Conditionnement

Exercices du dossier Conditionnement

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Équité ?
Par Michel Quercia le 16 avril 2024 14:07

\(\mathbb P (\)riche\(|\)bleu\()p+\mathbb P (\)riche\(|\)rouge\()(1-p) = q\). La richesse est équitablement répartie ssi \(q=7/10\).


Probabilité des causes **

16 avril 2024 14:07 — Par Michel Quercia

On cherche un objet dans un meuble constitué de sept tiroirs. La probabilité qu’il soit effectivement dans ce meuble est \(p\). Sachant qu’on a examiné les six premiers tiroirs sans succès, quelle est la probabilité qu’il soit dans le septième ?



[ID: 4839] [Date de publication: 16 avril 2024 14:07] [Catégorie(s): Conditionnement ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
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Probabilité des causes
Par Michel Quercia le 16 avril 2024 14:07

Il manque l’information concernant les probabilités que l’objet soit dans un tiroir ou un autre sachant qu’il est dans le meuble. Supposons que ces probabilités sont égales à \(1/7\) et soient \(A_i\) l’évènement  l’objet est dans le tiroir \(i\) et \(B\) l’évènement  l’objet n’est pas dans le meuble .

On a \(\mathbb P (A_7) = \mathbb P (A_7|\overline B)p + \mathbb P (A_7|B)(1-p) = p/7\) puis \(\mathbb P (A_7|A_7\cup B) = \dfrac{\mathbb P (A_7)}{\mathbb P (A_7)+\mathbb P (B)} = \dfrac p{7-6p}\).


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Temps d’attente **

16 avril 2024 14:07 — Par Michel Quercia

On lance une infinité de fois une pièce et on considère l’évènement \(A_k =\)  au cours des \(k\) premiers lancers, il n’est jamais sorti trois pile de suite avec la convention \(A_{0} =\Omega\).

  1. En supposant les lancers mutuellement indépendants et la pièce équilibrée, montrer que

    \(\mathbb P (A_k) = \frac12\mathbb P (A_{k-1})+\frac14\mathbb P (A_{k-2})+\frac18\mathbb P (A_{k-3})\) pour \(k\geq 3\).

  2. On note \(\alpha ,\beta ,\gamma\) les racines dans \(\mathbb{C}\) du polynôme \(X^3-X^2 /2-X/4-1/8\). Montrer, sans les calculer, que \(\max(|\alpha |,|\beta |,|\gamma |)<1\) et en déduire \(\lim_{k\to \infty }\mathbb P (A_k)\).

  3. Reprendre l’exercice avec l’évènement \(B_k =\)  au cours des \(k\) premiers lancers, il n’est jamais sorti la séquence \(PFP\) .

  4. Soit \(S\) une suite fixée dans \(\{ P,F\} ^N\). Montrer, sans calcul, qu’il est presque certain que \(S\) apparaît au moins une fois lors d’une infinité de tirages mutuellement indépendants, avec \(P\) et \(F\) de probabilité \(\frac12\) à chaque lancer. Montrer qu’il est presque certain que \(S\) apparaît une infinité de fois dans les mêmes conditions ; et montrer enfin que ceci reste vrai pour toute pièce vérifiant \(\mathbb P (P)=p\in {]0,1[}\), les lancers étant toujours mutuellement indépendants.



[ID: 4842] [Date de publication: 16 avril 2024 14:07] [Catégorie(s): Conditionnement ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
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Temps d’attente
Par Michel Quercia le 16 avril 2024 14:07
  1. Conditionner par le résultat des lancers de rang \(k-3,k-2,k-1\).

  2. Par étude de fonction, il existe une unique racine réelle \(\alpha \in {]\frac12,1[}\). Les deux autres racines sont non réelles conjuguées et \(|\beta |=|\gamma |= \sqrt {1/8\alpha }<\frac12\). \(\mathbb P (A_k)\) est combinaison linéaire des suites \((\alpha ^k)\), \((\beta ^k)\), \((\gamma ^k)\) donc \(\mathbb P (A_k)\to _{k\to \infty }0\).

  3. En conditionnant par le nombre \(n\) de pile consécutifs à la fin des \(k\) lancers, on obtient

    \(\mathbb P (B_k)=\frac12\mathbb P (B_{k-1})+\sum_{n=1}^{k-2}\mathbb P (B_{k-n-2})/2^{n+2}\), puis \(\mathbb P (B_{k+1})=\mathbb P (B_k)-\frac14\mathbb P (B_{k-1})+\frac18\mathbb P (B_{k-2})\).

    L’équation caractéristique admet à nouveau trois racines \(\alpha \in {]\frac12,1[}\) et \(\beta ,\gamma\) non réelles conjuguées de module \(<\frac12\), d’où \(\mathbb P (B_k)\to _{k\to \infty }0\).

  4. Découper la suite des lancers en blocs de taille \(N\).


Pièces variables **

16 avril 2024 14:07 — Par Michel Quercia

On lance \(n\) pièces, l’une après l’autre, et on fait l’hypothèse que les lancers sont mutuellement indépendants et que la \(k\)-ème pièce a une probabilité \(1/(2k+1)\) de produire pile. Quelle est la probabilité que le nombre de pile obtenu soit pair ?



[ID: 4844] [Date de publication: 16 avril 2024 14:07] [Catégorie(s): Conditionnement ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
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Pièces variables
Par Michel Quercia le 16 avril 2024 14:07

Soit \(p_n\) cette probabilité. En conditionnant par le résultat du \(n\)-ème lancer, on a

\((2n+1)p_n = 1 + (2n-1)p_{n-1} = \dots= (n-1)+3p_{1}=n+1\).


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