Etudes asymptotiques

Exercices du dossier Etudes asymptotiques

\(\sum1/n\), Mines MP 2010 ** Mines-Ponts MP

15 avril 2024 13:21 — Par Gérard Letac

On définit \(k_j = \min\{ k\in \mathbb{N}\text{ tq }\sum_{n=1}^k1/n\geq j\}\).

  1. Prouver l’existence de \(k_j\). Quelle est la limite de \(k_j\) lorsque \(j\) tend vers l’infini ?

  2. Calculer \(\lim_{j\to \infty }(k_{j+1}/k_j)\).



[ID: 4753] [Date de publication: 15 avril 2024 13:21] [Catégorie(s): Etudes asymptotiques ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Gérard Letac ]
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\(\sum1/n\), Mines MP 2010
Par Gérard Letac le 15 avril 2024 13:21
  1. Lorsque \(k\to \infty\) on a : \(\sum_{n=1}^k1/n=\ln(k)+\gamma +o(1)\), d’où \(j\leq \ln(k_j)+\gamma +o(1)<j+1/k_j\). Ceci prouve que \(\ln(k_j)=j-\gamma +o(1)\) et donc \(k_{j+1}/k_j\to _{j\to \infty }e\).


Centrale MP 2001 ** Centrales MP

15 avril 2024 13:21 — Par Gérard Letac

Donner un équivalent simple de \(\sum_{k=0}^{n-1}\dfrac1{n^2 -k^2 }\).



[ID: 4755] [Date de publication: 15 avril 2024 13:21] [Catégorie(s): Etudes asymptotiques ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Gérard Letac ]
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Centrale MP 2001
Par Gérard Letac le 15 avril 2024 13:21

\(\sum_{k=0}^{n-1}\dfrac1{n^2 -k^2 } = \dfrac1{2n}\sum_{k=0}^{n-1}\Bigl(\dfrac1{n-k} + \dfrac1{n+k}\Bigr) = \dfrac1{2n}\Bigl(\sum_{k=1}^{2n-1}\dfrac1k +\dfrac1n\Bigr) \sim \dfrac{\ln n}{2n}\).


Stirling\(++\) **

15 avril 2024 13:21 — Par Gérard Letac

Montrer que \(n! = \left(\dfrac ne\right)^n \sqrt {2\pi n}\left(1+\dfrac 1{12n} + O\left(\dfrac 1{n^2 }\right)\right)\).



[ID: 4757] [Date de publication: 15 avril 2024 13:21] [Catégorie(s): Etudes asymptotiques ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Gérard Letac ]
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