Fonctions Lipschitziennes

Exercices du dossier Fonctions Lipschitziennes

Exercice 103 **

13 janvier 2021 20:56 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On considère une fonction \(f: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}\) et une constante \(K > 0\) telle que \[\forall (x, y) \in \mathbb{R}^{2},~ \lvert x-y \rvert \leqslant 1 \Rightarrow \bigl|f(x)-f(y) \bigr| \leqslant K \lvert x-y \rvert\] Montrer que \(f\) est \(K\)-lipschitzienne sur \(\mathbb{R}\).



[ID: 673] [Date de publication: 13 janvier 2021 20:56] [Catégorie(s): Fonctions Lipschitziennes ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 103
Par emmanuel le 13 janvier 2021 20:56

Soient \((x, y) \in \mathbb{R}^{2}\). Supposons que \(x < y\). On peut considérer \(x_0 = x\), \(x_1 = x + 1\), …, \(x_k = x+k\), \(x_n = y\) avec \(y - x_{n-1} \leqslant 1\). Alors \[\bigl|f(y)-f(x)\bigr|= \bigl|f(y)-f(x_{n-1}) + f(x_{n-1}) - f(x_{n-2}) + \cdots + f(x_1) - f(x) \bigr| \leqslant \bigl|f(y)-f(x_{n-1})\bigr| + \bigl|f(x_{n-1}) - f(x_{n-2})\bigr| + \cdots + \bigl|f(x_1) - f(x) \bigr|\] et donc \[\bigl|f(y)-f(x)\bigr| \leqslant K\bigl[(x_1-x) + (x_2-x_1) + \cdots + (y-x_n)\bigr] = K(y-x)\]


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Exercice 29
Par emmanuel le 13 janvier 2021 20:56

Montrons que \(f\) est constante par l’absurde. S’il existe \(b > a\) tel que \(f(b) \neq f(a)\), puisque la fonction \(f\) est croissante, on aurait \(f(b) > f(a)\). Soit \(x \geqslant b\). Comme la fonction \(g\) est croissante, \[\dfrac{f(x) - f(a)}{x-a} \geqslant\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\] Donc \(f(x) \geqslant(x-a)\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} +f(a)\). Posons \(\alpha = \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} > 0\). On a \(\forall x \geqslant b\), \(f(x) \geqslant\alpha(x-a) + f(a) \xrightarrow[x \rightarrow +\infty]{} +\infty\) et donc \(f(x) \xrightarrow[x \rightarrow +\infty]{} +\infty\), une absurdité.


Exercice 1036 **

13 janvier 2021 20:56 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On considère des fonctions réelles \(f\) et \(g\) définies et continues sur \(\left[0,1\right]\). On définit une fonction \(\varphi\) par : \[\varphi\left(t\right)=\sup_{x\in\left[0,1\right]} \left(f\left(x\right)+tg\left(x\right)\right) .\]

  1. Montrer que \(\varphi\) est définie sur \(\mathbb{R}\).

  2. Montrer que \(\varphi\) est Lipschitzienne sur \(\mathbb{R}\).



[ID: 677] [Date de publication: 13 janvier 2021 20:56] [Catégorie(s): Fonctions Lipschitziennes ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 1036
Par emmanuel le 13 janvier 2021 20:56
  1. Soit \(t\in\mathbb{R}\). Comme \(f\) et \(g\) sont continues sur le segment \(\left[0,1\right]\), la fonction \(\theta:x\mapsto f\left(x\right)+tg\left(x\right)\) est continue sur \(\left[0,1\right]\). \(\theta\) est donc bornée sur \(\left[0,1\right]\) et atteint ses bornes. On note \(x_t\) un réel élément de \(\left[0,1\right]\) tel que \(\theta\left(x_t\right)=\sup_{x\in\left[0,1\right]} \theta\left(t\right)\). On a alors : \(\varphi\left(t\right)=\theta\left(x_t\right)\) et \(\varphi\) est définie sur \(\mathbb{R}\).

  2. Soient \(t,t'\in\mathbb{R}\). On a : \[\varphi(t) - \varphi(t') = tg(xt) - t'g(xt) + (f(xt)-f(xt')+t'g(xt')-t'g(xt)) = tg(xt) - t'g(xt)\] et de même \[\varphi(t') - \varphi(t) = t'g(xt') - tg(xt')\] Donc \[|\varphi(t) - \varphi(t')| = \max (|tg(xt) - t'g(xt)|,|t'g(xt') - tg(xt')|) = M|t-t'|.\] On prouve ainsi que \(\varphi\) est Lipschitzienne de rapport \(M\).


Exercice 551 **

13 janvier 2021 20:56 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soient deux fonctions \(f, g : [a, b] \mapsto \mathbb{R}\) lipschitziennes. Montrez que la fonction \(fg\) est lipschitzienne sur \([a, b]\).



[ID: 679] [Date de publication: 13 janvier 2021 20:56] [Catégorie(s): Fonctions Lipschitziennes ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 551
Par emmanuel le 13 janvier 2021 20:56

Comme les fonctions \(f\) et \(g\) sont continues sur le segment \([a, b]\), elles sont bornées. Notons \(M_f = \sup_{x\in[a, b]}\lvert f(x) \rvert\) et \(M_g = \sup_{x\in [a, b]} \lvert g(x) \rvert\). Comme \(f\) et \(g\) sont lipschitziennes sur \([a, b]\), il existe deux constantes \(k_f\) et \(k_g\) telles que \[\forall (x, y) \in [a, b]^2,~ \lvert f(x) - f(y) \rvert \leqslant k_f\lvert x-y \rvert \textrm{ et } \lvert g(x) - g(y) \rvert \leqslant k_g \lvert x-y \rvert\] Posons alors \[K = M_gk_f + M_fK_g\] Vérifions que \(fg\) est \(K\)-lipschitzienne. Soit \((x, y) \in [a, b]^2\). Écrivons \[\begin{aligned} \lvert fg(x) - fg(y) \rvert &= \Bigl|g(x)\bigl[f(x) - f(y)\bigr] + f(y)\bigl[g(x) - g(y)\bigr] \Bigr| \\ &\leqslant\lvert g(x) \rvert \lvert f(x) - f(y) \rvert + \lvert f(y) \rvert \lvert g(x)-g(y) \rvert \\ &\leqslant M_gk_f\lvert x-y \rvert + M_fk_g\lvert x-y \rvert \\ &\leqslant K\lvert x-y \rvert \end{aligned}\]


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