Calculs de probabilités

Exercices du dossier Calculs de probabilités

Accordéon
Titre
Solution
Texte

Temps d’attente
Par Michel Quercia le 16 avril 2024 14:08
  1. \(p_k = (n-1)^{k-1}/n^k\), \(p_\infty =0\).

  2. \(p_{1}=1/n\), \(p_k = (n-2)^{k-2}/n(n-1)^{k-2}\) pour \(k\geq 2\), \(p_\infty =0\).

  3. \(p_k = 1/n\) pour \(1\leq k\leq n\).


Accordéon
Titre
Solution
Texte

Équilibre
Par Michel Quercia le 16 avril 2024 14:08
  1. \(\mathbb P (A_n)=\binom{2n}{n}(pq)^n\), \(\mathbb P (B_n)=2\binom{2n-2}{n-1}(pq)^n/n\).

  2. \(\mathbb P (C)=\sum_{n=1}^\infty \mathbb P (B_n)=1-\sqrt {1-4pq}=2\min(p,q)\) par DSE dans le cas \(p\neq q\) et par intégration terme à terme, cas réel positif dans le \(p=q=\frac12\).

  3. \(\mathbb P (D)=0\) si \(p\neq q\), \(\mathbb P (D)=1\) si \(p=q=\frac12\).


Déséquilibre **

16 avril 2024 14:08 — Par Michel Quercia

On lance une pièce équilibrée jusqu’à obtenir deux fois plus de Face que de Pile. Quelle est la probabilité de ne jamais y arriver ?



[ID: 4850] [Date de publication: 16 avril 2024 14:08] [Catégorie(s): Calculs de probabilités ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Accordéon
Titre
Solution
Texte

Déséquilibre
Par Michel Quercia le 16 avril 2024 14:08

Soient \(p_n\), \(f_n\) les nombres de Pile et de Face obtenus au cours des \(n\) premiers lancers et soit \(x_n = 2p_n-f_n\) (\(n\in \mathbb{N}\)). Pour \(k\in \mathbb{Z}\) et \(n\in \mathbb{N}\), on note \(A_{k,n}\) l’évènement \(\{ x_n=k\}\) et \(A_k = \bigcup _{n\in \mathbb{N}}A_{k,n}\). \(A_k\) est l’évènement : \(\{\)on aboutit en un nombre fini de lancers à la situation où \(2p_n-f_n = k\}\) et la probabilité demandée est \(1-\frac12\mathbb P (A_{-2})-\frac12\mathbb P (A_{1})\), par disjonction de cas selon le résultat du premier lancer.

Toujours par disjonction de cas, \(\mathbb P (A_k) = \frac12\mathbb P (A_{k-2}) + \frac12\mathbb P (A_{k+1})\), équation de récurrence ayant pour racines \(a=1\), \(b=\frac{\sqrt 5-1}2\), \(c=-\frac{\sqrt 5+1}2\). Donc \(\mathbb P (A_k) = \alpha +\beta b^k+\gamma c^k\) pour tout \(k\in \mathbb{Z}\)\(\alpha ,\beta ,\gamma\) sont des constantes. Comme la suite \((\mathbb P (A_k))\) est bornée, \(\beta =\gamma =0\) donc \(\alpha =\mathbb P (A_{0} )=1\) et la probabilité de ne jamais avoir \(2p_n=f_n\) est nulle.


Accordéon
Titre
Solution
Texte

Permutation aléatoire
Par Michel Quercia le 16 avril 2024 14:08
    1. La composée de \(N\) transpositions a au moins \(n-N\) orbites si \(N<n\) et il existe des permutations à une seule orbite (les \(n\)-cycles) donc il faut \(N\geq n-1\). Cette condition est suffisante, toute permutation de \(n\) éléments peut être décomposée en au plus \(n-1\) transpositions.

    2. Non, la taille de l’univers est \(n^{2N}\) qui n’est pas un multiple de \(n!\) si \(n\geq 3\).

  1. Oui.


Accordéon
Titre
Solution
Texte

Fonction \(\zeta\), Mines-Ponts 2015
Par Michel Quercia le 16 avril 2024 14:08
  1. \(1/n^s\).

  2. Les évènements contraires \((k\) n’est pas divisible par \(l _i)\) sont aussi mutuellement indépendants donc le produit de leurs probabilités est la probabilité de leur intersection qui est égale à \(\{ 1\}\).


Escargots et coquilles **

16 avril 2024 14:09 — Par Michel Quercia

  1. Soient \(A_{1},A_{2},\dots,A_n\) des évènements. On veut prouver la formule du crible : \[\mathbb P (A_{1}\cup \dots\cup A_n) = \sum_i\mathbb P (A_i) - \sum_{i<j}\mathbb P (A_i\cap A_j) + \sum_{i<j<k}\mathbb P (A_i\cap A_j\cap A_k) - \dots+ (-1)^{n-1}\mathbb P (A_{1}\cap \dots\cap A_n).\]

    1. Traiter les cas \(n=2\) et \(n=3\).

    2. Pour le cas général, on note \(\mathbb 1 _A\) la fonction indicatrice de l’évènement \(A\). Exprimer \(\mathbb 1 _{\overline{A_{1}\cup \dots\cup A_n}}\) en fonction des \(\mathbb 1 _{A_i}\) et calculer son espérance.

  2. Soit \(\sigma \in S_n\). On dit que \(\sigma\) est un dérangement si \(\sigma (i)\neq i\) pour tout \(i\). Quelle est la probabilité qu’une permutation choise au hasard soit un dérangement ?

  3. La société Burgundy Snail Inc. reçoit chaque semaine 6000 escargots vivants. Elle les fait bouillir ensemble dans une grande marmite ce qui a pour effet (entre autres) de détacher chaque escargot de sa coquille. Les escargots bouillis flottent à la surface et les coquilles tombent au fond de la marmite. Une chaîne de traitement récupère les escargots et les assaisonne ; une autre chaîne récupère les coquilles, les nettoie et les fait briller. Puis escargots et coquilles rejoignent une troisième chaîne qui place chaque escargot dans une coquille et les emballe par boîtes de 12. On demande :

    1. La probabilité que chaque escargot se retrouve dans sa coquille d’origine.

    2. La probabilité qu’aucun escargot ne se retrouve dans sa coquille d’origine.

    3. La probabilité que chaque boite de 12 escargots contienne exactement un escargot qui est dans sa coquille d’origine.



[ID: 4856] [Date de publication: 16 avril 2024 14:09] [Catégorie(s): Calculs de probabilités ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Accordéon
Titre
Solution
Texte

;
Success message!