Série dont le terme général est défini par récurrence

Exercices du dossier Série dont le terme général est défini par récurrence

\(u_{n+1} = 1/{ne^{u_n}}\). Ensi P 90 **

15 avril 2024 13:34 — Par Michel Quercia

Soit \((u_n)\) définie par : \(u_{1}\in \mathbb{R}\), \(u_{n+1} = \dfrac1{ne^{u_n}}\). Quelle est la nature de la série \(\sum u_n\) ?



[ID: 4775] [Date de publication: 15 avril 2024 13:34] [Catégorie(s): Série dont le terme général est défini par récurrence ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
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\(u_{n+1} = 1/{ne^{u_n}}\). Ensi P 90
Par Gérard Letac le 15 avril 2024 13:34

Pour \(n > 2\), \(u_{n+1} < \dfrac1n\) donc \(u_{n+2} > \dfrac1{(n+1)e^{1/n}} \sim \dfrac1n\) donc la série diverge.


\(x_{n+1} = x_n + x_n^2\) **

15 avril 2024 13:35 — Par Michel Quercia

Soit \((x_n)\) une suite définie par : \(x_{0} > 0\) et \(\forall n\in \mathbb{N}\), \(x_{n+1} = x_n + x_n^2\).

  1. Montrer que \(x_n \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} +\infty\).

  2. On pose \(u_n = 2^{-n}\ln x_n\). Montrer que la suite \((u_n)\) est convergente (on étudiera la série \(\sum u_{n+1}-u_n\)).

  3. En déduire qu’il existe \(\alpha > 0\) tel que \(x_n \sim \alpha ^{2^n }\).



[ID: 4777] [Date de publication: 15 avril 2024 13:35] [Catégorie(s): Série dont le terme général est défini par récurrence ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
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\(u_{n+1}/u_n = (n+a)/(n+b)\)
Par Gérard Letac le 15 avril 2024 13:35
  1. \(\ln(v_{n+1})-\ln(v_n) = \ln\left(1+\dfrac{a-b+1}{n+b-1}\right) \Rightarrow \begin{cases} \text{si } a-b+1 > 0, v_n\to +\infty \\ \text{si } a-b+1 = 0, v_n = \text{cste}\\ \text{si } a-b+1 < 0, v_n\to 0.\\ \end{cases}\)

  2. \((n+b)u_{n+1} - (n+a)u_n = 0 \Rightarrow (n+b)u_{n+1} + (b-a-1)\sum_{k=1}^n u_k - au_{0} = 0 \Rightarrow \sum_{k=0}^\infty u_k = \dfrac{(b-1)u_{0} }{b-a-1}\).


Exercice 2391 **

15 avril 2024 13:35 — Par Gérard Letac

On se donne \(u_{1}\) et \(a\) deux réels strictement positifs et l’on définit par récurrence la suite \((u_n)\) par \(u_{n+1}=u_n+\dfrac1{n^a u_n}\dots\) Étudiez la limite de la suite \((u_n)\), et, quand \(a\leq 1\), en donner un équivalent.



[ID: 4781] [Date de publication: 15 avril 2024 13:35] [Catégorie(s): Série dont le terme général est défini par récurrence ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Gérard Letac ]
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Exercice 2391
Par Gérard Letac le 15 avril 2024 13:35

La suite \((u_n)\) est croissante donc tend vers \(l \in {]0,+\infty ]}\). On a \(l\) fini si et seulement si la série télescopique \(\sum(u_{n+1}-u_n) = \sum\dfrac1{n^au_n}\) est convergente, soit si et seulement si \(a>1\).

Pour \(a<1\) on a \(u_{n+1}^2 = u_n^2 + \dfrac2{n^a} + o\Bigl(\dfrac2{n^a}\Bigr)\) donc \(u_{n+1}^2 -u_n^2 \sim \dfrac2{n^a}\) et \(u_n\sim\sqrt {\dfrac{2n^{1-a}}{1-a}}\) (sommation des relations de comparaison).

Pour \(a=1\) on a de même \(u_n\sim \sqrt {2\ln n}\).


\(u_{n+1} = u_n + {a_n}/{u_n}\) **

15 avril 2024 13:35 — Par Michel Quercia

Soit \((a_n)\) une suite réelle positive et \((u_n)\) la suite définie par la relation de récurrence : \(u_{n+1} = u_n + \dfrac{a_n}{u_n}\) avec \(u_{0} > 0\). Montrer que la suite \((u_n)\) converge si et seulement si la série \(\sum a_n\) converge.



[ID: 4783] [Date de publication: 15 avril 2024 13:35] [Catégorie(s): Série dont le terme général est défini par récurrence ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
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\(u_{n+1} = u_n + {a_n}/{u_n}\)
Par Gérard Letac le 15 avril 2024 13:35

\((u_n)\) est croissante. Si la suite \((u_n)\) converge alors \(a_n = u_n(u_{n+1} - u_n)\leq M(u_{n+1} - u_n)\) donc les sommes partielles de \(\sum a_n\) sont bornées.

Si \(\sum a_n\) converge, alors \(u_{n+1} - u_n = \dfrac{a_n}{u_n} \leq \dfrac{a_n}{u_{0} }\) donc \(\sum(u_{n+1}-u_n)\) converge.


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