Evénements, tribus, espaces probablisables

  1. Les exercices
  2. Vue compacte

Exercices du dossier Evénements, tribus, espaces probablisables

Tribu sur \(\mathbb{N}\) **

16 avril 2024 13:38 — Par Michel Quercia

Montrer que \(\mathcal T =\{ X\subset \mathbb{N}\text{ tq }\forall n\in \mathbb{N},\ 2n\in X\Leftrightarrow 2n+1\in X\}\) est une tribu.


[ID: 4829] [Date de publication: 16 avril 2024 13:38] [Catégorie(s): Evénements, tribus, espaces probablisables ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Solution

Évènements **

16 avril 2024 13:38 — Par Michel Quercia

Soit \((A_n)_{n\in \mathbb{N}}\) une suite d’évènements dans un même espace probabilisé.

  1. Montrer que les ensembles suivants sont des évènements :

    \(A =\)  Il y a une infinité d’évènements parmi les \(A_n\) qui sont réalisés .

    \(B =\)  A partir d’un certain rang, tous les \(A_n\) sont réalisés .

    \(C =\)  Il n’y a jamais deux évènements consécutifs réalisés .

  2. On suppose les \(A_n\) mutuellement indépendants et \(\mathbb P (A_n)=\frac12\) pour tout \(n\in \mathbb{N}\).

    Calculer \(\mathbb P (A)\), \(\mathbb P (B)\), \(\mathbb P (C)\).

  3. On suppose les \(A_n\) mutuellement indépendants et \(\mathbb P (A_n)=1/2^{n+1}\) pour tout \(n\in \mathbb{N}\).

    Calculer \(\mathbb P (A)\), \(\mathbb P (B)\) et montrer sans la calculer que \(0 < \mathbb P (C) < 1\).

  4. Donner des exemples de telles suites \((A_n)\).


[ID: 4830] [Date de publication: 16 avril 2024 13:38] [Catégorie(s): Evénements, tribus, espaces probablisables ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Solution

Évènements
Par Michel Quercia le 16 avril 2024 13:38

  1. \(A = \bigcap_{n=0}^\infty (\bigcup _{k=n}^\infty A_k)\) ; \(B = \bigcup _{n=0}^\infty (\bigcap_{k=n}^\infty A_k)\) ; \(C = \Omega \setminus (\bigcup _{n=0}^\infty (A_n\cap A_{n+1}))\).

  2. \(\mathbb P (\bigcup _{k=n}^\infty A_k) = \mathbb P (A_n) + \mathbb P (\overline{A_n}\cap A_{n+1}) + \mathbb P (\overline{A_n}\cap \overline{A_{n+1}}\cap A_{n+2})+\dots =1\) donc \(\mathbb P (A)=1\).

    \(\mathbb P (\bigcap_{k=n}^\infty A_k) = 0\) donc \(\mathbb P (B) = 0\).

    \(\mathbb P (C)\leq \mathbb P (\bigcap_{n=0}^\infty (\overline{A_{2n}\cap A_{2n+1}}))=0\) donc \(\mathbb P (C)=0\).

  3. \(\mathbb P (\bigcup _{k=n}^\infty A_k)\leq \sum_{k=n}^\infty \mathbb P (A_k) = 1/2^n\) donc \(\mathbb P (A)=0\).

    \(\mathbb P (\bigcap_{k=n}^\infty A_k) = 0\) donc \(\mathbb P (B) = 0\).

    \(\frac18 = \mathbb P (A_{0} \cap A_{1})\leq \mathbb P (\bigcup _{n=0}^\infty (A_n\cap A_{n+1}))\leq \sum_{n=0}^\infty 1/2^{2n+3}=\frac16\).

  4. Dans un jeu de pile ou face infini, \(A_n =\)  le lancer de rang \(n\) donne pile  ;

    \(A'_n =\)  les lancers de rang \(10^n ,10^n +1,\dots,10^n +n\) donnent tous pile .


Vrai ou faux ? **

16 avril 2024 13:38 — Par Michel Quercia

Dire si chaque affirmation est vraie (alors la prouver) ou fausse (donner un contre-exemple) :

  1. Si \(\Omega\) est un univers et \(A,B\subset \Omega\) alors \(\{ \emptyset,\Omega ,A,\overline A,B,\overline B\}\) est une tribu sur \(\Omega\).

  2. Si \(\Omega =\{ 1,2,3,4\}\), la tribu engendrée par \(\{ 1\} ,\{ 1,2\} ,\{ 2,3\}\) est égale à \(\mathcal P (\Omega )\).

  3. Si \(\mathbb P (A)+\mathbb P (B)=1\) alors \(B = \overline A\).

  4. Si \(A\) et \(B\) sont deux évènements indépendants alors \(\mathbb P (A\cup B)=\mathbb P (A)+\mathbb P (B)\).

  5. Si \(\mathbb P (A\cup B)=\mathbb P (A)+\mathbb P (B)\) alors \(A\) et \(B\) sont incompatibles.

  6. Si \((A_k)_{k\in \mathbb{N}}\) est un système complet d’évènements de probabilités non nulles alors pour tout évènement \(A\) la série \(\sum_{k\in \mathbb{N}}\mathbb P (A|A_k)\) est convergente.


[ID: 4832] [Date de publication: 16 avril 2024 13:38] [Catégorie(s): Evénements, tribus, espaces probablisables ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Solution

Vrai ou faux ?
Par Michel Quercia le 16 avril 2024 13:38

  1. faux, ne contient par \(A\cup B\).

  2. Vrai, elle contient tous les singletons.

  3. Faux, prendre \(A=B\) de probabilité \(\frac12\).

  4. Faux lorsque \(\mathbb P (A)\mathbb P (B)>0\).

  5. Faux, \(A\cap B\) est négligeable.

  6. Faux, prendre \(A=\Omega\).


Lemme de Borel-Cantelli **

16 avril 2024 13:38 — Par Michel Quercia

Soit \((A_n)_{n\in \mathbb{N}}\) une suite d’évènements dans un même espace probabilisé. On note \(A =\)  Il y a une infinité d’évènements parmi les \(A_n\) qui sont réalisés .

  1. Montrer que \(A\) est un évènement.

  2. Si la série \(\sum_k\mathbb P (A_k)\) est convergente, montrer que \(\mathbb P (A)=0\).

  3. Si la série \(\sum_k\mathbb P (A_k)\) est divergente et si les \(A_k\) sont mutuellement indépendants, montrer que \({\mathbb P (A)=1}\).

  4. Donner un cas où \(\mathbb P (A)=\frac12\).


[ID: 4834] [Date de publication: 16 avril 2024 13:38] [Catégorie(s): Evénements, tribus, espaces probablisables ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Solution

Lemme de Borel-Cantelli
Par Michel Quercia le 16 avril 2024 13:38

  1. \(A = \bigcap_{n=0}^\infty (\bigcup _{k=n}^\infty A_k)\).

  2. \(\mathbb P (\bigcup _{k=n}^\infty A_k)\leq \sum_{k=n}^\infty \mathbb P (A_k)\to _{n\to \infty }0\).

  3. \(1-\mathbb P (\bigcup _{k=n}^\infty A_k) = 1-\mathbb P (A_n) + \mathbb P (\overline{A_n}\cap A_{n+1}) + \mathbb P (\overline{A_n}\cap \overline{A_{n+1}}\cap A_{n+2})+\dots =(1-\mathbb P (A_n))(1-\mathbb P (A_{n+1}))\dots\)

    La série de terme général \(-\ln(1-\mathbb P (A_n))\) est divergente : grossièrement si \(\mathbb P (A_n)\) ne tend pas vers zéro, sinon par équivalence si \(\mathbb P (A_n)\to _{n\to \infty }0\). Donc le produit infini précédent est nul, ce qui suffit à conclure.

  4. Tous les \(A_k\) égaux à un même évènement de probabilité \(\frac12\).


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