Constante d'Euler

Exercices du dossier Constante d'Euler

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Constante d’Euler (Centrale MP 2003) ** Centrales MP

15 avril 2024 13:29 — Par Gérard Letac

Soit \(S_n = \sum_{k=1}^{n-1}\dfrac1k - \dfrac1n - \ln n\) et \(T_n = \sum_{k=1}^{n-1}\dfrac1k + \dfrac1n - \ln n\). Les suites \((S_n)\) et \((T_n)\) sont-elles adjacentes ?



[ID: 4769] [Date de publication: 15 avril 2024 13:29] [Catégorie(s): Constante d'Euler ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Gérard Letac ]
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Constante d’Euler (Centrale MP 2003)
Par Gérard Letac le 15 avril 2024 13:29

\(T_{n+1}-T_n = \dfrac1{n+1}-\ln\Bigl(\dfrac{n+1}n\Bigr) = \dfrac1{n+1} - \int _{t=n}^{n+1}\dfrac{d t}t < 0\)

\(S_{n+1}-S_n = \dfrac2n-\dfrac1{n+1}-\ln\Bigl(\dfrac{n+1}n\Bigr) =\dfrac1n - \int _{t=n}^{n+1}\Bigl(\dfrac1t-\dfrac1{t^2 }\Bigr)\,d t > 0\).


Constante d’Euler, Mines-Ponts MP 2005 ** Mines-Ponts MP

15 avril 2024 13:29 — Par Gérard Letac

Soit \(u_{n,k}\) le reste de la division du \(n\) par \(k\). Quelle est la limite de \(\dfrac1n\sum_{k=1}^n \dfrac{u_{n,k}}k\) ?



[ID: 4771] [Date de publication: 15 avril 2024 13:29] [Catégorie(s): Constante d'Euler ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Gérard Letac ]
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Constante d’Euler, Mines-Ponts MP 2005
Par Gérard Letac le 15 avril 2024 13:29

\(\dfrac{u_{n,k}}k = \dfrac nk - \bigl[\dfrac nk\bigr]\), donc \(v_n = \dfrac1n\sum_{k=1}^n \dfrac{u_{n,k}}k\) est une somme de Riemann pour \(I = \int _{t=0}^1 \Bigl(\dfrac1t - \bigl[\dfrac1t\bigr]\Bigr)\,d t\). La fonction \(\varphi\) : \(t\mapsto \dfrac1t - \bigl[\dfrac1t\bigr]\) est Riemann-intégrable sur \([0,1]\), donc \(v_n\to _{n\to \infty }I\).

Calcul de \(I\) : \(I_n = \int _{t=1/n}^1 \Bigl(\dfrac1t - \bigl[\dfrac1t\bigr]\Bigr)\,d t = \ln n - \sum_{k=1}^n \int _{t=\frac1{k+1}}^{\frac1k}k\,d t = \ln n - \sum_{k=1}^n \dfrac1{k+1} \to _{n\to \infty } 1-\gamma = I\).


ENS Cachan MP\(^*\) 2005 ** ENS MP

15 avril 2024 13:29 — Par Gérard Letac

Soit \(P(n)=\max\{p \text{ premier},\, p|n\}\). Montrer que \(\sum_{n}\dfrac{1}{nP(n)}\) converge.



[ID: 4773] [Date de publication: 15 avril 2024 13:29] [Catégorie(s): Constante d'Euler ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Gérard Letac ]
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ENS Cachan MP\(^*\) 2005
Par Gérard Letac le 15 avril 2024 13:29

Soit \((p_{0} ,p_{1},\dots)\) la suite croissante des nombres premiers et \(S_k = \sum_{P(n)\leq k}\dfrac1n\).

On a \(S_k = S_{k-1}\sum_{i=0}^\infty \dfrac1{p_k^i} = \dfrac{p_k}{p_k-1}S_{k-1}\), ce qui prouve que \(S_k\) est fini.

La série demandée est \(\dfrac{S_{0} }{p_{0} }+ \sum_{k=1}^\infty \dfrac{S_k-S_{k-1}}{p_k} = \dfrac{S_{0} }{p_{0} }+ \sum_{k=1}^\infty \dfrac{S_k}{p_k^2 }\).

Montrons que \(S_k\le2\sqrt {p_k}\), ceci prouvera la convergence. C’est vrai pour \(k=0\) et \(k=1\), et si c’est vrai pour \(k-1\) avec \(k\geq 2\) alors on obtient \(S_k\leq 2\sqrt {p_k}\sqrt {\dfrac{p_kp_{k-1}}{(p_k-1)^2 }} \leq 2\sqrt {p_k}\sqrt {\dfrac{p_k(p_k-2)}{(p_k-1)^2 }}\leq 2\sqrt {p_k}\).

Remarque : on a en réalité \(S_k\sim e^\gamma \ln(p_k)\)\(\gamma\) est la constante d’Euler (formule de Mertens).


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