Bijection continue

Exercices du dossier Bijection continue

Exercice 631 *

18 janvier 2021 13:21 — Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron

Soit \(f: \left\{ \begin{array}{ccl} \left[2,+\infty\right[ & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \sqrt{x^2-4x+8} \end{array} \right.\).

  1. Prouver que \(f\) réalise une bijection de \(I=\left[2,+\infty\right[\) sur son image (que l’on précisera).

  2. Prouver que la bijection réciproque de \(f\) est continue.

  3. Déterminer cette bijection réciproque.



[ID: 701] [Date de publication: 18 janvier 2021 13:21] [Catégorie(s): Bijection continue ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron ]
Accordéon
Titre
Solution
Texte

Exercice 631
Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron le 18 janvier 2021 13:21
  1. On vérifie facilement que sur \(\left[2,+\infty\right[\), la fonction \(x\mapsto x^2-4x+8\) est strictement croissante. Comme \(f\) est la composée cette fonction par la fonction racine carrée qui est elle aussi strictement croissante, \(f\) strictement croissante sur \(I=\left[2,+\infty\right[\). De plus \(f\left(I\right)=\left[2,+\infty\right]=I\). On en déduit que \(f\) réalise une bijection de \(I\) sur \(I\).

  2. La fonction \(f\) est polynomiale donc continue sur \(\mathbb{R}\). On a montré que \(f\) est strictement croissante sur \(I\). Par application du théorème de la bijection, on en déduit que \(f^{-1}\) est continue sur \(\left[2,+\infty\right[\)

  3. Soit \(y\in\left[4,+\infty\right[\). On a : \(y= x^2-4x+8 \Longleftrightarrow y=\left(x-2\right)^2+4 \Longleftrightarrow x= 2\pm \sqrt{y^2-4}\). Si \(x\in\left[2,+\infty\right[\), nécessairement \(x=2+ \sqrt{y^2-4}\) et \(\boxed{f^{-1}: \left\{ \begin{array}{ccl} \left[2,+\infty\right[ & \longrightarrow & \left[2,+\infty\right[ \\ y & \longmapsto & 2+ \sqrt{y^2-4} \end{array} \right. }\)


Accordéon
Titre
Solution
Texte

Exercice 72
Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron le 18 janvier 2021 13:21
  1. Comme \(f\) est \(k\)-lipschitzienne (l’hypothèse de l’énoncé est plus forte), on montre facilement (voir le cours) que la fonction \(f\) est uniformément continue sur \(\mathbb{R}\).

  2. Soit \((x, y) \in \mathbb{R}^{2}\) tels que \(x < y\). Calculons : \[\begin{aligned} \varphi(y) - \varphi(x) &= f(y) - f(x) - k(y-x) \\ & \leqslant\lvert f(y)- f(x) \rvert - k(y-x) \\ & < k\lvert y-x \rvert - k(y-x) \\ &< 0 \end{aligned}\] Donc la fonction \(\varphi\) est strictement décroissante sur \(\mathbb{R}\).

  3. La fonction \(\varphi\) est continue et strictement décroissante sur l’intervalle \([a, b]\). D’après le théorème de la bijection, \(\varphi\) réalise une bijection de l’intervalle \([a, b]\) vers l’intervalle \([\varphi(b), \varphi(a)]\). Mais \(\varphi(a) = f(a) - ka > 0\) et \(\varphi(b) = f(b) - kb < 0\) par hypothèse. Donc puisque \(0 \in [\varphi(b), \varphi(a)]\), \(0\) possède un unique antécédent \(\alpha\) par \(\varphi\) dans \([a, b]\). En conclusion, il existe un unique \(\alpha \in [a, b]\) tel que \(\varphi(\alpha) = k\alpha\).


;
Success message!