Suites monotones et bornées

  1. Les exercices
  2. Vue compacte

Exercices du dossier Suites monotones et bornées

Exercice 453 *

12 janvier 2021 15:04 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

En utilisant le théorème de la limite monotone, prouver la convergence de la suite de terme général :

\[u_n=\left(1-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 3}\right)\left(1-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 5}\right)\dots\left(1-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2n+1}\right)\]


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Solution

Exercice 453
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 12 janvier 2021 15:04

Soit \(n\in\mathbb{N}\). \({\scriptstyle u_{n+1}\over\scriptstyle u_n}=\left(1-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2\left(n+1\right)+1}\right)<1\) donc \(\left(u_n\right)\) est décroissante. De plus \(\left(u_n\right)\) est positive et donc minorée par \(0\). Par application du théorème de la limite monotone, \(\left(u_n\right)\) est convergente et sa limite est positive.


Exercice 864 *

12 janvier 2021 15:04 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Étudier la convergence de la suite de terme général : \[u_n=\mbox{$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n+k} $}.\]


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Solution

Exercice 864
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 12 janvier 2021 15:04

Soit \(n\in\mathbb{N}^*\). Calculons \[u_{n+1}-u_n = \left( \dfrac{1}{n+2}+\dots + \dfrac{1}{2n}+\dfrac{1}{2n+1}+\dfrac{1}{2n+2} \right) - \left( \dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+\dots + \dfrac{1}{2n}\right)= \dfrac{1}{2(2n+1)(n+1)}>0\] Par conséquent, \((u_n)\) est croissante. De plus \[u_n=\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+\dots + \dfrac{1}{2n}\leqslant\dfrac{n}{n}=1\] donc \(\left(u_n\right)\) est minorée par \(1\). Cette suite converge d’après le théorème de la limite monotone.


Exercice 621 **

12 janvier 2021 15:04 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

En utilisant le théorème de la limite monotone, prouver la convergence de la suite de terme général \[u_n=\mbox{$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}{\scriptstyle 1\over\scriptstyle kn} $}\]


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Exercice 621
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 12 janvier 2021 15:04

Soit \(n\in\mathbb{N}^*\). On a : \[\begin{aligned} u_{n+1}-u_n&=& \dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{2(n+1)}+\dots+\dfrac{1}{\left(n+1\right)\left(n+1\right)}-\left(\dfrac{1}{ n } +\dfrac { 1 } { 2n} +\dots+\dfrac{1}{n.n}\right)\\ &=&\left(\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n}\right)\left(1+\dfrac{1}{2}+\dots+\dfrac{1}{n}\right)+ \dfrac { 1 }{\left(n+1\right)^2}\\ &=& \left(1+\dfrac{1}{2}+\dots+\dfrac{1}{n}\right)\dfrac{-1}{n\left(n+1\right)}+\dfrac { 1 }{\left(n+1\right)^2}\\ &\leqslant&-\dfrac{1}{n\left(n+1\right)}+\dfrac { 1 }{\left(n+1\right)^2}\\ &\leqslant&\dfrac{1}{(n+1)^2}-\dfrac{1}{n^2}\\ &\leqslant& 0 \end{aligned}\] car \(1+\dfrac{1}{2}+\dots+\dfrac{1}{n}\geqslant 1\). Donc \(\left(u_n\right)\) est décroissante. Elle est minorée par \(0\) et donc elle converge d’après le théorème de la limite monotone.


Exercice 41 *

12 janvier 2021 15:04 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Étudiez la suite de terme général \[u_n= \prod_{k=1}^n \dfrac{2k-1}{2k}\]


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Exercice 41
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 12 janvier 2021 15:04

Majorons pour \(n\in \mathbb{N}^*\), \[\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{2n+1}{2n+2} <1\] Par conséquent, la suite \((u_n)\) est décroissante. Comme elle est minorée par \(0\), elle converge d’après le théorème de la limite monotone.


Exercice 567 *

12 janvier 2021 15:04 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Étudier la convergence de la suite de terme général : \[u_n={\scriptstyle 1!+2!+\dots+n!\over\scriptstyle n!}\]


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Exercice 567
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 12 janvier 2021 15:04

Soit \(n\in\mathbb{N}\). \[u_{n+1}-u_n={\scriptstyle 1!+2!+\dots+n!+\left(n+1\right)!\over\scriptstyle\left(n+1\right)!}-{\scriptstyle 1!+2!+\dots+n!\over\scriptstyle n!}={\scriptstyle\left(n+1\right)n!-n \left(1!+\dots+n!\right) \over\scriptstyle\left(n+1\right)!}={\scriptstyle n!-n \left(1!+\dots+\left(n-1\right)!\right) \over\scriptstyle\left(n+1\right)!}={\scriptstyle-n \left(1!+\dots+\left(n-2\right)!\right) \over\scriptstyle\left(n+1\right)!}\leqslant 0\] donc \(\left(u_n\right)\) est décroissante. De plus \(\left(u_n\right)\) est positive et donc minorée par \(0\). Par application du théorème de la limite monotone, \(\left(u_n\right)\) est convergente et sa limite est positive.


Exercice 536 *

12 janvier 2021 15:04 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(\left(u_n\right)\) la suite de terme général : \(u_n=\left(1+a\right)\left(1+a^2\right)\dots\left(1+a^n\right)\) avec \(0<a<1\).

  1. Étudier les variations de cette suite.

  2. Prouver l’inégalité : \[\forall x\in\mathbb{R}, \quad 1+x\leqslant e^x\]

  3. En déduire que la suite \(\left(u_n\right)\) est convergente.


[ID: 444] [Date de publication: 12 janvier 2021 15:04] [Catégorie(s): Suites monotones et bornées ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
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Exercice 536
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 12 janvier 2021 15:04

  1. Soit \(n\in \mathbb{N}^*\). On a : \({\scriptstyle u_{n+1}\over\scriptstyle u_n}=\left(1+a^{n+1}\right)>1\) donc \(\left(u_n\right)\) est croissante.

  2. Il suffit d’étudier la fonction \(f: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & e^x-\left(1+x\right) \end{array} \right.\).

  3. Appliquant \(n\) fois l’inégalité précédente avec succssivement \(x=a\), \(x=a^2\), ...,\(x=a^n\) on obtient : \[u_n=\left(1+a\right)\left(1+a^2\right)\dots\left(1+a^n\right)<e^a e^{a^2} e^{a^3} \dots e^{a^n}=e^{a{\scriptstyle 1-a^{n}\over\scriptstyle 1-a}}\leqslant e^{{\scriptstyle a\over\scriptstyle 1-a}}\] La suite \(\left(u_n\right)\) est donc majorée et en appliquant le théorème de la limite monotone, on en déduit que \(\left(u_n\right)\) converge.


Moyennes de Cesáro ***

12 janvier 2021 15:04 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \((u_n)\) une suite croissante de limite \(l\in\mathbb{R}\). Pour tout \(n \geqslant 1\), on pose \[v_n=\dfrac{u_1+u_2+....+u_n}{n}.\]

  1. Montrer que \((v_n)\) est croissante.

  2. Montrer que \((v_n)\) est majorée et en déduire que \((v_n)\) est convergente vers un réel \(L\).

  3. Établir que \(\forall n \geqslant 1, ~ v_{2n}\geqslant\dfrac{u_n+v_n}{2}\).

  4. En déduire que \(l=L\).

La suite \(\left(v_n\right)\) s’appelle la suite des moyennes de Cesáro de la suite \(\left(u_n\right)\) et on vient de prouver le théorème de Cesáro dans le cas particulier où la suite \(\left(u_n\right)\) est croissante.


[ID: 446] [Date de publication: 12 janvier 2021 15:04] [Catégorie(s): Suites monotones et bornées ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Solution

Moyennes de Cesáro
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 12 janvier 2021 15:04

  1. Soit \(n\in \mathbb{N}^*\). \[v_{n+1} - v_n = \dfrac{n u_{n+1} - \left(u_1+u_2+\dots+u_n\right) }{n\left(n+1\right)} = \dfrac{ \left(u_{n+1} - u_n\right) + \left(u_{n+1} - u_{n-1}\right) + \dots+ \left(u_{n+1}-u_2 \right) + \left(u_{n+1}-u_0 \right)}{n\left(n+1\right)}\] Mais la suite \(\left(u_n\right)\) est croissante, et donc \(u_{n+1} \geqslant u_n \geqslant u_{n-1}\geqslant\dots\geqslant u_2 \geqslant u_1\). Il s’ensuit que : \(\left(u_{n+1} - u_n\right) + \left(u_{n+1} - u_{n-1}\right) + \dots+ \left(u_{n+1}-u_2 \right) + \left(u_{n+1}-u_1 \right) \geqslant 0\). Enfin  : \(v_{n+1} - v_n\geqslant 0\) et \(\left(v_n\right)\) est bien croissante.

  2. La suite \((u_n)\) est croissante de limite \(l\in\mathbb{R}\). Donc \(l\) majore \(\left(u_n\right)\). Il vient alors, pour tout \(n\in\mathbb{N}^*\) : \[v_n = \dfrac{u_1+u_2+....+u_n }{n} \leqslant\dfrac{nl}{n}=l.\] \(\left(v_n\right)\) est donc majorée et comme elle est croissante, par application du théorème de la limite monotone, elle converge vers un réel \(L\leqslant l\).

  3. Soit \(n\geqslant 1\). \[v_{2n} = \dfrac{u_1+\dots+ u_n + u_{n+1}+\dots+ u_{2n}}{2n} = \dfrac{u_1+\dots+ u_n }{2n} + \dfrac{ u_{n+1}+\dots+ u_{2n}}{2n} = \dfrac{v_n}{2} + \dfrac{ u_{n+1}+\dots+ u_{2n}}{2n}\] Mais comme \(\left(u_n\right)\) est croissante, pour tout \(i\in\llbracket 1,n\rrbracket\), \(u_{n+i}\geqslant u_n\) et donc : \[\dfrac{ u_{n+1}+\dots+ u_{2n}}{2n} \geqslant\dfrac{u_n+\dots+u_n}{2n} = \dfrac{nu_n}{2n}=\dfrac{u_n}{2}.\] Finalement, on a bien : .

  4. Par passage à la limite dans l’inégalité précédente, on obtient : \(L\geqslant{\scriptstyle L+l\over\scriptstyle 2}\) ce qui amène \(L\geqslant l\) et comme on sait que \(L\leqslant l\) alors \(L=l\).


Exercice 222 **

12 janvier 2021 15:05 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \((u_n)\) une suite réelle et pour tout \(n\in\mathbb{N}^*\), on considère \(v_n= \dfrac{u_1+ \dots + u_n}{n}\). La suite \(\left(v_n\right)\) est la suite des moyennes de Césaro de la suite \(\left(u_n\right)\) (voir l’exercice ).

  1. On suppose que \(\left(v_n\right)\) converge. Est-ce que \(\left(u_n\right)\) converge ?

  2. Si on suppose que \(\left(u_n\right)\) est croissante, montrer que \(\left(u_n\right)\) converge si et seulement si \(\left(v_n\right)\) converge.


[ID: 448] [Date de publication: 12 janvier 2021 15:05] [Catégorie(s): Suites monotones et bornées ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Solution

Exercice 222
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 12 janvier 2021 15:05

  1. Considérons la suite \(\left(u_n\right)\) de terme général \(u_n=\left(-1\right)^n\). Alors, pour tout \(n\in\mathbb{N}^*\) : \[v_n=\begin{cases}0 &\textrm{ si $n$ est pair}\\ -\dfrac{1}{n} &\textrm{ si $n$ est impair}\end{cases} .\] Il est clair que \(\left(v_n\right)\) converge. Pourtant \(\left(u_n\right)\) ne converge pas. La convergence de \(\left(v_n\right)\) n’implique donc pas celle de \(\left(u_n\right)\).

  2. Le sens direct consiste en le théorème de Cesáro (voir l’exercice ). Prouvons la réciproque. Supposons que \(\left(v_n\right)\) converge vers une limite \(L\in\mathbb{R}\).

    Comme \(\left(u_n\right)\) est croissante, d’après le théorème de la limite monotone, il n’y a que deux possibilités :

    1. Si la suite \((u_n)\) est majorée, alors on sait que \((u_n)\) converge vers une limite finie \(l'\in \mathbb{R}\). Mais d’après le théorème de Cesáro, \((v_n)\) converge également vers \(l'\). Par unicité de la limite, \(l=l'\) et donc \((u_n)\) converge vers \(l\).

    2. Par l’absurde, si la suite \((u_n)\) n’est pas majorée, alors \((u_n)\) diverge vers \(+\infty\). A partir d’un certain rang la suite \(\left(v_n\right)\) est donc positive. Mais d’après l’exercice \(\ref{exo_cesaro}\), à partir d’un certain rang, on a : \[v_{2n}\geqslant\dfrac{u_n+v_n}{2} \geqslant\dfrac{u_n}{2} .\] Donc \(v_{2n}\xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{}+\infty\) par application du théorème des gendarmes et nécessairement : \(v_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}+\infty\) ce qui vient contredire notre hypothèse, donc \(\left(u_n\right)\) ne peut être majorée.


Exercice 333 *

12 janvier 2021 15:05 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On pose, pour tout \(n\in \mathbb{N}^*\), \[u_n=\dfrac{1 \times 3 \times 5 \times ... \times (2n-1)}{2 \times 4 \times 6 \times ... \times (2n)}.\]

  1. Montrer que \((u_n)\) converge.

  2. On considère, pour tout \(n\in \mathbb{N}^*\), la suite \(\left(v_n\right)\) de terme général : \(v_n=(n+1)u_n^2\). Montrer que \(\left(v_n\right)\) converge.

  3. En déduire la limite de \(\left(u_n\right)\).


[ID: 450] [Date de publication: 12 janvier 2021 15:05] [Catégorie(s): Suites monotones et bornées ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Solution

Exercice 333
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 12 janvier 2021 15:05

  1. Soit \(n\in \mathbb{N}^*\). On vérifie facilement que \[\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{{2n+1} }{2n+2} \leqslant 1\] par conséquent \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}<1\) et \(\left(u_n\right)\) est donc décroissante. La suite \(\left(u_n\right)\) est de plus positive et donc minorée par \(0\). Il s’ensuit d’après le théorème de la limite monotone, que \(\left(u_n\right)\) est convergente.

  2. Soit \(n\in \mathbb{N}^*\). \[\dfrac{v_{n+1}}{v_n} = \dfrac{n+2}{n+1} \left(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\right)^2 = \dfrac{n+2}{n+1} \dfrac{\left(2n+1\right)^2 }{2^2\left(n+1\right)^2} = \dfrac{4n^3+12n^2+9n+2 }{4n^3+12n^2+12n+4} \leqslant 1\] et \(\left(v_n\right)\) est décroissante. Elle est aussi minorée par \(0\) et comme précédemment, on peut alors affirmer qu’elle est convergente.

  3. En partant de l’égalité \(v_n=(n+1)u_n^2\), on obtient que \(u_n=\sqrt{\dfrac{v_n} {n+1}}\). Comme \(\left(v_n\right)\) converge, il en est de même de \(\left(u_n\right)\) et .


Exercice 46 **

12 janvier 2021 15:05 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Etudier la suite \(u_{n} = \operatorname{th} 1 + \operatorname{th} 2 + \ldots + \operatorname{th} n - \ln \mathop{\mathrm{ch}}n\).


[ID: 452] [Date de publication: 12 janvier 2021 15:05] [Catégorie(s): Suites monotones et bornées ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Solution

Exercice 46
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 12 janvier 2021 15:05

On commence par remarquer que \(x\longmapsto \ln \mathop{\mathrm{ch}}x\) est une primitive de \(\operatorname{th} x\). La suite \(u_{n}\) est croissante : \(u_{n+1} - u_{n} = \operatorname{th} n+1 - \ln ch n+1 + \ln\mathop{\mathrm{ch}}n = \operatorname{th} n+1 - \displaystyle\int_n^{n+1} \operatorname{th} x\,\textrm dx\). Or \(x \longmapsto \operatorname{th} x\) est croissante sur \([n,n+1]\) donc \(\forall x\in[n,n+1]\), \(\operatorname{th} x \leqslant \operatorname{th} n+1\) donc \(\displaystyle\int_n^{n+1} \operatorname{th} x\,\textrm dx \leqslant \int_n^{n+1} \operatorname{th} n+1\,\textrm dx\) soit \(u_{n+1} - u_{n} \geqslant 0\) : la suite \((u_n)\) est croissante.
Pour les mêmes raisons, \(\operatorname{th} k \leqslant \displaystyle\int_k^{k+1} \operatorname{th} x\,\textrm dx\) donc en sommant pour \(k\) variant de \(1\) à \(n\), \(\displaystyle\sum_{k=1}^n \operatorname{th} k \leqslant \int_1^{n+1} \operatorname{th} x\,\textrm dx\) soit \(u_n \leqslant \ln \left( {\scriptstyle\mathop{\mathrm{ch}}n+1\over\scriptstyle\mathop{\mathrm{ch}}n}\right) - \ln\mathop{\mathrm{ch}}1\). La suite \(\dfrac{\mathop{\mathrm{ch}}n+1}{\mathop{\mathrm{ch}}n}\) converge vers \(e\), donc la suite \(\ln \left( {\scriptstyle\mathop{\mathrm{ch}} n+1\over\scriptstyle\mathop{\mathrm{ch}}n}\right) - \ln\mathop{\mathrm{ch}}1\) converge vers \(1-\ln \mathop{\mathrm{ch}}1\). Elle est donc majorée. La suite \(u_n\) est donc croissante et majorée, elle est convergente.


Exercice 710 **

12 janvier 2021 15:05 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On considère une suite d’entiers \((q_n)\) strictement croissante avec \(q_0 \geqslant 1\). On définit la suite \((u_n)\) de terme général \[u_n = \sum_{k=0}^n \prod_{j=0}^k \dfrac{1}{q_j}.\] Montrer que \((u_n)\) converge.


[ID: 454] [Date de publication: 12 janvier 2021 15:05] [Catégorie(s): Suites monotones et bornées ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Solution

Exercice 710
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 12 janvier 2021 15:05

On vérifie que la suite est croissante. Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), on a : \[u_{n+1}-u_ n = \prod_{j=0}^{n+1} \dfrac{1}{q_j}>0.\] Ensuite, comme \((q_n)\) est strictement croissante, on peut affirmer que pour tout \(k \geqslant 1\), on a \(q_k \geqslant 2\). Par conséquent, \[u_n \leqslant\sum_{k=0}^n \dfrac{1}{2^k} = \dfrac{1 - (1/2)^{n+1}}{1 - 1/2} \leqslant 2\] La suite \((u_n)\) est croissante et majorée, elle converge d’après le théorème de la limite monotone.


Exercice 706 ***

12 janvier 2021 15:05 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces
Soit une suite \((u_n)\) bornée vérifiant : \[\forall n\in \mathbb{N}^*, \quad 2u_n \leqslant u_{n+1} + u_{n-1}\] On définit une suite \((v_n)\) en posant pour \(n\in \mathbb N\), \(v_n=u_{n+1}-u_n\). Montrez que la suite \((v_n)\) converge et calculez sa limite.
( ).
Montrez que la suite \((v_n)\) est croissante et majorée. Montrez ensuite par l’absurde que sa limite vaut \(0\). (on pourra si \(l>0\) minorer \((u_n)\) à partir d’un certain rang par une suite qui diverge vers \(+\infty\)).


[ID: 456] [Date de publication: 12 janvier 2021 15:05] [Catégorie(s): Suites monotones et bornées ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Solution

Exercice 706
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 12 janvier 2021 15:05

On calcule pour \(n\geqslant 1\), \[v_n - v_{n-1} =u_{n+1}-2u_n+u_{n-1} \geqslant 0\] et donc la suite \((v_n)\) est croissante. On suppose de plus que \((u_n)\) est bornée : \[\exists M \in \mathbb{R} ~:\quad \forall n \in \mathbb N,\quad-M \leqslant u_n \leqslant M\] Donc \[\forall n\in \mathbb N,\quad v_n =u_{n+1}-u_n \leqslant M +M \leqslant 2M\] La suite \((v_n)\) est donc croissante et majorée par \(2M\).

D’après le théorème de la limite monotone, la suite \((v_n)\) converge vers une limite finie \(l\in \mathbb{R}\).

Montrons par l’absurde que \(l=0\). Supposons que \(l \neq 0\) et étudions les deux cas suivants :

  1. Si \(l>0\), en posant \(k = \dfrac{l}{2}\), puisque \(k<l\), il existe \(N\in \mathbb N\) tel que pour tout \(n \geqslant N\), \(v_n \geqslant\dfrac{l}{2}\). Mais alors pour \(n\geqslant N+1\), on a : \[u_n \geqslant u_{n-1} + \dfrac{l}{2} \geqslant u_{n-2}+2\dfrac{l}{2} \geqslant\dots \geqslant u_{N}+(n-N)\dfrac{l}{2}\] On a alors \(w_n=u_N-N\dfrac{l}{2} + n\dfrac{l}{2} \rightarrow +\infty\) et donc \(u_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}+\infty\), ce qui est impossible car on a supposé que la suite \((u_n)\) était bornée.

  2. Si \(l<0\), on montre qu’à partir d’un certain rang, \(v_n \leqslant-\dfrac{l}{2}\). Mais on majore alors \((u_n)\) par une suite qui diverge vers \(-\infty\) ce qui est impossible.


Exercice 528 ***

12 janvier 2021 15:05 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soient deux réels \(a_0>0\) et \(b_0>0\). On définit deux suites \((a_n)\) et \((b_n)\) par les relations de récurrence : \[\forall n\in \mathbb N, \quad a_{n+1}=\sqrt{a_nb_n} \quad b_{n+1}=\dfrac{a_n+b_n}{2}\]

  1. Montrer que \(\forall n\in \mathbb{N}^*\), \(a_n\leqslant b_n\).

  2. Montrer que \((a_n)\) et \((b_n)\) sont monotones à partir du rang 1, qu’elles convergent et qu’elles ont la même limite.


[ID: 458] [Date de publication: 12 janvier 2021 15:05] [Catégorie(s): Suites monotones et bornées ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Solution

Exercice 528
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 12 janvier 2021 15:05

  1. On montre par récurrence que : \(\forall n\in \mathbb N\), \(a_n>0\) et \(b_n>0\), ce qui montre que \(a_n\) et \(b_n\) sont définis pour tout \(n\in \mathbb N\). De plus : \[\forall n\in \mathbb N, \quad a_{n+1} =\sqrt{a_n}{\sqrt{b_n}} \leqslant\dfrac{1}{2}( \sqrt{a_n}^2+ \sqrt{b_n}^2 ) =b_{n+1}\] ce qui montre que : \(\forall n\in \mathbb{N}^*\), \(a_n\leqslant b_n\).

  2. Soit \(n\geqslant 1\). Calculons \[\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\sqrt{\dfrac{b_n}{a_n}} \geqslant\sqrt{\dfrac{a_n}{a_n}}=1 \textrm{ et } b_{n+1}-b_n = \dfrac{a_n-b_n}{2} \leqslant 0\] (on a utilisé que \(a_n\leqslant b_n\)). Donc \(\forall n\geqslant 1\), \(a_{n+1}\geqslant a_n\) et \(b_{n+1}\leqslant b_n\). On a alors prouvé que \((a_n)\) est croissante et \((b_n)\) décroissante. Puisque \[a_1\leqslant\dots \leqslant a_{n-1}\leqslant a_n \leqslant b_n \leqslant b_{n-1} \leqslant\dots b_1\] La suite \((a_n)\) est croissante et majorée par \(b_1\). Donc elle converge vers \(l\in \mathbb{R}\). De même, la suite \((b_n)\) est décroissante et minorée par \(a_1\), et donc elle converge vers \(l'\in \mathbb{R}\). De plus, la suite \((a_{n+1})\) est extraite de \((a_n)\) et elle converge donc vers \(l\). De même, la suite extraite \((b_{n+1})\) converge vers \(l'\). En passant à la limite dans les relations de récurrence, on obtient : \[l=\sqrt{ll'} \textrm{ et } l = \dfrac{l+l'}{2}\] De la deuxième, on tire que \(l=l'\).

    Les deux suites convergent donc vers la même limite.

( ).
Cette exercice peut être aussi traîté en montrant que les suites \(\left(u_n\right)\) et \(\left(v_n\right)\) sont adjacentes.

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