Forme algébrique - Forme trigonométrique

  1. Les exercices
  2. Vue compacte

Exercices du dossier Forme algébrique - Forme trigonométrique

Exercice 59 *

25 novembre 2020 09:20 — Par Emmanuel Vieillard-Baron

Donner l’écriture algébrique des nombres complexes suivants :

  1. \(z_1=\left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle 3}-2i\right)\left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}+{\scriptstyle i\over\scriptstyle 2}\right)\)

  2. \(z_2=\left(1-2i\right)^2\)

  3. \(z_3={\scriptstyle 1\over\scriptstyle 1+3i}\)

  4. \(z_4={\scriptstyle 2-i\over\scriptstyle 1+i}\)

  5. \(z_5=\left(2+i\right)^3\)

  6. \(z_6=\left(1+i\right)^2-\left(2-i\right)^2\)


[ID: 1] [Date de publication: 25 novembre 2020 09:20] [Catégorie(s): Forme algébrique - Forme trigonométrique ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ]
Solution

Exercice 59
Par Emmanuel Vieillard-Baron le 25 novembre 2020 09:20

  1. \(z_1=\dfrac{1}{6}\left(7-5i\right)\)

  2. \(z_2=-3-4i\)

  3. \(z_3 =\dfrac{1}{10}\left(1-3i\right)\)

  4. \(z_4 =\dfrac{1}{2}\left(1-3i\right)\)

  5. \(z_5 =2+11i\)

  6. \(z_6 =-3+6i\)


Exercice 968 *

25 novembre 2020 09:20 — Par Emmanuel Vieillard-Baron

On donne les nombres complexes \[z_1=(\sqrt 6+ i\,\sqrt 2)\left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle 4}+i\, {\scriptstyle\sqrt 3\over\scriptstyle 4}\right) \quad \textrm{ et} \quad z_2=\dfrac{-1+i\,\sqrt 3}{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}+i\,{\scriptstyle\sqrt 3\over\scriptstyle 2}}.\]

  1. Mettre \(z_1\) et \(z_2\) sous forme algébrique \(a+i\,b\).

  2. Déterminer le module puis un argument de \(z_1\), \(z_2\) et \(z_1z_2\).

  3. Déterminer le module puis un argument de \(Z={\scriptstyle z_1\over\scriptstyle z_2}\), \(Z'=z_2^6\). Écrire \(Z\) et \(Z'\) sous forme algébrique.


[ID: 3] [Date de publication: 25 novembre 2020 09:20] [Catégorie(s): Forme algébrique - Forme trigonométrique ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ]
Solution

Exercice 968
Par Emmanuel Vieillard-Baron le 25 novembre 2020 09:20

  1. Un calcul direct donne : \(z_1=\boxed{i\sqrt 2}\). De plus : \(z_2=\dfrac{-1+i\,\sqrt 3}{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}+i\,{\scriptstyle\sqrt 3\over\scriptstyle 2}} = \dfrac{\left(-1+i\,\sqrt 3\right)\left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}-i\,{\scriptstyle\sqrt 3\over\scriptstyle 2}\right)}{\left|{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}+i\,{\scriptstyle\sqrt 3\over\scriptstyle 2}\right|}=\boxed{1+i\sqrt 3}\).

  2. Il est alors clair que \(z_1=\boxed{\sqrt{2}e^{i\pi/2}}\) et que \(z_2=2\left(1/2+\sqrt 3/2 i\right)=\boxed{2e^{i\pi/3}}\).

  3. Comme \(Z=z_1/z_2=\sqrt 2/2 e^{i\left(\pi/2-\pi/3\right)}=\sqrt 2/2e^{i\pi/6}\), il vient \(\boxed{\left|Z\right|=\sqrt{2}/2}\) et \(\boxed{\arg\left(Z\right)=\pi/6 ~\left[2\pi\right]}\) d’où \(\boxed{Z=\dfrac{\sqrt 2}{4}\left(\sqrt 3 +i\right)}\). De même, \(Z'=z_2^6 = \left(2 e^{i\pi/3}\right)^6=64 e^{i2\pi}=\boxed{64}\).


Exercice 546 *

25 novembre 2020 09:20 — Par Emmanuel Vieillard-Baron

Déterminer le module et un argument de \(z={\left( \dfrac{1+i\sqrt{ 3}}{1-i}\right) }^{20}\).


[ID: 5] [Date de publication: 25 novembre 2020 09:20] [Catégorie(s): Forme algébrique - Forme trigonométrique ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ]
Solution

Exercice 546
Par Emmanuel Vieillard-Baron le 25 novembre 2020 09:20

On montre facilement que \(1+i\sqrt{3}=2e^{i{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 3}}\) et que \(1-i=\sqrt{2}e^{-i{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 4}}\) d’où \(z={2^{10}}e^{i{\scriptstyle 35\pi\over\scriptstyle 3}}={2^{10}}e^{-i{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 3}}\) car \(35\pi/3=(36\pi-\pi)/3\). Le module de \(z\) est donc \({2^{10}}\) et un argument de \(z\) est \(-{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 3}\).


Exercice 108 **

25 novembre 2020 09:21 — Par Emmanuel Vieillard-Baron

  1. Soit \(\theta\in\left[-\pi,\pi\right]\). Déterminer le module et un argument de : \(e^{i\theta}+1 \quad \textrm{ et} \quad e^{i\theta}-1\).

  2. En déduire le module et un argument, pour \(\theta\in\left]-\pi,\pi\right[\), de : \[\dfrac{\cos\theta+i\sin\theta+1}{\cos\theta+i\sin\theta-1}.\]


[ID: 7] [Date de publication: 25 novembre 2020 09:21] [Catégorie(s): Forme algébrique - Forme trigonométrique ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ]
Solution

Exercice 108
Par Emmanuel Vieillard-Baron le 25 novembre 2020 09:21

  1. Par factorisation par les angles moitiés (voir proposition page ), on trouve  : \[z=e^{i\theta}+1=e^{i{\scriptstyle\theta\over\scriptstyle 2}}\left(e^{i{\scriptstyle\theta\over\scriptstyle 2}}+e^{-i{\scriptstyle \theta \over\scriptstyle 2}}\right)=2\cos {\scriptstyle\theta\over\scriptstyle 2} e^{i{\scriptstyle\theta\over\scriptstyle 2}}.\] Il reste à étudier le signe de \(\cos {\scriptstyle\theta\over\scriptstyle 2}\). Comme \(\theta\in\left[-\pi,\pi\right]\), alors \({\scriptstyle\theta\over\scriptstyle 2}\in\left[-\pi/2,\pi/2\right]\) et \(\cos {\scriptstyle\theta\over\scriptstyle 2} \geqslant 0\). Il vient donc : \(\boxed{\left|z\right|=2\cos {\scriptstyle\theta\over\scriptstyle 2}}\) et \(\boxed{\arg\left(z\right)={\scriptstyle\theta\over\scriptstyle 2}~\left[2\pi\right]}\). On montre de même que si \(z'=e^{i\theta}-1\) alors : \[z'=e^{i{\scriptstyle\theta\over\scriptstyle 2}}\left(e^{i{\scriptstyle\theta\over\scriptstyle 2}}-e^{-i{\scriptstyle \theta \over\scriptstyle 2}}\right)=2i\sin {\scriptstyle\theta\over\scriptstyle 2} e^{i{\scriptstyle\theta\over\scriptstyle 2}}=2\sin {\scriptstyle\theta\over\scriptstyle 2} e^{i\left({\scriptstyle\theta\over\scriptstyle 2}+{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}\right)}.\] On étudie alors le signe de \(\sin {\scriptstyle\theta\over\scriptstyle 2}\). Comme \(\theta\in\left[-\pi,\pi\right]\), \(\sin\theta/2 \geqslant 0\) si \(\theta\in\left[0,\pi\right]\) et \(\sin\theta/2 < 0\) si \(\theta\in\left[-\pi,0\right[\). Donc : \[\boxed{\left|z'\right|=2\left|\sin {\scriptstyle\theta\over\scriptstyle 2}\right|} \quad \textrm{ et} \quad\boxed{\arg\left(z'\right)=\begin{cases} \dfrac{\theta+\pi}{2} ~\left[2\pi\right]&\textrm{ si } \theta\in\left[0,\pi\right]\\ \dfrac{\theta+3\pi}{2} ~\left[2\pi\right] &\textrm{ si } \theta\in\left[-\pi,0\right[\end{cases}}\]

  2. En utilisant les résultats de la question précédente, on obtient : \[Z=\dfrac{\cos\theta+i\sin\theta+1}{\cos\theta+i\sin\theta-1} =\dfrac{e^{i\theta}+1}{e^{i\theta}-1}= \dfrac{e^{i{\scriptstyle\theta\over\scriptstyle 2}}}{e^{i{\scriptstyle\theta\over\scriptstyle 2}}} \dfrac{ 2\cos{\scriptstyle\theta\over\scriptstyle 2}}{2i\sin{\scriptstyle\theta\over\scriptstyle 2}}= \mathop{\mathrm{cotan}} {\scriptstyle\theta\over\scriptstyle 2} e^{-i{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}}\] On obtient \(\left|Z\right|=\left|z\right|/\left|z'\right|=\boxed{\left|\mathop{\mathrm{cotan}} {\scriptstyle\theta\over\scriptstyle 2} \right|}\) et \(\arg\left(Z\right)=\arg\left(z\right)-\arg\left(z'\right)=\boxed{\begin{cases}-\pi/2 &\textrm{ si } \theta\in\left[0,\pi\right[\\ -{\scriptstyle 3\pi\over\scriptstyle 2} ~\left[2\pi\right] &\textrm{ si } \theta\in\left]-\pi,0\right[\end{cases}}\).


Exercice 167 *

25 novembre 2020 09:21 — Par Emmanuel Vieillard-Baron

Trouver les entiers \(n\in \mathbb N\) tels que \(\bigl(\sqrt{3} + i\bigr)^n\) soit réel.


[ID: 9] [Date de publication: 25 novembre 2020 09:21] [Catégorie(s): Forme algébrique - Forme trigonométrique ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ]
Solution

Exercice 167
Par Emmanuel Vieillard-Baron le 25 novembre 2020 09:21

Comme \(\sqrt{3} + i=2e^{i{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 6}}\), si \(n\in\mathbb{N}\) :\(\bigl(\sqrt{3} + i\bigr)^n=2^n e^{in{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 6}}\). Ce nombre est réel si et seulement si \(n{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 6} \equiv 0 ~ \left[\pi\right]\) c’est-à-dire si et seulement si \(n\) est un multiple de \(6\).


Exercice 885 *

25 novembre 2020 09:21 — Par Emmanuel Vieillard-Baron

On considère, pour \(\theta \in \mathbb{R}\) et \(n \in \mathbb N\), le complexe \(z = \left[ 1 - \sin\theta + i\cos\theta\right] ^n\). Déterminer les réels \(\theta\) tels que \(\mathop{\mathrm{Re}}(z) = 0\).


[ID: 11] [Date de publication: 25 novembre 2020 09:21] [Catégorie(s): Forme algébrique - Forme trigonométrique ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ]
Solution

Exercice 885
Par Emmanuel Vieillard-Baron le 25 novembre 2020 09:21

En utilisant la factorisation par les angles moitiés (voir proposition page ), on trouve  : \[z = [1+ e^{i(\pi/2 + \theta)}]^n = 2^n\cos^n(\pi/4+\theta/2)e^{in(\pi/4 +\theta/2)}\] et donc : \[\mathop{\mathrm{Re}}(z) = 2^n cos^n(\pi/4 + \theta/2)\cos(n\pi/4 + n\theta/2)\] Par suite : \(\mathop{\mathrm{Re}}(z) = 0\) si et seulement si \(\boxed{\theta = 2k\pi + \pi/2}\) ou \(\boxed{\theta = (2k+1)\pi/n - \pi/2}\) où \(k \in \mathbb{Z}\).


\(\sum z_i+z_j\) *

11 mars 2024 22:18 — Par Michel Quercia

  1. Soient \(u,v \in \mathbb{C}\). Montrer que \(|u+v| + |u-v| \geq |u| + |v|\), et déterminer les cas d’égalité.

  2. Soient \(z_{1},z_{2},z_{3} ,z_4 \in \mathbb{C}\). Montrer que \(\sum_{k=1}^4 |z_k| \leq \sum_{k=1}^3\sum_{l =k+1}^4 |z_k+z_l |\).


[ID: 3358] [Date de publication: 11 mars 2024 22:18] [Catégorie(s): Forme algébrique - Forme trigonométrique ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Solution

\(\sum z_i+z_j\)
Par Michel Quercia le 11 mars 2024 22:18

  1. \(|u+v| + |u-v| \geq 2|u|\) et \(|u+v| + |u-v| \geq 2|v|\). Il y a égalité ssi \(u = \pm v\).

  2. \(|z_{1}| + |z_{2}| + |z_{3} | + |z_4| \leq |z_{1}+z_{2}| + |z_{1}-z_{2}| + |z_{3} +z_4| + |z_{3} -z_4|\),

    \(|z_{1}-z_{2}| + |z_{3} -z_4| \leq |z_{1}-z_{2} + z_{3} -z_4| + |z_{1}-z_{2} - z_{3} +z_4| \leq |z_{1}+z_{3} | + |z_{2}+z_4| + |z_{1}+z_4| + |z_{2}+z_{3} |\).


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