Continuité uniforme

Exercices du dossier Continuité uniforme

Exercice 673 *

16 janvier 2021 19:03 — Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron

Soit une fonction \(f : \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}\) continue et périodique. Montrez que la fonction \(f\) est uniformément continue sur \(\mathbb{R}\).



[ID: 681] [Date de publication: 16 janvier 2021 19:03] [Catégorie(s): Continuité uniforme ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron ]
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Exercice 673
Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron le 16 janvier 2021 19:03

Comme la fonction \(f\) est périodique, il existe \(T > 0\) tel que \(\forall x \in \mathbb{R}\), \(f(x+T) = f(x)\). Considérons le segment \([0, 2T]\). Comme la fonction \(f\) est continue sur ce segment, d’après le théorème de Heine, elle est uniformément continue sur ce segment. Donc il existe \(\eta > 0\) tel que \[\forall (x, y) \in [0, 2T]^2,\quad \lvert x-y \rvert \leqslant\eta \Rightarrow \lvert f(x) - f(y) \rvert \leqslant\varepsilon\] Posons \(\eta' = \min(\eta, T) > 0\). Considérons maintenant \((x, y) \in \mathbb{R}^{2}\) tels que \(\lvert x-y \rvert \leqslant\eta'\), avec pour simplifier \(x \leqslant y\). Il existe \(n \in \mathbb{Z}\) tels que \(x - nT \in [0, T]\) et \(y - nT \in [0, 2T]\) (il suffit de poser \(n = E(x/T)\)). Alors puisque \((x-nT, y-nT) \in [0, 2T]^2\) et \(\lvert (x-nT)-(y-nT) \rvert = \lvert x-y \rvert \leqslant\eta\), on a \(\lvert f(x-nT) - f(y-nT) \rvert \leqslant\varepsilon\). Mais puisque \(f(x-nT) = f(x)\) et \(f(y-nT) = f(y)\), il vient finalement que \(\lvert f(x) - f(y) \rvert \leqslant\varepsilon\).


Exercice 874 **

16 janvier 2021 19:03 — Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron

Soit une fonction \(f : [0, +\infty[ \mapsto \mathbb{R}\) continue sur \(\mathbb{R}\) telle que \[f(x) \xrightarrow[x \rightarrow +\infty]{} l \in \mathbb{R}\] Montrez que la fonction \(f\) est uniformément continue sur \(\mathbb{R}\).



[ID: 683] [Date de publication: 16 janvier 2021 19:03] [Catégorie(s): Continuité uniforme ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron ]
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Exercice 874
Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron le 16 janvier 2021 19:03

Soit \(\varepsilon> 0\). Comme \(f(x) \xrightarrow[x \rightarrow +\infty]{} l\), il existe \(A > 0\) tel que \(\forall x \geqslant A\), \(\lvert f(x) - l \rvert \leqslant\varepsilon/ 2\). La fonction \(f\) est continue sur le segment \([0, A+2]\) et donc d’après le théorème de Heine, est uniformément continue sur ce segment. Donc il existe \(\eta > 0\) tel que \[\forall (x, y) \in [0, A+1]^2~\lvert x-y \rvert \leqslant\eta \Rightarrow \lvert f(x) - f(y) \rvert \leqslant\varepsilon\] Posons \(\eta' = \min(\eta, 1)\). Soit maintenant \((x, y) \in [0, +\infty[^2\) tels que \(\lvert x-y \rvert \leqslant\eta'\). Étudions les cas suivants :

  • si \((x, y) \in [0, A+1]^2\), on a bien puisque \(\lvert x-y \rvert \leqslant\eta\), \(\lvert f(x) - f(y) \rvert \leqslant\varepsilon\) ;

  • si par exemple \(x \in [0, A+1]\) et \(y \in [A+1, +\infty[\). Comme \(\lvert x-y \rvert \leqslant\eta' \leqslant 1\), on a \(x \in [A, A+1]\) et \(y \in [A+1, +\infty[\), donc \(x, y \in [A, +\infty[\) et donc \[\lvert f(x) - f(y) \rvert = \lvert [f(x) - l] + [l-f(y)] \rvert \leqslant\lvert f(x) - l \rvert + \lvert f(y) - l \rvert \leqslant\varepsilon/2 + \varepsilon/2 = \varepsilon\]

Donc dans tous les cas, \(\lvert f(x) - f(y) \rvert \leqslant\varepsilon\). La fonction est bien uniformément continue.


Exercice 126 ***

16 janvier 2021 19:03 — Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron

Soit une fonction \(f : [0, 1] \mapsto \mathbb{R}\). On définit la suite de terme général \[u_n = \dfrac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} (-1)^kf\bigl(\dfrac{k}{n}\bigr)\] Montrez que cette suite converge vers \(0\).



[ID: 685] [Date de publication: 16 janvier 2021 19:03] [Catégorie(s): Continuité uniforme ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron ]
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Exercice 126
Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron le 16 janvier 2021 19:03

Soit \(\varepsilon> 0\). Comme la fonction \(f\) est continue sur le segment \([0, 1]\), elle est uniformément continue d’après le théorème de Heine. Donc il existe \(\eta > 0\) tel que \[\forall (x, y) \in [0, 1]^2,~ \lvert x-y \rvert \leqslant\eta \Rightarrow \lvert f(x) - f(y) \rvert \leqslant\varepsilon\] Posons \(N = E(1/\eta) + 1\). Soit \(n \in \mathbb N\) tel que \(n\geqslant N\). Écrivons \(u_n\) en groupant deux termes successifs : Lorsque \(n\) est pair (\(n = 2p\)), on peut écrire \[u_n = \dfrac{1}{n} \sum_{k=0}^{p-1} \Bigl[f\bigl(\dfrac{2k}{n}\bigr) - f\bigl(\dfrac{2k+1}{n}\bigr)\Bigr]\] Or puisque \(n\geqslant N\), \(\lvert (2k+1)/n - 2k/n \rvert \leqslant\eta\) et par conséquent, \[\lvert u_n \rvert \leqslant\dfrac{1}{n} \sum_{k=0}^{p-1} \varepsilon= \dfrac{\varepsilon}{2} \leqslant \varepsilon\] Lorsque \(n\) est impair, il reste un terme solitaire, que l’on peut majorer en introduisant \(M = \sup_{x\in[0, 1]}\lvert f(x) \rvert\) (la fonction \(f\) est continue sur le segment \([0,1]\) donc \(M\) existe). Notons \(n = 2p + 1\). Alors \[u_n = \dfrac{1}{n} \sum_{k=0}^{p-1} \Bigl[f\bigl(\dfrac{2k}{n}\bigr) - f\bigl(\dfrac{2k+1}{n}\bigr)\Bigr] + \dfrac{1}{n} f\bigl(\dfrac{n-1}{n}\bigr)\] et donc \[\lvert u_n \rvert \leqslant\dfrac{\varepsilon}{2} + \dfrac{M}{n}\] et ici aussi lorsque \(n \geqslant N'\), \(\lvert u_n \rvert \leqslant\varepsilon\).


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