Déterminer un équivalent des fonctions suivantes au voisinage du point indiqué :
\(f\left(x\right)=\dfrac{e^{x}-\sqrt{1+x}}{\left(x^2+1\right)\left(x+3\right)}\) en \(x=0\).
\(f\left(x\right)=\left(\dfrac{\mathop{\mathrm{sh}}x}{x}\right)^{\sin x}-\left(\dfrac{\sin x}{x}\right)^{\mathop{\mathrm{sh}}x}\) en \(x=0\).
\(f\left(x\right)=\dfrac{x^2+\cos x - \mathop{\mathrm{ch}}x}{\sqrt x}\) en \(x=0\).
\(f\left(x\right)=\sqrt x - \sqrt{\sin x}\) en \(x=0^+\).
\(f\left(x\right)=\mathop{\mathrm{sh}}\left(\sin x\right)-\sin\left(\mathop{\mathrm{sh}}x\right)\) en \(x=0\).
\(f\left(x\right)=\operatorname{arctan} \left(2x\right)-2\operatorname{arctan} \left(x\right)\) en \(x=0\).
\(f\left(x\right)= \operatorname{arctan} \sin x - \sin \operatorname{arctan} x\) en \(x=0\).
\(f\left(x\right)= e^{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}}-e^{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x+1}}\) en \(x=+\infty\).
On a \(e^{x}-\sqrt{1+x} = \left(1+x\right)-\left(1+\dfrac{x}{2}\right) +\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x\right) = \dfrac{x}{2}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x\right)\) et \(\left(x^2+1\right)\left(x+3\right) \underset{x\rightarrow 0}{\sim} 3\). Donc \[\dfrac{e^{x}-\sqrt{1+x}}{\left(x^2+1\right)\left(x+3\right)}\underset{x\rightarrow 0}{\sim}\boxed{\dfrac{x}{6}}.\]
On a : \(\left(\dfrac{\mathop{\mathrm{sh}}x}{x}\right)^{\sin x} = 1+\dfrac{x^3}{6}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right)\) et \(\left(\dfrac{\sin x}{x}\right)^{\mathop{\mathrm{sh}}x} = 1-\dfrac{x^3}{6}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right)\) donc : \[\begin{aligned} \left(\dfrac{\mathop{\mathrm{sh}}x}{x}\right)^{\sin x}-\left(\dfrac{\sin x}{x}\right)^{\mathop{\mathrm{sh}}x}&=& \dfrac{1}{3}x^3+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right)\\ &\underset{x\rightarrow 0}{\sim}&\boxed{\dfrac{1}{3}x^3} \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} \dfrac{x^2+\cos x - \mathop{\mathrm{ch}}x}{\sqrt x}&=&\dfrac{-\dfrac{1}{360}x^6 +\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^6\right) }{\sqrt{x}}\\ &\underset{x\rightarrow 0}{\sim} \boxed{-\dfrac{x^{{\scriptstyle 11\over\scriptstyle 2}}}{360}} \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} \sqrt x - \sqrt{\sin x}&=&\sqrt x - \sqrt{x-{\scriptstyle x^3\over\scriptstyle 6}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right)}\\ &=&\sqrt{x}\left(1- \sqrt{1-{\scriptstyle x^2\over\scriptstyle 6}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^2\right)} \right)\\ &=&\sqrt{x}\left(\dfrac{1}{12}x^2+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^2\right)\right)\\ &\underset{x\rightarrow 0}{\sim}&\boxed{\dfrac{x^{{\scriptstyle 5\over\scriptstyle 2}}}{12}} \end{aligned}\] car \(\dfrac{\sin x}{x}\xrightarrow[x\rightarrow 0]{}1\).
On a : \(\mathop{\mathrm{sh}}\left(\sin x\right)=x-\dfrac{x^5}{15}+\dfrac{x^7}{90}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^7\right)\) et \(\sin\left(\mathop{\mathrm{sh}}x\right)=x-\dfrac{x^5}{15}-\dfrac{x^7}{90}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^7\right)\) donc : \[\begin{aligned} \mathop{\mathrm{sh}}\left(\sin x\right)-\sin\left(\mathop{\mathrm{sh}}x\right)&=& \dfrac{x^7}{45}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^7\right)\\ &\underset{x\rightarrow 0}{\sim} \boxed{\dfrac{x^7}{45}} \end{aligned}\]
On a : \(\operatorname{arctan} x = x-\dfrac{x^3}{3}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right)\) et donc : \(\operatorname{arctan} 2x= 2x-\dfrac{8x^3}{3}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right)\) ce qui amène : \[\begin{aligned} \operatorname{arctan} \left(2x\right)-2\operatorname{arctan} \left(x\right)&=& -2x^3+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right)\\ &\underset{x\rightarrow 0}{\sim}&\boxed{-2x^3} \end{aligned}\]
On a \(\operatorname{arctan} \left(\sin\left(x\right)\right) = x-\dfrac{1}{2}x^3+\dfrac{3}{8}x^5-\dfrac{83}{240}x^7+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^7\right)\) et \(\sin\left(\operatorname{arctan} \left(x\right)\right) = x-\dfrac{1}{2}x^3+\dfrac{3}{8}x^5-\dfrac{5}{16}x^7+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^7\right)\) donc :
\[\begin{aligned} \operatorname{arctan} \sin x - \sin \operatorname{arctan} x&=& -\dfrac{x^7}{30}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^7\right)\\ &\underset{x\rightarrow 0}{\sim} \boxed{-\dfrac{x^7}{30}} \end{aligned}\]
Posons \(X=\dfrac{1}{x}\) \[\begin{aligned} e^{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}}-e^{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x+1}}&=&e^{X}-e^{{\scriptstyle X\over\scriptstyle 1+X}}\\ &=& e^{X}-e^{X\left(1+X+\underset{X \rightarrow 0}{o}\left(X\right)\right)}\\ &=&e^{X}-e^{X+X^2+\underset{X \rightarrow 0}{o}\left(X^2\right)}\\ &=& 1+X+\dfrac{X^2}{2}-\left(1+X-\dfrac{X^2}{2}\right)+\underset{X \rightarrow 0}{o}\left(X^2\right)\\ &=& X^2+\underset{X \rightarrow 0}{o}\left(X^2\right)\\ &\underset{X\rightarrow 0}{\sim}&X^2\\ &\underset{x\rightarrow +\infty}{\sim}&\boxed{\dfrac{1}{x^2}} \end{aligned}\]
Étudier la position du graphe de l’application \(f: x\mapsto \ln(1+x+x^2)\) par rapport à sa tangente en \(0\) et \(1\).
On écrit le DL de \(f\) à l’ordre \(2\) en \(0\) et en \(1\) : \[\ln(1+x+x^2) = x+1/2x^2+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^2\right)\quad \textrm{ et} \quad\ln(1+x+x^2) =\ln(3)+\left(x-1\right)-1/6(x-1)^2+\underset{x \rightarrow 1}{o}\left(\left(x-1\right)^2\right)\] Une équation de la tangente au graphe de \(f\) est :
en \(0\): \(y=x\)
en \(1\) : \(y=x-1+\ln 3\)
Donc : \[f\left(x\right)-x= 1/2x^2+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^2\right) \underset{x\rightarrow 0}{\sim}1/2x^2\] et le graphe de \(f\) est au dessus de sa tangente au voisinage de \(0\). De même : \[f\left(x\right)-((x-1)+\ln 3)=-1/6(x-1)^2+\underset{x \rightarrow 1}{o}\left(\left(x-1\right)^2\right)\underset{x\rightarrow 1}{\sim}-1/6(x-1)^2\] donc le graphe de \(f\) est en dessous de sa tangente au voisinage de \(1\).
Déterminer un équivalent des fonctions suivantes au voisinage du point indiqué :
\(f\left(x\right)=\dfrac{e^{x}-\sqrt{1+x}}{\left(x^2+1\right)\left(x+3\right)}\) en \(x=0\).
\(f\left(x\right)=\left(\dfrac{\mathop{\mathrm{sh}}x}{x}\right)^{\sin x}-\left(\dfrac{\sin x}{x}\right)^{\mathop{\mathrm{sh}}x}\) en \(x=0\).
\(f\left(x\right)=\dfrac{x^2+\cos x - \mathop{\mathrm{ch}}x}{\sqrt x}\) en \(x=0\).
\(f\left(x\right)=\sqrt x - \sqrt{\sin x}\) en \(x=0^+\).
\(f\left(x\right)=\mathop{\mathrm{sh}}\left(\sin x\right)-\sin\left(\mathop{\mathrm{sh}}x\right)\) en \(x=0\).
\(f\left(x\right)=\operatorname{arctan} \left(2x\right)-2\operatorname{arctan} \left(x\right)\) en \(x=0\).
\(f\left(x\right)= \operatorname{arctan} \sin x - \sin \operatorname{arctan} x\) en \(x=0\).
\(f\left(x\right)= e^{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}}-e^{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x+1}}\) en \(x=+\infty\).
On a \(e^{x}-\sqrt{1+x} = \left(1+x\right)-\left(1+\dfrac{x}{2}\right) +\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x\right) = \dfrac{x}{2}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x\right)\) et \(\left(x^2+1\right)\left(x+3\right) \underset{x\rightarrow 0}{\sim} 3\). Donc \[\dfrac{e^{x}-\sqrt{1+x}}{\left(x^2+1\right)\left(x+3\right)}\underset{x\rightarrow 0}{\sim}\boxed{\dfrac{x}{6}}.\]
On a : \(\left(\dfrac{\mathop{\mathrm{sh}}x}{x}\right)^{\sin x} = 1+\dfrac{x^3}{6}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right)\) et \(\left(\dfrac{\sin x}{x}\right)^{\mathop{\mathrm{sh}}x} = 1-\dfrac{x^3}{6}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right)\) donc : \[\begin{aligned} \left(\dfrac{\mathop{\mathrm{sh}}x}{x}\right)^{\sin x}-\left(\dfrac{\sin x}{x}\right)^{\mathop{\mathrm{sh}}x}&=& \dfrac{1}{3}x^3+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right)\\ &\underset{x\rightarrow 0}{\sim}&\boxed{\dfrac{1}{3}x^3} \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} \dfrac{x^2+\cos x - \mathop{\mathrm{ch}}x}{\sqrt x}&=&\dfrac{-\dfrac{1}{360}x^6 +\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^6\right) }{\sqrt{x}}\\ &\underset{x\rightarrow 0}{\sim} \boxed{-\dfrac{x^{{\scriptstyle 11\over\scriptstyle 2}}}{360}} \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} \sqrt x - \sqrt{\sin x}&=&\sqrt x - \sqrt{x-{\scriptstyle x^3\over\scriptstyle 6}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right)}\\ &=&\sqrt{x}\left(1- \sqrt{1-{\scriptstyle x^2\over\scriptstyle 6}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^2\right)} \right)\\ &=&\sqrt{x}\left(\dfrac{1}{12}x^2+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^2\right)\right)\\ &\underset{x\rightarrow 0}{\sim}&\boxed{\dfrac{x^{{\scriptstyle 5\over\scriptstyle 2}}}{12}} \end{aligned}\] car \(\dfrac{\sin x}{x}\xrightarrow[x\rightarrow 0]{}1\).
On a : \(\mathop{\mathrm{sh}}\left(\sin x\right)=x-\dfrac{x^5}{15}+\dfrac{x^7}{90}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^7\right)\) et \(\sin\left(\mathop{\mathrm{sh}}x\right)=x-\dfrac{x^5}{15}-\dfrac{x^7}{90}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^7\right)\) donc : \[\begin{aligned} \mathop{\mathrm{sh}}\left(\sin x\right)-\sin\left(\mathop{\mathrm{sh}}x\right)&=& \dfrac{x^7}{45}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^7\right)\\ &\underset{x\rightarrow 0}{\sim} \boxed{\dfrac{x^7}{45}} \end{aligned}\]
On a : \(\operatorname{arctan} x = x-\dfrac{x^3}{3}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right)\) et donc : \(\operatorname{arctan} 2x= 2x-\dfrac{8x^3}{3}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right)\) ce qui amène : \[\begin{aligned} \operatorname{arctan} \left(2x\right)-2\operatorname{arctan} \left(x\right)&=& -2x^3+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right)\\ &\underset{x\rightarrow 0}{\sim}&\boxed{-2x^3} \end{aligned}\]
On a \(\operatorname{arctan} \left(\sin\left(x\right)\right) = x-\dfrac{1}{2}x^3+\dfrac{3}{8}x^5-\dfrac{83}{240}x^7+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^7\right)\) et \(\sin\left(\operatorname{arctan} \left(x\right)\right) = x-\dfrac{1}{2}x^3+\dfrac{3}{8}x^5-\dfrac{5}{16}x^7+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^7\right)\) donc :
\[\begin{aligned} \operatorname{arctan} \sin x - \sin \operatorname{arctan} x&=& -\dfrac{x^7}{30}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^7\right)\\ &\underset{x\rightarrow 0}{\sim} \boxed{-\dfrac{x^7}{30}} \end{aligned}\]
Posons \(X=\dfrac{1}{x}\) \[\begin{aligned} e^{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}}-e^{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x+1}}&=&e^{X}-e^{{\scriptstyle X\over\scriptstyle 1+X}}\\ &=& e^{X}-e^{X\left(1+X+\underset{X \rightarrow 0}{o}\left(X\right)\right)}\\ &=&e^{X}-e^{X+X^2+\underset{X \rightarrow 0}{o}\left(X^2\right)}\\ &=& 1+X+\dfrac{X^2}{2}-\left(1+X-\dfrac{X^2}{2}\right)+\underset{X \rightarrow 0}{o}\left(X^2\right)\\ &=& X^2+\underset{X \rightarrow 0}{o}\left(X^2\right)\\ &\underset{X\rightarrow 0}{\sim}&X^2\\ &\underset{x\rightarrow +\infty}{\sim}&\boxed{\dfrac{1}{x^2}} \end{aligned}\]
On considère la fonction \(f:x\mapsto \dfrac{x}{e^x-1}\).
Montrer que la fonction \(f\) peut être prolongée en une fonction de classe \(\mathcal{C}^{1}\) sur \(\mathbb{R}\).
Déterminer une équation de la tangente au graphe de \(f\) en \(0\) puis étudier la position de la courbe de \(f\) par rapport cette tangente.
\(f\) est de classe \(\mathcal{C}^{1}\) sur \(\mathbb{R}^*\) par opération sur les fonctions de classe \(\mathcal{C}^{1}\) sur \(\mathbb{R}^*\). Montrons que \(f\) est prolongeable en \(0\) en une fonction de classe \(\mathcal{C}^{1}\) en \(0\). Pour ce faire, calculons le développement limité de \(f\) en \(0\). Dans l’objectif d’étudier la position du graphe de \(f\) relativement à sa tangente en \(0\), poussons ce développement limité à l’ordre \(2\) : \[\begin{aligned} \dfrac{x}{e^x-1}&=&\dfrac{x}{ x+\dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{1}{6}x^3 + \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right)}\\ &=&\dfrac{1}{ 1+\dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{6}x^2 + \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^2\right) }\\ &=& \boxed{1-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{12}x^2+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^2\right)} \end{aligned}\] On peut donc prolonger \(f\) par continuité et dérivabilité en \(0\) en posant \(f\left(0\right)=1\) et \(f'\left(0\right)=\dfrac{1}{2}\).
Il peut être utile de le vérifier : \[\begin{aligned} \dfrac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}&=&\dfrac{-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{12}x^2+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^2\right)}{x}\\ &=& -\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{12}x+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x\right)\\ &\xrightarrow[x\rightarrow 0]{}&\boxed{-\dfrac{1}{2}}\end{aligned}\] donc \(f\) est dérivable en \(0\) et \(\boxed{f'\left(0\right)=\dfrac{1}{2}}\).
Reste à montrer que \(f'\) est continue en \(0\). On a, pour tout \(x\in\mathbb{R}^*\), \[\begin{aligned} f'\left(x\right)&=&- \dfrac{\left(x-1\right)e^x +1}{\left(e^x-1\right)^2}\\ &\underset{x\rightarrow 0}{\sim}&- \dfrac{\left(x-1\right)e^x +1}{x^2}\\ &\underset{x\rightarrow 0}{\sim}& -\dfrac{ \dfrac{1}{2}x^2 +\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^2\right) }{x^2}\\ &\underset{x\rightarrow 0}{\sim}& - \dfrac{1}{2} + \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(1\right)\\ &\xrightarrow[x\rightarrow 0]{}&\boxed{-\dfrac{1}{2}}\end{aligned}\] En résumé, \(f\) est \(\mathcal{C}^{1}\) sur \(\mathbb{R}\).
Une équation de la tangente en \(0\) au graphe de \(f\) est \(\boxed{y= -\dfrac{x}{2}+1}\). De plus : \[\begin{aligned} f\left(x\right)-\left(-\dfrac{x}{2}+1\right)&=&\dfrac{1}{12}x^2+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^2\right)\\ &=&\dfrac{x^2}{12}\left(1+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(1\right)\right)\\ &\underset{x\rightarrow 0}{\sim}&\boxed{\dfrac{x^2}{12}}\end{aligned}\] La quantité \(f\left(x\right)-\left(-\dfrac{x}{2}+1\right)\) est donc positive dans un voisinage de \(0\). On en déduit que le graphe de \(f\) est situé au dessus de sa tangente en \(0\) dans un voisinage de \(0\).
On considère la fonction \(f\) donnée pour tout \(x \in ]-{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}, {\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}[- \left\{ 0\right\}\) par \(f (x) = (\cos x)^{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x} }\)
Montrer que \(f\) est prolongeable par continuité en \(0\).
Étudier la dérivabilité du prolongement de \(f\).
On a : \[\begin{aligned} (\cos x)^{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x} }&=&e^{{\scriptstyle\ln\left(\cos x\right)\over\scriptstyle x}}\\ &=&e^{{\scriptstyle\ln\left(1-{\scriptstyle x^2\over\scriptstyle 2}+ \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^2\right)\right)\over\scriptstyle x}}\\ &=&e^{{\scriptstyle-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}x^2+ \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^2\right) \over\scriptstyle x}}\\ &=&e^{-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}x+ \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x\right) }\\ &=&\boxed{1-\dfrac{1}{2}x+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x\right)} \end{aligned}\]
On déduit de ce calcul que \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}f\left(x\right)}=1\). On peut alors prolonger \(f\) par continuité en \(0\) en posant \(\boxed{f\left(0\right)=1}\).
L’existence d’un DL à l’ordre 1 équivaut à l’existence de la dérivée (du moins pour la fonction prolongée). Donc \(f\) est dérivable en \(0\) et \(f'\left(0\right)=-\dfrac{1}{2}\).
Soit la fonction \(f:x\mapsto \dfrac{\operatorname{arctan} x}{(\sin x)^3}-\dfrac {1}{x^2}\).
Donner le domaine de définition de \(f\).
Montrer qu’elle se prolonge par continuité en \(0\) en une fonction dérivable.
Déterminer la tangente en \(0\) au graphe de cette fonction et la position de ce graphe par rapport à celle-ci.
\(f\) est définie sur \(\mathbb{R}\setminus\pi\mathbb{Z}\).
Calculons le développement limité de \(f\) à l’ordre \(2\) : \[\begin{aligned} \dfrac{\operatorname{arctan} x}{(\sin x)^3}-\dfrac {1}{x^2}&=&\dfrac{x^2 \operatorname{arctan} x - \sin^3 x }{ x^2\sin^3 x }\\ &=&\dfrac{x^2 \left(x-\dfrac{1}{3}x^3 + \dfrac{1}{5}x^5 + \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^5\right)\right) - \left(x^3-\dfrac{x^5}{2}+\dfrac{13}{120}x^7 +\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^7\right) \right) }{ x^2\left( x^3-\dfrac{x^5}{2} +\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^5\right) \right) }\\ &=& \dfrac{ \dfrac{1}{6}x^5+\dfrac{11}{120}x^7 +\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^7\right) }{ x^5-\dfrac{1}{2}x^7+ \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^7\right)}\\ &=&\dfrac{ \dfrac{1}{6}+\dfrac{11}{120}x^2 +\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^2\right) }{ 1-\dfrac{1}{2}x^2+ \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^2\right)}\\ &=&\left(\dfrac{1}{6}+\dfrac{11}{120}x^2 +\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^2\right)\right)\left(1+\dfrac{1}{2}x^2+ \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^2\right)\right)\\ &=& \boxed{\dfrac{1}{6}+\dfrac{7}{40}x^2+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^2\right)} \end{aligned}\] L’existence du DL en \(0\) à l’ordre \(1\) assure que l’ on peut prolonger \(f\) par continuité en \(0\) en posant \(f\left(0\right)=\dfrac{1}{6}\) et par dérivabilité en posant \(f'\left(0\right)=0\).
Une équation de la tangente en \(0\) est \(\boxed{y=\dfrac{1}{6}}\). De plus : \[\begin{aligned} f\left(x\right)-\dfrac{1}{6}&=& \dfrac{7}{40}x^2+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^2\right)\\ &=& \dfrac{7}{40}x^2\left(1+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(1\right)\right)\\ &\underset{x\rightarrow 0}{\sim}& \boxed{\dfrac{7}{40}x^2} \end{aligned}\] donc la quantité \(f\left(x\right)-\dfrac{1}{6}\) est positive dans un voisinage de \(0\) et on en déduit que le graphe de \(f\) est au dessus de sa tangente en \(0\) dans un voisinage de \(0\).
Faire l’étude locale en \(0\) de la fonction définie par : \[f(x)=\left( \dfrac{2}{\sin^2 x }+\dfrac{1}{\ln(\cos x)} \right)\]
En effectuant un \(DL(0, n)\) de \(\sin\), on trouvera : \[\dfrac{2}{\sin^2 x} = \dfrac{1}{x^2(\dots + o(x^{n-2}))}\] et de même avec un \(DL(0, n)\) de \(\cos x\), on trouvera : \[\dfrac{1}{\ln(\cos x)} = \dfrac{1}{x^2(\dots + o(x^{n-2}))}\] et finalement, on aura à la fin : \[f(x) = \dots + o(x^{n-4})\] Pour faire l’étude locale complète en \(0\), il nous faut un terme significatif qui tend vers \(0\), et donc \(n-4 \geqslant 1\), donc \(n \geqslant 5\). Faisons donc nos développements limités à l’ordre \(5\). On trouve après calculs que \[f(x) = 1 + {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 6}x^2 + o(x^2)\] Donc \(f\) se prolonge en une fonction \(\widetilde{f}\) dérivable en \(0\), avec \(\widetilde{f}(0) = 1\), \(\widetilde{f}'(0) = 0\) et localement la courbe représentative de \(\widetilde{f}\) est située au dessus de sa tangente en \(0\) d’équation \(y = 1\).
Étudier le prolongement en \(0\) de la fonction \[f(x)=\dfrac{1-\cos x}{\tan^2x}\]
Effectuons un \(DL(0,2)\) de \(f(x)\): \[f(x)=\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{8}x^2 +o(x^2)\] Donc \(f(x)\) se prolonge par continuité en \(0\) en une fonction \(\widetilde{f}\) dérivable en \(0\), avec \(\widetilde{f}(0)=\dfrac{1}{2}\), \(\widetilde{f}'(0) = 0\). Localement, la courbe est située en dessous de sa tangente en \(0\).