Etude théorique

  1. Les exercices
  2. Vue compacte

Exercices du dossier Etude théorique

Ensi PC 1999 ** PC

15 avril 2024 12:54 — Par Michel Quercia

Soit \((u_n)\) une suite réelle telle que \(\dfrac{u_{2n+1}}{u_{2n}}\to _{n\to \infty } a\) et \(\dfrac{u_{2n}}{u_{2n-1}}\to _{n\to \infty } b\). Étudier la convergence de \(\sum u_n\).


[ID: 4681] [Date de publication: 15 avril 2024 12:54] [Catégorie(s): Etude théorique ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Solution

Ensi PC 1999
Par Michel Quercia le 15 avril 2024 12:54

\(\dfrac{u_{2n+1}}{u_{2n-1}}\to _{n\to \infty } ab\) et \(\dfrac{u_{2n}}{u_{2n-2}}\to _{n\to \infty } ab\) donc il y a convergence si \(|ab| < 1\).


Encadrement **

15 avril 2024 12:54 — Par Michel Quercia

Soient \(\sum u_n\), \(\sum v_n\), \(\sum w_n\) trois séries réelles telles que \(\sum u_n\) et \(\sum w_n\) convergent, et \({u_n\leq v_n\leq w_n}\) pour tout \(n\). Montrer que \(\sum v_n\) converge.


[ID: 4683] [Date de publication: 15 avril 2024 12:54] [Catégorie(s): Etude théorique ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Solution

Ensi MP 2002 ** MP

15 avril 2024 12:54 — Par Michel Quercia

On suppose que la série à termes positifs de terme général \(u_n\) est divergente et on pose \(S_n=\sum_{k=0}^n u_k\).

Soit \(f:\mathbb{R}_{+} \to \mathbb{R}_{+}\) une application continue décroissante. Comparer les énoncés :

1. \(f\) est intégrable

2. La série de terme général \(u_nf(S_n)\) converge.


[ID: 4684] [Date de publication: 15 avril 2024 12:54] [Catégorie(s): Etude théorique ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Solution

Ensi MP 2002
Par Michel Quercia le 15 avril 2024 12:54

\(1\Rightarrow 2\) par comparaison série-intégrale. Contre-exemple pour \(2\not\Rightarrow 1\) : \(u_n = e^{(n+1)^2 }-e^{n^2 }\), \(S_n = e^{(n+1)^2 }-1\), \(f(t)=\dfrac1{(t+2)\ln(t+2)}\).


\(1/(1+n^2 u_n)\), Mines-Ponts MP 2005 ** Mines-Ponts MP

15 avril 2024 12:54 — Par Michel Quercia

Soit \((u_n)\) une suite réelle positive et \(v_n = \dfrac1{1+n^2 u_n}\). Montrer que \(\sum u_n\) converge \(\Rightarrow \sum v_n\) diverge. Étudier le cas où \(\sum u_n\) diverge.


[ID: 4686] [Date de publication: 15 avril 2024 12:54] [Catégorie(s): Etude théorique ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Solution

\(1/(1+n^2 u_n)\), Mines-Ponts MP 2005
Par Michel Quercia le 15 avril 2024 12:54

Si \(\sum u_n\) et \(\sum v_n\) convergent alors \(n^2 u_n\to _{n\to \infty }\infty\) donc \(u_nv_n \sim 1/n^2\). Alors les suites \((\sqrt {u_n})\) et \((\sqrt {v_n})\) sont de carrés sommables tandis que la suite \((\sqrt {u_nv_n})\) n’est pas sommable, c’est absurde.

Si \(\sum u_n\) diverge on ne peut rien dire : avec \(u_n=1\) on a \(\sum v_n\) convergente tandis qu’avec \(u_n=\dfrac1{n}\) on a \(\sum v_n\) divergente.


\({a_n}/{(1+a_{1})(1+a_{2})\dots(1+a_n)}\) **

15 avril 2024 12:54 — Par Michel Quercia

Soit \((a_n)\) une suite réelle positive. On pose \(u_n = \dfrac {a_n}{(1+a_{1})(1+a_{2})\dots(1+a_n)}\).

  1. Montrer que la série \(\sum u_n\) converge.

  2. Calculer \(\sum_{n=1}^\infty u_n\) lorsque \(a_n = \dfrac 1{\sqrt n}\).


[ID: 4688] [Date de publication: 15 avril 2024 12:54] [Catégorie(s): Etude théorique ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Solution

\({a_n}/{(1+a_{1})(1+a_{2})\dots(1+a_n)}\)
Par Michel Quercia le 15 avril 2024 12:54

  1. \(u_{1} + \dots+ u_n = 1 - \dfrac1{(1+a_{1})\dots(1+a_n)}\leq 1\).

  2. \(\ln\bigl((1+a_{1})\dots(1+a_n)\bigr) = \sum_{k=1}^n \ln\left(1+\dfrac1{\sqrt k}\right) \to _{n\to \infty } +\infty \Rightarrow \sum u_n = 1\).


\(1/a^{\text{nb de chiffres de }n}\) **

15 avril 2024 12:54 — Par Michel Quercia

Pour \(n\in \mathbb{N}^*\) on note \(p_n\) le nombre de chiffres de l’écriture décimale de \(n\) (sans zéros inutiles). Soit \(a > 0\). Étudier la convergence et déterminer la somme éventuelle de la série \(\sum_{k=1}^\infty \dfrac1{a^{p_k}}\).


[ID: 4690] [Date de publication: 15 avril 2024 12:54] [Catégorie(s): Etude théorique ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Solution

\(1/a^{\text{nb de chiffres de }n}\)
Par Michel Quercia le 15 avril 2024 12:54

Regroupement de termes par valeur constante de \(p_k\) \(\Rightarrow \sum_{k=1}^\infty \dfrac1{a^{p_k}} = \sum_{p=1}^\infty \dfrac{10^p-10^{p-1}}{a^p} = \dfrac{9}{a-10}\).


Cauchy-Schwarz **

15 avril 2024 12:54 — Par Michel Quercia

Soient \((u_n)\), \((v_n)\) deux suites réelles telles que \(\sum u_n^2\) et \(\sum v_n^2\) convergent.

  1. Montrer que \(\sum u_nv_n\) converge.

  2. Montrer que \(\sum(u_n+v_n)^2\) converge et : \(\sqrt {\sum(u_n+v_n)^2 }\leq \sqrt {\sum u_n^2 } + \sqrt {\sum v_n^2 }\).


[ID: 4692] [Date de publication: 15 avril 2024 12:54] [Catégorie(s): Etude théorique ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Solution

\({(-1)^n }/(n^{3/4}+\cos n)\) **

15 avril 2024 12:54 — Par Michel Quercia

Soit \(u_n = \dfrac{(-1)^n }{n^{3/4}+\cos n}\).

  1. La série \(\sum u_n\) est-elle absolument convergente ?

  2. En écrivant \(u_n = \dfrac{(-1)^n }{n^{3/4}} + v_n\), étudier la convergence de \(\sum u_n\).


[ID: 4693] [Date de publication: 15 avril 2024 12:54] [Catégorie(s): Etude théorique ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Solution

\({(-1)^n }/(n^{3/4}+\cos n)\)
Par Michel Quercia le 15 avril 2024 12:54

  1. \(|v_n| = O(n^{-3/2}) \Rightarrow\) CV.


\(u_n/(1+u_n)\) **

15 avril 2024 12:55 — Par Michel Quercia

Soit \(\sum u_n\) une série à termes positifs et \(v_n = \dfrac{u_n}{1+u_n}\). Montrer que \(\sum u_n\) et \(\sum v_n\) ont même nature.


[ID: 4695] [Date de publication: 15 avril 2024 12:55] [Catégorie(s): Etude théorique ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Solution

\(u_n/(1+u_n)\)
Par Michel Quercia le 15 avril 2024 12:55

Si \(u_n \to 0\), alors \(v_n \sim u_n\); sinon, \(v_n\not\to 0\).


Série des restes **

15 avril 2024 12:55 — Par Michel Quercia

  1. Soit \((u_n)\) une suite réelle telle que \(\sum|u_n|\) et \(\sum n|u_n|\) convergent. On note \(v_n = \sum_{k=n}^\infty u_k\).

    1. Montrer que \(nv_n \to _{n\to \infty } 0\).

    2. Montrer que \(\sum_{n=1}^\infty v_n = \sum_{n=1}^\infty nu_n\).

  2. Application : Calculer lorsque c’est possible : \(\sum_{k=1}^\infty kr^k\).


[ID: 4697] [Date de publication: 15 avril 2024 12:55] [Catégorie(s): Etude théorique ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Solution

Série des restes
Par Michel Quercia le 15 avril 2024 12:55

  2. \(\dfrac r{(1-r)^2 }\).


X MP\(^*\) 2001 ** Polytechnique MP

15 avril 2024 12:55 — Par Michel Quercia

Soit \((u_n)\) une suite réelle positive, \(U_n=\sum_{i=0}^n u_i\) et \(\alpha >0\) un réel donné. On suppose \(\dfrac{U_n}{nu_n}\to _{n\to \infty } \alpha\). Étudier la suite de terme général \(\dfrac1{n^2 u_n}\sum_{k=0}^n ku_k\).


[ID: 4699] [Date de publication: 15 avril 2024 12:55] [Catégorie(s): Etude théorique ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Solution

X MP\(^*\) 2001
Par Michel Quercia le 15 avril 2024 12:55

On remarque déjà que \(\sum u_i\) diverge car \(u_n\sim\dfrac{U_n}{n\alpha }\geq \dfrac{U_{1}}{n\alpha }\). On calcule \(\sum_{k=0}^n ku_k\) par parties : \[\sum_{k=0}^n ku_k = \sum_{k=1}^n k(U_k - U_{k-1}) = nU_n -\sum_{k=0}^n U_k\] Comme \(U_n\sim\alpha nu_n\), terme général strictement positif d’une série divergente, on a \(\sum_{k=0}^n U_k \sim \alpha \sum_{k=0}^n ku_k\) d’où : \((1+\alpha )\sum_{k=0}^n ku_k\sim nU_n\) et : \[\dfrac1{n^2 u_n}\sum_{k=0}^n ku_k\sim \dfrac{nU_n}{(1+\alpha )n^2 u_n} \to _{n\to \infty }\dfrac\alpha {1+\alpha }.\]


\(\sum nu_n\) converge **

15 avril 2024 12:55 — Par Michel Quercia

On considère une suite \((u_n)_{n\geq 1}\) telle que la série \(\sum_{n\geq 1} nu_n\) converge. Montrer que la série \(\sum_{n\geq 1} u_n\) converge.


[ID: 4701] [Date de publication: 15 avril 2024 12:55] [Catégorie(s): Etude théorique ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Solution

\(\sum nu_n\) converge
Par Michel Quercia le 15 avril 2024 12:55

\(S_n = \sum_{k=0}^n ku_k \Rightarrow \sum_{k=0}^n u_k = \sum_{k=1}^{n-1}\dfrac{S_k}{k(k+1)} - S_{0} + \dfrac{S_n}n\).


\((u_n)\) décroit **

15 avril 2024 12:55 — Par Michel Quercia

Soit \((u_n)_{n\geq 1}\) une suite réelle positive décroissante telle que \(\sum u_n\) converge.

  1. Montrer que \(nu_n \to _{n\to \infty } 0\) (considérer \(\sum_{k=n+1}^{2n} u_k\)).

  2. Montrer que \(\sum_{n=1}^\infty n(u_n - u_{n+1})\) converge et a même somme que \(\sum_{n=1}^\infty u_n\).

  3. Application : calculer pour \(0\leq r < 1\) : \(\sum_{k=1}^\infty kr^k\) et \(\sum_{k=1}^\infty k^2 r^k\).


[ID: 4703] [Date de publication: 15 avril 2024 12:55] [Catégorie(s): Etude théorique ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Solution

\((u_n)\) décroit
Par Michel Quercia le 15 avril 2024 12:55

  1. \(kr^k = k(u_k - u_{k+1})\) avec \(u_k = \dfrac{r^k}{1-r}\) donc \(\sum_{k=1}^\infty kr^k = \sum_{k=1}^\infty \dfrac{r^k}{1-r} = \dfrac r{(1-r)^2 }\).

    De même, \(S_n = \sum_{k=n}^\infty kr^k = \dfrac{(n-1)r^n }{1-r} + \sum_{k=n}^\infty \dfrac{r^k}{1-r} = \dfrac{nr^n }{1-r} + \dfrac{r^{n+1}}{(1-r)^2 }\).

    \(k^2 r^k = k(S_k - S_{k+1})\) et \((S_k)\) décroît d’où

    \(\sum_{k=1}^\infty k^2 r^k = \sum_{k=1}^\infty S(k) = \sum_{k=1}^\infty \Bigl(\dfrac{kr^k}{1-r}+\dfrac{r^{k+1}}{(1-r)^2 }\Bigr) = \dfrac{r+r^2 }{(1-r)^3}\).


\(u_n/S_n\) **

15 avril 2024 12:55 — Par Michel Quercia

Soit \((u_n)\) une suite à termes strictement positifs convergeant vers \(0\). On pose \(S_n = \sum_{k=0}^n u_k\).

  1. Si la série \(\sum u_n\) converge, que dire de la série \(\sum\dfrac{u_n}{S_n}\) ?

  2. Si la série \(\sum u_n\) diverge, montrer que la série \(\sum\dfrac{u_n}{S_n}\) diverge aussi.

    On pourra considérer \(p_n = \prod _{k=1}^n \left(1-\dfrac{u_k}{S_k}\right)\).


[ID: 4705] [Date de publication: 15 avril 2024 12:55] [Catégorie(s): Etude théorique ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Solution

\(u_n/S_n\)
Par Michel Quercia le 15 avril 2024 12:55

  1. \(p_n = \dfrac{u_{0} }{S_n} \to 0\) donc la série de terme général \(\ln\left(1-\dfrac{u_n}{S_n}\right)\) diverge.


Polytechnique MP\(^*\) 2000 ** Polytechnique MP

15 avril 2024 12:55 — Par Michel Quercia

On donne une suite de réels strictement positifs \((a_n)\), décroissante et de limite nulle. Montrer que la série de terme général \(\dfrac{a_n-a_{n+1}}{a_n}\) diverge.


[ID: 4707] [Date de publication: 15 avril 2024 12:55] [Catégorie(s): Etude théorique ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Solution

Polytechnique MP\(^*\) 2000
Par Michel Quercia le 15 avril 2024 12:55

Méthode des rectangles : \(\sum_{k=0}^n \dfrac{a_k-a_{k+1}}{a_{k+1}}\geq \int _{t=a_{n+1}}^{a_{0} }\dfrac{d t}t \to _{k\to \infty }+\infty\).

Si \(a_k\sim a_{k+1}\) la série donnée diverge donc. Sinon, elle diverge aussi car son terme général ne tend pas vers \(0\).


\((u_n + u_{n+1} + \dots+ u_{2n-1})/n\) **

15 avril 2024 12:55 — Par Michel Quercia

Soit \(\sum u_n\) une série à termes positifs. On pose \(v_n = \dfrac{ u_n + u_{n+1} + \dots+ u_{2n-1} }n\). Montrer que \(\sum v_n\) a même nature que \(\sum u_n\).


[ID: 4709] [Date de publication: 15 avril 2024 12:55] [Catégorie(s): Etude théorique ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Solution

\((u_n + u_{n+1} + \dots+ u_{2n-1})/n\)
Par Michel Quercia le 15 avril 2024 12:55

\(\sum_{n=1}^n v_n = \sum_{k=1}^{2N-1} u_k\sum_{k/2<n\leq k}\dfrac 1n \Rightarrow \dfrac12\sum_{k=1}^{2N-1} u_k\leq \sum_{n=1}^n v_n\leq 2\sum_{k=1}^{2N-1} u_k\).


\(\sum ku_k/n(n+1)\) **

15 avril 2024 12:55 — Par Michel Quercia

Soit \((u_n)_{n\geq 1}\) une suite positive. On pose \(v_n = \dfrac{1}{n(n+1)}\sum_{k=1}^n ku_k\). Montrer que les séries \(\sum u_n\) et \(\sum v_n\) ont même nature et éventuellement même somme.


[ID: 4711] [Date de publication: 15 avril 2024 12:55] [Catégorie(s): Etude théorique ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Solution

\(\sum ku_k/n(n+1)\)
Par Michel Quercia le 15 avril 2024 12:55

\(\sum_{k=1}^n v_k + nv_n = \sum_{k=1}^n u_k\).

Si \(\sum u_n\) converge, \(\sum v_n\) converge aussi (SP majorées) et \(nv_n \to l \Rightarrow l = 0\).

Si \(\sum u_n\) diverge et \(\sum v_n\) converge, alors \(nv_n \to +\infty\), contradiction.


\(\sum ku_k/n^2\) **

15 avril 2024 12:55 — Par Michel Quercia

Soit \(\sum u_n\) une série à termes positifs convergente.

Étudier la convergence de la série de terme général \(v_n = \dfrac1{n^2 }\sum_{k=1}^n ku_k\).


[ID: 4713] [Date de publication: 15 avril 2024 12:55] [Catégorie(s): Etude théorique ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Solution

\(\sum ku_k/n^2\)
Par Michel Quercia le 15 avril 2024 12:55

\(\sum_{k=1}^n v_k = \sum_{k=1}^n ku_k\sum_{p=k}^n \dfrac 1{p^2 }\leq \sum_{k=1}^n \dfrac{ku_k}{k-1} \Rightarrow\) CV.


Principe d’accumulation **

15 avril 2024 12:55 — Par Michel Quercia

Soit \((u_n)\) une suite réelle positive décroissante. On pose \(v_n = 2^n u_{2^n }\). Montrer que les séries \(\sum u_n\) et \(\sum v_n\) ont même nature.

Applications :

– Retrouver la convergence des séries de Riemann \(\sum\dfrac1{n^\alpha }\).

– Étudier la convergence des séries de Bertrand : \(\sum\dfrac1{n(\ln n)^\alpha }\).


[ID: 4715] [Date de publication: 15 avril 2024 12:55] [Catégorie(s): Etude théorique ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Solution

Principe d’accumulation
Par Michel Quercia le 15 avril 2024 12:55

\(\dfrac12\sum_{k=1}^{n+1} v_k\leq \sum_{k=1}^{2^{n+1}} u_k\leq \sum_{k=0}^n v_k\).

Applications :

– Retrouver la convergence des séries de Riemann \(\sum\dfrac1{n^\alpha }\).

– Étudier la convergence des séries de Bertrand : \(\sum\dfrac1{n(\ln n)^\alpha }\).


\(\sum x_{kn} = 0\) **

15 avril 2024 12:55 — Par Michel Quercia

Soit \(\sum_{n\geq 1} x_n\) une série absolument convergente telle que pour tout entier \(k\geq 1\) on a \(\sum_{n=1}^\infty x_{kn} = 0\).

Montrer que : \(\forall n\in \mathbb{N}^*,\ x_n = 0\).


[ID: 4717] [Date de publication: 15 avril 2024 12:55] [Catégorie(s): Etude théorique ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Solution

\(\sum x_{kn} = 0\)
Par Michel Quercia le 15 avril 2024 12:55

Démonstration pour \(x_{1}\) : \(\sum x_n = 0\), \(\sum x_{2n} = 0 \Rightarrow \sum_{n\text{ impair}} x_n = 0\). On retire les multiples impairs de 3 (\(\sum x_{3n} - \sum x_{6n} = 0\)) \(\Rightarrow \sum_{n\wedge 6=1} x_n = 0\). On retire les multiples restants de \(5,7,\dots\) On obtient ainsi une suite \((s_p)_{p \text{ premier}}\) nulle qui converge vers \(x_{1}\), donc \(x_{1} = 0\).

Peut-on se passer de la convergence absolue ?


\(nu_n\to 0\) **

15 avril 2024 12:55 — Par Michel Quercia

Soit \((u_n)\) une série convergente à termes positifs décroissants.

  1. Montrer que \(nu_n\to _{n\to \infty } 0\).

  2. Montrer que \(\sum_{u_k\geq 1/n} \dfrac 1{u_k} = o(n^2 )\).


[ID: 4719] [Date de publication: 15 avril 2024 12:55] [Catégorie(s): Etude théorique ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Solution

\(nu_n\to 0\)
Par Michel Quercia le 15 avril 2024 12:55

  1. \(nu_{2n}\leq \sum_{k=n+1}^{2n} u_k\), \(nu_{2n+1}\leq \sum_{k=n+2}^{2n+1} u_k\).

  2. \(\varepsilon> 0\) : Pour \(k\) suffisament grand, \(u_k\leq \dfrac \varepsilon k\), donc \(u_k\geq \dfrac 1n \Rightarrow k\leq n\varepsilon\). Alors \(\sum_{u_k\geq 1/n} \dfrac 1{u_k}\leq n^2 \varepsilon+ Kn\).


Raabe-Duhamel **

15 avril 2024 12:55 — Par Michel Quercia

Soit \((u_n)\) une suite réelle positive telle que \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = 1 - \dfrac\alpha n + O\left(\dfrac 1{n^2 }\right)\). Montrer qu’il existe \(A > 0\) tel que \(u_n\sim \dfrac A{n^\alpha }\).


[ID: 4721] [Date de publication: 15 avril 2024 12:55] [Catégorie(s): Etude théorique ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Solution

Développement factoriel **

15 avril 2024 12:56 — Par Michel Quercia

Soit \(\mathcal S\) l’ensemble des suites croissantes d’entiers \((q_i)\) telles que \(q_{0} \geq 2\).

  1. Si \(s = (q_i)\in \mathcal S\), montrer que la série \(\sum_{k=0}^\infty \dfrac1{q_{0} \dots q_k}\) converge. On note \(\Phi(s)\) sa somme.

  2. Montrer que l’application \(\Phi:\mathcal S \to ]0,1]\) est bijective.

  3. Soit \(s = (q_i)\in \mathcal S\). Montrer que \(\Phi(s)\in \mathbb{Q}\) si et seulement si \(s\) est stationnaire.


[ID: 4722] [Date de publication: 15 avril 2024 12:56] [Catégorie(s): Etude théorique ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Solution

Mines 2017 ** Mines-Ponts

15 avril 2024 12:56 — Par Michel Quercia

Soit \(f\in \mathcal C ^1 ([1,+\infty [,\mathbb{C})\) une fonction de dérivée \(f'\) intégrable.

  1. Montrer que la série \(\sum_{n=0}^\infty f(n)\) converge si et seulement si la suite \((\int _{t=1}^nf(t)\,d t)_{n\in \mathbb{N}^*}\) est convergente.

  2. La série \(\sum_{n=1}^\infty \dfrac{\sin\sqrt n}n\) converge-telle ?


[ID: 4723] [Date de publication: 15 avril 2024 12:56] [Catégorie(s): Etude théorique ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Solution

Mines 2017
Par Michel Quercia le 15 avril 2024 12:56

  1. \[\begin{aligned} \Bigl|f(n)-\int _{t=n}^{n+1}f(t)\,d t\Bigr| &= \Bigl|\int _{t=n}^{n+1}(f(n)-f(t))\,d t\Bigr|\\ &=\Bigl|[(f(n)-f(t))(t-n-1)]_{t=n}^{n+1} + \int _{t=n}^{n+1}f'(t)(t-n-1)\,d t\Bigr|\\ &\leq \int _{t=n}^{n+1}|f'(t)|\,d t\\. \end{aligned}\] Comme \(f'\) est intégrable, la série \(\sum_{n=1}^\infty \int _{t=n}^{n+1}|f'(t)|\,d t\) converge vers \(\int _{t=1}^{\infty }|f'(t)|\,d t\) donc la série de terme général \(f(n)\) et la série télescopique associée à la suite de terme général \(\int _{t=1}^nf(t)\,d t\) ont même nature.

  2. Avec \(f(t)=\dfrac{\sin\sqrt t}t\) on a \(f'(t)=O(t^{-3/2})\) donc \(f'\) est intégrable sur \([1,+\infty [\).

    De plus, \(\int _{t=1}^nf(t)\,d t=\int _{u=1}^{n^2 }\dfrac{2\sin u}u\,d u\), quantité convergente quand \(n\to \infty\) donc la série converge.


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