Calcul de développements limités

Exercices du dossier Calcul de développements limités

Exercice 106 *

18 janvier 2021 13:44 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

En utilisant la formule de Taylor-Young, trouver les développements limités en \(0\) à l’ordre \(n\) des fonctions suivantes :

  1. \(f:x\mapsto e^x\)

  2. \(f:x\mapsto \sin x\)

  3. \(f:x\mapsto \cos x\)

  4. \(f:x\mapsto \mathop{\mathrm{ch}}x\)

  5. \(f:x\mapsto \dfrac{1}{1-x}\)

  6. \(f:x \mapsto \ln\left(1-x\right)\)



[ID: 706] [Date de publication: 18 janvier 2021 13:44] [Catégorie(s): Calcul de développements limités ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 106
Par emmanuel le 18 janvier 2021 13:44

Soit \(n\in\mathbb{N}\).

  1. \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^{n}\) sur \(\mathbb{R}\) et pour tout \(k\in\llbracket 0,n\rrbracket\), \(f^{\left(k\right)}\left(x\right)=e^x\) donc, par application de la formule de Taylor-Young, \(f\left(x\right)=1+\dfrac{x}{1!}+\dfrac{x^2}{2!}+\dots+\dfrac{x^n}{n!}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^n\right)\).

  2. \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^{n}\) sur \(\mathbb{R}\) et pour tout \(k\in\llbracket 0,n\rrbracket\), \(f^{\left(k\right)}\left(x\right)=\sin\left(x+k\dfrac{\pi}{2}\right)\) donc, par application de la formule de Taylor-Young, \(f\left(x\right)=\dfrac{x}{1!}-\dfrac{x^3}{3!}+\dots+\left(-1\right)^p\dfrac{x^{2p+1}}{\left(2p+1\right)!}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^{2p+1}\right)\)\(p=\left[\dfrac{n-1}{2}\right]\).

  3. \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^{n}\) sur \(\mathbb{R}\) et pour tout \(k\in\llbracket 0,n\rrbracket\), \(f^{\left(k\right)}\left(x\right)=\cos\left(x+k\dfrac{\pi}{2}\right)\) donc, par application de la formule de Taylor-Young, \(f\left(x\right)=1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}+\dots+\left(-1\right)^p\dfrac{x^{2p}}{\left(2p\right)!}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^{2p+1}\right)\)\(p=\left[\dfrac{n}{2}\right]\).

  4. \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^{n}\) sur \(\mathbb{R}\) et pour tout \(k\in\llbracket 0,n\rrbracket\), \(f^{\left(k\right)}\left(x\right)=\begin{cases} \mathop{\mathrm{ch}}x \textrm{ si $k$ est pair} \\ \mathop{\mathrm{sh}}x \textrm{ si $k$ est impair} \end{cases}\) donc, par application de la formule de Taylor-Young, \(f\left(x\right)=1+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}+\dots+\dfrac{x^{2p}}{\left(2p\right)!}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^{2p+1}\right)\)\(p=\left[\dfrac{n}{2}\right]\).

  5. \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^{n}\) sur \(\mathbb{R}\) et pour tout \(k\in\llbracket 0,n\rrbracket\), \(f^{\left(k\right)}\left(x\right)=\dfrac{k!}{\left(1-x\right)^{k+1}}\) donc, par application de la formule de Taylor-Young, \(f\left(x\right)=1+x+x^2+\dots+x^n+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^{n}\right)\).

  6. \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^{n}\) sur \(\mathbb{R}\) et, utilisant le calcul précédent, pour tout \(k\in\llbracket 0,n\rrbracket\), \(f^{\left(k\right)}\left(x\right)=-\dfrac{\left(k-1\right)!}{\left(1-x\right)^{k}}\) donc, par application de la formule de Taylor-Young, \(f\left(x\right)=-\left(x+\dfrac{x^2}{2}+\dots+\dfrac{x^n}{n}\right)+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^{n}\right)\).


Exercice 100 *

18 janvier 2021 13:44 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soient \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) définie par :

\[f\left(x\right)=\begin{cases} x^3\sin\left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}\right) \textrm{ si } x\neq 0\\0 \textrm{ si } x=0\end{cases}\] Montrer que \(f\) admet un développement limité d’ordre \(2\) en \(0\) mais que \(f\) n’est pas deux fois dérivable en \(0\).



[ID: 708] [Date de publication: 18 janvier 2021 13:44] [Catégorie(s): Calcul de développements limités ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 100
Par emmanuel le 18 janvier 2021 13:44

On a : \({\scriptstyle f(x)\over\scriptstyle x^2}=x\sin\left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}\right) \xrightarrow[x\rightarrow 0]{} 0\) d’après le théorème des gendarmes. Donc \(f\) admet un développement limité d’ordre \(2\) en \(0\) donné par \(f(x)=\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^2\right)\). D’autre part \(\dfrac{f(x)-f(0)}{x} = x^2\sin\left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}\right)\xrightarrow[x\rightarrow 0]{}0\) et \[\dfrac{f'\left(x\right)-f'\left(0\right)}{x}=\dfrac{3x^2\sin(1/x)-x\cos(1/x) }{x}=3x\sin(1/x)-\cos(1/x)\] qui diverge quand \(x\) tend vers \(0\). Donc \(f\) n’est pas deux fois dérivable en \(0\).


Exercice 974 *

18 janvier 2021 13:44 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Déterminer les développements limités des fonctions suivantes en \(x_0=0\) à l’ordre indiqué :

  1. \(~\sin x \cos x\) à l’ordre \(5\)

  2. \(\left(1+x\right)^{-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}}\) à l’ordre \(3\)

  3. \(\operatorname{arctan} x\) à l’ordre \(5\).

  4. \(\mathop{\mathrm{sh}}x\cos x\) à l’ordre \(5\)

  5. \(e^x\sqrt{1-x}\) à l’ordre \(4\)

  6. \(e^{\sin x}\) à l’ordre \(5\).



[ID: 710] [Date de publication: 18 janvier 2021 13:44] [Catégorie(s): Calcul de développements limités ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 974
Par emmanuel le 18 janvier 2021 13:44
  1. Par produit de DLs : \[\begin{aligned} \sin x\cos x&=&\left(x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}\right)\left(1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}\right)+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^5\right)\\&=&\boxed{x-\dfrac{2}{3}x^3+\dfrac{2}{15}x^5+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^5\right)} \end{aligned}\] On retrouve ce résultat en écrivant \(\sin x \cos x = {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2} \sin \left(2x\right)\).

  2. Appliquant les formules usuelles : \[\begin{aligned} \left(1+x\right)^{-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}}&=&\boxed{1-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{8}x^2 -\dfrac{5}{16}x^3+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right)} \end{aligned}\]

  3. Utilisant les formules usuelles, on a : \(\dfrac{1}{1+x^2}=1-x^2+x^4\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^4\right)\) et donc par primitivation : \[\boxed{\operatorname{arctan} x = x-\dfrac{1}{3}x^3+\dfrac{1}{5}x^5+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^5\right)}\]

  4. Par produit de DLs : \[\begin{aligned} \mathop{\mathrm{sh}}x\cos x&=&\left(x+\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}\right)\left(1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}\right)+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^5\right)\\&=&\boxed{x-\dfrac{1}{3}x^3-\dfrac{1}{30}x^5+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^5\right)} \end{aligned}\]

  5. Par produit de DLs : \[\begin{aligned} e^x\sqrt{1-x}&=&-\left(1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^4}{4!} \right)\left(1-\dfrac{x}{2} - \dfrac{x^2}{8}-\dfrac{x^3}{16}-\dfrac{5x^4}{128}\right)+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^4\right)\\&=&\boxed{1+\dfrac{x}{2}-\dfrac{x^2}{8}-\dfrac{13x^3}{48}-\dfrac{79x^4}{384} +\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^4\right)} \end{aligned}\]

  6. Par composition de DLs : \[\begin{aligned} \boxed{e^{\sin x}=1+x+\dfrac{1}{2}x^2 -\dfrac{1}{8}x^4 -\dfrac{1}{15}x^5+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^5\right)} \end{aligned}\]


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Exercice 57
Par emmanuel le 18 janvier 2021 13:44
  1. Par produit de DLs : \[\begin{aligned} \left(e^x-1\right)\left(\sin x - x\right)&=&-\left(x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!} \right)\left( -\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}\right)+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^6\right)\\&=&\boxed{-\dfrac{1}{6}x^4-\dfrac{1}{12}x^5 -\dfrac{7}{360}x^6 + \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^6\right)} \end{aligned}\]

  2. Par composition de DLs : \[\begin{aligned} ~\dfrac{1}{\cos x}&=&\dfrac{1}{1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-\dfrac{x^6}{6!}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^6\right)}\\&=&\boxed{1+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{5}{24}x^4+\dfrac{61}{720}x^6+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^6\right)}\end{aligned}\]

  3. Par quotient de DLs : \(\dfrac{\sin x}{x}=1-\dfrac{x^2}{6}+\dfrac{x^4}{130}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^4\right)\) et donc par composition de DLs, on a : \[\begin{aligned} \ln\left({\scriptstyle\sin x\over\scriptstyle x}\right) &=& \ln\left(1-\dfrac{x^2}{6}+\dfrac{x^4}{130}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^4\right)\right)\\ &=&\left(-\dfrac{x^2}{6}-\dfrac{x^4}{180}\right)-\dfrac{1}{2}\left(-\dfrac{x^2}{6}-\dfrac{x^4}{180}\right)^2+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^4\right)\\ &=&\boxed{-\dfrac{x^2}{6}-\dfrac{x^4}{180}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^4\right)} \end{aligned}\]

  4. On a prouvé dans la question que \(\dfrac{1}{\cos x}= 1+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{5}{24}x^4+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^5\right)\) donc, par produit de DLs : \[\begin{aligned} \tan x &=& \dfrac{\sin x}{\cos x}\\ &=& \left(x-\dfrac{x^3}{6}+\dfrac{x^5}{120}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^5\right)\right)\left(1+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{5}{24}x^4+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^5\right)\right)\\ &=& \boxed{x+\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{2}{15}x^5+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^5\right)} \end{aligned}\] Voir aussi l’exercice .

  5. Utilisant les formules usuelles : \(\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}= 1+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{3}{8}x^4+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^4\right)\) et donc par primitivation : \[\boxed{\operatorname{arcsin} x =x+\dfrac{x^3}{6}+\dfrac{3}{40}x^5 +\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^5\right)}\]

  6. Par quotient de DLs : \[\begin{aligned} \dfrac{\ln\left(1+x\right)}{e^x-1}&=& \dfrac{x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^{3}}{3}-\dfrac{x^{4}}{4}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^4\right) }{x+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{6}+\dfrac{x^4}{24} +\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^4\right) } \\ &=& \dfrac{{1-\dfrac{x}{2}+\dfrac{x^{2}}{3}-\dfrac{x^{3}}{4}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right)}}{1+\left(\dfrac{x}{2}+\dfrac{x^2}{6}+\dfrac{x^3}{24} +\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right)\right) }\\ &=& \left(1-\dfrac{x}{2}+\dfrac{x^{2}}{3}-\dfrac{x^{3}}{4}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right)\right)\left(1+\dfrac{x}{2}+\dfrac{x^2}{12} +\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right) \right)\\ &=&\boxed{1-x+\dfrac{2}{3}x^2 - \dfrac{11}{24}x^3 + \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right)} \end{aligned}\]


Exercice 47 *

18 janvier 2021 13:44 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Déterminer les développements limités des fonctions suivantes en \(x_0=0\) à l’ordre indiqué :

  1. \(~\left(1+2x\right)^x\) à l’ordre \(5\)

  2. \(\ln\left(1+\mathop{\mathrm{sh}}x\right)\) à l’ordre \(4\).

  3. \(\ln\left(\cos x\right)\) à l’ordre \(6\)

  4. \(\sqrt{\cos x}\) à l’ordre \(4\)

  5. \(e^{\mathop{\mathrm{ch}}x}\) à l’ordre \(3\)

  6. \(\operatorname{th} x\) à l’ordre \(3\)



[ID: 714] [Date de publication: 18 janvier 2021 13:44] [Catégorie(s): Calcul de développements limités ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 47
Par emmanuel le 18 janvier 2021 13:44
  1. Par produit et composition de DLs : \[\begin{aligned} \left(1+2x\right)^x&=&e^{x\ln\left(1+2x\right)}\\ &=& e^{x\left(2x-2x^2+{\scriptstyle 8\over\scriptstyle 3}x^3-4x^4+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^4\right) \right)}\\ &=& e^{2x^2-2x^3+{\scriptstyle 8\over\scriptstyle 3}x^4-4x^5+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^5\right)}\\ &=& \boxed{1+2x^2-2x^3+\dfrac{14}{3}x^4-8x^5+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^5\right)} \end{aligned}\]

  2. Par composition de DLs : \[\begin{aligned} \ln\left(1+\mathop{\mathrm{sh}}x\right)&=&\ln\left(1+x+\dfrac{x^3}{6}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^4\right) \right)\\ &=& \boxed{x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{2}-\dfrac{5}{12}x^4+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^4\right)} \end{aligned}\]

  3. Par composition de DLs : \[\begin{aligned} \ln\left(\cos x\right)&=&\ln\left(1-\left( \dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^4}{24}+\dfrac{x^6}{720}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^6\right) \right)\right)\\ &=& \boxed{-\left( \dfrac{x^2}{2} +\dfrac{x^4}{12} +\dfrac{x^6}{45} \right) +\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^6\right) } \end{aligned}\]

  4. Comme \(\sqrt{1+x}=1+\dfrac{x}{2}-\dfrac{x^2}{8}-\dfrac{5}{128}x^4+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^4\right)\), par composition de DLs : \[\begin{aligned} \sqrt{\cos x}&=&\sqrt{1+\left(\cos x-1\right)}\\ &=& \sqrt{1+\left( -\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^4}{24} + \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^4\right)\right)} \\ &=&\boxed{1-\dfrac{x^2}{4} - \dfrac{x^4}{96}}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^4\right) \end{aligned}\]

  5. \[\begin{aligned} e^{\mathop{\mathrm{ch}}x}&=&ee^{\left(\mathop{\mathrm{ch}}x - 1\right)}\\ &=& e\left(e^{ {\scriptstyle x^2\over\scriptstyle 2} + \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right) }\right)\\ &=&\boxed{e\left(1+\dfrac{x^2}{2} \right)+ \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right) } \end{aligned}\]

  6. Par quotient de DLs : \[\begin{aligned} \operatorname{th} x &=& \dfrac{\mathop{\mathrm{sh}}x}{\mathop{\mathrm{ch}}x}\\ &=& \dfrac{x+\dfrac{x^{3}}{6}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right) }{1+\dfrac{x^2}{2}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right)}\\ &=& \boxed{x-\dfrac{x^3}{3}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right)} \end{aligned}\]


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Exercice 246
Par emmanuel le 18 janvier 2021 13:44
  1. Utilisant les formules usuelles : \[\begin{aligned} \ln\left({\scriptstyle x^2+1\over\scriptstyle x+1}\right)&=&\ln\left(1+x^2\right)-\ln\left(1+x\right)\\ &=&\boxed{-x+\dfrac{3}{2}x^2-\dfrac{x^3}{3}+ \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right)} \end{aligned}\]

  2. Comme \(\tan x=x+\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{2}{15}x^5+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^5\right)\) et que \(\operatorname{th} x=x-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{2}{15}x^5+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^5\right)\), on a : \[\begin{aligned} \dfrac{1}{\operatorname{th} x} - \dfrac{1}{\tan x}&=&\dfrac{1}{x-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{2}{15}x^5+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^5\right)} - \dfrac{1}{x+\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{2}{15}x^5+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^5\right)}\\ &=& \dfrac{1}{x}\left( \dfrac{1}{1-\dfrac{x^2}{3}+\dfrac{2}{15}x^4+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^4\right)} - \dfrac{1}{1+\dfrac{x^2}{3}+\dfrac{2}{15}x^4+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^4\right)} \right)\\ &=& \dfrac{1}{x}\left(1+\dfrac{x^2}{3} -\dfrac{x^4}{45}- 1+\dfrac{x^2}{3}+ \dfrac{x^4}{45}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^4\right)\right) \\ &=& \boxed{\dfrac{2}{3}x+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right)} \end{aligned}\]

  3. \[\begin{aligned} \sqrt{1+\cos x}&=&\sqrt{1+1-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^4}{24}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^5\right)}\\ &=&\sqrt{2}\sqrt{1 -\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{x^4}{48}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^5\right) }\\ &=&\boxed{\sqrt{2}\left(1-\dfrac{x^2}{8}+\dfrac{x^4}{384}\right)+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^5\right)} \end{aligned}\]

  4. \[\begin{aligned} \left(1+x\right)^{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}}&=&e^{{\scriptstyle\ln\left(1+x\right)\over\scriptstyle x}}\\ &=& e^{\dfrac{1}{x}\left(x-\dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} - \dfrac{x^4}{4} +\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^4\right)\right)}\\ &=& e^{1-\dfrac{x}{2} + \dfrac{x^2}{3}-\dfrac{x^3}{4}+ \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right) }\\ &=&e e^{ -\dfrac{x}{2} + \dfrac{x^2}{3}-\dfrac{x^3}{4}+ \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right) }\\ &=&\boxed{e\left(1-\dfrac{x}{2} + \dfrac{11}{24}x^2 -\dfrac{7}{16}x^3 \right)+ \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right)} \end{aligned}\]

  5. \[\begin{aligned} \ln\left({\scriptstyle\mathop{\mathrm{sh}}x\over\scriptstyle x}\right)&=&\ln\left(\dfrac{1}{x}\left(x+\dfrac{x^3}{6} +\dfrac{x^5}{120}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^5\right)\right)\right)\\ &=&\ln\left(1+ \dfrac{x^2}{6} +\dfrac{x^4}{120}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^4\right) \right)\\ &=& \boxed{\dfrac{x^2}{6}-\dfrac{x^4}{180}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^4\right)} \end{aligned}\]

  6. \[\begin{aligned} \ln\left(1+\sqrt{1+x}\right)&=& \ln\left(2+\dfrac{x}{2}-\dfrac{x^2}{8} + \dfrac{x^3}{16} + \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right) \right)\\ &=& \ln2\left(1+\dfrac{x}{4}-\dfrac{x^2}{16} + \dfrac{x^3}{32} + \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right) \right)\\ &=& \ln 2 + \ln \left(1+\dfrac{x}{4}-\dfrac{x^2}{16} + \dfrac{x^3}{32} + \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right)\right)\\ &=& \boxed{\ln 2 + \dfrac{x}{4}-\dfrac{3}{32}x^2+\dfrac{5}{96}x^3+ \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right)} \end{aligned}\]


Exercice 870 *

18 janvier 2021 13:44 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Déterminer les développements limités des fonctions suivantes en \(x_0=0\) à l’ordre indiqué :

  1. \(x \mapsto \sin(\tan(x))\) à l’ordre \(7\)

  2. \(e^{\sqrt{1+x}}\) à l’ordre \(3\)

  3. \((\ln(1+x))^2\) à l’ordre \(4\)

  4. \(\sqrt{3+\cos x}\) à l’ordre \(3\)

  5. \(x \mapsto \sin^6(x)\) à l’ordre \(9\)

  6. \(\ln\left(3e^x+e^{-x}\right)\) à l’ordre \(3\)



[ID: 718] [Date de publication: 18 janvier 2021 13:44] [Catégorie(s): Calcul de développements limités ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 870
Par emmanuel le 18 janvier 2021 13:44
  1. Comme \(\tan x = x+\dfrac{1}{3}x^3+\dfrac{2}{15}x^5+\dfrac{17}{315}x^7+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^7\right)\), on a : \[\begin{aligned} \sin \left(\tan x\right)&=& \left(x+\dfrac{1}{3}x^3+\dfrac{2}{15}x^5+\dfrac{17}{315}x^7\right)-\dfrac{1}{6}\left(x+\dfrac{1}{3}x^3\right)^3+\dfrac{1}{120} x^5 - \dfrac{1}{5040}x^7 + \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^7\right)\\ &=&\boxed{x+\dfrac{1}{6}x^3-\dfrac{1}{40}x^5-\dfrac{55}{1008}x^7+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^7\right)} \end{aligned}\]

  2. \[\begin{aligned} e^{\sqrt{1+x}}&=&e^{1+\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1}{16}x^3+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right)}\\ &=& e.e^{\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1}{16}x^3+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right)}\\ &=&e\left( 1+ \left(\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1}{16}x^3\right)+\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}x^2\right)^2 + \dfrac{1}{6}\left(\dfrac{1}{2}x\right)^3+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right) \right)\\ &=& \boxed{e\left(1+\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{48}x^3+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right)\right)} \end{aligned}\]

  3. \[\begin{aligned} (\ln(1+x))^2&=&\left(x-\dfrac{x}{2}+\dfrac{x^2}{3}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^2\right)\right)^2\\ &=& \boxed{x^2-x^3+\dfrac{11}{12}x^4+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^4\right)} \end{aligned}\]

  4. \[\begin{aligned} \sqrt{3+\cos x}&=&\sqrt{4-\dfrac{x^2}{2}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right)}\\ &=&2\sqrt{1-\dfrac{x^2}{4}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right)}\\ &=&\boxed{2-\dfrac{x^2}{8} +\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right)} \end{aligned}\]

  5. \[\begin{aligned} \sin^6(x)&=&\left(x-\dfrac{x^3}{6}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right)\right)^6\\ &=&\boxed{x^6-x^8+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^9\right)} \end{aligned}\]

  6. \[\begin{aligned} \ln\left(3e^x+e^{-x}\right)&=&\ln\left( 4+2x +2x^2+\dfrac{1}{3}x^3+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right)\right)\\ &=& \ln 4 + \ln\left(1+\dfrac{1}{2}x +\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1}{12}x^3+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right)\right)\\ &=&\boxed{2\ln 2 + \dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{8}x^2-\dfrac{1}{8}x^3+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right)} \end{aligned}\]


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Exercice 810
Par emmanuel le 18 janvier 2021 13:44
  1. Posons \(t=x-\dfrac{\pi}{4}\). Chercher le DL\(\left(\dfrac{\pi}{4},3\right)\) de \(\sin x\) revient à chercher celui de \(\sin\left(t+{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 4}\right)\) en \(0\) : \[\begin{aligned} \sin x &=&\sin\left(t+{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 4}\right)\\ &=& \dfrac{\sqrt 2}{2}\left(\sin t + \cos t\right)\\ &=& \dfrac{\sqrt 2}{2}\left(1+t-\dfrac{t^2}{2}-\dfrac{t^3}{6}\right)+\underset{t \rightarrow 0}{o}\left(t^3\right)\\ &=&\boxed{\dfrac{\sqrt 2}{2}\left(1+\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)-\dfrac{\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)^2}{2}-\dfrac{\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)^3}{6}\right)+\underset{x \rightarrow {\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 4}}{o}\left(\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)^3\right)} \end{aligned}\]

  2. Comme précédemment, on se ramène en \(0\) en posant \(t=x-\dfrac{\pi}{3}\). \[\begin{aligned} \cos x&=&\cos\left(t+\dfrac{\pi}{3}\right)\\ &=&\dfrac{1}{2}\cos t - \dfrac{\sqrt 3}{2} \sin t\\ &=& 1 - \dfrac{\sqrt 3}{2} t -\dfrac{1}{4}t^2+\dfrac{\sqrt 3}{12}t^3+\dfrac{t^4}{48}+\underset{t \rightarrow 0}{o}\left(t^4\right)\\ &=& \boxed{1 - \dfrac{\sqrt 3}{2} \left(x-\dfrac{\pi}{3}\right) -\dfrac{1}{4}\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)^2+\dfrac{\sqrt 3}{12}\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)^3+\dfrac{1}{48}\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)^4+\underset{x \rightarrow {\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 3}}{o}\left(\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)^4\right)} \end{aligned}\]

  3. On se ramène en \(0\) en posant \(t=x-1\). Il vient : \[\begin{aligned} e^x&=&e^{1+t}\\ &=&e.e^t\\ &=&e\left(1+t+\dfrac{t^2}{2}+\dfrac{t^3}{6}+\dfrac{t^4}{24}+\underset{t \rightarrow 0}{o}\left(t^4\right)\right)\\ &=&\boxed{e\left(1+\left(x-1\right)+\dfrac{1}{2}\left(x-1\right)^2+\dfrac{1}{6}\left(x-1\right)^3+\dfrac{1}{24}\left(x-1\right)^4+\underset{x \rightarrow 1}{o}\left(\left(x-1\right)^4\right)\right)} \end{aligned}\]

  4. On pose \(t=x-1\) : \[\begin{aligned} \dfrac{\ln x}{x^2}&=&\dfrac{\ln\left(1+t\right)}{\left(1+t\right)^2}\\ &=&\dfrac{\ln\left(1+t\right)}{1+2t+t^2}\\ &=&\left(t-\dfrac{t^2}{2}+\dfrac{t^3}{3}-\dfrac{t^4}{4}+\underset{t \rightarrow 0}{o}\left(t^4\right)\right)\left(1-2t+3t^2-4t^3+\underset{t \rightarrow 0}{o}\left(t^3\right)\right)\\ &=&t-\dfrac{5}{2}t^2+\dfrac{13}{3}t^3-\dfrac{77}{12}t^4+\underset{t \rightarrow 0}{o}\left(t^4\right)\\ &=&\boxed{\left(x-1\right)-\dfrac{5}{2}\left(x-1\right)^2+\dfrac{13}{3}\left(x-1\right)^3-\dfrac{77}{12}\left(x-1\right)^4+\underset{x \rightarrow 1}{o}\left(\left(x-1\right)^4\right)} \end{aligned}\]

  5. Posons \(t=x-\dfrac{\pi}{3}\) \[\begin{aligned} \sin x \cos 3 x&=&\sin \left(t+\dfrac{\pi}{3}\right) \cos {t+\pi} \\ &=&-\sin \left(t+\dfrac{\pi}{3}\right) \cos t\\ &=&-\left( \dfrac{1}{2}\sin t+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos t\right)\cos t\\ &=&-\left( \dfrac{\sqrt{3}}{2}+ \dfrac{t}{2}-\dfrac{\sqrt{ 3}}{4} t^2 + \underset{t \rightarrow 0}{o}\left(t^2\right) \right)\left(1-\dfrac{x^2}{2} + \underset{t \rightarrow 0}{o}\left(t^2\right) \right)\\ &=&-\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2}t+\dfrac{\sqrt{3}}{2}t^2+\underset{t \rightarrow 0}{o}\left(t^2\right)\\ &=& \boxed{-\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2}\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)^2+\underset{x \rightarrow {\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 3}}{o}\left(\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)^2\right)} \end{aligned}\]

  6. Utilisant directement la formule de Taylor-Young, on trouve : \[\begin{aligned} \operatorname{arctan} x&=&\boxed{\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{1}{2}\left(x-1\right)-\dfrac{1}{4}\left(x-1\right)^2+\dfrac{1}{12}\left(x-1\right)^3+\underset{x \rightarrow 1}{o}\left(\left(x-1\right)^3\right)} \end{aligned}\]


Exercice 125 **

18 janvier 2021 13:44 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Trouver le DL(0,2) de la fonction définie par \[\left( \dfrac{\sin x}{x}\right) ^{3/x^2}\]



[ID: 722] [Date de publication: 18 janvier 2021 13:44] [Catégorie(s): Calcul de développements limités ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 125
Par emmanuel le 18 janvier 2021 13:44

Écrivons la fonction sous forme exponentielle et utilisons les DL classiques : \[\begin{aligned} \left( {\scriptstyle\sin x\over\scriptstyle x}\right) ^{3 / x^2}&=&e^{{\scriptstyle 3\over\scriptstyle x^2}\ln\left({\scriptstyle\sin x\over\scriptstyle x}\right)} \\ &=&e^{{\scriptstyle 3\over\scriptstyle x^2}\ln\left(1-1/6 x^2+1/120 x^4 + \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^4\right)\right)}\\ &=&e^{{\scriptstyle 3\over\scriptstyle x^2} \left(-1/6x^2-1/180x^4 \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^4\right)\right) }\\ &=&e^{-1/2-1/60x^2+ \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^2\right)}\\ &=&e^{-1/2}e^{-1/60x^2+ \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^2\right)}\\ &=&e^{-1/2}\left(1-1/60x^2+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^2\right)\right)\\ &= & \boxed{\dfrac{1}{\sqrt{e}}- \dfrac{1}{60\sqrt{e}}x^2 + \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^2\right) } \end{aligned}\]


Exercice 310 **

18 janvier 2021 13:44 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Déterminer le DL(0,4) de la fonction définie par : \[\left( \cos x\right) ^{1+\sin x}\]



[ID: 724] [Date de publication: 18 janvier 2021 13:44] [Catégorie(s): Calcul de développements limités ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 310
Par emmanuel le 18 janvier 2021 13:44

On met la fonction sous forme exponentielle et on utilise les DL classiques : \[\begin{aligned} \left( \cos x\right) ^{1+\sin x}&=&e^{\left(1+\sin x\right)\ln\left(\cos x\right)}\\ &=&e^{ \left(1+x-1/6x^3\right)\left(-1/6x^2-1/180x^4\right) + \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^4\right) }\\ &=&e^{-1/2x^2-1/2x^3-1/12x^4+ \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^4\right)}\\ &=&\boxed{1-\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{2}+\dfrac{1}{24}x^4 + \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^4\right)} \end{aligned}\]


Exercice 499 **

18 janvier 2021 13:44 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Déterminer le développement limité à l’ordre \(4\) en \(0\) de la fonction définie par \[x \mapsto e^{3 + \cos x}\]



[ID: 726] [Date de publication: 18 janvier 2021 13:44] [Catégorie(s): Calcul de développements limités ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 499
Par emmanuel le 18 janvier 2021 13:44

\[\begin{aligned} e^{3 + \cos x}&=&e^{4-1/2x^2+1/24x^4+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^4\right)}\\ &=&e^4e^{-1/2x^2+1/24x^4+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^4\right)}\\ &=&\boxed{ e^4\left(1-\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1}{6} x^4+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^4\right)\right)} \end{aligned}\]


Exercice 17 **

18 janvier 2021 13:44 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Déterminer le DL(0,4) de la fonction définie par \[(1+\sqrt{1+x^2})^{1/2}\]



[ID: 728] [Date de publication: 18 janvier 2021 13:44] [Catégorie(s): Calcul de développements limités ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 17
Par emmanuel le 18 janvier 2021 13:44

\[\begin{aligned} (1+\sqrt{1+x^2})^{1/2}&=&\left(2 +1/2x^2-1/8x^4 +\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^4\right) \right)^{1/2}\\ &=&\sqrt 2 \left(1 +1/4x^2-1/16x^4 +\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^4\right) \right)^{1/2}\\ &=& \sqrt 2 \left(1+1/8x^2-5/128x^4+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^4\right)\right)\\ &=& \boxed{\sqrt{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{8}x^2-\dfrac{5\sqrt{2}}{128}x^4 +\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^4\right)}\end{aligned}\]


Exercice 285 **

18 janvier 2021 13:44 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Déterminer le \(DL(0,2)\) de la fonction définie par : \[\operatorname{arcsin} \left( \dfrac{1+x}{2+x} \right)\]



[ID: 730] [Date de publication: 18 janvier 2021 13:44] [Catégorie(s): Calcul de développements limités ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 285
Par emmanuel le 18 janvier 2021 13:44

La fonction \(f:x\mapsto \operatorname{arcsin} \left( \dfrac{1+x}{2+x} \right)\) est \(\mathcal{C}^{1}\) est voisinage de \(0\) et au voisinage de \(0\), on a : \[\begin{aligned} f'\left(x\right)&=&\dfrac{1}{(2+x)\sqrt{3+2x}}\\ &=& \dfrac{1}{2\sqrt{3}}\dfrac{1}{1+x/2}\dfrac{1}{\sqrt{1+2/3x}}\\ &=& \dfrac{1}{2\sqrt{3}} \left(1-1/2x+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x\right)\right)\left(1-1/3x+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x\right)\right)\\ &=&\dfrac{1}{2\sqrt{3}}\left(1-5/6x+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x\right)\right)\end{aligned}\] donc par primitivation : \[\boxed{\operatorname{arcsin} \left( \dfrac{1+x}{2+x} \right)=\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{1}{2\sqrt{3}}( x-\dfrac{5}{12}x^2 + \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^2\right) )}\]


Exercice 697

18 janvier 2021 13:44 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

  • Calculer \(\int_0^x (1+\tan^2t)\,\textrm dt\).

  • Déterminer le \(DL(0,10)\) de \(x\mapsto\tan x\).



[ID: 732] [Date de publication: 18 janvier 2021 13:44] [Catégorie(s): Calcul de développements limités ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 697
Par emmanuel le 18 janvier 2021 13:44
  • On a \(\int_0^x (1+\tan^2t)\,\textrm dt = \tan x\).

  • On va se servir de deux arguments : 1) La primitivation fait gagner un ordre. 2) pour les fonctions paires ou impaires, la moitié des coefficients sont nuls, ce qui permet de gagner aussi un ordre. Par ailleurs, la fonction \(x\mapsto\tan x\) admet des développements limités en \(0\) à tous ordres. On a donc successivement, en intégrant puis en élevant au carré :
    \[\begin{aligned} 1 + \tan^2 x &= 1 + \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x\right) \\ \tan x &= x + \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^2\right) \\ 1 + \tan^2 x &= 1 + x^2 \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right) \\ \tan x &= x + \dfrac{x^3}{3} + \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^4\right) \\ 1 + \tan^2 x &= 1 + x^2 + 2\dfrac{x^4}{3} + \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^5\right) \\ \tan x &= x + \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{2x^5}{15} + \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^6\right) \\ 1 + \tan^2 x &= 1 + x^2 + 2\dfrac{x^4}{3} + 2\dfrac{2x^6}{15} + \dfrac{x^6}{9} + \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^7\right) \\ \tan x &= x + \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{2x^5}{15} + \dfrac{17x^7}{315} + \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^8\right) \\ 1 + \tan^2 x &= 1 + x^2 + 2\dfrac{x^4}{3} + \dfrac{17x^6}{45} + \dfrac{34x^8}{315} + \dfrac{4x^8}{45} + \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^9\right) \\ \tan x &= x + \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{2x^5}{15} + \dfrac{17x^7}{315} + \dfrac{62x^8}{2835} + \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^{10}\right) \end{aligned}\] On pourrait continuer, mais les calculs de \(\tan^2 x\) deviennent vite fastidieux. En revanche on peut ainsi démontrer que \(\forall n \in \mathbb{N}, \tan^{(2n+1)}(0)>0\).


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