Equations fonctionnelles

Exercices du dossier Equations fonctionnelles

Exercice 849 *

16 janvier 2021 19:04 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) continue en \(0\) et soit \(k\in\mathbb{N}^*\), \(k\neq1\) tels que \[\forall x\in \mathbb{R}, \quad f(kx)=f(x).\] Montrer que \(f\) est une fonction constante.



[ID: 687] [Date de publication: 16 janvier 2021 19:04] [Catégorie(s): Equations fonctionnelles ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 849
Par emmanuel le 16 janvier 2021 19:04

Soit \(x\in\mathbb{R}\). On montre par une récurrence facile que \(f(x)=f\left({\scriptstyle x\over\scriptstyle k^n}\right)\). De plus, comme \(f\) est continue en \(0\), en appliquant le théorème de composition d’une suite par une fonction, on montre que : \(f\left({\scriptstyle x\over\scriptstyle k^n}\right) \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} f(0)\) donc par unicité de la limite \(f(x)=f(0)\). On en déduit que \(f\) est constante. Réciproquement, on vérifie que les fonctions constantes sont solutions.


Exercice 168 *

16 janvier 2021 19:04 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Déterminer toutes les fonctions \(f:\mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}\) continues telles que \[\forall x\in \mathbb{R} , \quad f(2x)=-f(x)\]



[ID: 689] [Date de publication: 16 janvier 2021 19:04] [Catégorie(s): Equations fonctionnelles ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 168
Par emmanuel le 16 janvier 2021 19:04

Soit \(x\in \mathbb{R}^{*}\). Considérons la suite \(x_n=\dfrac{x}{2^n}\). On montre que \(\forall n\in \mathbb N\), \(f(x_n)=(-1)^nf(x)\). Mais puisque \(x_n\xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}0\) et que \(f\) est continue en \(0\), \(f\left(x\right)=\left(-1\right)^n f\left(x_n\right) \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}f\left(0\right)\). Donc \(f\left(x\right)=f\left(0\right)\). De plus, comme \(f\left(0\right)=-f\left(0\right)\) , on a \(f\left(0\right)=0\) et \(f=0\). Réciproquement la fonction nulle vérifie l’hypothèse.


Exercice 476 **

16 janvier 2021 19:04 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit une fonction \(f:[0,+\infty[ \mapsto \mathbb{R}\) continue sur l’intervalle \([0, +\infty[\) telle que \[\forall x \geqslant 0, \quad f(x^2)=f(x)\] Déterminer la fonction \(f\).

( ).
Soit \(x>0\), considérer la suite récurrente \[u_0=x \textrm{ et } \forall n\in \mathbb N, \quad u_{n+1}=\sqrt{u_n}\]


[ID: 691] [Date de publication: 16 janvier 2021 19:04] [Catégorie(s): Equations fonctionnelles ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 476
Par emmanuel le 16 janvier 2021 19:04

La suite récurrente de l’énoncé s’étudie classiquement : si \(x> 0\), \(u_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}1\). Comme la fonction \(f\) est supposée continue, si \(x>0\), \(f(u_n)\xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}f(1)\). Mais puisque \(\forall n\in \mathbb N\), \(f(u_{n+1})=f(u_{n+1}^2)=f(u_n)\), la suite \(\bigl(f(u_n)\bigr)\) est constante. Par conséquent, \(f(x)=f(1)\).

On a montré que la fonction \(f\) est constante sur \(]0,+\infty[\). Ensuite, puisque la fonction \(f\) est continue en \(0\), \(\lim_{x\rightarrow 0} f(x)=f(0)\) et comme \(\forall x>0\), \(f(x)=f(1)\), il vient que \(f(0)=f(1)\). Par conséquent les seules fonctions vérifiant l’hypothèse de l’énoncé sont les fonctions constantes.

Réciproquement, les fonctions constantes conviennent.


Exercice 74 *

16 janvier 2021 19:04 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

  1. Soit \(x\in \mathbb{R}\). Etudier la suite \[u_0=x \textrm{ et } \forall n\in \mathbb N, \quad u_{n+1}=\dfrac{u_n-1}{2}\]

  2. Trouver les fonctions \(f:\mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}\) continues vérifiant \[\forall x\in \mathbb{R} , \quad f(2x+1)=f(x)\]



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Exercice 74
Par emmanuel le 16 janvier 2021 19:04
  1. La suite s’étudie classiquement. La fonction \(h : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto \dfrac{x-1}{2}\) est strictement croissante, admet comme seul point fixe \(x_0=-1\) et vérifie \(h\left(x\right)\geqslant x\) si \(x\in\left]-\infty,-1\right]\) et \(h\left(x\right)\leqslant x\) si \(x\in\left[-1,+\infty\right[\). Donc si \(u_0\in \left]-\infty,-1\right]\), la suite \(\left(u_n\right)\) est croissante et majorée par \(-1\). Elle converge alors vers l’unique point fixe de \(h\). De même, si \(u_0\in \left[-1,+\infty\right[\), la suite \(\left(u_n\right)\) est décroissante et minorée par \(-1\) et converge aussi vers \(-1\). En résumé : \(u_n\xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}-1\).

  2. Puisque \(f\) est continue en \(-1\), \(f(u_n) \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}f(-1)\). Mais \(\forall n\in \mathbb N\), \(f(u_{n+1})=f(2u_{n+1}+1)=f(u_n)\) et par conséquent, la suite \(f(u_n)\) est constante. On en déduit que \(f(x)=f(-1)\) et donc \(f\) est une fonction constante. Réciproquement, les fonctions constantes vérifient la propriété de l’énoncé.


Exercice 195 **

16 janvier 2021 19:04 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On considère une fonction \(f : ]0, +\infty[ \mapsto \mathbb{R}\) continue au point \(1\). On suppose que \[\forall (x, y) \in ]0, +\infty[,~ f(xy) = f(x) + f(y)\] Déterminez toutes les fonctions \(f\) vérifiant ces propriétés.



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Exercice 195
Par emmanuel le 16 janvier 2021 19:04

Considérons une fonction \(f\) vérifiant les propriétés de l’énoncé. Définissons alors la fonction \[g : \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & f\circ \exp(x) \end{array} \right.\] La fonction \(g\) est continue au point \(0\) et vérifie \[\forall x \in \mathbb{R} ,~ g(x+y) = g(x) + g(y)\] en prenant \(x = y = 0\), on montre que \(g(0) = 0\). Si \(m\in\mathbb{N}^*\) alors, en posant \(a=g\left(1\right)\), on a : \(g\left(m\right)=m a\) et \(a=g\left(1\right)=g\left(m.{\scriptstyle 1\over\scriptstyle m}\right)=mg\left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle m}\right)\) donc \(g\left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle m}\right)={\scriptstyle a\over\scriptstyle m}\) et pour tout \(r\in\mathbb{Q}_+\), \(g\left(r\right)=ar\). De plus, pour tout \(x\in\mathbb{R}\), il est clair que comme \(0=g\left(x-x\right)=g\left(x\right)+g\left(-x\right)\), alors \(g\left(-x\right)=-g\left(x\right)\). Donc : \(\forall r \in \mathbb{Q}\), \(g(r) = a.r\). Montrons que la fonction \(g\) est continue sur \(\mathbb{R}\). Soit \(x_0 \in \mathbb{R}\). Soit \(h \in \mathbb{R}\). Puisque \(g(x_0 + h) = g(x_0) + g(h)\), on a \[\lvert g(x_0 + h) - g(x_0) \rvert = \lvert g(h) - g(0) \rvert\] et la continuité en \(x_0\) s’obtient facilement de la continuité de \(g\) en \(0\). Comme les rationnels sont denses dans \(\mathbb{R}\), si \(x\in\mathbb{R}\), il existe \(\left(r_n\right)\subset \mathbb{Q}\) telle que \(r_n\xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}x\). Mais comme \(g\) est continue en \(x\), il vient que \(g\left(x\right)=g\left(\lim r_n\right)=\lim g\left(r_n\right)=\lim a r_n=ax\). Par conséquent, \(\forall x \in \mathbb{R}\), \(g(x) =ax\) et alors \(\forall y \in ]0, +\infty[\), \(f(x) = a \ln x\). On vérifie réciproquement que toutes ces fonctions vérifient les conditions de l’énoncé.


Exercice 754 **

16 janvier 2021 19:04 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit une fonction \(f:\mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}\) continue vérifiant : \[\forall (x,y)\in \mathbb{R}^{2}, \quad f(x+y)=f(x)f(y)\]

  1. Montrer que \(\forall x\in \mathbb{R} , f(x)\geqslant 0\).

  2. On suppose qu’il existe \(x\in \mathbb{R}\) tel que \(f(x)=0\). Montrer que \(f=0\).

  3. On suppose que \(f\) n’est pas la fonction nulle. Déterminer la fonction \(f\).



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Exercice 754
Par emmanuel le 16 janvier 2021 19:04
  1. Soit un réel \(x\in \mathbb{R}\). Puisque \(f(x)=\left(f({\scriptstyle x\over\scriptstyle 2})\right)^2\geqslant 0\), il vient que la fonction \(f\) est positive.

  2. S’il existe \(x\in \mathbb{R}\) tel que \(f(x)=0\), alors si \(z\in \mathbb{R}\), \(f(z)=f(x)f(z-x)=0\), et donc \(f\) est la fonction nulle.

  3. Supposons donc que \(f\neq 0\). Posons alors \(\forall x\in \mathbb{R}\), \(g(x)=\ln f(x)\). Alors \(g\) vérifie \[\forall (x,y)\in \mathbb{R}^{2}, \quad g(x+y)=g(x)+g(y)\] On sait alors qu’il existe \(a\in \mathbb{R}\) (voir l’exercice ) tel que \(g(x)=ax\). Mais alors \(\forall x\in \mathbb{R}\), \(f(x)=e^{ax}=a^x\). On vérifie réciproquement qu’une telle fonction vérifie les hypothèses de l’énoncé.


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Exercice 178
Par emmanuel le 16 janvier 2021 19:04
  1. Soit \((f,g)\in E^2\) et \((\lambda,\mu) \in \mathbb{R}^{2}\), alors \[\left(\lambda f + \mu g\right)\left(\dfrac{x+y}{2}\right)=\dfrac{\lambda\left(f\left(x\right)+f\left(y\right)\right)+\mu\left(g\left(x\right)+g\left(y\right)\right)}{2} =\dfrac{\left(\lambda f + \mu g\right)\left(x\right)+ \left(\lambda f + \mu g\right)\left(y\right) }{2}\] et donc \(\lambda f + \mu g \in E\).

  2. On montre que \(f(\dfrac{1}{2})=0\), puis que \(f(\dfrac{1}{4})=f(\dfrac{3}{4})=0\), et ensuite, que \(f\) s’annule sur l’ensemble \[Z=\{ \dfrac{k}{2^n}; n\in \mathbb{N}^{*}, 0 \leqslant k \leqslant 2^n \}\] Cet ensemble est dense dans \([0,1]\). En effet, considérons \(x,y\in\left[0,1\right]\) tels que \(x<y\). Comme \(1/2^n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}0\), il existe \(n\in\mathbb{N}\) tel que \(1/2^{n} < y-x\). Considérons l’ensemble \(A=\left\{k\in\llbracket 0,2^n\rrbracket~|~ k/2^n \geqslant x\right\}\). L’ensemble \(A\) est non vide et possède un plus petit élément \(k_0\). Alors \[y-{\scriptstyle k_0\over\scriptstyle 2^n} >x+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2^{n}}-{\scriptstyle k_0\over\scriptstyle 2^n}=x-{\scriptstyle k_0-1\over\scriptstyle 2^n}>0\] par définition de \(k_0\). Donc \(x\leqslant{\scriptstyle k_0\over\scriptstyle 2^n} <y\) et \(Z\) est bien dense dans \(\left[0,1\right]\). Si alors \(x\in [0,1]\), on peut construire une suite \(x_n\) de points de \(Z\) qui converge vers \(x\). Mais puisque \(\forall n \geqslant 1\), \(f(x_n)=0\), et que \(f\) est continue au point \(x\), on obtient par l’image continue d’une suite que \(f(x)=0\). Donc \(f\) est la fonction identiquement nulle sur \([0,1]\).

  3. Si \(f\in E\), alors d’après la première question, la fonction \(\varphi(x)= f(x)-[f(0)+ x(f(1)-f(0))]\) est encore dans \(E\) (car une fonction affine est dans \(E\) et la différence de deux fonctions de \(E\) est encore une fonction de \(E\)). Puisque \(\varphi(0)=\varphi(1)=0\), d’après la seconde question, il vient que \(\varphi=0\), et donc que \(f\) est affine. Réciproquement, toute fonction affine est bien une fonction de \(E\).


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