Produit de Cauchy

Exercices du dossier Produit de Cauchy

Produit de Cauchy de trois séries **

15 avril 2024 13:40 — Par Gérard Letac

Soient \(\sum a_n\), \(\sum b_n\), \(\sum c_n\) trois séries absolument convergentes de sommes \(A\), \(B\), \(C\).

On pose \(u_n = \sum_{i+j+k=n} a_ib_jc_k\). Montrer que \(\sum u_n = ABC\).



[ID: 4785] [Date de publication: 15 avril 2024 13:40] [Catégorie(s): Produit de Cauchy ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Gérard Letac ]
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Produit de séries géométriques **

15 avril 2024 13:40 — Par Gérard Letac

Soient \(a\in {[0,1[}\). Écrire \(\dfrac1{(1-a)^2 }\) comme produit de deux séries. En déduire la somme de la série \(\sum_{k=0}^\infty ka^k\). Calculer par la même méthode \(\sum_{k=0}^\infty k^2 a^k\).



[ID: 4786] [Date de publication: 15 avril 2024 13:40] [Catégorie(s): Produit de Cauchy ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Gérard Letac ]
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Produit de séries géométriques
Par Gérard Letac le 15 avril 2024 13:40

\(\dfrac{a}{(1-a)^2 }\) et \(\dfrac{a+a^2 }{(1-a)^3}\).


Produit de séries géométriques **

15 avril 2024 13:40 — Par Gérard Letac

Pour \(n\in \mathbb{N}\) on note \(T_n\) le nombre de manières de décomposer \(n\) euros avec des pièces de 1€ et 2€ et des billets de 5€ et 10€ (\(T_{0} = 1\)). Montrer que : \(\forall x\in {[0,1[}\), \(\sum_{k=0}^\infty T_kx^k = \dfrac1{(1-x)(1-x^2 )(1-x^5)(1-x^{10})}\).



[ID: 4788] [Date de publication: 15 avril 2024 13:40] [Catégorie(s): Produit de Cauchy ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Gérard Letac ]
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\(\sum u_k/2^{n-k}\) **

15 avril 2024 13:40 — Par Gérard Letac

Soit \(\sum u_n\) une série convergente. On pose \(v_n = \dfrac{u_n}{1} + \dfrac{u_{n-1}}{2} + \dots+ \dfrac{u_{0} }{2^n }\).

  1. Montrer que \(v_n \to _{n\to \infty } 0\).

  2. Montrer que \(\sum v_n\) converge et donner sa valeur.



[ID: 4789] [Date de publication: 15 avril 2024 13:40] [Catégorie(s): Produit de Cauchy ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Gérard Letac ]
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\(\sum u_k/2^{n-k}\)
Par Gérard Letac le 15 avril 2024 13:40
  1. Césaro.

  2. \(v_{0} + v_{1} + \dots+ v_n = 2(u_{0} + u_{1} + \dots+ u_n) - v_n\).


\(\sum a_n/n^p = 0\) **

15 avril 2024 13:40 — Par Gérard Letac

Soit \((a_n)\) une suite bornée telle que pour tout entier \(p\geq 2\) : \(\sum_{n=1}^\infty \dfrac{a_n}{n^p} = 0\).

Montrer que : \(\forall n\in \mathbb{N}^*,\ a_n = 0\).



[ID: 4791] [Date de publication: 15 avril 2024 13:40] [Catégorie(s): Produit de Cauchy ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Gérard Letac ]
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\(\sum a_n/n^p = 0\)
Par Gérard Letac le 15 avril 2024 13:40

\(|a_n|\leq M \Rightarrow \left|\sum_{n=2}^\infty \dfrac {a_n}{n^p} \right| \leq M\sum_{n=2}^\infty \dfrac 1{n^p} \leq M\int _{t=1}^\infty \dfrac{d t}{t^p} = \dfrac M{p-1} \Rightarrow a_{1} = 0\).


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