En utilisant la formule de Taylor-Young, trouver les développements limités en \(0\) à l’ordre \(n\) des fonctions suivantes :
\(f:x\mapsto e^x\)
\(f:x\mapsto \sin x\)
\(f:x\mapsto \cos x\)
\(f:x\mapsto \mathop{\mathrm{ch}}x\)
\(f:x\mapsto \dfrac{1}{1-x}\)
\(f:x \mapsto \ln\left(1-x\right)\)
Soit \(n\in\mathbb{N}\).
\(f\) est de classe \(\mathcal{C}^{n}\) sur \(\mathbb{R}\) et pour tout \(k\in\llbracket 0,n\rrbracket\), \(f^{\left(k\right)}\left(x\right)=e^x\) donc, par application de la formule de Taylor-Young, \(f\left(x\right)=1+\dfrac{x}{1!}+\dfrac{x^2}{2!}+\dots+\dfrac{x^n}{n!}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^n\right)\).
\(f\) est de classe \(\mathcal{C}^{n}\) sur \(\mathbb{R}\) et pour tout \(k\in\llbracket 0,n\rrbracket\), \(f^{\left(k\right)}\left(x\right)=\sin\left(x+k\dfrac{\pi}{2}\right)\) donc, par application de la formule de Taylor-Young, \(f\left(x\right)=\dfrac{x}{1!}-\dfrac{x^3}{3!}+\dots+\left(-1\right)^p\dfrac{x^{2p+1}}{\left(2p+1\right)!}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^{2p+1}\right)\) où \(p=\left[\dfrac{n-1}{2}\right]\).
\(f\) est de classe \(\mathcal{C}^{n}\) sur \(\mathbb{R}\) et pour tout \(k\in\llbracket 0,n\rrbracket\), \(f^{\left(k\right)}\left(x\right)=\cos\left(x+k\dfrac{\pi}{2}\right)\) donc, par application de la formule de Taylor-Young, \(f\left(x\right)=1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}+\dots+\left(-1\right)^p\dfrac{x^{2p}}{\left(2p\right)!}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^{2p+1}\right)\) où \(p=\left[\dfrac{n}{2}\right]\).
\(f\) est de classe \(\mathcal{C}^{n}\) sur \(\mathbb{R}\) et pour tout \(k\in\llbracket 0,n\rrbracket\), \(f^{\left(k\right)}\left(x\right)=\begin{cases} \mathop{\mathrm{ch}}x \textrm{ si $k$ est pair} \\ \mathop{\mathrm{sh}}x \textrm{ si $k$ est impair} \end{cases}\) donc, par application de la formule de Taylor-Young, \(f\left(x\right)=1+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}+\dots+\dfrac{x^{2p}}{\left(2p\right)!}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^{2p+1}\right)\) où \(p=\left[\dfrac{n}{2}\right]\).
\(f\) est de classe \(\mathcal{C}^{n}\) sur \(\mathbb{R}\) et pour tout \(k\in\llbracket 0,n\rrbracket\), \(f^{\left(k\right)}\left(x\right)=\dfrac{k!}{\left(1-x\right)^{k+1}}\) donc, par application de la formule de Taylor-Young, \(f\left(x\right)=1+x+x^2+\dots+x^n+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^{n}\right)\).
\(f\) est de classe \(\mathcal{C}^{n}\) sur \(\mathbb{R}\) et, utilisant le calcul précédent, pour tout \(k\in\llbracket 0,n\rrbracket\), \(f^{\left(k\right)}\left(x\right)=-\dfrac{\left(k-1\right)!}{\left(1-x\right)^{k}}\) donc, par application de la formule de Taylor-Young, \(f\left(x\right)=-\left(x+\dfrac{x^2}{2}+\dots+\dfrac{x^n}{n}\right)+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^{n}\right)\).
Soient \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) définie par :
\[f\left(x\right)=\begin{cases} x^3\sin\left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}\right) \textrm{ si } x\neq 0\\0 \textrm{ si } x=0\end{cases}\] Montrer que \(f\) admet un développement limité d’ordre \(2\) en \(0\) mais que \(f\) n’est pas deux fois dérivable en \(0\).
On a : \({\scriptstyle f(x)\over\scriptstyle x^2}=x\sin\left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}\right) \xrightarrow[x\rightarrow 0]{} 0\) d’après le théorème des gendarmes. Donc \(f\) admet un développement limité d’ordre \(2\) en \(0\) donné par \(f(x)=\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^2\right)\). D’autre part \(\dfrac{f(x)-f(0)}{x} = x^2\sin\left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}\right)\xrightarrow[x\rightarrow 0]{}0\) et \[\dfrac{f'\left(x\right)-f'\left(0\right)}{x}=\dfrac{3x^2\sin(1/x)-x\cos(1/x) }{x}=3x\sin(1/x)-\cos(1/x)\] qui diverge quand \(x\) tend vers \(0\). Donc \(f\) n’est pas deux fois dérivable en \(0\).
Déterminer les développements limités des fonctions suivantes en \(x_0=0\) à l’ordre indiqué :
\(~\sin x \cos x\) à l’ordre \(5\)
\(\left(1+x\right)^{-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}}\) à l’ordre \(3\)
\(\operatorname{arctan} x\) à l’ordre \(5\).
\(\mathop{\mathrm{sh}}x\cos x\) à l’ordre \(5\)
\(e^x\sqrt{1-x}\) à l’ordre \(4\)
\(e^{\sin x}\) à l’ordre \(5\).
Par produit de DLs : \[\begin{aligned} \sin x\cos x&=&\left(x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}\right)\left(1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}\right)+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^5\right)\\&=&\boxed{x-\dfrac{2}{3}x^3+\dfrac{2}{15}x^5+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^5\right)} \end{aligned}\] On retrouve ce résultat en écrivant \(\sin x \cos x = {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2} \sin \left(2x\right)\).
Appliquant les formules usuelles : \[\begin{aligned} \left(1+x\right)^{-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}}&=&\boxed{1-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{8}x^2 -\dfrac{5}{16}x^3+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right)} \end{aligned}\]
Utilisant les formules usuelles, on a : \(\dfrac{1}{1+x^2}=1-x^2+x^4\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^4\right)\) et donc par primitivation : \[\boxed{\operatorname{arctan} x = x-\dfrac{1}{3}x^3+\dfrac{1}{5}x^5+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^5\right)}\]
Par produit de DLs : \[\begin{aligned} \mathop{\mathrm{sh}}x\cos x&=&\left(x+\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}\right)\left(1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}\right)+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^5\right)\\&=&\boxed{x-\dfrac{1}{3}x^3-\dfrac{1}{30}x^5+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^5\right)} \end{aligned}\]
Par produit de DLs : \[\begin{aligned} e^x\sqrt{1-x}&=&-\left(1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^4}{4!} \right)\left(1-\dfrac{x}{2} - \dfrac{x^2}{8}-\dfrac{x^3}{16}-\dfrac{5x^4}{128}\right)+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^4\right)\\&=&\boxed{1+\dfrac{x}{2}-\dfrac{x^2}{8}-\dfrac{13x^3}{48}-\dfrac{79x^4}{384} +\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^4\right)} \end{aligned}\]
Par composition de DLs : \[\begin{aligned} \boxed{e^{\sin x}=1+x+\dfrac{1}{2}x^2 -\dfrac{1}{8}x^4 -\dfrac{1}{15}x^5+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^5\right)} \end{aligned}\]
Déterminer les développements limités des fonctions suivantes en \(x_0=0\) à l’ordre indiqué :
\(~\left(e^x-1\right)\left(\sin x - x\right)\) à l’ordre \(6\)
\(~\dfrac{1}{\cos x}\) à l’ordre \(6\)
\(~{\ln\left({\scriptstyle\sin x\over\scriptstyle x}\right)}\) à l’ordre \(4\)
\(\tan x\) à l’ordre \(5\)
\(\operatorname{arcsin} x\) à l’ordre \(5\)
\(\dfrac{\ln\left(1+x\right)}{e^x-1}\) à l’ordre \(3\)
Par produit de DLs : \[\begin{aligned} \left(e^x-1\right)\left(\sin x - x\right)&=&-\left(x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!} \right)\left( -\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}\right)+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^6\right)\\&=&\boxed{-\dfrac{1}{6}x^4-\dfrac{1}{12}x^5 -\dfrac{7}{360}x^6 + \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^6\right)} \end{aligned}\]
Par composition de DLs : \[\begin{aligned} ~\dfrac{1}{\cos x}&=&\dfrac{1}{1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-\dfrac{x^6}{6!}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^6\right)}\\&=&\boxed{1+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{5}{24}x^4+\dfrac{61}{720}x^6+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^6\right)}\end{aligned}\]
Par quotient de DLs : \(\dfrac{\sin x}{x}=1-\dfrac{x^2}{6}+\dfrac{x^4}{130}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^4\right)\) et donc par composition de DLs, on a : \[\begin{aligned} \ln\left({\scriptstyle\sin x\over\scriptstyle x}\right) &=& \ln\left(1-\dfrac{x^2}{6}+\dfrac{x^4}{130}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^4\right)\right)\\ &=&\left(-\dfrac{x^2}{6}-\dfrac{x^4}{180}\right)-\dfrac{1}{2}\left(-\dfrac{x^2}{6}-\dfrac{x^4}{180}\right)^2+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^4\right)\\ &=&\boxed{-\dfrac{x^2}{6}-\dfrac{x^4}{180}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^4\right)} \end{aligned}\]
On a prouvé dans la question que \(\dfrac{1}{\cos x}= 1+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{5}{24}x^4+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^5\right)\) donc, par produit de DLs : \[\begin{aligned} \tan x &=& \dfrac{\sin x}{\cos x}\\ &=& \left(x-\dfrac{x^3}{6}+\dfrac{x^5}{120}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^5\right)\right)\left(1+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{5}{24}x^4+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^5\right)\right)\\ &=& \boxed{x+\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{2}{15}x^5+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^5\right)} \end{aligned}\] Voir aussi l’exercice .
Utilisant les formules usuelles : \(\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}= 1+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{3}{8}x^4+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^4\right)\) et donc par primitivation : \[\boxed{\operatorname{arcsin} x =x+\dfrac{x^3}{6}+\dfrac{3}{40}x^5 +\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^5\right)}\]
Par quotient de DLs : \[\begin{aligned} \dfrac{\ln\left(1+x\right)}{e^x-1}&=& \dfrac{x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^{3}}{3}-\dfrac{x^{4}}{4}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^4\right) }{x+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{6}+\dfrac{x^4}{24} +\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^4\right) } \\ &=& \dfrac{{1-\dfrac{x}{2}+\dfrac{x^{2}}{3}-\dfrac{x^{3}}{4}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right)}}{1+\left(\dfrac{x}{2}+\dfrac{x^2}{6}+\dfrac{x^3}{24} +\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right)\right) }\\ &=& \left(1-\dfrac{x}{2}+\dfrac{x^{2}}{3}-\dfrac{x^{3}}{4}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right)\right)\left(1+\dfrac{x}{2}+\dfrac{x^2}{12} +\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right) \right)\\ &=&\boxed{1-x+\dfrac{2}{3}x^2 - \dfrac{11}{24}x^3 + \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right)} \end{aligned}\]
Déterminer les développements limités des fonctions suivantes en \(x_0=0\) à l’ordre indiqué :
\(~\left(1+2x\right)^x\) à l’ordre \(5\)
\(\ln\left(1+\mathop{\mathrm{sh}}x\right)\) à l’ordre \(4\).
\(\ln\left(\cos x\right)\) à l’ordre \(6\)
\(\sqrt{\cos x}\) à l’ordre \(4\)
\(e^{\mathop{\mathrm{ch}}x}\) à l’ordre \(3\)
\(\operatorname{th} x\) à l’ordre \(3\)
Par produit et composition de DLs : \[\begin{aligned} \left(1+2x\right)^x&=&e^{x\ln\left(1+2x\right)}\\ &=& e^{x\left(2x-2x^2+{\scriptstyle 8\over\scriptstyle 3}x^3-4x^4+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^4\right) \right)}\\ &=& e^{2x^2-2x^3+{\scriptstyle 8\over\scriptstyle 3}x^4-4x^5+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^5\right)}\\ &=& \boxed{1+2x^2-2x^3+\dfrac{14}{3}x^4-8x^5+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^5\right)} \end{aligned}\]
Par composition de DLs : \[\begin{aligned} \ln\left(1+\mathop{\mathrm{sh}}x\right)&=&\ln\left(1+x+\dfrac{x^3}{6}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^4\right) \right)\\ &=& \boxed{x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{2}-\dfrac{5}{12}x^4+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^4\right)} \end{aligned}\]
Par composition de DLs : \[\begin{aligned} \ln\left(\cos x\right)&=&\ln\left(1-\left( \dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^4}{24}+\dfrac{x^6}{720}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^6\right) \right)\right)\\ &=& \boxed{-\left( \dfrac{x^2}{2} +\dfrac{x^4}{12} +\dfrac{x^6}{45} \right) +\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^6\right) } \end{aligned}\]
Comme \(\sqrt{1+x}=1+\dfrac{x}{2}-\dfrac{x^2}{8}-\dfrac{5}{128}x^4+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^4\right)\), par composition de DLs : \[\begin{aligned} \sqrt{\cos x}&=&\sqrt{1+\left(\cos x-1\right)}\\ &=& \sqrt{1+\left( -\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^4}{24} + \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^4\right)\right)} \\ &=&\boxed{1-\dfrac{x^2}{4} - \dfrac{x^4}{96}}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^4\right) \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} e^{\mathop{\mathrm{ch}}x}&=&ee^{\left(\mathop{\mathrm{ch}}x - 1\right)}\\ &=& e\left(e^{ {\scriptstyle x^2\over\scriptstyle 2} + \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right) }\right)\\ &=&\boxed{e\left(1+\dfrac{x^2}{2} \right)+ \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right) } \end{aligned}\]
Par quotient de DLs : \[\begin{aligned} \operatorname{th} x &=& \dfrac{\mathop{\mathrm{sh}}x}{\mathop{\mathrm{ch}}x}\\ &=& \dfrac{x+\dfrac{x^{3}}{6}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right) }{1+\dfrac{x^2}{2}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right)}\\ &=& \boxed{x-\dfrac{x^3}{3}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right)} \end{aligned}\]
Déterminer les développements limités des fonctions suivantes en \(x_0=0\) à l’ordre indiqué :
\(\ln\left({\scriptstyle x^2+1\over\scriptstyle x+1}\right)\) à l’ordre \(3\)
\(\dfrac{1}{\operatorname{th} x} - \dfrac{1}{\tan x}\) à l’ordre \(3\)
\(\sqrt{1+\cos x}\) à l’ordre \(5\)
\(\left(1+x\right)^{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}}\) à l’ordre \(3\)
\(\ln\left({\scriptstyle\mathop{\mathrm{sh}}x\over\scriptstyle x}\right)\) à l’ordre \(4\)
\(\ln\left(1+\sqrt{1+x}\right)\) à l’ordre \(3\)
Utilisant les formules usuelles : \[\begin{aligned} \ln\left({\scriptstyle x^2+1\over\scriptstyle x+1}\right)&=&\ln\left(1+x^2\right)-\ln\left(1+x\right)\\ &=&\boxed{-x+\dfrac{3}{2}x^2-\dfrac{x^3}{3}+ \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right)} \end{aligned}\]
Comme \(\tan x=x+\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{2}{15}x^5+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^5\right)\) et que \(\operatorname{th} x=x-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{2}{15}x^5+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^5\right)\), on a : \[\begin{aligned} \dfrac{1}{\operatorname{th} x} - \dfrac{1}{\tan x}&=&\dfrac{1}{x-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{2}{15}x^5+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^5\right)} - \dfrac{1}{x+\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{2}{15}x^5+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^5\right)}\\ &=& \dfrac{1}{x}\left( \dfrac{1}{1-\dfrac{x^2}{3}+\dfrac{2}{15}x^4+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^4\right)} - \dfrac{1}{1+\dfrac{x^2}{3}+\dfrac{2}{15}x^4+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^4\right)} \right)\\ &=& \dfrac{1}{x}\left(1+\dfrac{x^2}{3} -\dfrac{x^4}{45}- 1+\dfrac{x^2}{3}+ \dfrac{x^4}{45}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^4\right)\right) \\ &=& \boxed{\dfrac{2}{3}x+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right)} \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} \sqrt{1+\cos x}&=&\sqrt{1+1-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^4}{24}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^5\right)}\\ &=&\sqrt{2}\sqrt{1 -\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{x^4}{48}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^5\right) }\\ &=&\boxed{\sqrt{2}\left(1-\dfrac{x^2}{8}+\dfrac{x^4}{384}\right)+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^5\right)} \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} \left(1+x\right)^{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}}&=&e^{{\scriptstyle\ln\left(1+x\right)\over\scriptstyle x}}\\ &=& e^{\dfrac{1}{x}\left(x-\dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} - \dfrac{x^4}{4} +\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^4\right)\right)}\\ &=& e^{1-\dfrac{x}{2} + \dfrac{x^2}{3}-\dfrac{x^3}{4}+ \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right) }\\ &=&e e^{ -\dfrac{x}{2} + \dfrac{x^2}{3}-\dfrac{x^3}{4}+ \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right) }\\ &=&\boxed{e\left(1-\dfrac{x}{2} + \dfrac{11}{24}x^2 -\dfrac{7}{16}x^3 \right)+ \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right)} \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} \ln\left({\scriptstyle\mathop{\mathrm{sh}}x\over\scriptstyle x}\right)&=&\ln\left(\dfrac{1}{x}\left(x+\dfrac{x^3}{6} +\dfrac{x^5}{120}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^5\right)\right)\right)\\ &=&\ln\left(1+ \dfrac{x^2}{6} +\dfrac{x^4}{120}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^4\right) \right)\\ &=& \boxed{\dfrac{x^2}{6}-\dfrac{x^4}{180}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^4\right)} \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} \ln\left(1+\sqrt{1+x}\right)&=& \ln\left(2+\dfrac{x}{2}-\dfrac{x^2}{8} + \dfrac{x^3}{16} + \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right) \right)\\ &=& \ln2\left(1+\dfrac{x}{4}-\dfrac{x^2}{16} + \dfrac{x^3}{32} + \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right) \right)\\ &=& \ln 2 + \ln \left(1+\dfrac{x}{4}-\dfrac{x^2}{16} + \dfrac{x^3}{32} + \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right)\right)\\ &=& \boxed{\ln 2 + \dfrac{x}{4}-\dfrac{3}{32}x^2+\dfrac{5}{96}x^3+ \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right)} \end{aligned}\]
Déterminer les développements limités des fonctions suivantes en \(x_0=0\) à l’ordre indiqué :
\(x \mapsto \sin(\tan(x))\) à l’ordre \(7\)
\(e^{\sqrt{1+x}}\) à l’ordre \(3\)
\((\ln(1+x))^2\) à l’ordre \(4\)
\(\sqrt{3+\cos x}\) à l’ordre \(3\)
\(x \mapsto \sin^6(x)\) à l’ordre \(9\)
\(\ln\left(3e^x+e^{-x}\right)\) à l’ordre \(3\)
Comme \(\tan x = x+\dfrac{1}{3}x^3+\dfrac{2}{15}x^5+\dfrac{17}{315}x^7+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^7\right)\), on a : \[\begin{aligned} \sin \left(\tan x\right)&=& \left(x+\dfrac{1}{3}x^3+\dfrac{2}{15}x^5+\dfrac{17}{315}x^7\right)-\dfrac{1}{6}\left(x+\dfrac{1}{3}x^3\right)^3+\dfrac{1}{120} x^5 - \dfrac{1}{5040}x^7 + \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^7\right)\\ &=&\boxed{x+\dfrac{1}{6}x^3-\dfrac{1}{40}x^5-\dfrac{55}{1008}x^7+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^7\right)} \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} e^{\sqrt{1+x}}&=&e^{1+\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1}{16}x^3+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right)}\\ &=& e.e^{\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1}{16}x^3+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right)}\\ &=&e\left( 1+ \left(\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1}{16}x^3\right)+\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}x^2\right)^2 + \dfrac{1}{6}\left(\dfrac{1}{2}x\right)^3+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right) \right)\\ &=& \boxed{e\left(1+\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{48}x^3+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right)\right)} \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} (\ln(1+x))^2&=&\left(x-\dfrac{x}{2}+\dfrac{x^2}{3}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^2\right)\right)^2\\ &=& \boxed{x^2-x^3+\dfrac{11}{12}x^4+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^4\right)} \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} \sqrt{3+\cos x}&=&\sqrt{4-\dfrac{x^2}{2}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right)}\\ &=&2\sqrt{1-\dfrac{x^2}{4}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right)}\\ &=&\boxed{2-\dfrac{x^2}{8} +\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right)} \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} \sin^6(x)&=&\left(x-\dfrac{x^3}{6}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right)\right)^6\\ &=&\boxed{x^6-x^8+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^9\right)} \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} \ln\left(3e^x+e^{-x}\right)&=&\ln\left( 4+2x +2x^2+\dfrac{1}{3}x^3+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right)\right)\\ &=& \ln 4 + \ln\left(1+\dfrac{1}{2}x +\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1}{12}x^3+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right)\right)\\ &=&\boxed{2\ln 2 + \dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{8}x^2-\dfrac{1}{8}x^3+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^3\right)} \end{aligned}\]
Déterminer les développements limités des fonctions suivantes en \(x_0\) à l’ordre indiqué :
\(\sin\left(x\right)\) en \(x_0={\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 4}\) à l’ordre \(3\)
\(\cos \left(x\right)\) en \(x_0={\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 3}\) à l’ordre \(4\)
\(e^x\) en \(x_0=1\) à l’ordre \(4\).
\(\dfrac{\ln x}{x^2}\) en \(x_0=1\) à l’ordre \(4\)
\(\sin x \cos 3 x\) en \(x_0=\dfrac{\pi}{3}\) à l’ordre \(2\)
\(\operatorname{arctan} x\) en \(x_0=1\) à l’ordre \(3\)
Posons \(t=x-\dfrac{\pi}{4}\). Chercher le DL\(\left(\dfrac{\pi}{4},3\right)\) de \(\sin x\) revient à chercher celui de \(\sin\left(t+{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 4}\right)\) en \(0\) : \[\begin{aligned} \sin x &=&\sin\left(t+{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 4}\right)\\ &=& \dfrac{\sqrt 2}{2}\left(\sin t + \cos t\right)\\ &=& \dfrac{\sqrt 2}{2}\left(1+t-\dfrac{t^2}{2}-\dfrac{t^3}{6}\right)+\underset{t \rightarrow 0}{o}\left(t^3\right)\\ &=&\boxed{\dfrac{\sqrt 2}{2}\left(1+\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)-\dfrac{\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)^2}{2}-\dfrac{\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)^3}{6}\right)+\underset{x \rightarrow {\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 4}}{o}\left(\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)^3\right)} \end{aligned}\]
Comme précédemment, on se ramène en \(0\) en posant \(t=x-\dfrac{\pi}{3}\). \[\begin{aligned} \cos x&=&\cos\left(t+\dfrac{\pi}{3}\right)\\ &=&\dfrac{1}{2}\cos t - \dfrac{\sqrt 3}{2} \sin t\\ &=& 1 - \dfrac{\sqrt 3}{2} t -\dfrac{1}{4}t^2+\dfrac{\sqrt 3}{12}t^3+\dfrac{t^4}{48}+\underset{t \rightarrow 0}{o}\left(t^4\right)\\ &=& \boxed{1 - \dfrac{\sqrt 3}{2} \left(x-\dfrac{\pi}{3}\right) -\dfrac{1}{4}\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)^2+\dfrac{\sqrt 3}{12}\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)^3+\dfrac{1}{48}\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)^4+\underset{x \rightarrow {\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 3}}{o}\left(\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)^4\right)} \end{aligned}\]
On se ramène en \(0\) en posant \(t=x-1\). Il vient : \[\begin{aligned} e^x&=&e^{1+t}\\ &=&e.e^t\\ &=&e\left(1+t+\dfrac{t^2}{2}+\dfrac{t^3}{6}+\dfrac{t^4}{24}+\underset{t \rightarrow 0}{o}\left(t^4\right)\right)\\ &=&\boxed{e\left(1+\left(x-1\right)+\dfrac{1}{2}\left(x-1\right)^2+\dfrac{1}{6}\left(x-1\right)^3+\dfrac{1}{24}\left(x-1\right)^4+\underset{x \rightarrow 1}{o}\left(\left(x-1\right)^4\right)\right)} \end{aligned}\]
On pose \(t=x-1\) : \[\begin{aligned} \dfrac{\ln x}{x^2}&=&\dfrac{\ln\left(1+t\right)}{\left(1+t\right)^2}\\ &=&\dfrac{\ln\left(1+t\right)}{1+2t+t^2}\\ &=&\left(t-\dfrac{t^2}{2}+\dfrac{t^3}{3}-\dfrac{t^4}{4}+\underset{t \rightarrow 0}{o}\left(t^4\right)\right)\left(1-2t+3t^2-4t^3+\underset{t \rightarrow 0}{o}\left(t^3\right)\right)\\ &=&t-\dfrac{5}{2}t^2+\dfrac{13}{3}t^3-\dfrac{77}{12}t^4+\underset{t \rightarrow 0}{o}\left(t^4\right)\\ &=&\boxed{\left(x-1\right)-\dfrac{5}{2}\left(x-1\right)^2+\dfrac{13}{3}\left(x-1\right)^3-\dfrac{77}{12}\left(x-1\right)^4+\underset{x \rightarrow 1}{o}\left(\left(x-1\right)^4\right)} \end{aligned}\]
Posons \(t=x-\dfrac{\pi}{3}\) \[\begin{aligned} \sin x \cos 3 x&=&\sin \left(t+\dfrac{\pi}{3}\right) \cos {t+\pi} \\ &=&-\sin \left(t+\dfrac{\pi}{3}\right) \cos t\\ &=&-\left( \dfrac{1}{2}\sin t+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos t\right)\cos t\\ &=&-\left( \dfrac{\sqrt{3}}{2}+ \dfrac{t}{2}-\dfrac{\sqrt{ 3}}{4} t^2 + \underset{t \rightarrow 0}{o}\left(t^2\right) \right)\left(1-\dfrac{x^2}{2} + \underset{t \rightarrow 0}{o}\left(t^2\right) \right)\\ &=&-\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2}t+\dfrac{\sqrt{3}}{2}t^2+\underset{t \rightarrow 0}{o}\left(t^2\right)\\ &=& \boxed{-\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2}\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)^2+\underset{x \rightarrow {\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 3}}{o}\left(\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)^2\right)} \end{aligned}\]
Utilisant directement la formule de Taylor-Young, on trouve : \[\begin{aligned} \operatorname{arctan} x&=&\boxed{\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{1}{2}\left(x-1\right)-\dfrac{1}{4}\left(x-1\right)^2+\dfrac{1}{12}\left(x-1\right)^3+\underset{x \rightarrow 1}{o}\left(\left(x-1\right)^3\right)} \end{aligned}\]
Trouver le DL(0,2) de la fonction définie par \[\left( \dfrac{\sin x}{x}\right) ^{3/x^2}\]
Écrivons la fonction sous forme exponentielle et utilisons les DL classiques : \[\begin{aligned} \left( {\scriptstyle\sin x\over\scriptstyle x}\right) ^{3 / x^2}&=&e^{{\scriptstyle 3\over\scriptstyle x^2}\ln\left({\scriptstyle\sin x\over\scriptstyle x}\right)} \\ &=&e^{{\scriptstyle 3\over\scriptstyle x^2}\ln\left(1-1/6 x^2+1/120 x^4 + \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^4\right)\right)}\\ &=&e^{{\scriptstyle 3\over\scriptstyle x^2} \left(-1/6x^2-1/180x^4 \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^4\right)\right) }\\ &=&e^{-1/2-1/60x^2+ \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^2\right)}\\ &=&e^{-1/2}e^{-1/60x^2+ \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^2\right)}\\ &=&e^{-1/2}\left(1-1/60x^2+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^2\right)\right)\\ &= & \boxed{\dfrac{1}{\sqrt{e}}- \dfrac{1}{60\sqrt{e}}x^2 + \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^2\right) } \end{aligned}\]
Déterminer le DL(0,4) de la fonction définie par : \[\left( \cos x\right) ^{1+\sin x}\]
On met la fonction sous forme exponentielle et on utilise les DL classiques : \[\begin{aligned} \left( \cos x\right) ^{1+\sin x}&=&e^{\left(1+\sin x\right)\ln\left(\cos x\right)}\\ &=&e^{ \left(1+x-1/6x^3\right)\left(-1/6x^2-1/180x^4\right) + \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^4\right) }\\ &=&e^{-1/2x^2-1/2x^3-1/12x^4+ \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^4\right)}\\ &=&\boxed{1-\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{2}+\dfrac{1}{24}x^4 + \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^4\right)} \end{aligned}\]
Déterminer le développement limité à l’ordre \(4\) en \(0\) de la fonction définie par \[x \mapsto e^{3 + \cos x}\]
\[\begin{aligned} e^{3 + \cos x}&=&e^{4-1/2x^2+1/24x^4+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^4\right)}\\ &=&e^4e^{-1/2x^2+1/24x^4+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^4\right)}\\ &=&\boxed{ e^4\left(1-\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1}{6} x^4+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^4\right)\right)} \end{aligned}\]
Déterminer le DL(0,4) de la fonction définie par \[(1+\sqrt{1+x^2})^{1/2}\]
\[\begin{aligned} (1+\sqrt{1+x^2})^{1/2}&=&\left(2 +1/2x^2-1/8x^4 +\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^4\right) \right)^{1/2}\\ &=&\sqrt 2 \left(1 +1/4x^2-1/16x^4 +\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^4\right) \right)^{1/2}\\ &=& \sqrt 2 \left(1+1/8x^2-5/128x^4+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^4\right)\right)\\ &=& \boxed{\sqrt{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{8}x^2-\dfrac{5\sqrt{2}}{128}x^4 +\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^4\right)}\end{aligned}\]
Déterminer le \(DL(0,2)\) de la fonction définie par : \[\operatorname{arcsin} \left( \dfrac{1+x}{2+x} \right)\]
La fonction \(f:x\mapsto \operatorname{arcsin} \left( \dfrac{1+x}{2+x} \right)\) est \(\mathcal{C}^{1}\) est voisinage de \(0\) et au voisinage de \(0\), on a : \[\begin{aligned} f'\left(x\right)&=&\dfrac{1}{(2+x)\sqrt{3+2x}}\\ &=& \dfrac{1}{2\sqrt{3}}\dfrac{1}{1+x/2}\dfrac{1}{\sqrt{1+2/3x}}\\ &=& \dfrac{1}{2\sqrt{3}} \left(1-1/2x+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x\right)\right)\left(1-1/3x+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x\right)\right)\\ &=&\dfrac{1}{2\sqrt{3}}\left(1-5/6x+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x\right)\right)\end{aligned}\] donc par primitivation : \[\boxed{\operatorname{arcsin} \left( \dfrac{1+x}{2+x} \right)=\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{1}{2\sqrt{3}}( x-\dfrac{5}{12}x^2 + \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^2\right) )}\]
Calculer \(\int_0^x (1+\tan^2t)\,\textrm dt\).
Déterminer le \(DL(0,10)\) de \(x\mapsto\tan x\).
On a \(\int_0^x (1+\tan^2t)\,\textrm dt = \tan x\).
On va se servir de deux arguments : 1) La primitivation fait gagner un ordre. 2) pour les fonctions paires ou impaires, la moitié des coefficients sont nuls, ce qui permet de gagner aussi un ordre. Par ailleurs, la fonction \(x\mapsto\tan x\) admet des développements limités en \(0\) à tous ordres. On a donc successivement, en intégrant puis en élevant au carré :