Encadrements

  1. Les exercices
  2. Vue compacte

Exercices du dossier Encadrements

Exercice 275 *

12 janvier 2021 15:01 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soient deux suites \((u_n)\), \((v_n)\) telles que

  1. \(\forall n\in \mathbb N, 0\leqslant u_n\leqslant 1\)

  2. \(\forall n\in \mathbb N, v_n\leqslant 1\)

  3. \(u_nv_n\xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} 1\)

Montrer que \((u_n)\) et \((v_n)\) convergent vers \(1\).


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Exercice 275
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 12 janvier 2021 15:01

Soit \(n\in \mathbb N\). On a \(u_nv_n\leqslant u_n \leqslant 1\). On peut alors affirmer , grâce au théorème des gendarmes, que \((u_n)\) converge vers \(1\). De même pour \((v_n)\) qui est positive à partir d’un certain rang.


Exercice 736 *

12 janvier 2021 15:01 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Étudier la suite \((u_n)\) définie pour \(n\geqslant 1\) par: \[u_n = \prod_{k=1}^{2n} \left( 2- \dfrac{k}{2n}\right)\]


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Exercice 736
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 12 janvier 2021 15:01

Pour tout \(k\in \llbracket 1,n\rrbracket\), on a : \(2- \dfrac{k}{2n}\geqslant\dfrac{3}{2}\) et pour tout \(k\in \llbracket n+1,2n\rrbracket\), on a : \(2- \dfrac{k}{2n}\geqslant 1\). Par conséquent, \[u_n \geqslant\left( \dfrac{3}{2} \right)^n .\] Comme \(\left(3/2\right)^n\xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{}+\infty\), par le théorème de majoration, on peut affirmer que \(\boxed{u_n \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} +\infty}\).


Exercice 898 *

12 janvier 2021 15:01 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Étudier la suite de terme général \[\displaystyle{u_n=\sum_{k=1}^n \sqrt k }\]


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Exercice 898
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 12 janvier 2021 15:01

On a, pour tout \(n\geqslant 1\), \(u_n \geqslant\sqrt{n}\) et \(\sqrt{n} \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{}+\infty\) donc par comparaison, \(\boxed{u_n\xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{}+\infty}\).


Exercice 326 *

12 janvier 2021 15:01 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Étudier la suite de terme général \[\displaystyle{u_n=\sum_{k=1}^n {\scriptstyle 1\over\scriptstyle n^2+k^2} }\]


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Exercice 326
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 12 janvier 2021 15:01

Pour tout \(n\geqslant 1\) : \[0 \leqslant\sum_{k=1}^n {\scriptstyle 1\over\scriptstyle n^2+k^2} \leqslant \sum_{k=1}^n {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2n^2} = {\scriptstyle n\over\scriptstyle n^2} = {\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\] et \({\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} 0\) donc par application du théorème des gendarmes, \(\boxed{u_n \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} 0}\).


Exercice 784 *

12 janvier 2021 15:01 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Étudier la suite de terme général \[\displaystyle{u_n=\sum_{k=1}^n {\scriptstyle 1\over\scriptstyle\sqrt k} }\]


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Exercice 784
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 12 janvier 2021 15:01

Pour tout \(n\geqslant 1\) : \[\sum_{k=1}^n {\scriptstyle 1\over\scriptstyle\sqrt k} \geqslant\sum_{k=1}^n {\scriptstyle 1\over\scriptstyle\sqrt n} ={\scriptstyle n\over\scriptstyle\sqrt n} = \sqrt n\] et \(\sqrt n \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} +\infty\) donc par comparaison, \(\boxed{u_n \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} +\infty}\).


Exercice 312 *

12 janvier 2021 15:01 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Étudier la suite de terme général

\[\displaystyle{u_n=\sum_{k=1}^n {\scriptstyle n\over\scriptstyle n^2+k} }\]


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Exercice 312
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 12 janvier 2021 15:01

Pour tout \(n\geqslant 1\) : \[{\scriptstyle n^2\over\scriptstyle n^2+n}=\sum_{k=1}^n {\scriptstyle n\over\scriptstyle n+n^2} \leqslant \sum_{k=1}^n {\scriptstyle n\over\scriptstyle n^2+k} \leqslant\sum_{k=1}^n {\scriptstyle n\over\scriptstyle n^2} =1\] et \({\scriptstyle n^2\over\scriptstyle n^2+n} \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{}1\) donc \(\boxed{u_n \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{}1}\) par application du théorème des gendarmes.


Exercice 250 *

12 janvier 2021 15:01 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Étudiez la suite de terme général \[u_n = \sum_{k=1}^n \dfrac{k}{n+k}\]


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Exercice 250
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 12 janvier 2021 15:01

Soit \(k\in\llbracket 1,n\rrbracket\). Puisque \(k\leqslant n\), \(\dfrac{k}{n+k} \geqslant \dfrac{k}{2n}\) et donc \[u_n \geqslant\dfrac{1}{2n}\sum_{k=1}^n k = \dfrac{n+1}{4} \rightarrow +\infty\] Donc par application du théorème des gendarmes \(\boxed{u_n \rightarrow +\infty}\).


Exercice 281 *

12 janvier 2021 15:01 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Étudiez la suite de terme général \[u_n= \sum_{k=n}^{2n} \dfrac{k}{\sqrt{n^2+k^2}}\]


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Exercice 281
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 12 janvier 2021 15:01

Soit \(n\geqslant 1\) et \(k\in\llbracket 1,n\rrbracket\). \(\dfrac{k}{\sqrt{n^2+k^2}} \geqslant\dfrac{n}{\sqrt{n^2+4n^2}} = \dfrac{1}{\sqrt{5}}\) d’où \(u_n\geqslant\dfrac{n}{\sqrt{5}}\). La suite \((u_n)\) diverge donc vers \(+\infty\) d’après le théorème des gendarmes.


Exercice 181 **

12 janvier 2021 15:01 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Étudier la suite de terme général \[u_n = \sum_{k=1}^{n^2} \dfrac{k}{\sqrt{n^9+k}}\]


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Exercice 181
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 12 janvier 2021 15:01

Pour tout \(n\geqslant 1\) : \[0\leqslant\sum_{k=1}^{n^2} \dfrac{k}{\sqrt{n^9+k}} \leqslant \sum_{k=1}^{n^2} \dfrac{k}{\sqrt{n^9}} = {\scriptstyle n^2\left(n^2+1\right)\over\scriptstyle 2\sqrt{n^9}} = \dfrac{n^4}{2n^{{\scriptstyle 9\over\scriptstyle 2}}}\left(1+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n^2}\right) \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{}0\] donc par application du théorème des gendarmes,\(\boxed{u_n \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{}0}\).


Exercice 278 **

12 janvier 2021 15:01 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Étudier la suite de terme général \[u_n = \sum_{k=1}^{n^2} \dfrac{k^2}{n^3+k^2}\]


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Exercice 278
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 12 janvier 2021 15:01

Pour tout \(k\in \llbracket 1,n^2\rrbracket\), \(\dfrac{k^2}{n^3+k^2} \geqslant \dfrac{k^2}{n^3+n^4}\) donc \[\dfrac{1}{n^3+n^4}\sum_{k=1}^{n^2} k^2 \leqslant u_n .\] Mais d’après l’exercice , \(\sum_{k=1}^{n^2} k^2= {\scriptstyle{n^2}\left(n^2+1\right)\left(2n^2+1\right)\over\scriptstyle 6}\) donc \[u_n \geqslant\dfrac{ n^2(n^2+1)(2n^2+1)}{6(n^3+n^4)} \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}+\infty.\] On en déduit grâce au théorème des gendarmes que \(\boxed{u_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{} +\infty}\).


Exercice 379

12 janvier 2021 15:01 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On considère deux suites à termes strictement positifs, \((a_n)\) et \((b_n)\) qui convergent vers \(0\). Étudiez la suite de terme général \[u_n = \dfrac{a_n^2 + b_n^2}{a_n + b_n}\]


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Solution

Exercice 379
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 12 janvier 2021 15:01

Soit \(n \in \mathbb N\). Majorons \[u_n = \dfrac{a_n^2}{a_n + b_n} + \dfrac{b_n^2}{a_n+b_n} \leqslant\dfrac{a_n^2}{a_n} + \dfrac{b_n^2}{b_n} = a_n + b_n\] Comme \(\forall n \in \mathbb N\), \(\lvert u_n \rvert = u_n \leqslant a_n + b_n\), par le théorème de majoration, il vient que la suite \((u_n)\) converge vers \(0\).


Exercice 506 **

12 janvier 2021 15:01 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

  1. Montrer que : \(\forall x>0\), \(x-\dfrac{x^2}{2} < \ln(1+x) < x\).

  2. En déduire la limite de la suite de terme général \[u_n = \prod_{k=1}^n \left( 1+\dfrac{k}{n^2}\right)\]


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Solution

Exercice 506
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 12 janvier 2021 15:01

  1. L’inégalité se montre en étudiant les deux fonctions \(f\) et \(g\) données par \(f(x)=\ln(1+x)-x\) et \(g(x)=\ln(1+x)-x+\dfrac{x^2}{2}\) sur \(]0,+\infty[\).

  2. Puisque \(\forall n\in \mathbb N\), \(u_n>0\), introduisons la suite \(\left(v_n\right)\) de terme général \(v_n=\ln u_n\). Alors \[v_n = \sum_{k=1}^n \ln\left( 1+\dfrac{k}{n^2}\right)\] et en utilisant l’encadrement construit dans la première question, \[\sum_{k=1}^n \left( \dfrac{k}{n^2} - \dfrac{k^2}{2n^4}\right) \leqslant v_n \leqslant\sum_{k=1}^n \dfrac{k}{n^2}\] et donc, comme \(\sum_{k=1}^n k={\scriptstyle n\left(n+1\right)\over\scriptstyle 2}\) et que \(\sum_{k=1}^n k^2 = \left({\scriptstyle n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)\over\scriptstyle 6}\right)\) (voir exercice page ), il vient que : \[\dfrac{(n+1)}{2n} - \dfrac{(n+1)(2n+1)}{12 n^3} \leqslant v_n \leqslant \dfrac{(n+1)}{2n}\] On conclut en appliquant le théorème des gendarmes, \(\boxed{v_n \rightarrow \dfrac{1}{2}}\) et donc \(\boxed{u_n \rightarrow \sqrt{e}}\).


Exercice 955 *

12 janvier 2021 15:01 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On considère la suite \(\left(u_n\right)\) donnée par : \[\forall n\in\mathbb{N}^* ,\quad u_n={\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n+1}+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n+2}+\dots+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle np}\] où \(p\) est un entier strictement positif fixé.

  1. Montrer que : \[\forall x\in\left]0,1\right[,\quad 1+x\leqslant e^x \leqslant {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 1-x}.\]

  2. En déduire que : \[\forall x>1,\quad \ln\dfrac{x+1}{x} \leqslant\dfrac{1}{x} \leqslant\ln \dfrac{x}{x-1}\]

  3. En déduire la limite de \(\left(u_n\right)\) puis qu’elle est convergente et donner sa limite.


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Solution

Exercice 955
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 12 janvier 2021 15:01

  1. Il suffit d’étudier les fonctions \(f: \left\{ \begin{array}{ccl} \left]0,1\right[ & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & e^{x} - \left(1+x\right) \end{array} \right.\) et \(g: \left\{ \begin{array}{ccl} \left]0,1\right[ & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \left(1-x\right)e^{x}-1 \end{array} \right.\)

  2. Soit \(x>1\). On a donc \({\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}\in\left]0,1\right[\) et, par application de l’inégalité précédente, il vient que : \[\begin{aligned} & & 1+\dfrac{1}{x}\leqslant e^{\dfrac{1}{x}} \leqslant\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{x}}\\ &\Longleftrightarrow& \dfrac{x+1}{x} \leqslant e^{\dfrac{1}{x}} \leqslant\dfrac{x}{x-1}\\ &\Longleftrightarrow& \ln \dfrac{x+1}{x} \leqslant\ln e^{\dfrac{1}{x}} = \dfrac{1}{x} \leqslant\ln \dfrac{x}{x-1}\end{aligned}\]

  3. Pour tout \(k\in\llbracket 0,np-n\rrbracket\), en appliquant l’inégalité précédente à \(x=n+k \geqslant 1\), on obtient : \[\ln \dfrac{n+k+1}{n+k} \leqslant\dfrac{1}{n+k} \leqslant\ln \dfrac{n+k}{n+k-1}\] ce qui s’écrit aussi : \[\ln \left(n+k+1\right) - \ln \left(n+k\right) \leqslant\dfrac{1}{n+k} \leqslant\ln \left(n+k\right) -\ln \left(n+k-1\right)\] Sommons maintenant ces inégalités pour \(k\) variant de \(0\) à \(np-n\). On reconnaît des sommes télescopiques et on obtient : \[\ln \left(np+1\right) - \ln n \leqslant u_n \leqslant\ln np - \ln \left(n-1\right)\] Mais \(\ln \left(np+1\right) - \ln n=\ln\left( p + {\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\right) \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} \ln p\) et \(\ln np - \ln \left(n-1\right) = \ln \dfrac{np}{n-1}=\ln \dfrac{n}{n}\dfrac{p}{1-\dfrac{1}{n}} \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} \ln p\). Enfin, par application du théorème des gendarmes, on obtient :


Exercice 27 ***

12 janvier 2021 15:01 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On considère une suite \((u_n)\) vérifiant : \[\forall k \in \mathbb{N}^{\star},\ \forall n \in \mathbb{N}^*, \quad 0 \leqslant u_n \leqslant\dfrac{k}{n}+\dfrac{1}{k}\] Montrez que la suite \((u_n)\) est convergente, et déterminez sa limite.


[ID: 432] [Date de publication: 12 janvier 2021 15:01] [Catégorie(s): Encadrements ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Solution

Exercice 27
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 12 janvier 2021 15:01

Soit \(n \in \mathbb{N}^*\). Posons \(k = E(\sqrt{n})\). D’après l’énoncé, on obtient l’encadrement \[0 \leqslant u_n \leqslant\dfrac{E(\sqrt{n})}{n} + \dfrac{1}{E(\sqrt{n})}\] Mais puisque \(E(\sqrt{n}) \leqslant\sqrt{n} < E(\sqrt{n}) + 1\), on obtient l’encadrement \[\sqrt{n} - 1 < E(\sqrt{n}) \leqslant\sqrt{n}\] Donc, on a l’encadrement suivant pour \(u_n\) valable pour \(n \geqslant 2\) : \[0 \leqslant u_n \leqslant\dfrac{\sqrt{n}}{n} + \dfrac{1}{\sqrt{n} - 1}\] Si \(n \geqslant 4\), \(\sqrt{n} - 1 \geqslant\sqrt{n} / 2\) et donc, \[\forall n \geqslant 4, \quad 0 \leqslant u_n \leqslant\dfrac{3}{\sqrt{n}}\] Puisque la suite \((3/\sqrt{n})\) converge vers \(0\), et que \(\forall n \geqslant 4\), \(\lvert u_n \rvert \leqslant 3/\sqrt{n}\), par le théorème de majoration, on en déduit que la suite \((u_n)\) converge vers \(0\).


Exercice 644 **

12 janvier 2021 15:01 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(x \in \mathbb{R}^*\). Étudiez les suites de terme général \[u_n={\scriptstyle\left\lfloor nx \right\rfloor\over\scriptstyle n} \textrm{ et } v_n={\scriptstyle\left\lfloor nx \right\rfloor\over\scriptstyle x}\]


[ID: 422] [Date de publication: 12 janvier 2021 15:01] [Catégorie(s): Encadrements ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Solution

Exercice 644
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 12 janvier 2021 15:01

Pour tout \(n\in \mathbb N\), on a : \(\left\lfloor nx \right\rfloor\leqslant nx < \left\lfloor nx \right\rfloor+1\) ce qui amène : \(nx - 1 < \left\lfloor nx \right\rfloor \leqslant nx\). Alors, pour tout \(n\in \mathbb{N}^*\), on obtient l’encadrement suivant de \(u_n\) : \[x-\dfrac{1}{n} <u_n \leqslant x .\] On conclut grâce au théorème des gendarmes que \((u_n)\) converge vers \(x\). L’étude de \((v_n)\) est similaire, mais il faut distinguer deux cas :

  1. Si \(x>0\), alors \[v_n > n-\dfrac{1}{x}\] et donc \((v_n)\) diverge vers \(+\infty\) d’après le théorème des gendarmes.

  2. Si \(x<0\), alors \[\left\lfloor nx \right\rfloor \leqslant nx \Rightarrow \dfrac{\left\lfloor nx \right\rfloor}{x} \geqslant n\] (on change les inégalités en les multipliant par un réel négatif !) Ici aussi, \((v_n)\) diverge vers \(+\infty\).


Exercice 934 **

12 janvier 2021 15:01 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(x\) un réel, étudier la suite de terme général \[\displaystyle{u_n= {\scriptstyle 1\over\scriptstyle n^2}\sum_{k=1}^n \left\lfloor kx \right\rfloor} \textrm{ avec } n \geqslant 1.\]


[ID: 424] [Date de publication: 12 janvier 2021 15:01] [Catégorie(s): Encadrements ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Solution

Exercice 934
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 12 janvier 2021 15:01

Soit \(n \geqslant 1\). De la même façon que dans l’exercice , on montre que pour tout \(k\in\llbracket 1,n\rrbracket\), \(kx-1\leqslant\left\lfloor kx \right\rfloor\leqslant kx\). Il vient alors que  : \[\dfrac{1}{n^2}\sum_{k=1}^n \left(kx-1\right) \leqslant\dfrac{1}{n^2}\sum_{k=1}^n \left\lfloor kx \right\rfloor\leqslant{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n^2}\sum_{k=1}^n kx\] ce qui s’écrit aussi, en reconnaîssant des sommes arithmétiques : \[\dfrac{n\left(n+1\right)}{2n^2} x -\dfrac{1}{n}\leqslant \dfrac{1}{n^2}\sum_{k=1}^n \left\lfloor kx \right\rfloor\leqslant\dfrac{n\left(n+1\right)}{2n^2} x\] On montre facilement que \(\dfrac{n\left(n+1\right)}{2n^2} x \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{}\dfrac{x}{2}\). Par application du théorème d’encadrement, on montre que .


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