Produit infini

Exercices du dossier Produit infini

Centrale MP 2000 ** Centrales MP

15 avril 2024 13:44 — Par Gérard Letac

Soient deux suites de termes généraux \(u_n\) et \(v_n\) définies par la donnée de \(u_{1}\) et \(v_{1}\), tous deux réels, et les relations : \[u_{n+1} = u_n - \dfrac{v_n}{n(n+1)},\qquad v_{n+1} = v_n + \dfrac{u_n}{n(n+1)}.\] Montrer que ces suites sont définies et bornées.



[ID: 4801] [Date de publication: 15 avril 2024 13:44] [Catégorie(s): Produit infini ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Gérard Letac ]
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Centrale MP 2000
Par Gérard Letac le 15 avril 2024 13:44

\(|u_n|+|v_n|\le(|u_{1}|+|v_{1}|)\prod _{k=1}^{n-1}\Bigl(1+\dfrac1{k(k+1)}\Bigr)\) et le produit infini est trivialement convergent.


Accordéon
Titre
Solution
Texte

Produits infinis, Polytechnique 2000
Par Gérard Letac le 15 avril 2024 13:44
    1. \(1+S_N\leq P_N\) n’est plus triviale mais reste vraie par récurrence (la différence est une fonction décroissante de \(a_{1}\)).

  1. La suite \((P_Ne^{-S_N})\) est positive décroissante donc converge, ce qui entraîne la convergence de \((P_N)\). On a \(P_N\to _{n\to \infty }0\) ssi \(P_Ne^{-S_N}\to _{n\to \infty }0\) ssi la série de terme général \(\ln(1+a_n)-a_n\sim-\dfrac{a_n^2 }{\strut 2}\) diverge.

    1. Démontrer l’inégalité en développant les deux membres. Sachant que la suite \((P_N)\) est bornée on en déduit qu’elle est de Cauchy donc converge.


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