Loi conjointe, lois marginales

Exercices du dossier Loi conjointe, lois marginales

CCP 2017 ** CCP

14 mai 2024 12:59 — Par Michel Quercia

On considère un couple de variables aléatoires \((X, Y)\) de loi conjointe : \[\forall (i,j)\in \mathbb{N}^2 ,\quad \mathbb P (X = i, Y = j) = \frac{(i+j)e^{i+j-1}}{2e^{2e}i!\,j!}.\]

  1. Déterminer les lois marginales de \(X\) et \(Y\).

  2. X et Y sont elles indépendantes ?

  3. Montrer que \(\mathbb E (2^{X+Y})\) existe et donner sa valeur.



[ID: 4879] [Date de publication: 14 mai 2024 12:59] [Catégorie(s): Loi conjointe, lois marginales ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
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Solution
Texte

CCP 2017
Par Michel Quercia le 14 mai 2024 12:59
  1. \(\mathbb P (X=i)=\frac{e^{i-1}}{2e^{e}i!}(i+e)=\mathbb P (Y=i)\).

  2. Non, \(\mathbb P (X=0,Y=0)\neq \mathbb P (X=0)\mathbb P (Y=0)\).

  3. \(\mathbb E (2^{X+Y})=\sum_{i,j}\frac{(i+j)2^{i+j}e^{i+j-1}}{2e^{2e}i!\,j!} = 2e^{2e}.\)


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