Suites extraites

  1. Les exercices
  2. Vue compacte

Exercices du dossier Suites extraites

Exercice 850 *

12 janvier 2021 15:20 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \((u_n)\) une suite croissante.

  1. On suppose qu’il existe une suite extraite de \((u_n)\) qui diverge. Montrer que \((u_n)\) diverge.

  2. On suppose qu’il existe une suite extraite de \((u_n)\) qui converge. Montrer que \((u_n)\) converge.


[ID: 476] [Date de publication: 12 janvier 2021 15:20] [Catégorie(s): Suites extraites ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Solution

Exercice 850
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 12 janvier 2021 15:20

  1. Si \(\left(u_n\right)\) convergeait alors il en serait de même de toute suite extraite, donc \(\left(u_n\right)\) diverge.

  2. Comme \(\left(u_n\right)\) est croissante, d’après le théorème de la limite monotone, soit elle converge, soit elle tend vers \(+\infty\). Si \(\left(u_n\right)\) tend vers \(+\infty\), alors toute suite extraite de \(\left(u_n\right)\) tend vers \(+\infty\) (cette propriété se démontre aisément à l’aide de la définition de la divergence d’une suite vers \(+\infty\)), ce qui est contraire à l’hypothèse. Donc \(\left(u_n\right)\) converge.


Exercice 123 *

12 janvier 2021 15:20 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

La suite définie par \(0 < u_{0}< 2\) et \(u_{n+1}= \sqrt{ 2 +(-1)^{n}u_{n} }\) est-elle convergente ?


[ID: 478] [Date de publication: 12 janvier 2021 15:20] [Catégorie(s): Suites extraites ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 123
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 12 janvier 2021 15:20

Supposons que oui et appelons \(\lambda\) la limite. On a \(\displaystyle{\lim_{n \to \infty}} u_{2n}= \lambda\) et \(\displaystyle{\lim_{n \to \infty}} u_{2n+1}= \lambda\) . D’ou \(\lambda = \sqrt{2 + \lambda }\) et \(\lambda = \sqrt{2 - \lambda }\). De \(\sqrt{2 + \lambda } = \sqrt{2 - \lambda }\) on tire \(\lambda = 0\), ce qui contredit \(\lambda = \sqrt{2 + \lambda }\). La suite \(u_{n}\) n’est pas convergente.


Exercice 714 **

12 janvier 2021 15:20 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit une suite \((u_n)\) telle que les suites extraites \((u_{2n})\), \((u_{2n+1})\) et \((u_{3n})\) convergent. Montrez que la suite \((u_n)\) converge.


[ID: 480] [Date de publication: 12 janvier 2021 15:20] [Catégorie(s): Suites extraites ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 714
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 12 janvier 2021 15:20

Il existe \((l,l',l'') \in \mathbb{R}^{3}\) tels que \(u_{2n} \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}l\), \(u_{2n+1} \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}l'\) et \(u_{3n}\xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}l''\). Montrons que \(l = l' = l''\). Comme la suite \((u_{6n})\) est extraite de la suite \((u_{2n})\), elle converge vers \(l\) (toute suite extraite d’une suite convergente est convergente de même limite). Mais la suite \((u_{6n})\) est également extraite de la suite \((u_{3n})\) et elle converge donc vers \(l''\). Par unicité de la limite, \(l = l''\). Considérons la suite \((u_{6n+3})\). Comme elle est extraite de \((u_{2n+1})\) et de \((u_{3n})\), par le même raisonnement, on obtient que \(l' = l''\). Par conséquent, les suites \((u_{2n})\) et \((u_{2n+1})\) convergent vers la même limite, et d’après le cours, on en déduit que la suite \((u_n)\) converge.


Vrai ou Faux **

12 janvier 2021 15:20 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit une suite \((u_n)\) telle que \(\forall k \geqslant 2\) les suites extraites \((u_{kn})\) convergent.

Est-il vrai que la suite \((u_n)\) converge ?


[ID: 482] [Date de publication: 12 janvier 2021 15:20] [Catégorie(s): Suites extraites ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Vrai ou Faux
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 12 janvier 2021 15:20

Faux : On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_n = 1\) si \(n\) est premier et \(u_n = 0\) sinon. Toutes les suites extraites \((u_{kn})\) convergent vers \(0\) mais la suite \((u_n)\) n’a pas de limite puisqu’il y a une infinité de nombres premiers. Ce que nous verrons à la proposition p. .


Exercice 808 **

12 janvier 2021 15:20 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

  1. Montrer que la suite de terme général \[S_n = \sum_{k=1}^n \dfrac{(-1)^k}{\sqrt{k}}\] converge vers une limite finie \(l \in \mathbb{R}\).

    Étudier les suites extraites \(\left(S_{2n}\right)\) et \(\left(S_{2n+1}\right)\) et montrer qu’elles sont adjacentes.

  2. Calculer une valeur approchée de \(l\) à \(10^{-1}\) près.


[ID: 486] [Date de publication: 12 janvier 2021 15:20] [Catégorie(s): Suites extraites ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Solution

Exercice 808
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 12 janvier 2021 15:20

  1. Définissons les deux suites extraites \((u_n)=(S_{2n})\) et \((v_n)=(S_{2n+1})\). On calcule pour \(n\in \mathbb{N}^*\): \[u_{n+1}-u_n = \dfrac{1}{\sqrt{2n+2}} - \dfrac{1}{\sqrt{2n+1}} \leqslant 0\] \[v_{n+1}-v_n = \dfrac{1}{\sqrt{2n+2}}-\dfrac{1}{\sqrt{2n+3}} \geqslant 0\] donc \((u_n)\) est décroissante et \((v_n)\) croissante. Si \((d_n)=(u_n-v_n)\), \[d_n = \dfrac{1}{\sqrt{2n+1}} \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}0\] Les deux suites \((S_{2n})\) et \(S_{2n+1})\) sont adjacentes et convergent donc vers la même limite finie \(l\).

  2. Pour tout \(n\in \mathbb{N}^*\), \(l\) est toujours compris entre \(S_n\) et \(S_{n+1}\). Il vient donc que \[\left| S_n -l \right| \leqslant\left| S_n-S_{n+1}\right| = \dfrac{1}{\sqrt{n+1}}\] Pour que \(S_n\) soit une valeur approchée de \(l\) à \(10^{-1}\) près, il suffit que \(\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}\leqslant 10^{-1}\), c’est-à-dire \(\boxed{n\geqslant 99}\).
    On calcule alors \(S_{99} = -0.6\).


Exercice 772 *

12 janvier 2021 15:20 — Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron
Etudiez la suite de terme général : \[u_n = \sum_{k=0}^n \dfrac{ (-1)^k}{k!}\]
( ).
Étudier les suites extraites \(\left(u_{2n}\right)\) et \(\left(u_{2n+1}\right)\) et montrer qu’elles sont adjacentes.


[ID: 484] [Date de publication: 12 janvier 2021 15:20] [Catégorie(s): Suites extraites ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron ]
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Exercice 772
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 12 janvier 2021 15:20

Soit \(n\in \mathbb{N}\). Posons : \[\alpha_n=u_{2n} = \sum_{k=0}^{2n} \dfrac{ (-1)^k}{k!} \quad \textrm{ et} \quad\beta_n=u_{2n+1}= \sum_{k=0}^{2n+1} \dfrac{ (-1)^k}{k!}.\] La suite \(\left(\alpha_n\right)\) est décroissante. En effet : \[\alpha_{n+1}-\alpha_n = \sum_{k=0}^{2n+2} \dfrac{ (-1)^k}{k!}-\sum_{k=0}^{2n} \dfrac{ (-1)^k}{k!} =\dfrac{-1}{\left(2n+1\right)!}+\dfrac{1}{\left(2n+2\right)!}<0\] et \(\left(\beta_n\right)\) est croissante : \[\beta_{n+1}-\beta_n = \sum_{k=0}^{2n+3} \dfrac{ (-1)^k}{k!}-\sum_{k=0}^{2n+1} \dfrac{ (-1)^k}{k!} =\dfrac{1}{\left(2n+2\right)!}+\dfrac{-1}{\left(2n+3\right)!} >0\] De plus, \(\beta_n-\alpha_n=\dfrac{\left(-1\right)^{2n+1}}{\left(2n+1\right)!}\xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{}0\). Les deux suites sont donc adjacentes. Elles convergent alors vers la même limite \(l\in \mathbb{R}\) et donc, d’après le cours comme \(\left(u_{2n}\right)\) et \(\left(u_{2n+1}\right)\) ont la même limite \(l\), la suite \((u_n)\) converge vers \(l\).


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