset{x \rightarrow 1}{o}\left(\left(x-1\right)^2\right)\underset{x\rightarrow 1}{\sim}-1/6(x-1)^2\] donc le graphe de \(f\) est en dessous de sa tangente au voisinage de \(1\).


Accordéon
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Exercice 822
Par emmanuel le 18 janvier 2021 13:50
  1. On a \(e^{x}-\sqrt{1+x} = \left(1+x\right)-\left(1+\dfrac{x}{2}\right) +\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x\right) = \dfrac{x}{2}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x\right)\) et \(\left(x^2+1\right)\left(x+3\right) \underset{x\rightarrow 0}{\sim} 3\). Donc \[\dfrac{e^{x}-\sqrt{1+x}}{\left(x^2+1\right)\left(x+3\right)}\underset{x\rightarrow 0}{\sim}\boxed{\dfrac{x}{6}}.\]

  2. On a : \(\left(\dfrac{\mathop{\mathrm{sh}}x}{x}\right)^{\sin x} = 1+\dfrac{x^3}{6}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right)\) et \(\left(\dfrac{\sin x}{x}\right)^{\mathop{\mathrm{sh}}x} = 1-\dfrac{x^3}{6}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right)\) donc : \[\begin{aligned} \left(\dfrac{\mathop{\mathrm{sh}}x}{x}\right)^{\sin x}-\left(\dfrac{\sin x}{x}\right)^{\mathop{\mathrm{sh}}x}&=& \dfrac{1}{3}x^3+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right)\\ &\underset{x\rightarrow 0}{\sim}&\boxed{\dfrac{1}{3}x^3} \end{aligned}\]

  3. \[\begin{aligned} \dfrac{x^2+\cos x - \mathop{\mathrm{ch}}x}{\sqrt x}&=&\dfrac{-\dfrac{1}{360}x^6 +\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^6\right) }{\sqrt{x}}\\ &\underset{x\rightarrow 0}{\sim} \boxed{-\dfrac{x^{{\scriptstyle 11\over\scriptstyle 2}}}{360}} \end{aligned}\]

  4. \[\begin{aligned} \sqrt x - \sqrt{\sin x}&=&\sqrt x - \sqrt{x-{\scriptstyle x^3\over\scriptstyle 6}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right)}\\ &=&\sqrt{x}\left(1- \sqrt{1-{\scriptstyle x^2\over\scriptstyle 6}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^2\right)} \right)\\ &=&\sqrt{x}\left(\dfrac{1}{12}x^2+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^2\right)\right)\\ &\underset{x\rightarrow 0}{\sim}&\boxed{\dfrac{x^{{\scriptstyle 5\over\scriptstyle 2}}}{12}} \end{aligned}\] car \(\dfrac{\sin x}{x}\xrightarrow[x\rightarrow 0]{}1\).

  5. On a : \(\mathop{\mathrm{sh}}\left(\sin x\right)=x-\dfrac{x^5}{15}+\dfrac{x^7}{90}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^7\right)\) et \(\sin\left(\mathop{\mathrm{sh}}x\right)=x-\dfrac{x^5}{15}-\dfrac{x^7}{90}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^7\right)\) donc : \[\begin{aligned} \mathop{\mathrm{sh}}\left(\sin x\right)-\sin\left(\mathop{\mathrm{sh}}x\right)&=& \dfrac{x^7}{45}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^7\right)\\ &\underset{x\rightarrow 0}{\sim} \boxed{\dfrac{x^7}{45}} \end{aligned}\]

  6. On a : \(\operatorname{arctan} x = x-\dfrac{x^3}{3}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right)\) et donc : \(\operatorname{arctan} 2x= 2x-\dfrac{8x^3}{3}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right)\) ce qui amène : \[\begin{aligned} \operatorname{arctan} \left(2x\right)-2\operatorname{arctan} \left(x\right)&=& -2x^3+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right)\\ &\underset{x\rightarrow 0}{\sim}&\boxed{-2x^3} \end{aligned}\]

  7. On a \(\operatorname{arctan} \left(\sin\left(x\right)\right) = x-\dfrac{1}{2}x^3+\dfrac{3}{8}x^5-\dfrac{83}{240}x^7+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^7\right)\) et \(\sin\left(\operatorname{arctan} \left(x\right)\right) = x-\dfrac{1}{2}x^3+\dfrac{3}{8}x^5-\dfrac{5}{16}x^7+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^7\right)\) donc :

    \[\begin{aligned} \operatorname{arctan} \sin x - \sin \operatorname{arctan} x&=& -\dfrac{x^7}{30}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^7\right)\\ &\underset{x\rightarrow 0}{\sim} \boxed{-\dfrac{x^7}{30}} \end{aligned}\]

  8. Posons \(X=\dfrac{1}{x}\) \[\begin{aligned} e^{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}}-e^{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x+1}}&=&e^{X}-e^{{\scriptstyle X\over\scriptstyle 1+X}}\\ &=& e^{X}-e^{X\left(1+X+\underset{X \rightarrow 0}{o}\left(X\right)\right)}\\ &=&e^{X}-e^{X+X^2+\underset{X \rightarrow 0}{o}\left(X^2\right)}\\ &=& 1+X+\dfrac{X^2}{2}-\left(1+X-\dfrac{X^2}{2}\right)+\underset{X \rightarrow 0}{o}\left(X^2\right)\\ &=& X^2+\underset{X \rightarrow 0}{o}\left(X^2\right)\\ &\underset{X\rightarrow 0}{\sim}&X^2\\ &\underset{x\rightarrow +\infty}{\sim}&\boxed{\dfrac{1}{x^2}} \end{aligned}\]


Exercice 707 *

18 janvier 2021 13:50 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On considère la fonction \(f:x\mapsto \dfrac{x}{e^x-1}\).

  1. Montrer que la fonction \(f\) peut être prolongée en une fonction de classe \(\mathcal{C}^{1}\) sur \(\mathbb{R}\).

  2. Déterminer une équation de la tangente au graphe de \(f\) en \(0\) puis étudier la position de la courbe de \(f\) par rapport cette tangente.



[ID: 756] [Date de publication: 18 janvier 2021 13:50] [Catégorie(s): Applications à l'étude de fonctions ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 707
Par emmanuel le 18 janvier 2021 13:50
  1. \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^{1}\) sur \(\mathbb{R}^*\) par opération sur les fonctions de classe \(\mathcal{C}^{1}\) sur \(\mathbb{R}^*\). Montrons que \(f\) est prolongeable en \(0\) en une fonction de classe \(\mathcal{C}^{1}\) en \(0\). Pour ce faire, calculons le développement limité de \(f\) en \(0\). Dans l’objectif d’étudier la position du graphe de \(f\) relativement à sa tangente en \(0\), poussons ce développement limité à l’ordre \(2\) : \[\begin{aligned} \dfrac{x}{e^x-1}&=&\dfrac{x}{ x+\dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{1}{6}x^3 + \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right)}\\ &=&\dfrac{1}{ 1+\dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{6}x^2 + \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^2\right) }\\ &=& \boxed{1-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{12}x^2+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^2\right)} \end{aligned}\] On peut donc prolonger \(f\) par continuité et dérivabilité en \(0\) en posant \(f\left(0\right)=1\) et \(f'\left(0\right)=\dfrac{1}{2}\).

    Il peut être utile de le vérifier : \[\begin{aligned} \dfrac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}&=&\dfrac{-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{12}x^2+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^2\right)}{x}\\ &=& -\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{12}x+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x\right)\\ &\xrightarrow[x\rightarrow 0]{}&\boxed{-\dfrac{1}{2}}\end{aligned}\] donc \(f\) est dérivable en \(0\) et \(\boxed{f'\left(0\right)=\dfrac{1}{2}}\).

    Reste à montrer que \(f'\) est continue en \(0\). On a, pour tout \(x\in\mathbb{R}^*\), \[\begin{aligned} f'\left(x\right)&=&- \dfrac{\left(x-1\right)e^x +1}{\left(e^x-1\right)^2}\\ &\underset{x\rightarrow 0}{\sim}&- \dfrac{\left(x-1\right)e^x +1}{x^2}\\ &\underset{x\rightarrow 0}{\sim}& -\dfrac{ \dfrac{1}{2}x^2 +\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^2\right) }{x^2}\\ &\underset{x\rightarrow 0}{\sim}& - \dfrac{1}{2} + \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(1\right)\\ &\xrightarrow[x\rightarrow 0]{}&\boxed{-\dfrac{1}{2}}\end{aligned}\] En résumé, \(f\) est \(\mathcal{C}^{1}\) sur \(\mathbb{R}\).

  2. Une équation de la tangente en \(0\) au graphe de \(f\) est \(\boxed{y= -\dfrac{x}{2}+1}\). De plus : \[\begin{aligned} f\left(x\right)-\left(-\dfrac{x}{2}+1\right)&=&\dfrac{1}{12}x^2+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^2\right)\\ &=&\dfrac{x^2}{12}\left(1+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(1\right)\right)\\ &\underset{x\rightarrow 0}{\sim}&\boxed{\dfrac{x^2}{12}}\end{aligned}\] La quantité \(f\left(x\right)-\left(-\dfrac{x}{2}+1\right)\) est donc positive dans un voisinage de \(0\). On en déduit que le graphe de \(f\) est situé au dessus de sa tangente en \(0\) dans un voisinage de \(0\).


Exercice 960 *

18 janvier 2021 13:50 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On considère la fonction \(f\) donnée pour tout \(x \in ]-{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}, {\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}[- \left\{ 0\right\}\) par \(f (x) = (\cos x)^{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x} }\)

  1. Montrer que \(f\) est prolongeable par continuité en \(0\).

  2. Étudier la dérivabilité du prolongement de \(f\).



[ID: 758] [Date de publication: 18 janvier 2021 13:50] [Catégorie(s): Applications à l'étude de fonctions ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 960
Par emmanuel le 18 janvier 2021 13:50

On a : \[\begin{aligned} (\cos x)^{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x} }&=&e^{{\scriptstyle\ln\left(\cos x\right)\over\scriptstyle x}}\\ &=&e^{{\scriptstyle\ln\left(1-{\scriptstyle x^2\over\scriptstyle 2}+ \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^2\right)\right)\over\scriptstyle x}}\\ &=&e^{{\scriptstyle-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}x^2+ \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^2\right) \over\scriptstyle x}}\\ &=&e^{-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}x+ \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x\right) }\\ &=&\boxed{1-\dfrac{1}{2}x+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x\right)} \end{aligned}\]

  1. On déduit de ce calcul que \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}f\left(x\right)}=1\). On peut alors prolonger \(f\) par continuité en \(0\) en posant \(\boxed{f\left(0\right)=1}\).

  2. L’existence d’un DL à l’ordre 1 équivaut à l’existence de la dérivée (du moins pour la fonction prolongée). Donc \(f\) est dérivable en \(0\) et \(f'\left(0\right)=-\dfrac{1}{2}\).


Exercice 924

18 janvier 2021 13:50 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit la fonction \(f:x\mapsto \dfrac{\operatorname{arctan} x}{(\sin x)^3}-\dfrac {1}{x^2}\).

  1. Donner le domaine de définition de \(f\).

  2. Montrer qu’elle se prolonge par continuité en \(0\) en une fonction dérivable.

  3. Déterminer la tangente en \(0\) au graphe de cette fonction et la position de ce graphe par rapport à celle-ci.



[ID: 760] [Date de publication: 18 janvier 2021 13:50] [Catégorie(s): Applications à l'étude de fonctions ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 924
Par emmanuel le 18 janvier 2021 13:50
  1. \(f\) est définie sur \(\mathbb{R}\setminus\pi\mathbb{Z}\).

  2. Calculons le développement limité de \(f\) à l’ordre \(2\) : \[\begin{aligned} \dfrac{\operatorname{arctan} x}{(\sin x)^3}-\dfrac {1}{x^2}&=&\dfrac{x^2 \operatorname{arctan} x - \sin^3 x }{ x^2\sin^3 x }\\ &=&\dfrac{x^2 \left(x-\dfrac{1}{3}x^3 + \dfrac{1}{5}x^5 + \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^5\right)\right) - \left(x^3-\dfrac{x^5}{2}+\dfrac{13}{120}x^7 +\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^7\right) \right) }{ x^2\left( x^3-\dfrac{x^5}{2} +\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^5\right) \right) }\\ &=& \dfrac{ \dfrac{1}{6}x^5+\dfrac{11}{120}x^7 +\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^7\right) }{ x^5-\dfrac{1}{2}x^7+ \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^7\right)}\\ &=&\dfrac{ \dfrac{1}{6}+\dfrac{11}{120}x^2 +\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^2\right) }{ 1-\dfrac{1}{2}x^2+ \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^2\right)}\\ &=&\left(\dfrac{1}{6}+\dfrac{11}{120}x^2 +\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^2\right)\right)\left(1+\dfrac{1}{2}x^2+ \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^2\right)\right)\\ &=& \boxed{\dfrac{1}{6}+\dfrac{7}{40}x^2+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^2\right)} \end{aligned}\] L’existence du DL en \(0\) à l’ordre \(1\) assure que l’ on peut prolonger \(f\) par continuité en \(0\) en posant \(f\left(0\right)=\dfrac{1}{6}\) et par dérivabilité en posant \(f'\left(0\right)=0\).

  3. Une équation de la tangente en \(0\) est \(\boxed{y=\dfrac{1}{6}}\). De plus : \[\begin{aligned} f\left(x\right)-\dfrac{1}{6}&=& \dfrac{7}{40}x^2+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^2\right)\\ &=& \dfrac{7}{40}x^2\left(1+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(1\right)\right)\\ &\underset{x\rightarrow 0}{\sim}& \boxed{\dfrac{7}{40}x^2} \end{aligned}\] donc la quantité \(f\left(x\right)-\dfrac{1}{6}\) est positive dans un voisinage de \(0\) et on en déduit que le graphe de \(f\) est au dessus de sa tangente en \(0\) dans un voisinage de \(0\).


Exercice 188 **

18 janvier 2021 13:50 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Faire l’étude locale en \(0\) de la fonction définie par : \[f(x)=\left( \dfrac{2}{\sin^2 x }+\dfrac{1}{\ln(\cos x)} \right)\]



[ID: 762] [Date de publication: 18 janvier 2021 13:50] [Catégorie(s): Applications à l'étude de fonctions ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 188
Par emmanuel le 18 janvier 2021 13:50

En effectuant un \(DL(0, n)\) de \(\sin\), on trouvera : \[\dfrac{2}{\sin^2 x} = \dfrac{1}{x^2(\dots + o(x^{n-2}))}\] et de même avec un \(DL(0, n)\) de \(\cos x\), on trouvera : \[\dfrac{1}{\ln(\cos x)} = \dfrac{1}{x^2(\dots + o(x^{n-2}))}\] et finalement, on aura à la fin : \[f(x) = \dots + o(x^{n-4})\] Pour faire l’étude locale complète en \(0\), il nous faut un terme significatif qui tend vers \(0\), et donc \(n-4 \geqslant 1\), donc \(n \geqslant 5\). Faisons donc nos développements limités à l’ordre \(5\). On trouve après calculs que \[f(x) = 1 + {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 6}x^2 + o(x^2)\] Donc \(f\) se prolonge en une fonction \(\widetilde{f}\) dérivable en \(0\), avec \(\widetilde{f}(0) = 1\), \(\widetilde{f}'(0) = 0\) et localement la courbe représentative de \(\widetilde{f}\) est située au dessus de sa tangente en \(0\) d’équation \(y = 1\).


Exercice 695 **

18 janvier 2021 13:50 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Étudier le prolongement en \(0\) de la fonction \[f(x)=\dfrac{1-\cos x}{\tan^2x}\]



[ID: 764] [Date de publication: 18 janvier 2021 13:50] [Catégorie(s): Applications à l'étude de fonctions ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 695
Par emmanuel le 18 janvier 2021 13:50

Effectuons un \(DL(0,2)\) de \(f(x)\): \[f(x)=\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{8}x^2 +o(x^2)\] Donc \(f(x)\) se prolonge par continuité en \(0\) en une fonction \(\widetilde{f}\) dérivable en \(0\), avec \(\widetilde{f}(0)=\dfrac{1}{2}\), \(\widetilde{f}'(0) = 0\). Localement, la courbe est située en dessous de sa tangente en \(0\).


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