Equations matricielles

  1. Les exercices
  2. Vue compacte

Exercices du dossier Equations matricielles

Équation \(AX = B\) ** Polytechnique

11 avril 2024 17:27 — Par Michel Quercia

Soit \(A = \begin{pmatrix}1&2&3\\ 2&3&4\\ 3&4&5 \\\end{pmatrix}\).

  1. Montrer que l’équation en \(X\) : \(AX = B\), \(X,B \in \mathcal M _{3,n}(\mathbb{K})\), a des solutions si et seulement si les colonnes de \(B\) sont des progressions arithmétiques (traiter d’abord le cas \(n=1\)).

  2. Résoudre \(AX = \begin{pmatrix}3 &3 \\ 4 &5 \\ 5 &7\end{pmatrix}\).


[ID: 4598] [Date de publication: 11 avril 2024 17:27] [Catégorie(s): Equations matricielles ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Solution

Équation \(AX = B\)
Par Michel Quercia le 11 avril 2024 17:27

  1. \(X = \begin{pmatrix} \alpha & 1 + \beta \\ -2\alpha &1 - 2\beta \\ 1 + \alpha & \beta \\ \end{pmatrix}\).


Équation \(XA = B\) ** Polytechnique

11 avril 2024 17:27 — Par Michel Quercia

Soient \(A = \begin{pmatrix} 1&2&-1 \\ 2&-1&-1 \\ -5&0&3 \end{pmatrix}\) et \(B = \begin{pmatrix}-2&1&1 \\ 8&1&-5 \\ 4&3&-3 \end{pmatrix}\). Existe-t-il une matrice \(X\) telle que \(XA = B\) ?


[ID: 4600] [Date de publication: 11 avril 2024 17:27] [Catégorie(s): Equations matricielles ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Solution

Équation \(XA = B\)
Par Michel Quercia le 11 avril 2024 17:27

\(X = \begin{pmatrix}a&2a-1&a \\ b+2&2b+3&b \\ c+2&2c+1&c\end{pmatrix}\).


Équation \(aX + (trX)A = B\) ** Polytechnique

11 avril 2024 17:27 — Par Michel Quercia

Soit \(\alpha \in \mathbb{K}\), et \(A,B \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}})\). Étudier l’équation d’inconnue \(X \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}})\) : \(\alpha X + (\mathop{\rm tr}\nolimits X)A = B\).


[ID: 4602] [Date de publication: 11 avril 2024 17:27] [Catégorie(s): Equations matricielles ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Solution

Équation \(aX + (trX)A = B\)
Par Michel Quercia le 11 avril 2024 17:27

\((\alpha + \mathop{\rm tr}\nolimits A)\mathop{\rm tr}\nolimits X = \mathop{\rm tr}\nolimits B\).

Si \(\alpha (\alpha + \mathop{\rm tr}\nolimits A) \neq 0\), il y a une solution unique : \(X = \dfrac 1\alpha \left(B - \dfrac {\mathop{\rm tr}\nolimits B}{\alpha + \mathop{\rm tr}\nolimits A}A\right)\).

Si \(\alpha = 0\), il y a des solutions ssi \(A\) et \(B\) sont proportionnelles.

Si \(\alpha + \mathop{\rm tr}\nolimits A = 0\), il y a des solutions ssi \(\mathop{\rm tr}\nolimits B = 0\) : \(X = \dfrac 1\alpha B + \lambda A\).


Équation \(X^2 + X = A\) ** Polytechnique

11 avril 2024 17:27 — Par Michel Quercia

Soit \(A = \begin{pmatrix}1&1\\ 1&1\end{pmatrix}\). On veut résoudre l’équation dans \(\mathcal M _2(\mathbb{K})\) : \(X^2 + X = A\).

Soit \(X\) une solution et \(\varphi _A\), \(\varphi _X\) les endomorphismes de \(\mathbb{K}^2\) de matrices \(A\) et \(X\) dans la base canonique.

  1. Montrer que \(X\) ou \(X+I\) n’est pas inversible.

  2. Si \(X\) n’est pas inversible, montrer que \(X\) est proportionnelle à \(A\) (on montrera que \(\mathop{\rm Ker}\nolimits\varphi _X = \mathop{\rm Ker}\nolimits\varphi _A\) et \(\mathop{\rm Im}\nolimits\varphi _X = \mathop{\rm Im}\nolimits\varphi _A\)).

  3. Résoudre l’équation.


[ID: 4604] [Date de publication: 11 avril 2024 17:27] [Catégorie(s): Equations matricielles ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
Solution

Équation \(X^2 + X = A\)
Par Michel Quercia le 11 avril 2024 17:27

  1. \(X\in \{ -A,{1/2}A,A-I,-{1/2}A - I\}\) si \(\mathop{\rm car}\nolimits(\mathbb{K})\neq 2\), \(X\in \{ -A,A-I\}\) si \(\mathop{\rm car}\nolimits(\mathbb{K})=2\).


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