Comparaisons séries intégrales

Exercices du dossier Comparaisons séries intégrales

Recherche d’équivalents **

15 avril 2024 13:22 — Par Gérard Letac

Par comparaison à une intégrale, donner un équivalent de :

  1. \(\sum_{k=n+1}^{2n} \dfrac 1{\sqrt k}\).

  2. \(\sum_{k=2}^{n} \dfrac 1{k\ln k}\).



[ID: 4759] [Date de publication: 15 avril 2024 13:22] [Catégorie(s): Comparaisons séries intégrales ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Gérard Letac ]
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Recherche d’équivalents
Par Gérard Letac le 15 avril 2024 13:22
  1. \(\sum_{k=n+1}^{2n} \dfrac 1{\sqrt k}\). \(2(\sqrt 2-1)\sqrt n\).

  2. \(\sum_{k=2}^{n} \dfrac 1{k\ln k}\). \(\ln(\ln n)\).


\(\ln^2 (k)\) **

15 avril 2024 13:23 — Par Gérard Letac

Par comparaison à une intégrale, donner un équivalent de \(u_n = \sum_{k=1}^n \ln^2 k\). La série de terme général \(\dfrac1{u_n}\) est-elle convergente ?



[ID: 4761] [Date de publication: 15 avril 2024 13:23] [Catégorie(s): Comparaisons séries intégrales ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Gérard Letac ]
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\(\ln^2 (k)\)
Par Gérard Letac le 15 avril 2024 13:23

\(u_n \sim n\ln^2 n \Rightarrow\) CV.


\((-1)^k\sqrt k\) **

15 avril 2024 13:23 — Par Gérard Letac

On pose \(u_n = \sum_{k=1}^{2n} (-1)^k\sqrt k\). Donner un équivalent de \(u_n\) quand \(n\to \infty\) (regrouper les termes deux par deux puis comparer à une intégrale).



[ID: 4763] [Date de publication: 15 avril 2024 13:23] [Catégorie(s): Comparaisons séries intégrales ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Gérard Letac ]
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\((-1)^k\sqrt k\)
Par Gérard Letac le 15 avril 2024 13:23

\(\sqrt {\dfrac n2}\).


Mines MP 2003 ** Mines-Ponts MP

15 avril 2024 13:23 — Par Gérard Letac

Soit la suite de terme général \(u_n = \dfrac{\ln 2}2 + \dfrac{\ln 3}3 + \dots+ \dfrac{\ln n}n\).

  1. Donner un équivalent de \(u_n\) en \(+\infty\).

  2. Montrer que la suite de terme général : \(v_n = u_n - \dfrac{\ln^2 n}2\) est convergente.

  3. Soit \(l = \lim_{n\to \infty } v_n\). Donner un équivalent de \(v_n-l\).



[ID: 4765] [Date de publication: 15 avril 2024 13:23] [Catégorie(s): Comparaisons séries intégrales ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Gérard Letac ]
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Mines MP 2003
Par Gérard Letac le 15 avril 2024 13:23
  1. Comparaison série-intégrale : \(u_n\sim\dfrac{\ln^2 n}2\).

  2. Comparaison série-intégrale encore (\(v_n\) est la somme des aires entre les rectangles aux points entiers et la courbe de \(t\to \ln(t)/t\)).

  3. \(v_n-l = -\sum_{k=n}^\infty \Bigl(\int _{t=k}^{k+1}\dfrac{\ln t}t\,d t - \dfrac{\ln(k+1)}{k+1}\Bigr) = -\sum_{k=n}^\infty w_k\) avec \(w_k\sim\dfrac{\ln k}{2k^2 }\).

    Donc \(v_n-l \sim-\int _{t=n}^{+\infty }\dfrac{\ln t}{2t^2 }\,d t\sim-\dfrac{\ln n}{2n}\).


\((x-1)\zeta (x) \to 1\) **

15 avril 2024 13:23 — Par Gérard Letac

Pour \(x > 1\) on note \(\zeta (x) = \sum_{k=1}^\infty \dfrac 1{k^x}\). En comparant \(\zeta (x)\) à une intégrale, trouver \(\lim_{x\to 1_{+} } (x-1)\zeta (x)\).



[ID: 4767] [Date de publication: 15 avril 2024 13:23] [Catégorie(s): Comparaisons séries intégrales ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Gérard Letac ]
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