Etude de suites données par une relation de récurrence

Exercices du dossier Etude de suites données par une relation de récurrence

Exercice 562 **

12 janvier 2021 15:38 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Étudier la suite définie par \(u_0\in \mathbb{R}\) et \(\forall n\in \mathbb N\), \(u_{n+1}=\dfrac{u_n^3 +6u_n}{3u_n^2 +2}\).



[ID: 524] [Date de publication: 12 janvier 2021 15:38] [Catégorie(s): Etude de suites données par une relation de récurrence ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 562
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 12 janvier 2021 15:38

Introduisons la fonction \(f: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \dfrac{x^3+6x}{3x^2+2} \end{array} \right.\). La suite \(\left(u_n\right)\) est donnée par \(u_0\in\mathbb{R}\) et pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(u_{n+1}=f\left(u_n\right)\). On montre que pour tout \(x\in\mathbb{R}\), \(f'\left(x\right)= \dfrac{3\left(x^2-2\right)^2}{\left(3x^2+2\right)^2}\). Donc \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\). On trouve les points fixes de \(f\) en résolvant l’équation \(f\left(x\right)=x\). Ce sont les nombres : \(\sqrt 2, 0,-\sqrt 2\).

Appliquons maintenant le cours. Les intervalles \(I_1=\left]-\infty,-\sqrt 2\right]\),\(I_2=\left[-\sqrt 2,0\right]\), \(I_3=\left[0,\sqrt 2\right]\) et \(I_4=\left[\sqrt 2,+\infty\right[\) sont stables par \(f\). Soit \(k\in\llbracket 1,4\rrbracket\). Prenons \(u_0\in I_k\). La suite \(\left(u_n\right)\) est donc bien définie et à valeurs dans \(I_k\). En résolvant l’inéquation \(f(x)\leqslant x\) sur \(\mathbb{R}\), on vérifie facilement que \[\begin{cases} f(x)\geqslant x &\textrm{ si } x \in I_1 \\ f(x)\leqslant x &\textrm{ si } x \in I_2\\ f(x)\geqslant x &\textrm{ si } x \in I_3 \\ f(x)\leqslant x &\textrm{ si } x \in I_4 \\ \end{cases}\] et donc que \(\left(u_n\right)\) est croissante si \(u_0\in I_1\cup I_3\), décroissante si \(u_0\in I_2\cup I_4\). Elle est donc à chaque fois soit décroissante et minorée, soit croissante et majorée. La suite \(\left(u_n\right)\) est donc, d’après le théorème de la limite monotone, dans chaque cas convergente et comme sa limite est nécessairement un point fixe de \(f\), on obtient : \[u_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}\begin{cases} -\sqrt 2 &\textrm{ si } u_0 \in I_1\cup I_2 \\ \sqrt 2 &\textrm{ si } u_0 \in I_3\cup I_4 \end{cases} .\]


Exercice 851 *

12 janvier 2021 15:38 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Étudier la suite définie par \(u_0 \in \mathbb{R}\) et \[\forall n \in \mathbb N, \ u_{n+1}= \dfrac{2u_n}{1+u_n^2}\]



[ID: 526] [Date de publication: 12 janvier 2021 15:38] [Catégorie(s): Etude de suites données par une relation de récurrence ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 851
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 12 janvier 2021 15:38

Introduisons la fonction \(f: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \newline x & \longmapsto & \dfrac{2x}{1+x^2} \end{array} \right.\). La suite \(\left(u_n\right)\) est donnée par \(u_0\in\mathbb{R}\) et pour tout \(n\in\mathbb{N}\) \(u_{n+1}=f\left(u_n\right)\). On montre que pour tout \(x\in\mathbb{R}\), \(f'\left(x\right)=2\dfrac{1-x^2}{\left(1+x^2\right)^2}\). On en déduit les variations de \(f\)

On va donc travailler dans un premier temps sur l’intervalle stable \(I=\left[-1,1\right]\). Sur \(I\), la fonction \(f\) est strictement croissante et ses points fixes sont \(-1\), \(0\) et \(1\). En résolvant l’inéquation \(f\left(x\right)\geqslant x\) sur \(I\) on montre que \(f\left(x\right)\leqslant x\) si \(x\in I_1=\left[-1,0\right]\) et que \(f\left(x\right)\geqslant x\) si \(x\in I_2=\left[0,1\right]\). Remarquons que les intervalles \(I_1\) et \(I_2\) sont aussi stables par \(f\). On en déduit alors que :

  • si \(u_0\in I_1\) alors la suite est bien définie et à valeurs dans \(I_1\). De plus, comme \(u_0 \geqslant f\left(u_0\right)\) et que \(f\) est croissante alors \(\left(u_n\right)\) est décroissante. Comme elle est minorée par \(-1\), d’après le théorème de la limite monotone elle est convergente. Sa limite est forcément un point fixe de \(f\), donc dans ce cas \(u_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}-1\).

  • si \(u_0\in I_2\) alors la suite est bien définie et à valeurs dans \(I_2\). Comme \(u_0 \leqslant f\left(u_0\right)\) et que \(f\) est croissante alors \(\left(u_n\right)\) est croissante. Cette suite est majorée par \(1\). On termine alors comme précédemment, et on montre que dans ce cas \(u_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}1\).

Si \(u_0\left]-\infty,-1\right[\) alors \(u_1\in I_1\) et donc on est ramené au premier cas. Si \(u_0\left]1,+\infty\right[\) alors \(u_1\in I_2\) et on est ramené au second cas.


Exercice 576 *

12 janvier 2021 15:38 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(u_0\in[0,1]\). Étudiez la suite définie par la relation de récurrence \[\forall n\in\mathbb N, \ u_{n+1}=\dfrac{1}{2} u_n(1-u_n)\]



[ID: 528] [Date de publication: 12 janvier 2021 15:38] [Catégorie(s): Etude de suites données par une relation de récurrence ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 576
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 12 janvier 2021 15:38

Introduisons la fonction \(f: \left\{ \begin{array}{ccl} \left[0,1\right] & \longrightarrow & \mathbb{R} \newline x & \longmapsto & \dfrac{1}{2} x\left(1-x\right) \end{array} \right.\). On montre que pour tout \(x\in[0,1]\), \(f'\left(x\right)=1/2-x\). On en déduit les variations de \(f\) sur \(\left[0,1\right]\).

L’intervalle \(\left[0,1\right]\) est stable donc la suite est bien définie et à valeurs dans \(\left[0,1\right]\). On vérifie facilement que \(0\) est le seul point fixe de \(f\), que pour tout \(x\in\left[0,1\right]\), \(f\left(x\right)\leqslant x\) et que \(f\) est croissante sur \(\left[0,1/2\right]\), décroissante sur \(\left[1/2,1\right]\). Supposons que \(u_0\in\left[0,1/2\right]\) alors la suite \(\left(u_n\right)\) est décroissante. Elle est de plus minorée par \(0\) donc d’après le théorème de la limite monotone, elle converge. Sa limite est un point fixe de \(f\) donc \(u_n\xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}0\). Si \(u_0\in\left]1/2,1\right]\) alors \(u_1=f\left(u_0\right)\in\left[0,1/2\right]\) car \(f\leqslant 1/8\) sur \(\left[0,1\right]\) et on retombe sur le premier cas.

\[\,\]


Exercice 844 **

12 janvier 2021 15:38 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soient \(0< u_0< v_0\), et \(p>q>0\). On définit deux suites par : \[\forall n \in \mathbb N, \ u_{n+1}=\dfrac{pu_n+qv_n}{p+q} \quad v_{n+1}=\dfrac{pv_n+qu_n}{p+q}\]

  1. Montrez que les suites \((u_n)\) et \((v_n)\) convergent vers la même limite.

  2. Soit \(\varepsilon>0\). Pour quelles valeurs de \(n\) est-on sûr que \(\left| u_n-l\right| \leqslant \varepsilon\) ?



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Exercice 844
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 12 janvier 2021 15:38
  1. Par récurrence, on montre que \(\forall n\in \mathbb{N}^*\), \(u_n \leqslant v_n\), car \[v_{n+1}-u_{n+1}=\dfrac{p-q}{p+q}(v_n-u_n)\] Soit alors \(n\in \mathbb N\), \[u_{n+1}-u_n = \dfrac{q}{p+q}(v_n-u_n)\geqslant 0\] \[v_{n+1}-v_n = \dfrac{q}{p+q}(u_n-v_n) \leqslant 0\] Donc \((u_n)\) est croissante et \((v_n)\) décroissante. En notant \(d_n=v_n-u_n\), on a vu que \[\forall n\in \mathbb N, \quad d_{n+1}=kd_n\]\(k=\dfrac{p-q}{p+q}\) et donc on a \(0<k<1\). Par conséquent, comme \(\left(d_n\right)\) est géométrique \(d_n=k^n d_0 \rightarrow 0\). En conclusion, les deux suites \((u_n)\) et \((v_n)\) sont adjacentes et convergent vers la même limite.

  2. Puisque pour tout \(n\in\mathbb{N}^*\), \(u_n \leqslant l \leqslant v_n\), il vient \(\left| u_n-l\right| \leqslant v_n-u_n =d_n = k^n(v_0-u_0)\). Pour avoir \(\left| u_n - l \right| \leqslant\varepsilon\), il suffit que \(d_n \leqslant\varepsilon\). C’est-à-dire \[n\geqslant\dfrac{ \ln \dfrac{\varepsilon}{v_0-u_0)} }{\ln {k}}.\]


Exercice 678

12 janvier 2021 15:38 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(u_0 > 0\) et \((u_n)\) la suite définie par : \[\forall n\in \mathbb N, \quad u_{n+1}= \sqrt{\mbox{$\displaystyle \sum_{k=0}^{n}u_k $}}\]

  1. Trouver une relation de récurrence simple entre deux termes successifs \(u_{n+1}\) et \(u_n\) de la suite.

  2. Montrer que la suite \((u_n)\) est croissante

  3. Montrer que la suite \((u_n)\) diverge vers \(+\infty\).



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Exercice 678
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 12 janvier 2021 15:38
  1. Remarquons que pour tout \(n\in\mathbb{N}\) \[u_{n+1}=\sqrt{ \sum_{k=0}^{n-1} u_k + u_{n}} = \sqrt{u_n^2 + u_n}\] Introduisons alors \(f: \left\{ \begin{array}{ccl} \left[-1,+\infty\right] & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \sqrt{x^2+x} \end{array} \right.\). On a affaire à une suite récurrente de la forme \(u_{n+1}=f(u_n)\). On vérifie par récurrence que si \(u_0>0\), alors \(\forall n\in \mathbb N\), \(u_n >0\) ce qui permet de définir \(u_{n+1}\). Donc la suite \((u_n)\) est bien définie.

  2. Calculons alors pour \(n\in\mathbb{N}\) \[u_{n+1}-u_n = \sqrt{u_n^2+u_n}-u_n = \dfrac{ u_n^2+u_n - u_n^2}{\sqrt{u_n^2+u_n}+u_n}= \dfrac{u_n}{\sqrt{u_n^2+u_n}+u_n} \geqslant 0\] La suite \((u_n)\) est donc croissante.

  3. Par l’absurde, si la suite \((u_n)\) convergeait vers \(l\in \mathbb{R}\), alors \(l\) devrait être un point fixe de \(f\) et on devrait avoir \(l=f(l)\), c’est-à-dire \(l=\sqrt{l^2+l}\) et donc \(l=0\). Mais c’est impossible car \(u_0>0\) et \((u_n)\) est croissante.

    D’après le théorème de la limite monotone, on en déduit que la suite \((u_n)\) diverge vers \(+\infty\).


Exercice 343 *

12 janvier 2021 15:38 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Étudiez la suite récurrente définie par \(u_0>0\) et \(\forall n\in \mathbb N\), \[u_{n+1}=\sqrt{u_n+1}\]



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Exercice 343
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 12 janvier 2021 15:38

On vérifie par récurrence que \(\forall n\in \mathbb N\), \(u_n>0\) et donc que la suite \((u_n)\) est bien définie.

Introduisons la fonction \(f: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}_+ & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \sqrt{x+1} \end{array} \right.\). Cette fonction est croissante comme composée de fonctions croissantes. Étudions la position de son graphe par rapport à la bissectrice principale. Pour ce faire, considérons la fonction \(g(x)=f(x)-x\), et cherchons son signe. Pour tout \(x\in\mathbb{R}_+\): \[g(x)=\dfrac{ 1+x-x^2}{\sqrt{1+x}+x}=-\dfrac{x^2-x-1}{\sqrt{1+x}+x}\] Notons \(\alpha=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\). La fonction \(g\) est positive sur \([0,\alpha]\), négative sur \([\alpha,+\infty[\). En particulier, la fonction \(f\) possède un unique point fixe \(\alpha \in [0,+\infty[\).

Puisque pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(u_{n+1}-u_n = g(u_n)\), si \(u_n\leqslant\alpha\), \(u_{n+1}\geqslant u_n\) et si \(u_n\geqslant\alpha\), \(u_{n+1}\leqslant u_n\).

On vérifie en utilisant les variations de \(f\) que les intervalles \([0,\alpha]\) et \([\alpha,+\infty[\) sont stables. On étudie alors deux cas :

  1. Si \(u_0 \in ]0,\alpha]\), alors pour tout \(n\in \mathbb N\), \(u_n\in[0,\alpha]\) et la suite \((u_n)\) est croissante et majorée par \(\alpha\). Elle converge alors vers l’unique point fixe de \(f\), \(\alpha\).

  2. Si \(u_0\in[\alpha,+\infty[\), alors pour tout \(n\in \mathbb N\), \(u_n \in [\alpha,+\infty[\) et la suite \((u_n)\) est décroissante et minorée par \(\alpha\). Elle converge donc vers l’unique point fixe de \(f\), \(\alpha\).

On a donc montré que \(\forall u_0 > 0\), \(\boxed{ u_n\xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} }\).


Exercice 612 ***

12 janvier 2021 15:38 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces
Soit \(a>0\). Étudiez la suite de terme général : \[u_n = \sqrt{ a+\sqrt{a+\dots + \sqrt{a}}}\]
( ).
Aidez-vous de l’exercice précédent.


[ID: 536] [Date de publication: 12 janvier 2021 15:38] [Catégorie(s): Etude de suites données par une relation de récurrence ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 612
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 12 janvier 2021 15:38

Introduisons la fonction \(f: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}_+ & \longrightarrow & \mathbb{R}_+ \\ x & \longmapsto & \sqrt{a+ x} \end{array} \right.\). La suite \(\left(u_n\right)\) est définie par récurrence par : \[\begin{cases}&u_0=\sqrt a\\\forall n\in\mathbb{N},\quad &u_{n+1}=f\left(u_n\right) \end{cases}.\] Comme \(f\) est strictement croissante et que \(u_1=\sqrt{a+\sqrt{a}}>\sqrt{a}=u_0\), la suite \(\left(u_n\right)\) est strictement croissante. Un point fixe positif de \(f\) est une solution positive de \(x^2-x-a=0\). La seule possibilité est \(\alpha=\dfrac{1+\sqrt{1+4a}}{2}\). On en déduit que l’intervalle \(\left[0,\alpha\right]\) est stable pour \(f\). De plus \(u_0=\sqrt{a}\in\left[0,\alpha\right]\). Par conséquent \(\left(u_n\in\left[0,\alpha\right]\right)\) et la suite est majorée. On applique le théorème de la limite monotone et on en déduit qu’elle converge vers l’unique point fixe positif de \(f\). Il vient alors que :


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