Convergence, divergence de suites

Exercices du dossier Convergence, divergence de suites

Exercice 672 *

12 janvier 2021 14:58 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Étudier la convergence des suites suivantes, données par leur terme général :

  1. \(u_n={\scriptstyle\sin n\over\scriptstyle n}\)

  2. \(u_n={\scriptstyle n^2\over\scriptstyle n\left(n-1\right)}+\left(0.7\right)^n\)

  3. \(u_n=n^3+2n^2-5n+1\)

  4. \(u_n=3^n-n^2 2^n\)

  5. \(u_n=(-1)^n\)

  6. \(u_n=\sqrt{n^2+n}-\sqrt{n}\)



[ID: 382] [Date de publication: 12 janvier 2021 14:58] [Catégorie(s): Convergence, divergence de suites ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Accordéon
Titre
Solution
Texte

Exercice 672
Par emmanuel le 12 janvier 2021 14:58
  1. Pour tout réel \(x\), \(-1\leqslant\sin x \leqslant 1\), donc pour tout \(n\in\mathbb{N}^*\), \(-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\leqslant{\scriptstyle\sin n\over\scriptstyle n} \leqslant{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\). D’après le théorème des gendarmes : \(u_n \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{}0\).

  2. Soit \(n\in\mathbb{N}^*\). \({\scriptstyle n^2\over\scriptstyle n\left(n-1\right)}={\scriptstyle n^2\over\scriptstyle n^2} {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 1\left(1-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\right)}\xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} 1\) et \(\left(0.7\right)^n \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} 0\) car il s’agit d’une suite géométrique de raison \(0.7 \in \left]-1,1\right[\). Donc par opérations sur les limites \(u_n \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} 1\).

  3. \(u_n=n^3+2n^2-5n+1 = n^3 \left(1+{\scriptstyle 2\over\scriptstyle n}-{\scriptstyle 5\over\scriptstyle n^2}+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n^3}\right) \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} +\infty\) par opérations sur les limites.

  4. \(u_n=3^n-n^2 2^n = 3^n\left( 1 - \dfrac{n^2}{ \left({\scriptstyle 3\over\scriptstyle 2} \right)^n} \right) \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} +\infty\) par application des relations de comparaisons et par opérations sur les limites.

  5. \(u_{2n}=1 \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} 1\) et \(u_{2n+1} = -1 \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} -1\). On a ainsi extrait deux suites de la suite \(u_n\) qui admettent des limites différentes. Donc \(\left(u_n\right)\) diverge.

  6. \(u_n=\sqrt{n^2+n}-\sqrt{n} = \dfrac{\left(\sqrt{n^2+n}-\sqrt{n}\right) \left(\sqrt{n^2+n}+\sqrt{n}\right) }{ \sqrt{n^2+n}+\sqrt{n} } = \dfrac{n^2+n-n }{ \sqrt{n^2+n}+\sqrt{n} } = {\scriptstyle n^2\over\scriptstyle n} {\scriptstyle 1\over\scriptstyle\sqrt{1+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}} + {\scriptstyle 1\over\scriptstyle\sqrt n}} \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} +\infty\) par opérations sur les limites.


Accordéon
Titre
Solution
Texte

Exercice 485
Par emmanuel le 12 janvier 2021 14:58
  1. \(u_{2n}= 3^{2n} + 3^{2n} \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} +\infty\) et \(u_{2n+1}= -3^{2n+1} + 3^{2n+1} \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} 0\). On a ainsi extrait deux suites de la suite \(\left(u_n\right)\) qui ne tendent pas vers une même limite. Par conséquent, \(\left(u_n\right)\) diverge.

  2. \(u_n={\scriptstyle 2^{2n}+n 3^n\over\scriptstyle 2^{2n}-n 3^n} ={\scriptstyle 4^{n}+n 3^n\over\scriptstyle 4^{n}-n 3^n} = {\scriptstyle 4^n\over\scriptstyle 4^n} \dfrac{1+{\scriptstyle n\over\scriptstyle \left({\scriptstyle 4\over\scriptstyle 3}\right)^n }}{ 1-{\scriptstyle n\over\scriptstyle \left({\scriptstyle 4\over\scriptstyle 3}\right)^n} }\). Par croissances comparées \({\scriptstyle n\over\scriptstyle \left({\scriptstyle 4\over\scriptstyle 3}\right)^n } \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} 0\). Donc : \(u_n \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} 1\).

  3. \(u_n= {\scriptstyle a^n+b^n\over\scriptstyle a^n-b^n}= {\scriptstyle b^n\over\scriptstyle b^n}\dfrac{ 1+ \left({\scriptstyle a\over\scriptstyle b}\right)^n }{-1 + \left({\scriptstyle a\over\scriptstyle b}\right)^n }\xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} -1\) car \(\left({\scriptstyle a\over\scriptstyle b}\right)^n\) est le terme général d’une suite géométrique de raison \({\scriptstyle a\over\scriptstyle b}\in \left]-1,1\right[\).

  4. \(u_n={\scriptstyle 3^n-4\over\scriptstyle 3^n+2} = {\scriptstyle 3^n\over\scriptstyle 3^n} \dfrac{1-{\scriptstyle 4\over\scriptstyle 3^n}}{1+{\scriptstyle 2\over\scriptstyle 3^n}} \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} 1\) par opérations sur les limites.

  5. Pour tout réel \(x\), \(-1\leqslant\cos x \leqslant 1\), donc pour tout \(n\in\mathbb{N}^*\), \(-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\leqslant{\scriptstyle\cos n\over\scriptstyle n} \leqslant{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\). D’après le théorème des gendarmes : \(u_n \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{}0\).

  6. \(u_n={\scriptstyle-n^2+1\over\scriptstyle n^2+3} = {\scriptstyle n^2\over\scriptstyle n^2} {\scriptstyle-1+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n^2}\over\scriptstyle 1+{\scriptstyle 3\over\scriptstyle n^2}} \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{}-1\) par opérations sur les limites.


Accordéon
Titre
Solution
Texte

Exercice 451
Par emmanuel le 12 janvier 2021 14:58
  1. \(u_n={\scriptstyle n^2-n\ln n\over\scriptstyle n^2 + n (\ln n)^2} = {\scriptstyle n^2\over\scriptstyle n^2} \dfrac{ 1-{\scriptstyle\ln n\over\scriptstyle n} }{ 1 + {\scriptstyle\left(\ln n\right)^2\over\scriptstyle n} } \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} 1\) par application des relations de comparaisons et par opérations sur les limites.

  2. \(u_n=\sqrt{n^2+3n}-n = \dfrac{ \left(\sqrt{n^2+3n}-n\right) \left(\sqrt{n^2+3n}+n\right) }{ \sqrt{n^2+3n}+n } = \dfrac{ 3n }{ \sqrt{n^2+3n}+n } = {\scriptstyle n\over\scriptstyle n} \dfrac{3 }{ \sqrt{1+ {\scriptstyle 3\over\scriptstyle n}} +1} \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} {\scriptstyle 3\over\scriptstyle 2}\) par opérations sur les limites.

  3. On a, pour tout \(n\in\mathbb{N}^*\), \(-{\scriptstyle n\over\scriptstyle n^2+1}\leqslant{\scriptstyle n \sin n\over\scriptstyle n^2+1} \leqslant{\scriptstyle n\over\scriptstyle n^2+1}\) et \({\scriptstyle n\over\scriptstyle n^2+1} \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} 0\) donc par application du théorème des gendarmes, \(u_n \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} 0\).

  4. \(u_n=4^n-3^n+1 = 4^n \left( 1- \left({\scriptstyle 3\over\scriptstyle 4}\right)^n + \left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle 4}\right)^n \right) \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} +\infty\) par opérations sur les limites.

  5. \(u_n= \left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle 3}\right)^n - \left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}\right)^n \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} 0\) par opérations sur les limites et car \(\left(\left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle 3}\right)^n\right)\) et \(\left(\left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}\right)^n\right)\) sont des suites géométriques de raison élément de \(\left]-1,1\right[\).

  6. \(u_{2n}= 0 \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{}0\) et \(u_{2n+1}=2a^{2n+1}\). Si \(\left|a\right|\geqslant 1\), \(\left(u_{2n+1}\right)\) diverge et les deux suites extraites \(\left(u_{2n}\right)\) et \(\left(u_{2n+1}\right)\) sont de natures différentes donc \(\left(u_n\right)\) diverge. Si \(a\in\left]-1,1\right[\), \({u_{2n+1}}\xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}0\). Les suites \(\left(u_{2n}\right)\) et \(\left(u_{2n+1}\right)\) convergent toutes deux vers \(0\). D’après le cours, \(u_n\xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{} 0\).


Exercice 998 *

12 janvier 2021 14:58 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Étudier la convergence des suites suivantes, données par leur terme général :

  1. \(u_n={\scriptstyle e^{-n\cos^2 n}\over\scriptstyle n+1}\)

  2. \(u_n= \sqrt{n^2-n} - \sqrt{n^2+1}\)

  3. \(u_n={\scriptstyle\sin(n^2)\over\scriptstyle n}\)

  4. \(u_n= \sqrt{n^4+n^2}-n^2-n\)

  5. \(u_n= {\scriptstyle 2+4\left(-1\right)^n\over\scriptstyle n}\)

  6. \(u_n= \sin({\scriptstyle n\pi\over\scriptstyle 2})\)



[ID: 388] [Date de publication: 12 janvier 2021 14:58] [Catégorie(s): Convergence, divergence de suites ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Accordéon
Titre
Solution
Texte

Exercice 998
Par emmanuel le 12 janvier 2021 14:58
  1. Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(-n\leqslant-n\cos^2 n \leqslant 0\) et donc : \(\dfrac{e^{-n}}{n+1} \leqslant{\scriptstyle e^{-n\cos^2 n}\over\scriptstyle n+1} \leqslant\dfrac{1}{n+1}\). Mais \(\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty}\dfrac{e^{-n}}{n+1}}=0\). Par application du théorème des gendarmes, \(u_n \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{}0\).

  2. \(u_n= \sqrt{n^2-n} - \sqrt{n^2+1} = \dfrac{\left(\sqrt{n^2-n} - \sqrt{n^2+1}\right) \left(\sqrt{n^2-n} + \sqrt{n^2+1}\right) }{ \sqrt{n^2-n} + \sqrt{n^2+1} } = -\dfrac{n+1}{\sqrt{n^2-n} + \sqrt{n^2+1}} =- {\scriptstyle n\over\scriptstyle n} \dfrac{1+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}}{\sqrt{1-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}} + \sqrt{1+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n^2}}} \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} -{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}\) par opérations sur les limites.

  3. Pour tout \(n\in\mathbb{N}^*\), \(- {\scriptstyle 1\over\scriptstyle n} \leqslant{\scriptstyle\sin(n^2)\over\scriptstyle n} \leqslant {\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\) donc par application du théorème des gendarmes, \(u_n \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} 0\).

  4. \(u_n= \sqrt{n^4+n^2}-n^2-n = \dfrac{ \left(\sqrt{n^4+n^2}-n^2-n\right) \left( \sqrt{n^4+n^2}+n^2+n \right) }{ \sqrt{n^4+n^2}+n^2+n } = \dfrac{ -2n^3 }{ \sqrt{n^4+n^2}+n^2+n }\)
    \(\phantom{u_n} = \dfrac{n^3}{n^2} {\scriptstyle-2\over\scriptstyle\sqrt{ 1 + {\scriptstyle 1\over\scriptstyle n^2}} +1+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}} \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} -\infty\) par opérations sur les limites.

  5. Pour tout \(n\in\mathbb{N}^*\), \(-{\scriptstyle 2\over\scriptstyle n}\leqslant{\scriptstyle 2+4\left(-1\right)^n\over\scriptstyle n} \leqslant {\scriptstyle 6\over\scriptstyle n}\) et \(\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty}-{\scriptstyle 2\over\scriptstyle n}}=\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty}{\scriptstyle 6\over\scriptstyle n} }=0\). Par application du théorème des gendarmes, \(u_n \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} 0\).

  6. Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(u_{2n}= \sin({n\pi})=0\) et \(u_{2n+1} = \left(-1\right)^{n}\). On extrait ainsi de \(\left(u_n\right)\) deux suites de nature différentes. Par conséquent, \(\left(u_n\right)\) diverge.


Accordéon
Titre
Solution
Texte

Exercice 780
Par emmanuel le 12 janvier 2021 14:58
  1. Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(u_n=n\cos n+n^2\geqslant n^2 -n\) et \(n^2-n \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} +\infty\) donc par application du théorème des gendarmes, \(u_n \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} +\infty\).

  2. \(u_n= \left(1+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\right)^n=e^{ n\ln \left( 1 + {\scriptstyle 1\over\scriptstyle n} \right)}\). Mais \(n\ln \left( 1 + {\scriptstyle 1\over\scriptstyle n} \right) = \dfrac{\ln \left( 1 + {\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\right) }{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}}\) et \({\scriptstyle\ln\left(1+x\right)\over\scriptstyle x} \xrightarrow[x\rightarrow 0]{} 1\) donc \(n\ln \left( 1 + {\scriptstyle 1\over\scriptstyle n} \right) \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} 1\) et \(u_n \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} e^1=e\) par opérations sur les limites.

  3. \(u_n={\scriptstyle\ln n\over\scriptstyle\sqrt{n+1}} = {\scriptstyle\ln n\over\scriptstyle\sqrt n} {\scriptstyle 1\over\scriptstyle\sqrt{1+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}}} \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} 0\) par croissances comparées (voir le théorème page ) et opérations sur les limites.

  4. Pour tout \(n\geqslant 2\), \({\scriptstyle 3n -1\over\scriptstyle n-1} \leqslant{\scriptstyle 3n+\cos n\over\scriptstyle n-1} \leqslant{\scriptstyle 3n +1\over\scriptstyle n-1}\) et \({\scriptstyle 3n -1\over\scriptstyle n-1} = {\scriptstyle n\over\scriptstyle n} {\scriptstyle 3-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\over\scriptstyle 1-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}} \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} 3\), \({\scriptstyle 3n +1\over\scriptstyle n-1} = {\scriptstyle n\over\scriptstyle n} {\scriptstyle 3+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\over\scriptstyle 1-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}} \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} 3\) donc par application du théorème des gendarmes, \(u_n \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} 3\).

  5. \(u_n={\scriptstyle n^3+5n\over\scriptstyle 5n^3+\cos n + {\scriptstyle 1\over\scriptstyle n^2}} = {\scriptstyle n^3\over\scriptstyle n^3} \dfrac{ 1 + {\scriptstyle 5\over\scriptstyle n^2}}{ 5 + {\scriptstyle\cos n \over\scriptstyle n^3} + {\scriptstyle 1\over\scriptstyle n^5}} \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 5}\) par opérations sur les limites.

  6. \(u_n=\displaystyle{\sum_{k=1}^n {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2^k}} = \dfrac{ 1 - {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2^{n+1}}}{1-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}} - 1 \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} 1\) car on a affaire à une somme géométrique de raison \({\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2} \in\left]-1,1\right[\) (Attention à l’indice de départ de la somme qui n’est pas \(0\)).


Accordéon
Titre
Solution
Texte

Exercice 456
Par emmanuel le 12 janvier 2021 14:58
  1. \(u_n= \left(1+{\scriptstyle a\over\scriptstyle n}\right)^n = e^{ n \ln \left(1+ {\scriptstyle a\over\scriptstyle n}\right)}\). Mais \(n \ln \left(1+ {\scriptstyle a\over\scriptstyle n}\right) = a\dfrac{\ln \left(1+ {\scriptstyle a\over\scriptstyle n}\right)}{ {\scriptstyle a\over\scriptstyle n} }\) et \({\scriptstyle\ln\left(1+x\right)\over\scriptstyle x} \xrightarrow[x\rightarrow 0]{}1\) donc : \(n \ln \left(1+ {\scriptstyle a\over\scriptstyle n}\right) \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{}a\) et \(u_n \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} e^a\).

  2. \(u_n= \left( {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n} \right)^n = e^{ n\ln\left( {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\right)} \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} 0\) par opérations sur les limites et car \(\ln\left( {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\right) \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} \ln {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}<0\).

  3. \(u_n= \sin {\scriptstyle 2n\pi\over\scriptstyle 3} = \begin{cases} 0 &\textrm{ si } 3| n\\ -{\scriptstyle\sqrt{3}\over\scriptstyle 2} &\textrm{ si } 3| n+1 \\ {\scriptstyle\sqrt{3}\over\scriptstyle 2} &\textrm{ si } 3| n+2 \end{cases}\). On peut donc extraire de \(\left(u_n\right)\) trois sous-suites qui convergent vers des valeurs différentes. Par conséquent, \(\left(u_n\right)\) diverge.

  4. \(u_n= {\scriptstyle 4.\left(0.5\right)^n -2\over\scriptstyle\left(0.5\right)^n+3} \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} -{\scriptstyle 2\over\scriptstyle 3}\) par opérations sur les limites et car \(\left(0.5^n\right)\) est une suite géométrique de raison \(0.5\in\left]-1,1\right[\).

  5. \(u_n= {\scriptstyle n^5\over\scriptstyle 5^n} \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} 0\) par croissances comparées (voir le théorème page ).

  6. On a \({\scriptstyle sin x\over\scriptstyle x} \xrightarrow[x\rightarrow 0]{} 1\) et \({\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2^n} \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} 0\) donc \(u_n= 2^n\sin {\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2^n} = \pi \dfrac{\sin {\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2^n}}{{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2^n} } \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} \pi\)


Accordéon
Titre
Solution
Texte

Exercice 649
Par emmanuel le 12 janvier 2021 14:58
  1. \(u_n={\scriptstyle 2n+(-1)^n\over\scriptstyle 5n+(-1)^{n+1}} = {\scriptstyle n\over\scriptstyle n} \dfrac{ 2 + {\scriptstyle\left(-1\right)^n\over\scriptstyle n}}{5+ {\scriptstyle(-1)^{n+1}\over\scriptstyle n}} \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} {\scriptstyle 2\over\scriptstyle 5}\)

  2. \(u_n= {\scriptstyle\ln\left(n+1\right)\over\scriptstyle\ln n} = {\scriptstyle\ln\left( n \left(1+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\right)\right)\over\scriptstyle\ln n} = 1 + \dfrac{\ln \left(1+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\right)}{\ln n} \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} 1\) par opérations sur les limites.

  3. \(u_n=\ln\left(n+1\right)-\ln n = \ln {\scriptstyle n+1\over\scriptstyle n} = \ln\left( 1 + {\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\right) \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} 0\) par opérations sur les limites.

  4. On a déjà montré que \(n\sin \left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\right) \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} 1\) donc, comme \(\cos \left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\right) \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} \cos 0 = 1\), \(u_n={\scriptstyle n\sin \left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\right)\over\scriptstyle 2-\cos \left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\right)} \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} 1\)

  5. \(u_n={\scriptstyle n-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\over\scriptstyle n+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}} = {\scriptstyle n\over\scriptstyle n} \dfrac{1-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n^2}}{1+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n^2}} \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} 1\) par opérations sur les limites.

  6. \(u_n= \ln\left(e^n +1\right)-n = \ln \left(e^n\left(1+e^{-n}\right) \right)-n = \ln \left(1+e^{-n}\right) \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} 0\) par opérations sur les limites.


Accordéon
Titre
Solution
Texte

Exercice 67
Par emmanuel le 12 janvier 2021 14:58
  1. Pour tout \(n\in\mathbb{N}^*\), \(0 \leqslant\left({\scriptstyle\left|\sin n\right|\over\scriptstyle 3}\right)^n \leqslant \left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle 3}\right)^n\) et \(\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty}\left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle 3}\right)^n}=0\) donc par application du théorème des gendarmes, \(u_n \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} 0\).

  2. \(u_n= \tan\left({\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}-{\scriptstyle 2\over\scriptstyle n}\right) \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} +\infty\) par opérations sur les limites.

  3. \(u_n=\sqrt{1-3n+n^2}=n\sqrt{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n^2} - {\scriptstyle 3\over\scriptstyle n} +1} \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} +\infty\) par opérations sur les limites.

  4. Pour tout \(n>1\), \(-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n+1} \leqslant{\scriptstyle\sin n\over\scriptstyle n+1} \leqslant{\scriptstyle\sin n\over\scriptstyle n+(-1)^{n+1}} \leqslant{\scriptstyle\sin n\over\scriptstyle n-1} \leqslant{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n-1}\) et \(\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty}{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n+1}} = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty}{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n-1}}=0\) donc par application du théorème des gendarmes \(u_n \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{}0\).

  5. Pour tout \(n\geqslant 0\), \(\sqrt[n]{1} \leqslant u_n=\sqrt[n]{2+(-1)^n} \leqslant \sqrt[n]{3}\) et \(\sqrt[n]{3} =e^{{\scriptstyle\ln 3\over\scriptstyle n}} \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} e^0=1\) donc par application du théorème des gendarmes \(u_n \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{}1\).

  6. Pour tout \(n\geqslant 2\), \({\scriptstyle n-1\over\scriptstyle n+1} \leqslant u_n= {\scriptstyle n-(-1)^n\over\scriptstyle n+(-1)^n} \leqslant{\scriptstyle n+1\over\scriptstyle n-1}\) et \(\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty}{\scriptstyle n+1\over\scriptstyle n-1} } =\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty}{\scriptstyle n-1\over\scriptstyle n+1} } =1\) donc par application du théorème des gendarmes \(u_n \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{}1\).


Exercice 442 **

12 janvier 2021 14:58 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soient \((u_n)\) et \((v_n)\) deux suites réelles telles que \(u_n^2+u_n v_n + v_n^2 \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{}0\).
Démontrer que \((u_n)\) et \((v_n)\) convergent vers \(0\).



[ID: 398] [Date de publication: 12 janvier 2021 14:58] [Catégorie(s): Convergence, divergence de suites ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Accordéon
Titre
Solution
Texte

Exercice 442
Par emmanuel le 12 janvier 2021 14:58

Soit \(n\in\mathbb{N}\). Comme \(u_n^2+u_n v_n + v_n^2 = \left(u_n + v_n\right)^2 - u_n v_n = \left(u_n - v_n\right)^2 + 3u_n v_n\), la limite des deux dernières quantités existent et vaut \(0\). Par conséquent : \(u_n v_n = {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 4}\left(\left(\left(u_n + v_n\right)^2 + 3u_n v_n\right) - \left(\left(u_n + v_n\right)^2 - u_n v_n\right) \right) \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{}0\). On en déduit que \(u_n^2 + v_n^2 \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{}0\) ce qui n’est possible que si \(u_n \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{}0\) et \(v_n \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{}0\).


Divergence de \(\left(\cos n\right)\) ***

12 janvier 2021 14:58 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Montrer que la suite \((\cos(n))\) diverge.



[ID: 400] [Date de publication: 12 janvier 2021 14:58] [Catégorie(s): Convergence, divergence de suites ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
Accordéon
Titre
Solution
Texte

Divergence de \(\left(\cos n\right)\)
Par emmanuel le 12 janvier 2021 14:58

Supposons que \(\left(\cos n \right)\) converge vers une limite \(\ell\in\mathbb{R}\). La sous-suite \(\left(\cos \left(2n\right) \right)\) converge donc vers la même limite \(\ell\). Or \(\forall n\in\mathbb{N},\quad \cos 2n = 2\cos^2 n - 1\), donc en passant à la limite, on obtient : \(\ell=2\ell^2-1\). Donc on a nécessairement \(\ell=-1/2\) ou \(\ell=1\). D’autre part, \(\forall n\in\mathbb{N},\quad \cos \left(n+1\right) + \cos \left(n-1\right) = 2\cos n \cos 1\). Un nouveau passage à la limite donne cette fois : \(2\ell = 2\cos 1 .\ell\) donc \(\ell = 0\), puisque \(\cos 1 \neq 1\). On a donc d’une part \(\ell=-1/2\) ou \(\ell=1\) et d’autre part \(\ell = 0\). Ces deux conditions sont incompatibles, donc l’hypothèse de départ, à savoir \(\left(\cos n \right)\) converge, ne tient pas.


;
Success message!