Polynômes orthogonaux
Exercices du dossier Polynômes orthogonaux
Polynômes orthogonaux **
11 avril 2024 15:33 — Par Michel Quercia
Soit \(E\) = \(\mathbb{R}[X]\). On pose \((P|Q) = \int _{t=0}^1 P(t)Q(t)\,d t\)
Démontrer que \((\ |\ )\) est un produit scalaire sur \(E\).
Démontrer qu’il existe une unique famille \((P_{0} , P_{1}, \dots, P_n,\dots)\) de polynômes vérifiant : \[\begin{cases}\deg P_i = i\\ \text{le coefficient dominant de $P_i$ est strictement positif}\\ \text{la famille $(P_i)$ est orthonormée.}\\ \end{cases}\]
[ID: 4593] [Date de publication: 11 avril 2024 15:33] [Catégorie(s): Polynômes orthogonaux ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
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Polynômes orthogonaux **
11 avril 2024 15:33 — Par Michel Quercia
Soit \(E = \mathbb{R}_n[X]\) et \((P|Q) = \int _{t=0}^1 P(t)Q(t)\,d t\).
Montrer que \(E\), muni de \((\ |\ )\), est un espace euclidien.
Soit \(K = \mathbb{R}_{n-1}[X]^\perp\) et \(P\in K\setminus \{ 0\}\). Quel est le degré de \(P\) ?
Soit \(\Phi:x \mapsto \int _{t=0}^1 P(t)t^x\,d t\). Montrer que \(\Phi\) est une fonction rationnelle.
Trouver \(\Phi\) à une constante multiplicative près.
En déduire les coefficients de \(P\).
En déduire une base orthogonale de \(E\).
[ID: 4594] [Date de publication: 11 avril 2024 15:33] [Catégorie(s): Polynômes orthogonaux ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]
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Polynômes orthogonaux
Par Michel Quercia le 11 avril 2024 15:33
Par Michel Quercia le 11 avril 2024 15:33
\(\int _{t=0}^1 t^kt^x\,d t = 1/(k+x+1)\).
\(\Phi\) a pour pôles au plus simples \(-1,-2,\dots,-n-1\) et pour racines \(0,1,\dots,n-1\). Comme \(\Phi(x)\to _{x\to \infty }0\) on a donc \(\Phi(x) = \lambda \dfrac{x(x-1)\dots(x-n+1)}{(x+1)\dots(x+n+1)}\).
\(a_k =\) résidu de \(\Phi\) en \(-k-1 = (-1)^{n+k}\lambda \dfrac{(n+k)!}{(k!)^2 (n-k)!}\).