Sommes géométriques

Exercices du dossier Sommes géométriques

Exercice 208 *

12 janvier 2021 15:17 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Étudier la convergence de la suite de terme général

\[u_n=\dfrac{1}{n}\left(1+1+\dfrac{1}{n}+ \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^2 + \dots+\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n-1}\right).\]



[ID: 460] [Date de publication: 12 janvier 2021 15:17] [Catégorie(s): Sommes géométriques ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 208
Par emmanuel le 12 janvier 2021 15:17

Soit \(n\in\mathbb{N}^*\). On a :\[u_n=\dfrac{1}{n}\left(1+1+\dfrac{1}{n}+ \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^2 + \dots+\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n-1}\right)=\dfrac{1}{n} \dfrac{1-\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n } { 1-\left(1+\dfrac{1}{n}\right) } = \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n-1\] mais \(\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} e\) (voir exercice ) et donc \(\boxed{u_n\xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} e-1}\).


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Exercice 77
Par emmanuel le 12 janvier 2021 15:17
  1. Soit \(n\in\mathbb{N}\). On a : \(\dfrac{v_{n+1}}{v_n}=\dfrac{u_{n+2}-u_{n+1}}{u_{n+1}-u_{n}}=\dfrac{\dfrac{1}{2} \left( u_{n+1}+u_n\right)-u_{n+1}}{u_{n+1}-u_{n}}=-\dfrac{1}{2}\). La suite \(\left(v_n\right)\) est donc une suite géométrique de raison \(-\dfrac{1}{2}\). Son premier terme est \(v_0=u_1-u_0=b-a\).

  2. On en déduit que pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(v_n=\left(b-a\right)\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n\). Soit \(n\in\mathbb{N}\). On calcule :
    \(S_n=\left(b-a\right)\dfrac{1-\left(-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}\right)^{n}}{1+\dfrac{1}{2}}=\dfrac{2\left(b-a\right)}{3} \left(1-\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n}\right)\).

  3. Par télescopage, on a aussi \(S_n=\sum_{k=0}^{n-1} v_k=u_n-u_0\) et donc \(u_n=\dfrac{2\left(b-a\right)}{3}\left(1-\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}\right)+a\). On en déduit que \(u_n\xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} \boxed{\dfrac{a+2b}{3}}\).


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