Transformation d'Abel

Exercices du dossier Transformation d'Abel

Césaro **

15 avril 2024 13:41 — Par Gérard Letac

  1. Soient \(k,p\in \mathbb{N}\) avec \(k\leq p\). Montrer que \(\sum_{n=k}^p \dfrac{{\binom{n}{k}}-\binom{n}{k+1}}{2^n } = \dfrac{\binom{p+1}{k+1}}{2^p}\).

  2. Soit \((u_n)\) une série convergente. On pose \(v_n = \frac1{2^n } \sum_{p=0}^n \binom{n}{p}u_p\). Montrer que la série \((v_n)\) est convergente.



[ID: 4793] [Date de publication: 15 avril 2024 13:41] [Catégorie(s): Transformation d'Abel ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Gérard Letac ]
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Césaro
Par Gérard Letac le 15 avril 2024 13:41
  1. récurrence sur \(p\).

  2. Transformation d’Abel et interversion de sommations : \(\sum_{n=0}^p v_n = \sum_{k=0}^p \dfrac{\binom{p+1}{k+1}}{2^p}\sum_{n=0}^k u_n\).

    Thm de Césaro \(\Rightarrow \sum v_n = 2\sum u_n\) .


Exercice 2403 **

15 avril 2024 13:41 — Par Gérard Letac

Soit \((u_n)\) une suite de complexes telle que \(\dfrac{u_{1}+\dots+u_n}n\to _{n\to \infty }l \in \mathbb{C}\).

Montrer que \(\dfrac{1}{\ln(n)}\Bigl(\dfrac{u_{1}}1+\dots+\dfrac{u_n}n\Bigr)\to _{n\to \infty }l\).



[ID: 4795] [Date de publication: 15 avril 2024 13:41] [Catégorie(s): Transformation d'Abel ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Gérard Letac ]
Accordéon
Titre
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Texte

Exercice 2403
Par Gérard Letac le 15 avril 2024 13:41

Transformaton d’Abel.


Exercice 2404 **

15 avril 2024 13:41 — Par Gérard Letac

Soit \((u_n)\) une suite de complexes qui converge au sens de Césaro vers zéro.

Étudiez la suite de terme général \(v_n=\sum_{k=0}^n \dfrac{u_k}{n+k+1}\dots\)



[ID: 4797] [Date de publication: 15 avril 2024 13:41] [Catégorie(s): Transformation d'Abel ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Gérard Letac ]
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Exercice 2404
Par Gérard Letac le 15 avril 2024 13:41

Transformation d’Abel \(+\) découpage, \(v_n\to _{n\to \infty }0\).


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